Pesquisa Operacional - Resposta dos Exercícios - Atividade - Prova

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UNIP – Universidade Paulista 
 
 
Respostas – Exercício Pesquisa Operacional 
 
 
 
1). A alternativa que apresenta as afirmativas corretas, é a letra d) Apenas as 
afirmações II e V são verdadeiras. 
 
Justificativa da questão 1: 
 
 A função objetivo para o problema apresentado visa a maximização do lucro, 
conforme descrito no próprio enunciado. Portanto, o modelo correto desta função será: 
 
FO = MaxLucro = 325 * unidades vendidas de P1 + 65 * unidades vendidas de P2 
 
 Da mesma forma, a única restrição que condiz com o conteúdo presente no 
enunciado, é a que apresenta: 
 
8 * unidades vendidas de P1 + 3 * unidades vendidas de P2 ≤ 15 
 
2). A alternativa que apresenta o modelo matemático de maximização do número de 
casas construídas desta questão, é a letra d). 
 
Justificativa da questão 2: 
 
Analisando a afirmativa de que o objetivo do modelo matemático desta questão, 
seja maximizar o número de casas a serem construídas, visualmente é possível notar 
que a alternativa que apresenta corretamente a função objetivo desta questão, é a 
letra d), pois conforme o enunciado, x1 = número de casas do tipo A, x2 = número de 
casas do tipo B, e x3 = número de casas do tipo C. Logo, temos que: 
 
 
Função Objetivo: 
Max(x1, x2, x3) = x1 + x2 + x3 
Sujeito a: 
6x1 < 150 
4x2 < 200 
3x3 < 250 
1200x1 + 1000x2 + 800x3 < 200000 
x1, x2 e x3 ≥ 0 
 
3). A alternativa que apresenta o gráfico correto para uma das restrições do problema 
de programação linear apresentado é a b) 
 
Justificativa da questão 3: 
Inicialmente, substituímos o x1 e x2 por 0, para obtermos os pontos P1 e P2, e 
traçar a reta correspondente: 
3x1 + x2 ≥ 6 
com o x1 = 0 para obter x2, fica: 
0 + x2 = 6 
x2 = 6 → P1 = (0 ; 6) 
 
3x1 + x2 ≥ 6 
com o x2 = 0 para obter x1, fica: 
3x1 + 0 = 6 
x1 = 6 / 3 
x1 = 2 → P2 = (2 ; 0) 
 
Conferindo a viabilidade, e substituindo x1 e x2 por 0 temos que: 
3x1 + x2 ≥ 6 → 3*0 + 0 = 0 
0 é < que 6, logo, o ponto de origem (0 ; 0) não satisfaz a desigualdade da 
equação, apresentando região de viabilidade acima da reta ( ↗ ). 
 
 
 
 
 
 
 
 
Com o conteúdo acima apresentado, o gráfico que corresponde à justificativa, 
e se iguala à uma das afirmativas é: 
 
b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4). a). Apresente a modelagem matemática deste problema. 
 No problema acima, inicialmente devemos identificar quais são as variáveis de 
decisão. No enunciado desta questão são apresentadas as seguintes variáveis: 
x1 = libras de milho na mistura / x2 = libras de preparo de soja na mistura 
 
Após identificar as variáveis, a função objetivo deste problema deve ser 
evidenciado. Logo, temos que: 
 
FO: Minimizar Z = 0,3x1 + 0,9x2 
 
 Com a função objetivo apresentada, agora é o momento de, analisando o 
enunciado, identificar as restrições. Portanto, temos que: 
 
x1 + x2 ≥ 800 (libras de milho e preparo de soja na mistura diária) 
 
0,09x1 + 0,6x2 ≥ 0,3 (x1+ x2) (requisito nutricional de proteína) 
 
 
 
 
2 x1 
6 
x2 
Vamos passar para o lado esquerdo os valores de x1 e x2 (0,3x1 + 0,3x2) e deixar a 
inequação ≥ 0, aplicando a fórmula matemática de distribuição: 
 
 
0,09x1 + 0,6x2 ≥ 0,3x1 + 0,3x2 
0,09x1 + 0,6x2 – 0,3x1 – 0,3x2 ≥ 0 
0,09x1 + (– 0,3x1) + 0,6x2 + (– 0,3x2) ≥ 0 
– 0,21x1 + 0,3x2 ≥ 0 
 
0,02x1 + 0,06x2 ≤ 0,05 (x1 + x2) (requisito nutricional de fibra) 
 
Vamos passar para o lado esquerdo os valores de x1 e x2 (0,05x1 + 0,05x2) e deixar 
a inequação ≤ 0, aplicando a fórmula matemática de distribuição: 
0,02x1 + 0,06x2 ≤ 0,05x1 + 0,05x2 
0,02x1 + 0,06x2 – 0,05x1 – 0,05x2 ≤ 0 
0,02x1 + (– 0,05x1) + 0,06x2 + (– 0,05x2) ≤ 0 
– 0,03x1 + 0,01x2 ≤ 0 
 
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0 (restrição de não-negatividade) 
 
 Portanto, a modelagem matemática deste problema ficou assim: 
Função Objetivo: 
MinCusto(x1, x2) = 0,3x1 + 0,9x2 
Sujeito a: 
x1 + x2 ≥ 800 
– 0,21x1 + 0,3x2 ≥ 0 
– 0,03x1 + 0,01x2 ≤ 0 
x1, x2 ≥ 0 
 
 
 
 
 
 
 
b). Insira esta modelagem matemática no Excel, para ser resolvida no Solver. 
Faça um print-screen da modelagem. 
 
 
c). Rode o solver e apresente o ponto ótimo e o valor da função objetivo no 
ponto ótimo. 
 
 Com o resultado obtido após rodar o Solver, é possível visualizarmos que o 
ponto ótimo se configura como x1 = 470,59 e x2 = 329,41. 
 Já com relação ao valor da função objetivo no ponto ótimo, este se configura 
como Z = 437,65. 
 No nosso entendimento, com base no que pudemos captar em aula, isto 
significa dizer que o custo mínimo diário associado às misturas, corresponde a: 
Z = 0,3 * 470,59 + 0,9 * 329,41 = R$437,65 por dia 
 Ou seja, a mescla de 470,59 libras de ração de milho com custo de R$0,30 + 
329,41 libras de ração de soja com custo de R$0,90, determinam em um custo diário 
de mistura de R$ 437,65. 
Função Objetivo
x1 x2
0,3 0,9
Variáveis
Z= 0
Restrições nº
No. x1 x2 LHS RHS
1 1 1 0 800
2 -0,21 0,30 0 0
3 -0,03 0,01 0 0
Coeficientes das Variáveis
Coeficientes das Variáveis Constantes
Minimizar Custo
Função Objetivo
x1 x2
0,3 0,9
Variáveis 470,5882353 329,4117647
Z= 437,6470588
Restrições nº
No. x1 x2 LHS RHS
1 1 1 800 800
2 -0,21 0,30 0 0
3 -0,03 0,01 -10,8235294 0
Coeficientes das Variáveis
Coeficientes das Variáveis Constantes
Minimizar Custo
5). a). Apresente a representação geométrica do conjunto de soluções viáveis 
para o problema. 
Inicialmente, substituímos o x1 e x2 por 0 na primeira restrição, para obtermos 
os pontos P1 e P2, e traçar a reta correspondente: 
0,3x1 + 0,1x2 ≤ 2,7 
com o x1 = 0 para obter x2, fica: 
0 + 0,1x2 = 2,7 
x2 = 2,7 / 0,1 
x2 = 27 → P1 = (0 ; 27) 
 
0,3x1 + 0,1x2 ≤ 2,7 
com o x2 = 0 para obter x1, fica: 
0,3x1 + 0 = 2,7 
x1 = 2,7 / 0,3 
x1 = 9 → P2 = (9 ; 0) 
Conferindo a viabilidade, e substituindo x1 e x2 por 0 temos que: 
0,3x1 + 0,1x2 ≤ 2,7 → 0,3*0 + 0,1*0 = 0 
0 é < que 2,7, logo, o ponto de origem (0 ; 0) satisfaz a desigualdade da 
equação, apresentando região de viabilidade abaixo da reta ( ↙ ). 
 
Agora, repetiremos o mesmo processo com a segunda restrição, para 
encontrarmos os pontos P3 e P4: 
0,5x1 + 0,5x2 = 6 
com o x1 = 0 para obter x2, fica: 
0 + 0,5x2 = 6 
x2 = 6 / 0,5 
x2 = 12 → P3 = (0 ; 12) 
 
0,5x1 + 0,5x2 = 6 
com o x2 = 0 para obter x1, fica: 
0,5x1 + 0 = 6 
x1 = 6 / 0,5 
x1 = 12 → P4 = (12 ; 0) 
Conferindo a viabilidade, e substituindo x1 e x2 por 0 temos que: 
0,5x1 + 0,5x2 = 6 → 0,5*0 + 0,5*0 = 0 
0 não é igual a 6, logo, o ponto de origem (0 ; 0) não satisfaz a desigualdade 
da equação, apresentando região de viabilidade acima da reta ( ↗ ). 
 
 
 
 
 
 
Faremos o mesmo processo com a terceira restrição, para encontrarmos os pontos 
P5 e P6: 
0,6x1 + 0,4x2 ≥ 6 
com o x1 = 0 para obter x2, fica: 
0 + 0,4x2 = 6 
x2 = 6 / 0,4 
x2 = 15 → P5 = (0 ; 15) 
 
0,6x1 + 0,4x2 ≥ 6 
com o x2 = 0 para obter x1, fica: 
0,6x1 + 0 = 6 
x1 = 6 / 0,6 
x1 = 10 → P6 = (10 ; 0) 
Conferindo a viabilidade, e substituindo x1 e x2 por 0 temos que: 
0,6x1 + 0,4x2 ≥ 6 → 0,6*0 + 0,4*0 = 0 
0 é < que 6, logo, o ponto de origem (0 ; 0) não satisfaz a desigualdade da 
equação, apresentando região de viabilidade acima da reta ( ↗ ). 
 
 Com isto, temos a seguinte representação geométrica, composta pelos 
conjuntos de soluções: 
 
 
 
 
P1
P2
P3
P4
P5
P60
5
10
15
20
25
30
0 2 4 6 8 10 12 14
x2
x1
Gráfico
b). Identifique o ponto ótimo. 
Para identificação do ponto ótimo, precisamos localizar os vértices da região 
de viabilidade, e reuni-los como apresentado abaixo: 
 
 
A = (0 ; 27) B = (0 ; 15) C = ??? D = ??? 
 
 No caso acima, será necessário determinar as coordenadas dos pontos C e 
D, uma vez que estes vértices se formaram a partir do cruzamento da linha verde 
com a linha azul (ponto C), e linha verde com linha rosa (ponto D). 
 Então, vamos determinar o ponto de encontro entre a reta verde (0,5x1 + 0,5x2= 6) e reta azul (0,6x1 + 0,4x2 = 6). Para isto, podemos utilizar os métodos de 
igualdade, adição ou substituição, para resolução do sistema. 
 Neste caso, faremos isto aplicando o método da adição no sistema gerado com 
as duas equações: 
0,6x1 + 0,4x2 = 6 
0,5x1 + 0,5x2 = 6 (– 0,8)  multiplicamos por uma constante negativa, de forma que 
esta converta pelo menos 1 das incógnitas, transformando-a no inverso aditivo da 
0
5
10
15
20
25
30
0 2 4 6 8 10 12 14
x2
x1
Gráfico
A 
B
 
C
 
D
 
outra equação. Isto é necessário, porque neste caso, o sistema é composto por 
incógnitas que não são opostos aditivos: 
 
 
0,6x1 + 0,4x2 = 6 
– 0,4x1 – 0,4x2 = – 4,8 
0,2x1 = 1,2 
x1 = 1,2 / 0,2 
x1 = 6 
 Agora, substituindo o x1 em qualquer uma das equações para determinar o x2, 
temos que: 
0,6x1 + 0,4x2 = 6 
0,6*6 + 0,4x2 = 6 
3,6 + 0,4x2 = 6 
0,4x2 = 6 – 3,6 
0,4x2 = 2,4 
x2 = 2,4 / 0,4 
x2 = 6 
 Portanto, o ponto C = (6 ; 6). Agora, seguindo o mesmo processo, 
encontraremos o ponto D. 
 Então, vamos determinar o ponto de encontro entre a reta verde (0,5x1 + 0,5x2 
= 6) e a reta rosa (0,3x1 + 0,1x2 ≤ 2,7). 
Da mesma forma como no caso anterior, utilizaremos o método da adição no 
sistema gerado com as duas equações: 
0,3x1 + 0,1x2 = 2,7 
0,5x1 + 0,5x2 = 6 (– 0,2)  multiplicamos por uma constante negativa 
 Assim, teremos o sistema com o inverso aditivo: 
0,3x1 + 0,1x2 = 2,7 
– 0,1x1 – 0,1x2 = – 1,2 
0,2x1 = 1,5 
x1 = 1,5 / 0,2 
x1 = 7,5 
 
 
Agora, substituindo o x1 em qualquer uma das equações para determinar o x2, temos 
que: 
0,3x1 + 0,1x2 = 2,7 
0,3*7,5 + 0,1x2 = 2,7 
2,25 + 0,1x2 = 2,7 
0,1x2 = 2,7 – 2,25 
0,1x2 = 0,45 
x2 = 0,45 / 0,1 
x2 = 4,5 
Portanto, o ponto D = (7,5 ; 4,5). Agora, estamos aptos para determinar o ponto ótimo, 
uma vez que já possuímos os pontos de cada vértice, referentes à área de viabilidade: 
A = (0 ; 27) B = (0 ; 15) C = (6 ; 6) D = (7,5 ; 4,5) 
 
Minimizar Z = 0,4x1 + 0,5x2 
A = (0 ; 27) = 0,4 * 0 + 0,5 * 27 = 13,5 
B = (0 ; 15) = 0,4 * 0 + 0,5 * 15 = 7,5 
C = (6 ; 6) = 0,4 * 6 + 0,5 * 6 = 2,4 + 3 = 5,4 
D = (7,5 ; 4,5) = 0,4 * 7,5 + 0,5 * 4,5 = 3 + 2,25 = 5,25 
 
 Logo, o ponto ótimo para minimizar Z corresponde a x1 = 7,5; x2 = 4,5. 
 
c). Qual o valor da função objetivo no ponto ótimo? 
 A função objetivo deste problema corresponde a: 
 
Z(min) = 0,4*7,5 + 0,5*4,5 = 5,25. 
 
Portanto, o valor ótimo desta função, corresponde a 5,25, conforme 
apresentado na função acima, bem como destacado na tabela supra apresentada.