GEOMETRIA ANALÍTICA NO PLANO CARTESIANO

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GEOMETRIA ANALITICA NO PLANO - 1ARQN E 1 ENGN 
 
1. PLANO CARTESIANO 
Por volta do século III a.C. Apolônio utilizou um sistema de coordenadas sob o nome de 'plano 
conjugado' para fazer a representação gráfica de funções. O sistema que adotamos atualmente foi 
desenvolvido por Descartes, e o nome deste sistema 'cartesiano' vem do pseudônimo que ele usava 
Cartesius. 
 
O referencial cartesiano é dado da seguinte forma: 
 Duas retas reais perpendiculares chamadas de eixos, sendo seu ponto de intersecção adotado 
como origem de ambas. Sendo o eixo horizontal denominado Eixo das abscissas e o vertical Eixo das 
coordenadas. 
 
 
Para a localização de um ponto no Plano Cartesiano, basta ter o conhecimento de suas 
coordenadas, ou seja, seu valor correspondente para x e para y. 
 
Assim, o ponto A(5,1) e o ponto B(1,3) são representados da seguinte forma: 
 
 
 
2. DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS 
Distância entre dois pontos que são extremidades de um segmento paralelo a um dos eixos do plano 
cartesiano. 
Dados os pontos A e B extremos de um segmento paralelo ao eixo Ox, verificamos que A e B tem a mesma 
ordenada y. 
 
 
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Desta forma temos que a distância entre A e B será dada pelo módulo da diferença entre suas abscissas. 
d(A,B)= (xA-xB) 
 
Exercício Resolvido: 
 
Calcular a distância entre os pontos dados no seguinte caso: 
 
 
 
Temos que os pontos A e B são extremidades de um segmento paralelo ao eixo Ox, Sendo A(1,2) e 
B(3,2). Logo, 
d(A, B)= |1-3| 
d(A, B)=2 
 
Analogamente, se dois pontos C e D são extremos de um segmento paralelo ao eixo Oy, verificamos 
que ambos possuem a mesma abscissa x. 
 
 
Desta forma temos que a distância entre C e D será dada pelo módulo da diferença entre suas 
ordenadas. 
d(A,B)= |yC-yD| 
Exercício Resolvido: 
 
Calcular a distância entre os pontos dados no seguinte caso: 
 
 
 
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Os pontos C e D estão na extremidade de um segmento paralelo ao eixo Oy, sendo C(2,3) e D(2, -1). Logo, 
 
 d(C,D)= |3-(-1)| 
d(C,D)=4 
 
 
Distância entre dois pontos que não são extremidades de segmento paralelo a eixos do plano cartesiano. 
Para encontrarmos a distância entre dois pontos, podemos lançar mão do teorema de Pitágoras, ou 
seja, a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa. 
 
 
 
a²+b²=c² 
 
Para encontrarmos a medida do lado a basta fazermos 3-1=2 e a medida do lado b=5-1=4 e a 
hipotenusa c é a distância entre os pontos A e B que desejamos encontrar. Desta forma teremos 
 
 
 
 
 
Podemos desta forma definir que para quaisquer dois pontos no plano, C(x,y) e D(x0, y0), vale a equação 
 
 
Demonstração 
 
 
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Dados os pontos C(x,y) eD(x0, y0) e de acordo com a figura anterior, temos à partir do Teorema de 
Pitágoras que 
 
 
 
Sendo c=d(C,D) e Atribuindo as medidas de a e b, teremos: 
 
 
 
Exercício Resolvido: 
 
Calcular a distância entre os pontos dados no seguinte caso: 
 
Para resolvermos este exercício, teremos que usar o Teorema de Pitágoras, ou seja, para E(-1,1) e F(2,1) 
teremos 
 
 
 
 
 
3. PONTO MÉDIO DE UM SEGMENTO 
 
 
 
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4. CONDIÇÃO DE ALINHAMENTO DE 3 PONTOS 
Três pontos estarão alinhados se e somente se pertencerem à mesma reta. 
 
Para verificarmos se os pontos pertencem à mesma reta, podemos seguir dois caminhos. O primeiro é verificar se os pontos 
atendem a equação da reta em questão. O segundo modo é calcular o determinante da matriz 3x3, onde as coordenadas dos pontos são 
colocadas nas duas primeiras colunas e a terceira coluna é composta apenas pelo número um em todas as suas posições como 
mostramos a seguir: 
 
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 As coordenadas dos pontos A, B e C são: 
 
 
Quando calculamos o determinante, se o resultado for nulo, os pontos estarão alinhados, caso contrário não. 
 
Exemplo: Verificar se os seguintes pontos estão alinhados: 
 
(a) A(1,2), B(3,3) e C(5,4) 
 
(b) D(2,5), E(1,3) e F(5,1) 
 
 
 
 
 
 
http://3.bp.blogspot.com/-JqVG88OHsQU/VR7F1SHJgUI/AAAAAAAAGL4/l1EaCx27Olc/s1600/alinhamento+3+pontos+1.png
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5. ÁREA DO TRIÂNGULO 
Se três pontos A, B e C do plano cartesiano não estão alinhados, então eles formam um triângulo. 
Para saber a área deste triângulo, começamos calculando o determinante com suas coordenadas: 
D = [
 
 
 
] 
Assim, a área do triângulo é calculado como: 
A=||
 
 
| 
Sendo que |D|| corresponde ao módulo de D; em outras palavras, se o determinante der resultado negativo, 
deixe positivo e depois divida por 2 para obter a área do triângulo. 
 
LISTAGEM DE EXERCÍCIOS: 
 
1. Calcule a distancia ente os pontos dados: 
a) A(3,7) e B(1,4) b)E(3,-1) e F(3,5) c)H(-2,-5) e O(0,0) 
 
2. Calcule a distância do ponto P(8,-6) à origem(0,0). Faço UM ESBOÇO NO PLANO CARTESIANO 
 
3. A distancia do ponto A(a,1) ao ponto B (0,2) é igual a 3. Calcule o valor da abscissa a. 
 
4. Determine os valores de m para os quais a distância entre A(m – 1, 3) e B(2, -m) é 6 
 
5. Um ponto P(x,0) é equidistante dos pontos A(-1,2) e B(1,4). Calcule o valor de x. 
 
6. Demonstre que um triangulo com os vértices A(0,5), B(3,-2) e C(-3,-2) é isósceles e calcule o seu 
perímetro. 
 
7. Na arquitetura, a Matemática é usada a todo o momento. A Geometria é especialmente necessária no 
desenho de projetos. Essa parte da Matemática ajuda a definir a forma dos espaços, usando as 
propriedades de figuras planas e sólidas. Ajuda também a definir as medidas desses espaços. Uma 
arquiteta é contratada para fazer o jardim de uma residência, que deve ter formato triangular. 
Analisando a planta baixa, verifica-se que os vértices possuem coordenadas A (8, 4), B (4, 6) e C (2, 4). 
No ponto médio do lado formado pelos pontos A e C, é colocado um suporte para luminárias. 
Considerando o texto e seus conhecimentos, determine, em unidades de comprimento, a distância do 
suporte até o ponto B. 
 
 
8. Calcule a área do triângulo de vértices A (2,4), B (3,8) e C (– 2, 5). 
 
9. Calcule a área do triângulo abaixo, em cm3, utilizando a Geometria Analítica. 
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10. Calcule a coordenada x do ponto A = (x,1) e do ponto B (x,2) sabendo que as coordenadas do ponto C 
são (4,2), que eles não são colineares e que a área do triângulo formado por eles é igual a 3. 
 
11. Na atualidade, o amplo conhecimento das necessidades do solo e das plantas, associado aos 
equipamentos e à pesquisa genética de cultivos (plantas especializadas para serem produzidas em solos 
e clima específicos), alavancou os estudos de combinação de cultivos para um patamar de 
conhecimentos altamente especializados. Assim, como o auxílio do Global Position System (GPS) e da 
análise do solo feito em escala de detalhe, é possível produzir várias culturas ao mesmo tempo em 
espaços que, anteriormente, sequer eram cogitados para esse tipo de atividade. Com a ajuda do GPS, 
podemos, por exemplo, calcular a área de desmatamento de um determinado local. Geólogos de certo 
estados sobrevoaram determinado local e avistaram um desmatamento. Por meio do GPS, localizaram 
os seguintes pontos cartesianos: (3; 4); (6; - 1); (0: 3) e (2; 0). A área do desmatamento descoberta pelos 
geólogos, em km2 , foi de: 
 A) 28 B) 3,5 C) 14 D) 17,5 E) 7