AD1 Pré-Cálculo Gabarito 2023.1

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PRÉ-CÁLCULO PARA ENGENHARIA AD1 1
Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
AD1 – PRÉ-CÁLCULO PARA ENGENHARIA - GABARITO - 2023/1
Questão 1 (2,0 pontos) Considere a equação abaixo e faça o que se pede:
(2x)(
√
2− 1) = 1
1
5
− 1
2
.
a. [1,0] Mostre que o valor de x na equação acima é um número irracional e encontre q1 e q2 ∈ Q
tais que q1 < x < q2. Justifique sua resposta.
b. [1,0] O valor de x encontrado acima é menor do que 1/3? Justifique.
Solução:
a) Temos que a fração do segundo membro é
1
2− 5
10
,
donde ficamos com
−10
3
.
Isolando x no primeiro membro, temos
x =
(
−10
3
)
· 1
2
1
(
√
2− 1)
= −5
3
· 1
(
√
2− 1)
× (
√
2 + 1)
(
√
2 + 1)
,
e dáı ficamos com
x = −5 · (
√
2 + 1)
3 · 1
= −5 · (
√
2 + 1)
3
.
Temos que x é irracional pois:
√
2 é irracional (sendo raiz quadrada de um número primo), e
logo
√
2 + 1 é irracional (soma de irracional com racional); conclúımos que x é o produto de um
irracional com o racional −5/3, e por isso irracional. Como 1 <
√
2 < 2, então 2 <
√
2+ 1 < 3,
e assim temos que x = −5 · (
√
2 + 1)
3
satisfaz
3 · −5
3
< x < 2 · −5
3
,
ou ainda (cancelando 3 com 3),
−5 < x < −10
3
.
b) Sim, pois temos −10
3
< 1/3. Logo, x <
−10
3
< 1/3.
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Questão 2 (3,0 pontos) Estude o sinal da expressão
1− 3x
|x| − 2
, sabendo que −
√
2 ≤ x ≤
√
5.
Solução:
Observemos que a expressão no enunciado não está definida de x = 2 ou x = −2. Além disso,
1 − 3x muda de sinal em x = 1/3. Portanto, como
√
2 < 2,
√
5 > 2 e −
√
2 ≤ x ≤
√
5, então
temos que estudar a variação de sinal nos intervalos: (−
√
2, 1/3), (1/3, 2) e (2,
√
5).
Logo, temos a seguinte tabela de sinais.
−
√
2 < x < 1/3 1/3 < x < 2 2 < x <
√
5
1− 3x + − −
|x| − 2 − − +
1− 3x
|x| − 2
− + −
Observando a tabela,
• 1− 3x
|x| − 2
> 0 em (1/3, 2);
• 1− 3x
|x| − 2
= 0, para x = 1/3
• 1− 3x
|x| − 2
< 0 em (−
√
2, 1/3) ∪ (2;
√
5)
• 1− 3x
|x| − 2
não está definida para x = −2 e x = 2.
Questão 3 (3,0 pontos) Considere a equação
√
7− 3|x− 2| = 2.
Faça o que se pede:
a. [0,8 ponto] Determine os valores reais de x para os quais
√
7− 3|x− 2| existe.
b. [2,2 pontos] Resolva a equação
√
7− 3|x− 2| = 2.
Solução:
a) Para que a expressão no primeiro membro seja real, precisamos de que 7− 3|x− 2| ≥ 0. Ou seja,
|x− 2| ≤ 7/3, o que é equivalente a
−7/3 ≤ x− 2 ≤ 7/3,
ou ainda
−1/3 ≤ x ≤ 13/3.
Assim, conclúımos que toda solução x da equação, se existir, deve satisfazer x ∈ [−1/3, 13/3].
Se a equação do enunciado é satisfeita, também será a mesma com cada membro elevado ao
quadrado:
7− 3|x− 2| = 4, e assim, |x− 2| = 1.
Logo, x = 3 ou x = 1.
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Como a equação pode ser resolvida para todo x ∈ [−1/3, 13/3], e 13/3 > 3, então x = 1 ou
x = 3 são soluções posśıveis.
Como elevamos ambos os lados ao quadrado, é preciso verificar se essas posśıveis soluções são
de fato soluções da equação do enunciado.
Substituindo x = 1 na equação,√
7− 3|1− 2| =
√
7− 3| − 1| =
√
7− 3 =
√
4 = 2.
Logo, x = 1 é solução da equação.
Substituindo x = 3 na equação,
√
7− 3|3− 2| =
√
7− 3|1| =
√
7− 3 =
√
4 = 2.
Portanto, x = 3 é de fato outra solução da equação.
Portanto, o conjunto solução é {1, 3}.
Questão 4 (2,0 pontos) Faça o que se pede:
a) (1,0 pt) Determine a equação da reta r que passa pelo ponto A = (−1, 2) e pelo ponto B, onde
B é o ponto simétrico do ponto C = (−2,−1) com relação ao eixo y.
b) (1,0 pt) Determine a equação da reta s que passa por A = (−1, 2) e é perpendicular à reta
y + 2x+ 3 = 0.
Solução:
a) Como o ponto B é simétrico do ponto C = (−2,−1) em relação ao eixo y, temos que B = (2,−1).
O coeficeinte angular da reta que passa pelos pontos A = (−1, 2) e B = (2,−1) é
mr =
−1− 2
2− (−1)
= −3
3
= −1.
Logo, y − 2 = −(x− (−1))⇒ y = −x+ 1 é a equação da reta que passa pelos pontos A e B.
b) Como a reta s é perpendicular à reta de equação y = −2x− 3, temos que o coeficiente angular
da reta s é: ms = −
1
−2
=
1
2
.
Assim a equação da reta s é dada por y − 2 = 1
2
(x− (−1))⇒ y = x
2
+
1
2
+ 2 =
x
2
+
5
2
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