119 EP15 CIII 2007 1 aluno

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Fundaçăo Centro de Cięncias e Educaçăo Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro 
Centro de Educaçăo Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro 
 
Rua Visconde de Niterói, 1364 – Mangueira - Rio de Janeiro / RJ – CEP: 20943-001 
 
Cálculo III 
Exercícios Programados 15 – versăo aluno 
 
 
1) As três equações 
2 2
2 2 2
cos( ) 0
( ) 2 2 0
cos 0
x y uv z
x y sen uv z
xy senu v z
− + =
+ − + −
 
=
− + =
 
 
 
definem x, y e z como função de u e v. 
Determine, usando o Teorema da Função Implícita, 
x
u
∂
∂ e 
x
v
∂
∂ em x = y = 1, 
u = 
2
π
, v = 0, z = 0. 
 
 
2) As equações 
 
2
2 2 1
2 1 0
0
0x y z u v
xy z u v
yz xz u v
+ + + − − =
+ − + − =
+ + + =
 
 
numa vizinhança de (x,y,z,u,v) = (1,1,-1,1,1) definem x, y e z como funções de u e v. 
 
a) Determine a matriz da diferencial da função definida implicitamente 
 
( , )
( , ) ( , ) ( , ) (1,1)
( , )
x x u v
y y u v f u v em u v
z z u v
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
b) A função f define parametricamente uma superfície no espaço (x,y,z). 
Determine o plano tangente a ela no ponto (1,1,-1). 
 
 
Tel: (021) 2299-4565 Fax: (021) 2568-0725 
http://www.cederj.edu.br e-mail: cederj@cederj.rj.gov.br 
 
 
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3) Determine a função afim que melhor aproxima a inversa da função 
numa vizinhança do ponto . ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
+
++=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
yx
yxyx
y
x
f 2
23 2 ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
1
1
f
 
(continua na próxima página...) 
 
4) Suponhamos que a função T definida por tem uma 
função inversa diferenciável S definida por . Se 
, e , calcule 
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
),(
),(
yxg
yxf
y
x
T
v
u
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
),(
),(
vuk
vuh
v
u
S
y
x
3)2,1( =f 4)2,1( =g ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛=
74
53
)2,1('T )4,3(
v
h
∂
∂
. 
 
 
5) Seja ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
+
++=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
3
22 10
vu
vvuu
v
u
f
a) Mostre que tem inversa na vizinhança do ponto . f 1−f ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
1
1
b) Calcule um valor aproximado de . ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛−
2,2
8,111f
 
 
 
Um abraço fraterno, 
e até a próxima. 
Prof. Wanderley. 
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