Exame de Cálculo das Probabilidades I

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Exame de Cálculo das Probabilidades I
Graduação em Atuária e Estatística
Instituto de Matemática - UFRJ
Prof. Nei Rocha
30 de julho de 2013 Duração: 3 horas
Leia atentamente os enunciados antes de responder.
Boa Prova!
1a. Questão (1,5): Uma estação de metrô possui duas entradas A e B. Usuários entram pela
entrada A segundo um processo de Poisson com taxa média de 5 usuários por minuto. Pela
entrada B, entram usuários segundo outro processo de Poisson , independente do primeiro, a
uma taxa média de 3 por minuto.
(a) Calcule a probabilidade de que, num intervalo de 15 segundos, entrem dois ou mais
usuários na estação do metrô, justi…cando sua modelagem probabilística.
(b) Seja T1 o tempo da chegada do primeiro usuário a entrar pela entrada A e seja V1 o
tempo da chegada do primeiro usuário a entrar pela entrada B. Com base na lei conjunta de
(T1; V1), calcule a probabilidade de que o primeiro usuário a entrar na estação do metrô, após
sua abertura, o faça pela entrada B.
Solução: (a) Sejam X e Y as v.a.’s que representam o número de usuários que entram pelas
entradas A e B, respectivamente, num intervalo de 1 minuto. Então
X � P (5) e Y � P (3) .
Seja Z a v.a. que representa o número de usuários que entram no metrô num intervalo
de 1 minuto. Então
Z = X + Y � P (8)
pois vimos que soma de duas variáveis aleatórias independentes com distribuição de Poisson é
também uma Poisson com o parâmetro dado pela soma dos parâmetros.
Seja W a v.a. que representa o número de usuários que entram no metrô num intervalo
de 15 segundos. Então
W � P (2) .
Desejamos
P (W � 2) = 1� P (W < 2)
= 1� P (W = 0)� P (W = 1)
= 1� e�2 � 2e�2
= 1� 3e�2
Assim
P (W � 2) = 1� 3e�2 �= 0; 594.
(b) Seja T1 o tempo da chegada (em minutos) do primeiro usuário a entrar pela entrada A
e seja V1 o tempo (em minutos) da chegada do primeiro usuário a entrar pela entrada B. Então
temos
T1 � Exp (5) e V1 � Exp (3) .
Como T1 e V1 são independentes, temos
fT1;V1 (t; v) = fT1 (t) fV1 (v) =
�
15e�5te�3v, para t � 0 e v � 0
0, caso contrário
Desejamos
P (V1 < T1) =
Z 1
0
Z t
0
15e�5te�3vdvdt = 15
Z 1
0
e�5t
�Z t
0
e�3vdv
�
dt
= 15
Z 1
0
e�5t
�
1
3
�
1� e�3t�� dt = 5Z 1
0
e�5t
�
1� e�3t� dt
= 5
�Z 1
0
e�5tdt�
Z 1
0
e�8tdt
�
= 5
�
1
5
� 1
8
�
P (V1 < T1) =
3
8
.
2a. Questão (1,5): A vida efetiva de um componente usado em um motor de uma turbina
de um avião a jato é uma variável aleatória normalmente distribuída com média de 5000 ho-
ras e desvio-padrão de 40 horas. O fabricante do motor introduz uma melhoria no processo
de fabricação para esse componente, que aumenta a vida média para 5050 horas e diminui o
desvio-padrão para 30 horas, com distribuição normal. Suponha que uma amostra aleatória de
16 componentes seja selecionada do processo “antigo”e uma amostra aleatória de 25 compo-
nentes seja selecionada do processo “melhorado”. Considerando-se que os processos “antigo”e
“melhorado”possam ser considerados como populações independentes, pergunta-se:
(a) Qual a distribuição da diferença entre as duas médias amostrais �Y25 � �X16?
(b) Qual a probabilidade de que a diferença entre as duas médias amostrais �Y25 � �X16 seja
de no mínimo 25 horas?
Solução: (a) Pelo enunciado, temos
�X16 � N (�1;
�21
16
), onde �1 = 5000 e �1 = 40
ou seja
�X16 � N (5000; 100)
Da mesma forma
�Y25 � N (�2;
�22
25
), onde �2 = 5050 e �2 = 30
ou seja
�Y25 � N (5050; 36)
Desejamos a lei de �X16 � �Y25 com �X16 e �Y25 independentes. Assim
�Y25 � �X16 � N (�3; �23)
onde
�3 = E
�
�Y25 � �X16
�
= E
�
�Y25
�� E � �X16� = 5050� 5000 = 50
�23 = V ar
�
�Y25 � �X16
�
= V ar
�
�Y25
�
+ V ar
�
�X16
�
= 100 + 36 = 136
Assim
�Y25 � �X16 � N (50; 136).
(b) Como �Y25 � �X16 � N (50; 136), temos
Z =
�
�Y25 � �X16
�� 50p
136
� N (0; 1)
Desejamos
P
�
�Y25 � �X16 � 25
�
= P
 �
�Y25 � �X16
�� 50p
136
� 25� 50p
136
!
= P (Z � �2; 14)
= 0; 9838:
Portanto
P
�
�Y25 � �X16 � 25
�
= 0; 9838.
3a. Questão (3,5): Sejam X e Y variáveis aleatórias com função de densidade de probabili-
dade conjunta dada por
f(x; y) =
�
2 (x+ y) , se 0 < x < y < 1
0, caso contrário
Pede-se:
(a) Obtenha as densidades marginais de X e Y e veri…que se X e Y são independentes.
(b) Calcule P
�
X + Y > 1j1
3
� X � 2
3
�
.
(c) Determine a densidade da variável aleatória X + Y .
Solução: (a) Seja fX(x) a função de densidade marginal de X. Então
fX(x) =
Z 1
x
2 (x+ y) dy = 2
"
xy +
y2
2
����1
x
#
= 2
�
x+
1
2
�
�
x2 +
x2
2
��
= 2x+ 1� 3x2
fX(x) =
� �3x2 + 2x+ 1, se 0 < x < 1
0, caso contrário
Seja fY (y) a função de densidade marginal de Y . Então
fY (y) =
Z y
0
2 (x+ y) dx = 2
�
x2
2
+ xy
����y
0
�
= 2
�
y2
2
+ y2 � 0
�
= 3y2
fY (y) =
�
3y2, se 0 < y < 1
0, caso contrário
Como fX;Y (x; y) 6= fX(x)fY (y), temos que X e Y não são independentes.
(b)
P
�
X + Y > 1j1
3
� X � 2
3
�
=
P
�
(X + Y > 1) \ �1
3
� X � 2
3
��
P
�
1
3
� X � 2
3
�
Mas
P
�
1
3
� X � 2
3
�
=
Z 2=3
1=3
��3x2 + 2x+ 1� dx
= �x3 + x2 + x��2=3
1=3
= � 8
27
+
4
9
+
2
3
�
�
� 1
27
+
1
9
+
1
3
�
= � 7
27
+
2
3
P
�
1
3
� X � 2
3
�
=
11
27
P
�
(X + Y > 1) \
�
1
3
� X � 2
3
��
=
Z 1=2
x=1=3
Z 1
y=1�x
2 (x+ y) dydx+
Z 2=3
x=1=2
Z 1
y=x
2 (x+ y) dydx
=
Z 1=2
x=1=3
h
2xy + y2
��1
y=1�x
i
dx+
Z 2=3
x=1=2
h
2xy + y2
��1
y=x
i
dx
=
Z 1=2
x=1=3
�
2x+ x2
�
dx+
Z 2=3
x=1=2
��3x2 + 2x+ 1� dx
=
Z 1=2
x=1=3
�
2x+ x2
�
dx+
Z 2=3
x=1=2
�
2x+ 1� 3x2� dx
=
 
x2 +
x3
3
����1=2
1=3
!
+
�
�x3 + x2 + x��1=2
1=3
�
=
29
81
P
�
X + Y > 1j1
3
� X � 2
3
�
=
29
81
11
27
=
29
81
� 27
11
=
29
33
(c) Seja Z = X + Y , então
fZ(z) =
Z 1
�1
fX;Y (t; z � t)dt.
Mas
fX;Y (t; z � t) =
�
2 (t+ z � t) = 2z, se 0 < t < z � t < 1
0, caso contrário
Então, se 0 < z < 1, temos
fZ(z) =
Z z=2
0
2zdt = 2z
Z z=2
0
dt = z2.
Se 1 � z < 2, temos
fZ(z) =
Z z=2
z�1
2zdt = 2z
Z z=2
z�1
dt
= 2z
hz
2
� (z � 1)
i
= 2z
h
1� z
2
i
= z (2� z) .
Assim temos
fZ(z) =
8<:
z2, se 0 < z < 1
z (2� z) , se 1 � z < 2
0, caso contrário
4a. Questão (2,0): Dois tetraedros equilibrados com faces numeradas de 1 a 4 são lançados de
forma independente. Seja X o menor dos números e Y o maior dos números obtidos. Pede-se:
(a) Construa a lei conjunta do vetor (X; Y ).
(b) Obtenha as marginais de X e Y e veri…que se as variáveis são independentes.
(c) Obtenha covariância entre X e Y .
Solução: (a) e (b): A conjunta é as marginais são dadas pela tabela abaixo
XnY 1 2 3 4 P (X = x)
1 1=16 1=8 1=8 1=8 7=16
2 0 1=16 1=8 1=8 5=16
3 0 0 1=16 1=8 3=16
4 0 0 0 1=16 1=16
P (Y = y) 1=16 3=16 5=16 7=16 1
Como, por exemplo,
P (X = 1; Y = 1) =
1
16
6= 7
16
� 1
16
= P (X = 1)P (Y = 1)
segue-se que X e Y não são independentes.
(c) Temos que Cov (X;Y ) = E (XY )� E (X)E (Y ). Assim
E (X) = 1� 7
16
+ 2� 5
16
+ 3� 3
16
+ 4� 1
16
=
30
16
=
15
8
E (Y ) = 1� 1
16
+ 2� 3
16
+ 3� 5
16
+ 4� 7
16
=
50
16
=
25
8
E (XY ) = 1� 1� 1
16
+ 1� 2� 1
8
+ 1� 3� 1
8
+ 1� 4� 1
8
+2� 2� 1
16
+ 2� 3� 1
8
+ 2� 4� 1
8
+3� 3� 1
16
+ 3� 4� 1
8
+ 4� 4� 1
16
=
1
16
+
2
8
+
3
8
+
4
8
+
4
16
+
6
8
+
8
8
+
9
16
+
12
8
+
16
16
=
30
16
+
35
8=
100
16
=
25
4
Finalmente
Cov (X; Y ) = E (XY )� E (X)E (Y )
=
25
4
� 15
8
� 25
8
=
25
4
� 375
64
Cov (X; Y ) =
25
64
.
5a. Questão (0,75): As variáveis aleatórias X e Y são tais que V ar(X + Y ) = 0. Determine
o coe…ciente de correlação entre elas.
Solução: Como V ar(X + Y ) = 0, temos P (X + Y = c) = 1 com c uma constante. Logo
Y = c�X com probabilidade 1.
Cov (X; Y ) = Cov (X; c�X) = Cov (X; c)� Cov (X;X)
= 0� V ar (X) = ��2X
V ar (Y ) = V ar (c�X) = V ar (X) = �2X
� (X;Y ) =
Cov (X; Y )
�X�Y
=
��2X
�X�X
� (X; Y ) = �1.
6a. Questão (0,75): Sejam X � N(0; 1) e Y � N(0; 2), duas variáveis aleatórias indepen-
dentes. Obtenha a função geratriz de momentos da variável aleatória X2 + Y 2. (Lembre-se
de que, se X � Gama(�; �), então mX(t) =
�
�
��t
��
, para t < �; e de que se Y � �2n, então
Y � Gama(n
2
; 1
2
).)
Solução: Como X � N(0; 1), temos
X2 � �21.
Assim
mX2 (t) =
�
1
1� 2t
� 1
2
Como Y � N(0; 2), temos Z = Y � 0p
2
=
Yp
2
� N(0; 1).
Z2 =
�
Yp
2
�2
=
Y 2
2
� �21.
Logo
mY 2
2
(t) = E
�
e
t
�
Y 2
2
��
= E
h
e(
t
2)Y 2
i
=
�
1
1� 2t
� 1
2
Mas
mY 2
�
t
2
�
=
�
1
1� 2t
� 1
2
.
Tomando u = t
2
temos
mY 2 (u) =
�
1
1� 2 (2u)
� 1
2
=
�
1
1� 4u
� 1
2
.
Assim
mX2+Y 2 (t) = mX2 (t)mY 2 (t)
=
�
1
1� 2t
� 1
2
�
1
1� 4t
� 1
2
.
mX2+Y 2 (t) =
�
1
(1� 2t) (1� 4t)
� 1
2
.