Lista 5 - Variáveis Aleatórias com distribuição conjunta

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Estat´ıstica e Probabilidade - Quinta Lista - Rio, 25/09/2018
1. Suponha que a func¸a˜o de probabilidade conjunta de X e Y seja dada por
p(x, y) =
{
c|x+ y|, x = −2,−1, 0, 1, 2, y = −2,−1, 0, 1, 2
0, caso contra´rio
. Pede-se
(a) o valor da constante c;
(b) a func¸a˜o de probabilidade marginal de X;
(c) P (|X − Y | ≥ 1).
2. Considere o lanc¸amento de dois dados balanceados e definaX1 =mı´nimo obtido e X2=ma´ximo obtido.
(Quando ha´ empate faz-se X1 = X2.) Pede-se:
(a) a func¸a˜o de probabilidade conjunta de X1 e X2;
(b) as func¸o˜es de probabilidade marginais de X1 e X2.
(c) X1 e X2 sa˜o varia´veis aleato´rias independentes? Por que?
(d) Calcule P (X1 +X2 > 9)
(e) a func¸a˜o de probabilidade condicional de X1 dado X2 = 4;
(f) a func¸a˜o de probabilidade condicional de X2 dado X1 = 4.
3. Uma urna conte´m treˆs bolas numeradas de 1 a 3. Duas bolas sa˜o retiradas ao acaso e sem reposic¸a˜o.
Sejam X o nu´mero da primeria bola retirada e Y o nu´mero da segunda. Calcule P (X < Y ).
4. Suponha que o par de varia´veis aleato´rias X e Y tenha densidade de probabilidade conjunta dada
por f(x, y) =
{
Kx(x− y), 0 < x < 2,−x < y < x
0, caso contra´rio
. Pede-se
(a) o valor da constante K;
(b) a densidade marginal de X;
(c) a densidade marginal de Y .
5. Suponha que o par de varia´veis aleato´rias X e Y tenha densidade de probabilidade conjunta dada
por f(x, y) =
{
x2 + xy
3
, 0 < x < 1, 0 < y < 2
0, caso contra´rio
. Pede-se
(a) P (X > 1/2);
(b) P (Y < X);
(c) P (Y < 1/2|X < 1/2).
6. Suponha que os tempos que dois alunos, A e B, levam para resolver um problema sejam independentes
e identicamente distribu´ıdos segundo uma exponencial(λ). Calcule a probabilidade de que A leve um
tempo pelo menos duas vezes maior do que o tempo que B leva para resolver este problema.
7. Um ponto e´ selecionado ao acaso de acordo com uma distribuic¸a˜o uniforme no quadrado de ve´rtices
(0,1), (1,0), (0,-1) e (-1,0). Sejam X e Y as coordenadas do ponto escolhido. Pede-se:
(a) a densidade de probabilidade conjunta de X e Y ;
(b) as densidades marginais de X e Y .
(c) X e Y sa˜o independentes? Justifique.
8. Exatamente como no problema anterior, exceto que agora o ponto e´ escolhido uniformemente no
triaˆngulo de ve´rtices (1,0), (3,0) e (1,3).
9. Considere realizac¸o˜es independentes de um ensaio de Bernoulli com paraˆmetro p. Sejam X o nu´mero
de realizac¸o˜es ate´ a ocorreˆncia do primeiro sucesso e Y o nu´mero de realizac¸o˜es ate´ a ocorreˆncia do
quarto sucesso. Pede-se
(a) a func¸a˜o de probabilidade conjunta de X e Y ;
(b) as func¸o˜es de probabilidade marginais de X e Y .
(c) X e Y sa˜o independentes? Justifique.
(d) Calcule P (Y −X = 3).
10. As varia´veis aleato´rias X e Y teˆm densidade conjunta de probabilidade dada por
f(x, y) =
{
xe−x(y+1), x > 0, y > 0
0, caso contra´rio
.
Determine as densidades de probabilidade marginais de X e Y .
11. Sejam X e Y independentemente distribu´ıdas tais que X ∼ exponencial(λ) e Y ∼ Uniforme(−λ, λ).
Determine a func¸a˜o de distribuic¸a˜o acumulada conjunta de X e Y .
12. Sa varia´veis aleato´rias X e Y teˆm densidade conjunta de probabilidade dada por
f(x, y) =
{
λ2e−λy, 0 < x < y
0, caso contra´rio
.
Determine as densidades de probabilidade marginais de X e Y .
13. Um gerador de d´ıgitos aleato´rios produz, idealmente, os d´ıgitos 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 com probabilidades
1
10
. Ale´m disso, se o gerador produz d´ıgitos sequencialmente, eles sa˜o independentes. Defina X1 como
o primeiro d´ıgito produzido e X2, o segundo. Determine a func¸a˜o de probabilidade conjunta de X1
e X2. Suponha que os dois d´ıgitos gerados sejam usados para definir as duas casas decimais de um
nu´mero entre 0 e 1 (0, X1X2). Calcule a probabilidade de que o nu´mero gerado seja menor do que
1/3.
14. As varia´veis aleato´rias X e Y teˆm densidade conjunta de probabilidade dada por
f(x, y) =
{
xe−x(y+1), x > 0, y > 0
0, caso contra´rio
.
Determine as densidades de probabilidade condicionais de X dado Y = y, y > 0 e de Y dado X = x,
x > 0.
15. As varia´veis aleato´rias X e Y teˆm densidade conjunta de probabilidade dada por
f(x, y) =
{
1
x
, 0 < y < x, 0 < x < 1
0, caso contra´rio
. Calcule
(a) P (X < 2/3|Y = 1/4);
(b) P (Y > 1/3|X = 4/5).
16. Sejam X e Y varia´veis aleato´rias discretas cuja func¸a˜o de probabilidade conjunta e´ dada por
p(x, y) =

2
n(n+ 1)
, x = 1, ..., n y = 1, ..., x
0, caso contra´rio
Pede-se as func¸o˜es de probabilidade condicionais de X dado Y = y e de Y dado X = x.
As v.a’s X e Y sa˜o identicamente distribu´ıdas? As v.a’s X e Y sa˜o independentes? Explique.
17. Suponha que X e Y tenham densidade conjunta de probabilidade dada por
f(x, y) =

3
2
√
x
, 0 < y < x < 1
0, caso contra´rio
Pede-se
(a) a densidade condicional de X dado Y = 1/2;
(b) a densidade condicional de Y dado X = 1/2.
18. Uma palavra codificada conte´m 5 d´ıgitos, cada um do tipo 0 ou 1; para ser va´lida a palavra deve
conter exatamente treˆs 1´s e dois 0´s. Uma palavra e´ selecionada ao acaso entre as palavras de
co´digo va´lido. Defina X1 como o primeiro d´ıgito da palavra selecionada (o d´ıgito mais a` esquerda) e
X2 como o segundo d´ıgito da palavra selecionada. Obtenha a func¸a˜o de probabilidade conjunta de
X1 e X2 e determine a func¸a˜o de probabilidade condicional de X1 dado X2 = 0.
19. Seja X uma varia´vel aleato´ria Uniforme(0, 1) e suponha que a distribuic¸a˜o condicional de Y dado
X = x seja uma Uniforme(0, x), 0 < x < 1. Pede-se a densidade marginal de Y .
20. Seja X uma varia´vel aleato´ria Gama(α, β) e suponha que a distribuic¸a˜o condicional de Y dado X = x
seja uma Exponencial(x), x > 0. Pede-se a densidade condicional de X dado Y = y, y > 0.