P1 Física I (Prova + Gabarito) (2013.1)

Prévia do material em texto

UFRJ
– Campus Macaé –
Gabarito da Prova 1 de
Física 1
Primeiro semestre de 2013
1a¯ Q
2a¯ Q
3a¯ Q
4a¯ Q
Nota
[cf. Problemas 3–16 e 17]
Questão 1 (2,5 pontos)
Um estudante está sentado sobre uma plataforma a uma distância h acima do solo. Ele lança um grande
rojão horizontalmente com uma velocidade v. Entretanto, um vento que sopra paralelamente ao solo dá
ao artefato uma aceleração horizontal constante com módulo a. Isso faz com que o artefato caia no chão
diretamente sob o estudante.
(a) (1,5 ponto) Determine a altura h em termos de v, a e g.
A posição do artefato (num sistema de eixos xy com origem no solo, logo abaixo da posição de
lançamento) é dada por:
x(t) = vt− 12at
2 , (0,3)
y(t) = h− 12gt
2 . (0,3)
Observe que foram usadas as componentes do vetor aceleração ~A = −a~i− g~j, sendo −a a componente
horizontal.
É informado pelo enunciado que quando chega ao solo, y(t) = 0, o artefato encontra-se na origem,
x(t) = 0. Ou seja, deve-se impor que
0 =
(
v − 12at
)
t , (0,2)
0 = h− 12gt
2 . (0,2)
Utilizando a primeira equação para eliminar o tempo t, isto é, substituindo t =
√
2v/a =
√
2h/g na
segunda igualdade acima, chega-se a
h− 12g
(2v
a
)2
= 0 . (0,2)
Ou seja, pode-se expressar a altura de lançamento:
h = 2v
2g
a2
. (Resposta; 0,3)
(b) (1,0 ponto) Calcule a máxima distância horizontal percorrida pelo rojão em termos de v, a e g.
Primeiro determina-se em qual instante tmáx a componente horizontal da velocidade do rojão muda
de sentido devido ao vento,
v(tmáx) =
dx
dt
= v − atmáx = 0 ⇔ tmáx = v
a
=
√
h
2g . (0,3+0,3)
Em seguida basta calcular a posição xmáx = x(tmáx), que é dada por
xmáx =
v2
a
− v
2
2a =
v2
2a . (Resposta; 0,4)
Note que a altura em que o rojão inverte a componente x da velocidade é dada por y(tmáx) = 3h/4.
Despreze o efeito da resistência do ar sobre o movimento vertical.
[cf. Problema 4–13]
Questão 2 (2,5 pontos)
Em um movimento de um pêndulo cônico, são conhecidos o raio R do movimento circular uniforme da
partícula e a altura h do ponto de suspensão em relação ao plano do movimento, conforme mostra a figura
abaixo.
h
R
θ
θ
~P
~T
Usando como dados R, h e o módulo g da aceleração da gravidade, calcule:
(a) (2,0 pontos) O módulo v = |~v| da velocidade da partícula.
Há duas forças atuando sobre a partícula de massa m, a saber: a força peso ~P e a tensão no fio ~T .
Em cada ponto da trajetória circular pode-se decompor essas duas forças num eixo perpendicular ao
plano do movimento e a outra no plano de movimento. Observe que é possível expressar tg θ = R/h,
de maneira que as equações de Newton são dadas por:
T sen θ = ma‖ , (eixo ‖; 0,5)
T cos θ −mg = ma⊥ = 0 . (eixo ⊥; 0,5)
Note que o a⊥ = 0 pois o movimento ocorre num plano. Mais ainda, nesse movimento circular a
aceleração a‖ = v2/R desempenha o papel da aceleração centrípeta. Ao eliminar o valor de T nas
duas equações acima chega-se a
ma‖ = mg tg θ = m
v2
R
. (0,5)
Ou seja, o valor do módulo da velocidade v é dado por
v =
√
gR tg θ = R
√
g/h . (Resposta; 0,5)
(b) (0,5 ponto) O período T associado ao movimento circular uniforme do pêndulo.
O deslocamento total numa volta completa da partícula é 2piR. Portanto, período de revolução do
pêndulo cônico,
T = 2piR
v
= 2pi
√
h
g
, (Resposta; 0,5)
é determinado pela altura h do ponto de suspensão.
[cf. Problema 5–14]
Questão 3 (2,5 pontos)
Um pequeno bloco de massa m é colocado sobre um outro bloco de massa M . Admita que não há atrito
entre o bloco de massa M e o piso, e que o coeficiente de atrito estático entre os blocos vale µ.
M
m
~F
(a) (1,5 ponto) Calcule o módulo da força máxima ~F que, aplicada ao bloco de baixo, movimenta os
blocos sem que estes se desloquem relativamente um ao outro.
Analisam-se as forças que atuam em cada bloco: massa m, força peso ~Pm, forças de contato (entre os
blocos) normal ~R e atrito ~Fa; massa M , força peso ~PM , força ~F , força de contato (entre os blocos)
normal −~R e atrito −~Fa, força de contato normal ~N (entre o bloco M e o piso). Assim, tem-se as
componentes para o bloco m
Fa = ma , R−mg = 0 . (0,3+0,3)
e para o bloco M ,
F − Fa = Ma N −R−Mg = 0 . (0,3+0,3)
Como o movimento é solidário, as acelerações dos dois blocos é idêntica, am = aM = a (eixo x). Note
que o módulo da força de contato entre os blocos vale R = mg e que há a relação
F = Ma+ Fa = (1 +M/m)Fa . (0,2)
Visto que a força de atrito verifica a desigualdade(
1 + M
m
)−1
F = Fa ≤ µR = µmg , (0,2)
chega-se ao resultado
F ≤ (M +m)µg . (Resposta; 0,4)
Portanto, conclui-se que a força máxima para que não haja deslizamento entre os blocos é dada por
Fmáx = (M +m)µg.
(b) (0,5 ponto) Determine a aceleração do sistema quando a força máxima é aplicada.
A aceleração pode ser calculada a partir das equações de Newton,
a = Fmáx
M +m = µg . (Resposta; 0,5)
[cf. Problema 7–18]
Questão 4 (2,5 pontos)
Uma haste rígida de massa desprezível e comprimento L possui uma bola de massa m presa a uma das
extremidades, conforme mostra a figura abaixo. A outra extremidade está presa a um eixo O, de tal forma
que a bola pode se mover em uma circunferência vertical. Admita que não existe atrito no eixo.
L
OA
B
C
D
~v0
A bola é lançada para baixo a partir da posição horizontal A com velocidade v0 e chega exatamente ao
ponto D antes de parar.
(a) (1,0 ponto) Determine o valor do módulo do vetor velocidade v0 em termos de L, m, e g.
Como não há atrito no eixo, pode-se aplicar a conservação de energia, posto que
∆E = Wnc = 0 , (0,3)
(o trabalho realizado pela força de tensão na haste é nulo, WT = 0). Considerando que a energia
potencial gravitacional é nula a uma altura igual a do segmento de reta AC, ou seja, U(A) = U(C) = 0,
tem-se U(D) = mgL = −U(B). As energias mecânicas nos pontos A e D são, respectivamente:
E(A) = 12mv
2
A + U(A) =
1
2mv
2
0 , (0,2)
E(D) = 12mv
2
D + U(D) = mgL . (0,2)
Devido a conservação, ∆E = E(D)− E(A) = 0, conclui-se que
v0 =
√
2gL . (Resposta; 0,3)
(b) (1,5 ponto) Calcule a tensão na haste quando bola passa pelo ponto B.
No ponto B da trajetória da bola, a força resultante desempenha o papel da força centrípeta,
TB −mg = mv
2
B
L
. (0,5)
Aplicando a conservação de energia mecânica, ∆E = E(B)− E(A) = 0, em que
E(A) = 12mv
2
A + U(A) =
1
2mv
2
0 , (0,0)
E(B) = 12mv
2
B + U(B) =
1
2mv
2
B −mgL . (0,2)
determina-se a velocidade da bola em B,
vB =
√
v20 + 2gL = 2
√
gL . (0,3)
Portanto, a tensão na haste é dada por
TB = mg +m
v2B
L
= 5mg . (Resposta; 0,5)