Cálculo 3 UFPE - PROVA 2A UNIDADE - 2011.2 (RESOLVIDA)

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO
CCEN – DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA – A´REA2
CA´LCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 3
SEGUNDO EXERC´ICIO ESCOLAR. SEGUNDO SEMESTRE DE 2011
17 de outubro de 2011
Respostas sem ca´lculos ou justificativas na˜o sera˜o aceitas.
1a Questa˜o: Chama-se toro a` superf´ıcie obtida pela rotac¸a˜o da circunfereˆncia (y−b)2+z2 = a2, x = 0,
.
ao redor do eixo z, veja figura. Sempre que a < b, ela
pode ser parametrizada por
~r(θ, ϕ) =


x = (b+ a cos θ) cosϕ,
y = (b+ a cos θ) sinϕ,
z = a sin θ, θ, ϕ ∈ [0, 2π]
.
(a) Encontre dois vetores tangente a` superf´ıcie, no ponto (θ, ϕ), e calcule seus modulos. (0,5 pt.)
(b) Prove que ~rθ e ~rϕ sa˜o perpendiculares entre si e conclua que |~rθ × ~rϕ| = |~rθ| |~rϕ|. (1,0 pt.)
(c) Calcule a a´rea do Toro. (1,0 pt.)
(d) Sendo ρ(~r) = arctan( yx) a densidade superficial de massa, calcule sua massa total. (0,5 pt.)
Observac¸a˜o: Obtenha suas respostas em termos de a e b.
2a Questa˜o: Considere o campo vetorial ~F(x, y, z) = (x+ y2) iˆ + (y + z2) jˆ + (z + x2) kˆ e a superf´ıcie
plana ST delimitada pelo triaˆngulo com vertices em (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1).
(a) Calcule o rotacional do campo, ~∇× ~F . (0,5 pt.)
(b) Encontre e parametrize a superf´ıcie ST . (0,5 pt.)
(c) Encontre
∫
C
~F · d~r, onde C e´ a borda do triaˆngulo, percorrida no sentido antihorario. (1,0 pt.)
(d) Seja dada a superf´ıcie Sp formada pelos planos coordenados e limitada pela curva C.
Encontre
∫∫
SP
~∇× ~F · d~S. Justifique sua resposta. (1,0 pt.)
3a Questa˜o: Seja o campo vetorial ~E(~r) =
(
z − y
(x2 + y2 + z2)3/2
,
x− z
(x2 + y2 + z2)3/2
,
y − x
(x2 + y2 + z2)3/2
)
.
(a) Calcule a divergeˆncia do campo ~E. (0,5 pt.)
(b) Calcule o fluxo do campo vetorial atrave´s da superf´ıcie esfe´rica x2 + y2 + z2 = a2.
Dica: Em coordenadas cartesianas, encontre um vetor normal a` superficie esfe´rica e
prove que o campo ~E e´ tangente a` superf´ıcie esfe´rica. (1,0 pt.)
(c) Calcule o fluxo do campo vetorial atrave´s de uma superf´ıcie esfe´rica de raio b < 1 e
centrada no ponto (1,0,0). Podemos concluir o mesmo para b > 1. Em ambos casos
justifique. (1,5 pt.)
4a Questa˜o: Mostre que podemos calcular o volume de um corpo so´lido por meio de uma integral de
superf´ıcie. (1,0 pt.)
BOA PROVA!!!
Resposta 1a Questa˜o:
(a)
~rθ = (−a sin θ cosϕ, −a sin θ sinϕ, a cos θ)
|~rθ| =
√
a2 sin2 θ cos2 ϕ+ a2 sin2 θ sin2 ϕ+ a2 cos2 θ =
√
a2 sin2 θ + a2 cos2 θ = a
~rϕ =
(−(b+ a cos θ) sinϕ, (b+ a cos θ) cosϕ, 0)
|~rϕ| =
√
(b+ a cos θ)2 sin2 ϕ+ (b+ a cos θ)2 cos2 ϕ = b+ a cos θ.
(b) ~rθ · ~rϕ = −a sin θ cosϕ (b+ a cos θ) sinϕ+ a sin θ sinϕ (b+ a cos θ) cosϕ+ 0 = 0.
Logo o aˆngulo entre ~rθ e ~rϕ e´ igual a 90
◦ ⇒ |~rθ×~rϕ| = |~rθ| |~rϕ| sin 90◦ = |~rθ| |~rϕ|.
(c) Area=
∫∫
S
dS=
∫∫
Dθϕ
|~rθ| |~rϕ| dθ dϕ=
∫
2pi
0
∫
2pi
0
a (b+ a cos θ) dθ dϕ,
Area=
∫
2pi
0
[
a b θ + a2 sin θ
]2pi
0
dϕ=
∫
2pi
0
a b 2π dϕ = 4π2a b.
(d) A densidade de massa, ρ(~r) = arctan
(y
x
)
= arctan
(
sinϕ
cosϕ
)
= ϕ,
Massa=
∫∫
S
ρ(~r) dS=
∫
2pi
0
∫
2pi
0
ϕa (b+ a cos θ)dθ dϕ=
∫
2pi
0
ϕa b 2π dϕ = 4π3a b.
Resposta 2a Questa˜o:
(a) ~∇× ~F =
∣∣∣∣∣∣
iˆ jˆ kˆ
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
x+ y2 y + z2 z + x2
∣∣∣∣∣∣ = (0− 2z, 0− 2x, 0− 2y).
(b) ST e´ o plano x+y+z = 1, parametrizado por: ~r(x, y) = (x, y, 1−x−y),
{
0 ≤ y ≤ 1− x
0 ≤ x ≤ 1.
(c) A borda e´ um caminho fechado suave por partes orientado positivamente, o campo ~F tem
primeiras derivadas parcias cont´ınuas, logo podemos usar o Teorema de Stokes,
∮
C
~F · d~r =
∫∫
ST
~∇× ~F · d~S =
∫∫
Dxy
∣∣∣∣∣∣
−2 (1− x− y) −2x −2y
1 0 −1
0 1 −1
∣∣∣∣∣∣ dx dy
=
∫∫
Dxy
[−2y − 2 (1− x− y)− 2x] dy dx = −2
∫
1
0
[∫
1−x
0
dy
]
dx = −1.
(d) Observemos que sa˜o satisfeitas as condic¸o˜es do teorema de Stokes e ale´m disso as superf´ıcies
ST e SP teˆm como borda a mesma curva C, logo∫∫
SP
~∇× ~F · d~S =
∮
C
~F · d~r =
∫∫
ST
~∇× ~F · d~S = −1.
Isto e´, o fluxo de um campo rotacional na˜o depende dos valores que toma o campo na superf´ıcie,
se na˜o, apenas dos valores que toma o campo na borda da superf´ıcie.
Resposta 3a Questa˜o:
(a) ~∇ · ~E = −
3
2
2x (z − y)
(x2 + y2 + z2)5/2
+
−3
2
2 y (x− z)
(x2 + y2 + z2)5/2
+
−3
2
2 z (y − x)
(x2 + y2 + z2)5/2
= 0.
(b) ~r(x, y) =
{
(x, y,
√
a2 − x2 − y2) se z ≥ 0
(x, y,−
√
a2 − x2 − y2) se z < 0
~rx × ~ry =
∣∣∣∣∣∣∣∣
iˆ jˆ kˆ
1 0 −x√
a2−x2−y2
0 1 −y√
a2−x2−y2
∣∣∣∣∣∣∣∣
=
(
x√
a2 − x2 − y2
,
y√
a2 − x2 − y2
, 1
)
=
(x, y, z)
z
,
Sobre os pontos da esfera, x2 + y2 + z2 = a2, e
~E · ~rx × ~ry = ( z − y, x− z, y − x)
a3
· (x, y, z)
z
=
z x− y x+ x y − z y + y z − x z
a3z
= 0.
Logo o fluxo de ~E:
∫∫
©
Sa
~E · d~S =
∫∫
©
Sa
~E · ~rx × ~ry dx dy = 0.
Aqui na˜o podemos aplicar o teorema da divergeˆncia, pois ~E(0, 0, 0) na˜o esta definido.
(c) Neste caso o ponto (0, 0, 0) onde o campo ~E na˜o esta definido, se encontra fora da esfera Sb,
assim podemos aplicar o Teorema da divergeˆncia, de a´ı que∫∫
©
Sb
~E · d~S =
∫∫∫
Vb
~∇ · ~E dx dy dz =
∫∫∫
Vb
0 dx dy dz = 0.
Para b > 1 na˜o podemos aplicar o Teorema, pois o ponto (0, 0, 0) encontra-se dentro da esfera,
mas e´ possivel mostrar que na˜o so´ para esferas se na˜o tambe´m para qualquer superf´ıcie fechada,
suave e orienta´vel o fluxo do campo ~E e´ zero.
Resposta 4a Questa˜o: Obeservemos o Teorema da divergeˆncia; quando o argumento da
integral triple e´ a func¸a˜o constante 1, enta˜o temos o volumen do corpo so´lido. Para conseguir
isto e´ suficiente escolher um campo vetorial adecuado, entre muitos temos ~F = 1
3
(x, y, z).
V olume =
∫∫∫
V
1 dx dy dz =
∫∫∫
V
~∇ ·
[ (x
3
,
y
3
,
z
3
)]
dx dy dz =
∫∫
©
S
(x
3
,
y
3
,
z
3
)
· d~S.