Física 3 UFPE - PROVA 3A UNIDADE - 2010.1 (RESOLVIDA)

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Disciplina de F´ısica Geral 3 (FI108)
Terceiro Exerc´ıcio Escolar
30 de junho de 2010 – In´ıcio: 11:00 hs – durac¸a˜o: 2:00 horas
Na˜o sera´ permitido nem necessa´rio o uso de calculadoras.
Justifique claramente todas as suas respostas. Respostas sem os respectivos ca´lculos na˜o sera˜o
consideradas.
Use µ0 = 4pi × 10−7 (T·m/A) e ~g = 10 m/s2, se necessa´rio.
1) Uma part´ıcula de carga q e massa m entra em uma regia˜o de campo magne´tico uniforme, ~B = Bzˆ, onde
B = 0, 50 T, com velocidade inicial ~v = xˆvx + zˆvz, conforme mostrado na figura. Sabe-se que, em um intervalo
de tempo ∆t = 1, 0×10−6 s, a part´ıcula percorre uma distaˆncia vertical ∆z = 10 cm, enquanto completa N = 5
B
v
g
voltas circulares de raio R = 0, 40 m.
(a) (0,5) Calcule a componente vertical, vz, da velocidade inicial da part´ıcula.
(b) (1,0) Calcule o per´ıodo, T , para que a part´ıcula realize uma volta completa.
A partir deste, determine a componente perpendicular a ~B, vx, da velocidade
inicial, ~v.
(c) (1,0) Encontre a raza˜o entre a massa e a carga, i.e.,
m
q
, para essa part´ıcula.
(d) (1,0) Qual e´ a raza˜o entre forc¸a magne´tica e o mo´dulo da forc¸a gravitacional
sobre a part´ıcula, i.e.,
~FB
Fg
? Expresse sua resposta na forma vetorial, no
instante em que a part´ıcula tem velocidade ~v = xˆvx + zˆvz.
2) Um fio condutor de sec¸a˜o reta circular de raio a transporta uma densidade de corrente paralela
x
y(A)
z
y
-L L
P1
(B)
r
ao eixo z, dada por ~j(~r) =
2I
pia2
[
1−
( r
a
)2]
zˆ, para r ≤ a, onde r representa a
distaˆncia radial ao eixo de simetria do fio [ver figura (A)].
Nos itens (a) e (b) a seguir, considere o fio infinito. Determine o mo´dulo da induc¸a˜o
magne´tica, B(r), para:
(a) (1,0) r ≥ a.
(b) (1,0) r ≤ a.
No pro´ximo item, considere o fio condutor finito, de comprimento 2L, conforme
mostra a figura (B). O fio esta´ alinhado ao eixo z e transporta uma corrente I.
(c) (1,5) Calcule ~B no ponto P1, localizado em z = 0 e a uma distaˆncia r = y > a
do fio. Mostre que a diferenc¸a entre este caso e o do item (a) decresce quando
o valor de |L/r| cresce, portanto, tendendo ao de um fio infinito, quando L� r.
Expresse sua resposta em termos das grandezas dadas no enunciado.
3) Uma espira de a´rea A se encontra em um regia˜o de campo magne´tico uniforme, ~B = zˆB (B = constante),
e gira em torno do eixo x com velocidade angular, ω =
dφ
dt
, constante (conforme mostra a figura). A espira
x
y
z
n
�
possui resisteˆncia R.
(a) (1,0) Encontre o fluxo magne´tico (como func¸a˜o do tempo) atrave´s da espira.
(b) (1,0) Determine a forc¸a eletromotriz na espira.
(c) (1,0) Quais sa˜o a corrente induzida e o momento magne´tico dipolar da espira?
(d) (0,5) Calcule a poteˆncia dissipada na espira por efeito Joule.
(e) (0,5) Calcule o trabalho δW que deve ser realizado sobre a espira para que
esta gire de uma aˆngulo δφ. A partir de δW encontre a taxa de variac¸a˜o no
tempo com que trabalho deve ser exercido sobre a espira
δW
δt
para que esta
gire com velocidade angular ω. Compare o resultado com aquele encontrado
no item (d).
Expresse sua resposta em termos das grandezas dadas no enunciado.
Integral que pode lhe ser u´til:∫
dt
(γ2 + t2)
3/2
=
1
γ2
t√
γ2 + t2
GABARITO
1)
(a) (0,5) Temos que ∆z = vz∆t− 1
2
g∆t2, ou seja
vz =
∆z
∆t
+
g
2
∆t =
0, 10m
10−6 s
+ 5× 10−6m/s ≈ 105m/s
(b) (1,0) O per´ıodo e´ igual ao tempo decorrido dividido pelo nu´mero de voltas completas, i.e.,
T = ∆t
N
=
10−6 s
5
= 2× 10−7 s
vx, tem mo´dulo constante, pois a forc¸a magne´tica modifica apenas a direc¸a˜o da componente de ~v perpen-
dicular a` ~B. Logo,
vx =
2piR
T = 4pi × 10
6m/s ≈ 1, 26× 107m/s
(c) (1,0) A forc¸a magne´tica sobre a part´ıcula tem mo´dulo FB = qvxB, direc¸a˜o e sentido apontando para dentro
de uma trajeto´ria circular perpendicular ao eixo z. Desta forma, ~FB e´ a forc¸a centr´ıpeta que atua sobre
a part´ıcula, i.e.,
qvxB =
mv2x
R
∴
m
q
=
RB
vx
=
BT
2pi
=
0, 5T× 2× 10−7 s
2pi
=
10−7
2pi
Kg
C
≈ 1, 6× 10−8 Kg
C
(d) (1,0) A forc¸a magne´tica e´ dada por ~FB = q~v × ~B = qvxBxˆ× zˆ = −qvxByˆ. Dividida pelo mo´dulo da forc¸a
gravitacional, temos
~FB
Fg
= −yˆ qvxB
mg
= −yˆ q
m
2piR
T
B
g
= −yˆ 2pi
BT
2piR
T
B
g
= −yˆ 4pi
2R
T 2g = −4× 10
13yˆ
2)
(a) (1,0) Para r ≥ a, a lei de Ampe`re fornece∮
c
~B · d~l = µ0i
onde a integrac¸a˜o e´ realizada sobre um caminho circular de raio r ≥ a, c, e i e´ a corrente total que
atravessa a superf´ıcie, S, delimitada por c. Esta corrente e´ dada por:
i =
∫
S
~j · d~S =
∫ a
0
2pirdr
2I
pia2
[
1−
( r
a
)2]
que, fazendo u = 1−
( r
a
)2
, du = −2rdr
a2
, nos da´
i = −4I
a2
a2
2
∫ 0
1
du u = I
Logo,
∮
c
~B · d~l = B 2pir = µ0I ∴ B(r ≥ a) = µ0I
2pir
(b) (1,0) Para r ≤ a, a lei de Ampe`re fornece∮
′
c
~B · d~l = µ0i′
onde a integrac¸a˜o e´ realizada sobre um caminho circular de raio r ≤ a, c′, e i′ e´ a corrente total que
atravessa a superf´ıcie, S′, delimitada por c′. Esta corrente e´ dada por:
i′ =
∫
′
S
~j · d~S =
∫ r
0
2pirdr
2I
pia2
[
1−
( r
a
)2]
que, fazendo u = 1−
( r
a
)2
, du = −2rdr
a2
, nos da´
i′ = −4I
a2
a2
2
∫ 1− r2
a
2
1
du u = I
[
1−
(
1− r
2
a2
)2]
= 2I
r2
a2
(
1− r
2
2a2
)
Portanto,
∮
′
c
~B · d~l = B 2pir = µ02I r
2
a2
(
1− r
2
2a2
)
∴ B(r ≤ a) = µ0Ir
pia2
(
1− r
2
2a2
)
(c) (1,5) O ponto ~r = ryˆ e´ onde se deseja saber o campo magne´tico, ~B. Para isto, tomemos um elemento de
corrente no fio, Id~l = Idz′ zˆ, na posic¸a˜o ~r′ = z′ zˆ. Desta forma, utilizando Biot-Savart,
~B =
µ0
4pi
∫ L
−L
Id~l × (~r − ~r′)
|~r − ~r′|3 =
µ0
4pi
∫ L
−L
Idz′ zˆ × (r yˆ − z′ zˆ)
(r2 + z′2)
3/2
== xˆ
µ0Ir
4pi
∫ L
−L
dz′
(r2 + z′2)
3/2
A u´ltima integral pode ser resolvida com o aux´ılio da integral fornecida no final da prova,∫
dt
(γ2 + t2)
3/2
=
1
γ2
t√
γ2 + t2
Portanto,
~B = −yˆ µ0Ir
4pir2
(
L√
L2 + r2
− −L√
L2 + r2
)
= −yˆ µ0I
2pir
(
L√
L2 + r2
)
A diferenc¸a entre este resultado e o do item (a) e´
B(a) −B(c) = µ0I
2pir
(
1− 1√
1 + (r/L)2
)
=
µ0I
2pir
[
1− 1 + 1
2
( r
L
)2]
=
µ0I
2pir
1
2
( r
L
)2
que tende a zero quando L/r →∞. Acima, utilizamos o fato que limx→0 1√
1 + x
→ 1− 1
2
x
3)
(a) (1,0) O fluxo magne´tico atrave´s da espira e´ dado por
Φ =
∫
A
~B · d~S = BA cosφ = BA cos(ωt)
(b) (1,0) A forc¸a eletromotriz na espira e´ dada pela lei de Faraday
E = −dΦ
dt
= −BA(−ω sen (ωt)) = BAω sen (ωt)
(c) (1,0) A corrente induzida e´ dada por
iind =
E
R
=
BAω sen (ωt)
R
O momento magne´tico dipolar e´ definido por ~µ = NiAnˆ, onde N e´ o nu´mero de espiras (neste caso N = 1),
i = iind, A e´ a a´rea da espira e nˆ e´ o vetor normal a` a´rea da espira (com sentido dado pelo sentido de
circulac¸a˜o de i). Portanto,
µ = iindAnˆ = nˆ
BA2ω sen (ωt)
R
(d) (0,5) A poteˆncia dissipada por efeito Joule e´ igual a P = Eiind. Ou seja
P = (BAω sen (ωt))
2
R
(e) (0,5) O trabalho δW realizado sobre a espira para que esta gire de um aˆngulo δφ e´ dado por δW = τδφ,
onde τ e´ o mo´dulo do torque que provoca uma rotac¸a˜o de δφ em torno do eixo x. Mas o torque sobre
uma espira e´ dado por ~τ = ~µ× ~B, cujo mo´dulo e´ τ = µB senφ = µB sen (ωt). Logo,
δW = (BA sen (ωt))2 ω
R
δφ
A taxa com que δW e´ exercido em func¸a˜o do tempo e´
δW
δt
= (BA sen (ωt))
2 ω
R
δφ
δt
=
(BAω sen (ωt))
2
R
que e´ igual a` poteˆncia dissipada por efeito Joule.