Exercícios Contextualizados 1 com gabarito

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Atividades Contextualizadas – Conteúdo: A Derivada
Um corpo em queda livre percorre uma distância s(t) = 4,9t2 metros em t segundos. Desprezando a resistência do ar :
Qual é a velocidade do corpo no instante t = 2 s?
Qual a relação entre a velocidade do corpo calculada no item (a) e a curva de S(t)? 
José possui uma pequena fábrica de peças. Ele calcula que, quando x mil unidades de uma peça são fabricadas e vendidas, o lucro é dado por 
P(x) = - 400x2 + 6.800x – 12000 reais.
Qual é a taxa de variação do lucro em relação ao nível de produção quando estão sendo produzidas 9.000 unidades? Nesse nível de produção, o lucro vai aumentar ou diminuir se a produção aumentar? 
Uma cidade X é atingida por uma moléstia epidêmica. Os setores de saúde calculam que o número de pessoas atingidas pela moléstia depois de um tempo t (medido em dias a partir do primeiro dia da epidemia) é dado, aproximadamente, por:
Qual o número de pessoas atingidas pela moléstia após 4 dias?
Qual a taxa da expansão da epidemia após 4 dias?
Em que dia a epidemia estará controlada?
 A fim de estudar a forma como o organismo humano metaboliza o cálcio, um médico injetou no sangue de um paciente voluntário uma amostra de cálcio quimicamente marcado com o intuito de medir a rapidez com que tal produto é removido do sangue. Admitindo que a função Q(t) = 2 – 0,06t + 0,03t2 – 0,01t3 forneça a quantidade de cálcio (em mg) que permanece na corrente sanguínea após t horas, podemos afirmar que a taxa segundo a qual o cálcio está sendo eliminado da corrente sanguínea, 2 horas após ter sido ministrado é:
Após as primeiras t horas de uma viagem de 8 horas, um carro percorreu quilômetros. 
Escreva a expressão para a aceleração do carro em função do tempo
A que taxa a velocidade do carro está variando em relação ao tempo após 6 horas de viagem? A velocidade está aumentando ou diminuindo, neste instante?
Qual é a variação de velocidade do carro durante a sétima hora? 
A produção de uma fábrica depois de um período de t meses é N(t) mil unidades, em que 
A que taxa a produção está variando após dois meses? A produção está aumentando ou diminuindo nessa ocasião? 
Um estudo ambiental realizado em um bairro sugere que a concentração média diária de monóxido de carbono no ar é partes por milhão quando a população é p milhares de residentes. Estima-se que daqui a t anos a população do bairro será mil residentes. Qual será a taxa de variação com o tempo da concentração de monóxido de carbono daqui a 3 anos? 
Daniela é gerente de uma indústria cuja a produção diária é unidades, em que x é o número de homens-horas de trabalho especializados e y o número de homens-horas de trabalho não especializado. No momento a mão de obra disponível é constituída por 30 homens-horas de trabalho especializado e 20 homens-horas de trabalho não especializado. Daniela está interessada em aumentar em 1 homem-hora a mão de obra especializada sem que a produção seja alterada. Mostre de que forma Daniela pode usar os métodos do cálculo para determinar a redução da mão de obra não especializado que será necessário para atingir seu objetivo. 
 
Gabarito:
a . vi = 19,6 m/s;
A inclinação da reta tangente à curva de S(t) = 4,9t2 no ponto t=2s é igual a taxa de variação instantânea de S(t) em relação a t no ponto t=2s.
P’(9) = -400; O sinal negativo indica que a reta tangente à curva da função lucro tem uma inclinação negativa no ponto correspondente a x=9, ou seja, a inclinação da reta nesse ponto é para baixo o que significa que para produção de 9.000 unidades, o lucro vai diminuir se a produção aumentar. 
a . 192 pessoas;
 = 48 pessoas/dia;
t = oitavo dia.
 = 0,02 g/h.
a . a(t) =( - t) m/s2;
b. (6h) = - m/s; Diminuindo;
c. (7h) = m/s.
(2 meses) = 
(3 anos) = 0,24 ppm por ano.
Para que a produção não seja alterada, devemos diminuir de 3,14 homens-hora a mão de obra especializada.