EP8 CIII 2012 2 Aluno

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
EP8 – CA´LCULO III – 2012-2
Exerc´ıcio 1 Seja 퐶 a curva obtida pela intersec¸a˜o do cilindro 푥2 + 푦2 = 2푦 e o parabolo´ide
푧 = 4− (푥2 + 푦2).
(a) Determine uma parametrizac¸a˜o para 퐶.
(b) Fac¸a um esboc¸o de 퐶.
(c) Determine a equac¸a˜o da reta tangente a curva a 퐶, que seja perpendicular ao plano 푥−푦+2푧 = 4.
(d) Determine o comprimento da curva obtida como projec¸a˜o de 퐶 no plano-푥푦.
Exerc´ıcio 2 Considere a func¸a˜o real 푓 , de duas varia´veis reais, tal que
푓(푥, 푦) =
√
1− 푥2 − 푦
2
9
.
(a) Determine o dom´ınio de 푓 e esboce-o.
(b) Determine a imagem de 푓 , 퐼푚(푓).
(c) Determine a curva de n´ıvel de 푓 que passa pelo ponto (0, 2) e esboce-a no mesmo gra´fico do
item (a).
(d) Fac¸a um esboc¸o do gra´fico de 푓 .
(e) Calcule as derivadas parciais
∂푓
∂푥
,
∂푓
∂푦
(f) Seja 퐶 a curva de intersec¸a˜o do gra´fico de 푓 com o plano 푦 = 2. Determine a equac¸a˜o da reta
tangente a C no ponto 푃
(1
2
, 2,
√
11
6
)
.
Exerc´ıcio 3 Seja 푓(푥, 푦) =
⎧⎨
⎩
푥3푦4/3
푥4 + 푦4
, se (푥, 푦) ∕= (0, 0)
0, se (푥, 푦) = (0, 0).
Prove que 푓 e´ cont´ınua em ℝ2.
Exerc´ıcio 4 Seja
푓(푥, 푦) =
⎧⎨
⎩
(푥2 + 푦2)푠푒푛
(
1√
푥2 + 푦2
)
, se (푥, 푦) ∕= (0, 0)
0, se (푥, 푦) = (0, 0)
.
(a) Calcule
∂푓
∂푥
(푥, 푦) e
∂푓
∂푦
(푥, 푦).
CA´LCULO III EP8 2
(b) Mostre que
∂푓
∂푥
e
∂푓
∂푦
na˜o sa˜o cont´ınuas em (0, 0).
(c) Prove que 푓 e´ diferencia´vel em (0, 0).
(d) Prove que 푓 e´ diferencia´vel em ℝ2.
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