Gabarito Aula 15

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Geom. Anal´ıtica I Respostas do Mo´dulo I - Aula 15 1
Geometria Anal´ıtica I
17/03/2011
Respostas dos Exerc´ıcios do Mo´dulo I - Aula 15
Aula 15
1. Este exerc´ıcio se resume a escrever a equac¸a˜o em uma das formas x2 = 4py
ou x2 = −4py, para podermos, enta˜o, analisar os elementos da para´bola.
a.
y = 8x2 ⇔ x2 = 1
8
y ⇔ x2 = 4 · 1
32
y.
Assim, p = 1/32 e, como a equac¸a˜o e´ da forma x2 = 4py, temos como
foco o ponto F = (0, p) = (0, 1/32) e como diretriz a reta y = −p ⇔
y = −1/32 (veja a pa´gina pa´gina 219).
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b. Como no item anterior,
y = −8x2 ⇔ x2 = x2 = −4 · 1
32
y.
Assim, com a equac¸a˜o na forma x2 = −4py, temos p = 1/32. Logo, o
foco e´ o ponto F = (0,−p) = (0,−1/32) e a diretriz e´ a reta y = p⇔
y = 1/32 (veja a pa´gina pa´gina 220).
c. Foco F = (0, 1/64), diretriz y = −1/64.
d. Foco F = (0,−1/64), diretriz y = 1/64.
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e. A equac¸a˜o e´ reescrita como x2 = 4 · 1
10
y, logo o foco e´ F = (0, 1/10) e
a diretriz y = −1/10.
f. x2 = −4 · 1
10
y, logo o foco e´ F = (0,−1/10) e a diretriz y = 1/10.
g. x2 = 4 · 4 · y, logo o foco e´ F = (0, 4) e a diretriz y = −4
h. x2 = 4 · 1
3
y, logo o foco e´ F = (0, 1/3) e a diretriz y = −1/3.
i. x2 = −4 · 1
5
y, logo o foco e´ F = (0,−1/5) e a diretriz y = 1/5.
2. Neste exerc´ıcio, temos que escrever a equac¸a˜o em uma das formas
(x − h)2 = 4p(y − k) ou (x − h)2 = −4p(y − k), para podermos, enta˜o,
analisar os elementos da para´bola.
a.
y =
1
4
x2 − x + 4⇔ 4y = x2 − 4x + 16⇔ 4y = (x− 2)2 + 12⇔
⇔ (x− 2)2 = 4y − 12⇔ (x− 2)2 = 4 · 1 · (y − 3).
Assim, a para´bola tem ve´rtice V = (2, 3), foco F = (2, 3 + p) = (2, 4)
e diretriz y = 3− p⇔ y = 2. O eixo de simetria sera´ x = 2.
b.
8y + x2 + 4x + 12 = 0⇔ (x + 2)2 = −4 · 2 · (y + 1).
A equac¸a˜o esta´ na forma (x − h)2 = −4p(y − k), logo o ve´rtice e´
V = (−2,−1), o foco e´ F = (−2,−1 − p) = (−2,−3) e a diretriz
y = −1 + p⇔ y = 1. O eixo de simetria e´ x = −2.
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c. A equac¸a˜o pode ser escrita (x + 2)2 = −4 · 1
2
(y − 4), logo o ve´rtice e´
V = (−2, 4), o foco F = (−2, 4−p) = (−2, 7/2) a diretriz y = 4+p⇔
y = 9/2 e o eixo de simetria x = −2.
d. (x − 1)2 = 4 · 5(y + 2). Ve´rtice V = (1,−2), foco F = (1, 3), diretriz
y = −7, eixo de simetria x = 1.
e. (x− 1)2 = −41
4
(y − 1). Ve´rtice V = (1, 1), foco F = (1, 3/4), diretriz
y = 5/4, eixo de simetria x = 1.
f. (x+ 3)2 = 4 · 2(y− 1). Ve´rtice V = (−3, 1), foco F = (−3, 3), diretriz
y = −1, eixo de simetria x = −3.
3. Quando a para´bola e´ das formas (x − h)2 = 4p(y − k),
(x − h)2 = −4p(y − k), ela tera´ sua concavidade voltada para cima ou
para baixo (o eixo de simetria sera´ vertical). Assim, o valor mı´nimo (no
caso de concavidade para cima) ou ma´ximo (concavidade para baixo) de y
ocorrera´ no ve´rtice. Assim, determinar o valor de x que da´ o ma´ximo ou
mı´nimo de y e´ apenas determinar o x do ve´rtice.
a. x = 2 b. x = −2 c. x = −2 d. x = 1 e. x = 1 f. x = −3
4. a. Neste item, voceˆ pode seguir como na deduc¸a˜o da equac¸a˜o da para´bola,
feita nas pa´ginas 219 e 220, ou aplicar diretamente as concluso˜es obti-
das nestas pa´ginas.
Fac¸amos, primeiramente, a partir da deduc¸a˜o da fo´rmula. O pe´ da
perpendicular a` diretriz r : y = 3/4 que passa por um ponto P = (x, y)
da para´bola e´ P ′ = (x, 3/4), logo
d(P, F ) = d(P, r)⇔ d(P, F ) = d(P, P ′)⇔
⇔
√
(x− 0)2 + (y + 3/4)2 =
√
(x− x)2 + (y − 3/4)2 ⇔
⇔ x2 + (y + 3/4)2 = (y − 3/4)2 ⇔ x2 = −3y
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Outra forma de chegar a` mesma conclusa˜o, e´ observar que temos como
foco e diretriz F = (0,−p) e y = p, onde p = 3/4. Assim, o caso com
que estamos lidando e´ o estudado na pa´gina 220 (e final da 219), que
tera´ como equac¸a˜o
x2 = −4py ⇒ x2 = −4(3/4)y ⇒ x2 = −3y.
b. Como o foco e´ F = (0, 5/8) e o ve´rtice e´ a origem, temos o caso
da pa´gina 219, isto e´, para´bola com eixo na origem e foco (0, p), com
p = 5/8 (naturalmente, teremos neste caso a diretriz dada por
y = −5/8). Assim, a equac¸a˜o sera´
x2 = 4 · 5
8
y ⇔ x2 = 5
2
y.
c. Como a diretriz e´ y = 3/2 e o ve´rtice e´ a origem, temos o caso da pa´gina
220, isto e´, para´bola com eixo na origem e diretriz y = p, com p = 3/2
(naturalmente, teremos neste caso o foco dado por F = (0,−3/2)).
Assim, a equac¸a˜o sera´
x2 = −4 · 3
2
y ⇔ x2 = −6y.
d. Este caso e´ um pouco mais complicado que os anteriores. Aqui,
na˜o podemos aplicar imediatamente as concluso˜es que nos levam a`s
equac¸o˜es x2 = ±4py, pois na˜o temos o ve´rtice na origem. O paraˆmetro
p e´ a distaˆncia entre o ve´rtice e a diretriz r : y = −7 (que e´ igual a`
distaˆncia entre o ve´rtice e o foco). Assim,
p = d(V, r) = d((2,−5), y = −7) = 2.
Note ainda que o ve´rtice esta´ acima da diretriz, portanto temos uma
para´bola com a concavidade voltada para cima. Assim, segundo o
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estudo da translac¸a˜o, feito na pa´gina 220, temos como equac¸a˜o
(x−h)2 = 4p(y−k)⇔ (x−2)2 = 4 ·2 ·(y−(−5))⇔ (x−2)2 = 8(y+5)
e. Como o ve´rtice e´ (0, 0) e o eixo de simetria vertical, a para´bola tera´
equac¸a˜o x2 = ±4py. Logo, precisamos apenas determinar o valor de
p, e o sinal da equac¸a˜o. Substituindo o ponto (2,−2), que pertence a`
para´bola, temos
22 = ±4p(−2)⇔ 4 = ±(−8)p⇔ −p = ±1
2
.
Sabemos que p > 0, logo, no ± acima, devemos considerar apenas o
−, assim, temos
x2 = −4 · 1
2
y ⇔ x2 = −2y
f. Procedendo como no item anterior, x2 = −4
3
y.
g. Primeiramente, vamos determinar o ve´rtice da para´bola. Como o eixo
de simetria e´ perpendiculara a` diretriz (que e´ horizontal), ele sera´
vertical, e como passa pelo foco F = (4,−5), sera´ enta˜o a reta x = 4.
A intersec¸a˜o do eixo de simetria com a diretriz sera´ enta˜o o ponto
F ′ = (4, 1). Observe que o ve´rtice sera´ enta˜o o ponto me´dio do foco
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F e F ′, assim,
V =
(
4 + 4
2
,
−5 + 1
2
)
= (4,−2).
A distaˆncia entre F e V e´ p = 3, logo a equac¸a˜o da para´bola e´
(x− 4)2 = 4 · 3(y − (−2))⇔ (x− 4)2 = 12(y + 2).
h. (x− 4)2 = 16(y − 1).
5. Lembre-se de que o eixo y e´ a reta x = 0. Assim, para determinar a
intersec¸a˜o do objeto descrito por qualquer equac¸a˜o com o eixo y, basta
fazer x = 0 na equac¸a˜o. Assim, substituindo x = 0 nas equac¸o˜es das
para´bolas, temos
a. y = 1
4
· 02 − 0 + 4 = 4, logo, a intersec¸a˜o da para´bola com o eixo y e´ o
ponto (0, 4).
b. y = −3/2, logo, a intersec¸a˜o da para´bola com o eixo y e´ o ponto
(0,−3/2).
c. y = 2, logo, a intersec¸a˜o da para´bola com o eixo y e´ o ponto (0, 2).
d. y = −39/20, logo, a intersec¸a˜o da para´bola com o eixo y e´ o ponto
(0,−39/20).
e. y = 0, logo, a intersec¸a˜o da para´bola com o eixo y e´ o ponto (0, 0).
f. y = 17/8, logo, a intersec¸a˜o da para´bola com o eixo y e´ o ponto
(0, 17/8).
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6. a. A regia˜o A procurada e´ o conjunto dos pontos (x, y) que satisfazem,
simultaneamente, as equac¸o˜es
y ≥ 2x− 3 e y < 4x− x2.
A regia˜o descrita pela primeira inequac¸a˜o (e representada no esboc¸o
abaixo) e´ o conjunto dos pontos acima da reta y = 2x − 3, incluindo
os pontos desta reta (a reta esta´ trac¸ada em preto para indicar que ela
esta´ na regia˜o).
A regia˜o descrita pela segunda inequac¸a˜o e´ o conjunto dos pontos
abaixo da para´bola y =4x − x2, na˜o incluindo a para´bola. Esta
para´bola pode ser reescrita
y = 4x−x2 ⇔ −y = x2−4x⇔ −y+4 = (x−2)2 ⇔ (x−2)2 = −4·1
4
(y−4),
logo, e´ a regia˜o representada abaixo (a para´bola esta´ trac¸ada em cinza
para representar que ela na˜o esta´ contida na regia˜o)
Assim, a regia˜o procurada e´ a intersec¸a˜o das duas esboc¸adas acima.
Note que, no esboc¸o, os pontos da para´bola na˜o pertencem a` regia˜o
(por isso a para´bola e´ trac¸ada em cinza), os da reta pertencem (trac¸ada
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em preto) e as intersec¸o˜es na˜o pertencem (pois a para´bola na˜o esta´ na
regia˜o).
Para determinar a intersec¸a˜o entre a reta e a para´bola, basta resolver
2x− 3 = 4x− x2, e obter (3, 3) e (−1,−5).
b. A regia˜o procurada e´ a formada pelos pontos acima da para´bola
y = x2 − 2x (incluindo a para´bola) e abaixo da para´bola y = 4x −
x2 (na˜o incluindo a para´bola). Tais para´bolas podem ser escritas
(x−1)2 = 4(1/4)(y+1) e (x−2)2 = −4(1/4)(y−4), respectivamente, e
suas intersec¸o˜es podem ser calculadas resolvendo-se x2−2x = 4x−x2,
obtendo-se (0, 0) e (3, 3). Abaixo, o esboc¸o da regia˜o:
Note que as intersec¸o˜es das para´bolas ((0, 0) e (3, 3)) na˜o pertencem
a` regia˜o final, nem a parte tracejada das para´bolas (esboc¸adas aqui
apenas para podermos visualiza´-las). A para´bola trac¸ada em cinza,
tambe´m na˜o esta´ na regia˜o.
c. A regia˜o sera´ aquela acima da reta y = −2x + 8 (incluindo a reta)
e abaixo da para´bola y = x2 (incluindo a para´bola). O ponto (2, 4),
pertencente a` intersec¸a˜o de ambas as curvas, tambe´m pertencera´ A`
regia˜o.
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d.
As linhas tracejadas, bem como os pontos (−1,−1) e (3, 3) (intersec¸a˜o
das para´bolas), na˜o pertence a` regia˜o.
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