Física 3 UFPE - PROVA 3A UNIDADE - 2010.2 (RESOLVIDA)

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Questão 1: a) (1,5 pt) Uma espira circular de raio R possui corrente elétrica i, conforme 
mostra a figura ao lado. Calcule o campo magnético (módulo, direção e sentido) em um 
ponto P sobre o eixo de simetria da espira (considere a espira no plano z = 0, com seu 
eixo de simetria ao longo do eixo z);
b) (1,5 pt) Um solenóide ideal (de comprimento muito maior do que o diâmetro das 
espiras) possui comprimento h e N espiras. Cada espira é percorrida por uma corrente 
i. Determine o campo magnético no interior do solenóide.
Questão 2: Um cabo coaxial é formado por dois cilindros concêntricos de 
paredes finas de raios r1 e r2 e comprimento h (h >> r2), conforme mostra a 
figura ao lado. O cilindro interno, que tem raio r1, conduz uma corrente 
i(t) = 10t2 - 2t + 30, e o cilindro externo, que tem raio r2, constitui o retorno 
da mesma corrente. A corrente cria um campo entre os dois cilindros. 
a) (2,0 pt) Calcule o fluxo magnético entre os dois cilindros e a partir dele 
a força eletromotriz induzida – (diga o sentido dessa força eletromotriz 
justificando sua resposta); 
b) (0,5 pt) calcule a indutância por unidade de comprimento h do cabo; 
c) (0,5 pt) Determine a densidade de energia magnética armazenada para 
pontos entre os dois cilindros; 
d) (1,0 pt) utilizando o resultado do item “c” calcule a energia magnética e 
a partir dela a indutância do cabo. Compare com o resultado obtido na 
letra “b” e comente.
Questão 3: A figura mostra um gerador de corrente alternada ligado aos 
terminais de um circuito desconhecido, que pode ser composto por 
diversas combinações de resistores, capacitores e indutores. Medidas 
realizadas nos terminais do gerador revelam que a força eletromotriz e a 
corrente variam no tempo de acordo com as seguintes expressões:
a) (1,0 pt) Determine o fator de potência e se a corrente está adiantada ou atrasada em relação à força 
eletromotriz;
b) (0,5 pt) O circuito no interior da caixa está sendo excitado na sua freqüência de ressonância? Justifique;
c) (0,5 pt) Calcule a potência média fornecida ao circuito pelo gerador?;
d) (1,0 pt) Justifique se dentre os elementos que compõem o circuito desconhecido é preciso haver pelo 
menos um capacitor e um resistor.
Universidade	
  Federal	
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  PernambucoDepartamento	
  de	
  Física	
  	
  Física	
  Geral	
  3	
  -­‐	
  Terceiro	
  Exercício	
  Escolar	
  	
  -­‐	
  1/12/2010
!
E(t) = (12V)sen(ωdt− π/8) i(t) = (1A)sen(ωdt+ π/8)
h
Gabarito da 3a. prova de Física Geral 3 (1/12/2010)
Questão 1: a) A figura ao lado mostra uma vista de perfil de uma espira circular de raio R. 
Utilizando a lei de Biot-Savart, verificamos que o elemento de campo induzido pelo elemento 
de corrente que deixa o plano do papel tem a direção e sentido indicados. Dada a simetria do 
problema, tem-se que as componentes horizontais irão se cancelar, resultando apenas a 
componente vertical para o campo total. Pelo uso da regra da mão direita, verificamos então 
que o campo ao longo do eixo tem sentido oposto ao do eixo z. Deste modo temos que
b) Dada a simetria do problema, convém calcular o campo magnético induzido pela 
corrente i no solenóide através da lei de Ampère. Para um solenóide ideal e muito 
longo, o campo magnético deve ser uniforme no seu interior e nulo para pontos do 
lado de fora. Utilizando o loop amperiano desenhado na figura ao lado, tem-se que 
Questão 2: a) Dada a simetria do problema (cilíndrica), convém utilizarmos a lei de Ampère para calcular o 
campo magnético induzido por cada fio. O campo total será a superposição dos campos induzidos pelos 
cilindros de raio r1 e r2, respectivamente. Da lei de Ampère podemos verificar que o cilindro de raio r2 não 
induz campo no seu interior. Deste modo, o campo magnético entre os dois cilindros é devido apenas ao 
cilindro de raio r1. Deste modo tem-se que: . Utilizando o loop amperiano 
mostrado abaixo, obtemos o campo magnético como dado por (assumindo que a corrente está entrando no 
plano do papel, pela regra da mão direita, verificamos que o campo rotaciona no sentido horário)
O campo magnético atravessa um elemento de área dado pelo retângulo (h dr). Assim
Verificamos, então, que o fluxo magnético através da superfície (r2 - r1)h aumenta para t > 0.1s e diminui 
para t < 0.1s. Pela lei de Lenz, uma FEM será induzida de tal modo que o fluxo induzido por ela irá se opor 
a esta variação. Deste modo, temos que a FEM induzida terá os seguintes sentidos:
Para t < 0.1s: a FEM induzida terá o mesmo sentido da corrente em cada cilindro;
Para t > 0.1s: a FEM induzida terá o sentido oposto ao a corrente em cada cilindro;
Para t = 0.1s: a FEM é nula.
b)
c)
�B =
�
d �B = −kˆ
�
dB|| = −kˆ
�
cosαdB dB =
µ0
4π
ids senπ/2
r2
(Biot− Savart)
�B = −kˆ µ0i
4π
� �
R√
z2 +R2
�
ds
(z2 +R2)
= −kˆ µ0i
4π
R
(z2 +R2)3/2
�
ds = −kˆ µ0iR
2
2(z2 +R2)3/2 cosα =
R√
z2 +R2
r =
�
z2 +R2
�
�B · d�s =
� b
a
�B · d�s+
� c
b
�B · d�s+
� d
c
�B · d�s+
� a
d
�B · d�s =
� b
a
�B · d�s = Bh�
�B · d�s = µ0ienv = µ0iN = µ0iN
h
h = µ0inh⇒ Bh = µ0inh⇒ B = µ0in
�Btotal = �Br1 + �Br2 = �Br1
�
�B · d�s =
�
Bds = B
�
ds = (2πr)B ⇒
�
�B · d�s = µ0ienv ⇒ B = µ0i
2πr
ΦB =
�
�B · d�a =
�
Bda =
�
B(hdr) =
µ0i(t)h
2π
� r2
r1
dr
r
=
µ0i(t)h
2π
ln
�
r2
r1
�
ΦB = Li⇒ L = ΦB
i
=
µ0h
2π
ln
�
r2
r1
�
⇒ L
h
=
µ0
2π
ln
�
r2
r1
�
r
Loop amperiano
X
E = −dΦB
dt
= −µ0h
2π
ln
�
r2
r1
�
di
dt
= −µ0h
2π
ln
�
r2
r1
�
(20t− 2)
uB =
B2
2µ0
=
µ0
2
�
i(t)
2πr
�2
d) A energia magnética armazenada entre os cilindros é dada pela integral de volume da densidade de 
energia obtida na letra anterior. Assim
Como a energia armazenada em um indutor é dada por: , obtemos que a indutância calculada 
através da energia potencial armazenada será dada por
Como esperado, este é o mesmo resultado obtido na letra b.
Questão 3: a) O fator de potência é dado pelo coseno da constante de fase que difere os argumentos da 
função seno da força eletromotriz e a corrente. Para as expressões fornecidas, obtemos que a constante de 
fase é dada por 
Como a diferença de fase entre os argumentos da FEM e da corrente é negativa, tem-se que a corrente 
encontra-se adiantada em relação à FEM. 
b) Se o circuito estivesse sendo excitado na sua freqüência de ressonância, a corrente e a FEM estariam 
em fase, i. e., a constante de fase ϕ seria nula. Deste modo, concluímos que o circuito não está sendo 
excitado na sua freqüência de ressonância.
c) A potência média fornecida pelo gerador pode ser determinada através do valor médio quadrático da 
corrente e da FEM, e o fator de potência
d) Da letra “a” obtemos que a tangente da constante de fase é igual a -1. Escrevendo a tangente em termos 
da resistência e das reatâncias capacitiva e indutiva do circuito, tem-se que
 
Deste modo concluímos que, como a tangente da constante de fase é finita e tem sinal negativo, a 
resistência e a capacitância associadas ao cirtuito devem ser diferentes de zero. Portanto, o circuito deve 
conter ao menos um resistor e um capacitor, não sendo necessário a ter a presença de indutores. 
φ = (ωdt− π/8)− (ωdt+ π/8) = −π/4⇒ cosφ =
√
2/2
tanφ =
XL −XC
R
⇒ XL −XC
R
= −1; onde XL = Lωd;XC = 1
Cωd
UB =
�
dτuB =
µ0
2
�
i(t)
2π
�2 � dτ
r2
=
µ0
2
�
i(t)
2π
�2 � 2πrhdr
r2
=
µ0hi(t)2
4π
� r2
r1
dr
r
=
µ0hi(t)2
4π
ln
�
r2
r1
�
UB =
Li2
2
L =
µ0h
2π
ln
�
r2
r1
�
Pmed = ErmsIrms cosφ = Em√
2
I√
2
cosφ =
12√
2
1√
2
cosπ/4= 3
√
2W