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Resistência dos Materiais
Torção
Professora: Lais Amaral Alves
lais.alves@cefet-rj.br
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Resistência dos Materiais
DEFINIÇÃO DE TORQUE
• Torque é o momento que tende a torcer a peça em torno de
seu eixo longitudinal. Seu efeito é de interesse principal no
projeto de eixos ou eixos de acionamento usados em veículos e
maquinaria.
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TORÇÃO
• Cisalhamento puro:
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TORÇÃO
• Cisalhamento puro:
Equilíbrio do sistema de forças:
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TORÇÃO
• Cisalhamento puro:
Equilíbrio do sistema de forças:
Tensões cisalhantes:
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TORÇÃO
• Cisalhamento puro:
Tensões cisalhantes:
Logo as tensões cisalhantes apresentam o mesmo valor formando
um sistema de binários opostos.
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O elemento quadrangular
torna-se losangular.
TORÇÃO
• Deformação cisalhante ou tangencial:
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TORÇÃO
• Diagrama tensão-deformação tangencial (Análogo a σ-ε)
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EQUAÇÃO DA TORÇÃO
• Quando um torque externo é aplicado a um eixo, cria um
torque interno correspondente no interior do eixo.
• A equação da torção relaciona o torque interno com a
distribuição das tensões de cisalhamento na seção transversal
de um eixo ou tubo circular.
• Para material linear-elástico aplica-se a lei de Hooke.
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EQUAÇÃO DA TORÇÃO
• Módulo de elasticidade transversal e coeficiente de Poisson
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EQUAÇÃO DA TORÇÃO
• Módulo de elasticidade transversal e coeficiente de Poisson
Exemplo: Aço
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EQUAÇÃO DA TORÇÃO
• Módulo de elasticidade transversal e coeficiente de Poisson
Exemplo: Aço
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Material ν
Concreto 0,20
Vidro 0,25
Metais 0,30
Plásticos 0,40
Borrachas 0,50
EFEITO DE POISSON
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üTorção
•Torção de Eixo Circular
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üTorção
•Torção de Eixo Circular
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üTorção
•Torção de Eixo Circular
•No interior do eixo:
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üTorção
•Torção de Eixo Circular
•No trecho com momento tensor constante
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üTorção
•Distribuição de tensões cisalhantes
Conforme demonstrado, a distorção por torção de eixo de seção
circular é linearmente variável em função do raio (r), ou seja:
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üTorção
•Distribuição de tensões cisalhantes
Conforme demonstrado, a distorção por torção de eixo de seção
circular é linearmente variável em função do raio (r), ou seja:
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üTorção
•Distribuição de tensões cisalhantes
Conforme demonstrado, a distorção por torção de eixo de seção
circular é linearmente variável em função do raio (r), ou seja:
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üTorção
•Distribuição de tensões cisalhantes
As tensões tangenciais são linearmente variáveis
Torque elementar:
Torque resultante:
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üTorção
•Distribuição de tensões cisalhantes
As tensões tangenciais são linearmente variáveis
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üTorção
•Momentos Polares
•Seção circular
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üTorção
•Momentos Polares
•Seção circular
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üTorção
•Momentos Polares
•Seção circular
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üTorção
•Momentos Polares
•Seção circular
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üTorção
•Momentos Polares
•Seção tubular
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üTorção
•Momentos Polares
•Seção tubular
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CONVENÇÃO DE SINAIS
• A direção e o sentido do torque aplicado é definido a partir da
aplicação da regra da mão direita. Torque e ângulo serão
positivos se a direção indicada pelo polegar for no sentido de
afastar-se do eixo.
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EIXO SUJEIRO A DIVERSOS TORQUES
• Diagrama representativo:
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EXERCÍCIO 1
Eixo bi-engastado, 25,0 cm de extensão. Torque= 12,0 kN.cm aplicado no centro.
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üExemplo
•Problema estaticamente indeterminado
•Método das forças: como incógnita.
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üExemplo
•Problema estaticamente indeterminado
•Método das forças: como incógnita.
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üExemplo
•Problema estaticamente indeterminado
•Método das forças: como incógnita.
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üExemplo
•Problema estaticamente indeterminado
•Método das forças: como incógnita.
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üExemplo
•Eq. de compatibilidade
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üExemplo
•Eq. de equilíbrio
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üExemplo
•Diagrama de torsores
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üExemplo
•Diagrama de torsores
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EXERCÍCIO 2
O tubo mostrado na figura tem um diâmetro interno de 80 mm e diâmetro
externo de 100 mm. Supondo que sua extremidade seja apertada contra o apoio
em A por meio de um torquímetro em B, determinar a tensão de cisalhamento
desenvolvida no material nas paredes interna e externa ao longo da parte
central do tubo quando são aplicadas forças de 80 N ao torquímetro.
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EXERCÍCIO 2
Torque interno: É feito um corte na localização intermediária C ao longo do eixo
do tubo, desse modo:
Momento de inércia polar:
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EXERCÍCIO 2
Tensão de cisalhamento:
Na superfície interna:
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EXERCÍCIO 3
As engrenagens acopladas ao eixo de aço com uma das extremidades fixa estão
sujeitas aos torques mostrados na figura. Supondo que o módulo de elasticidade
de cisalhamento seja G = 80 GPa e o eixo tenha diâmetro de 14 mm, determinar
o deslocamento do dente P da engrenagem A. O eixo gira livremente no mancal
em B.
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EXERCÍCIO 3
Torque interno:
Momento de inércia polar:
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EXERCÍCIO 3
O deslocamento do dente P na engrenagem A é:
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TRANSMISSÃO DE POTÊNCIA
• Eixos e tubos com seção transversal circular são freqüentemente
empregados para transmitir a potência gerada por máquinas.
Quando usados para essa finalidade, são submetidos a torque
que dependem da potência gerada pela máquina e da
velocidade angular do eixo.
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DEFINIÇÃO DE POTÊNCIA
• A potência é definida como o trabalho realizado por unidade de
tempo:
• Sabe-se que a velocidade angular do eixo é dada por:
• Portanto,
• No SI, a potência é expressa em watts.
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RELAÇÃO POTÊNCIA-FREQUÊNCIA
• No caso da análise de máquinas e mecanismos, a frequência de
rotação de um eixo, é geralmente conhecida.
• Expressa em hertz (1Hz = 1 ciclo/s), ela representa o número de
revoluções que o eixo realiza por segundo.
• Como 1 ciclo = 2 π rad, pode-se escrever que:
• Portanto, a equação da potência pode ser escrita do seguinte
modo:Resistência dos Materiais
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DIMENSIONAMENTO DE EIXOS
• Quando a potência transmitida por um eixo e sua rotação são
conhecidas, o torque no eixo pode ser determinado.
Conhecendo-se o torque atuante no eixo e a tensão de
cisalhamento do material é possível determinar a dimensão do
eixo a partir da equação da torção da seguinte forma:
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EXERCÍCIO 4
Um eixo tubular de diâmetro interno de 30 mm e diâmetro externo
de 42 mm é usado para transmitir 90 kW de potência. Determinar a
frequência de rotação do eixo de modo que a tensão de
cisalhamento não exceda 50 MPa.
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EXERCÍCIO 4
O torque máximo que pode ser aplicado ao eixo é determinado pela equação da
torção:
Para eixo tubular:
A partir da equação da frequência:
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EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1. O eixo maciço de 30 mm de diâmetro é usado para transmitir os torques
aplicados às engrenagens. Determinar a tensão de cisalhamento
desenvolvida nos pontos C e D do eixo.
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EXERCÍCIOS PROPOSTOS
2. O eixo maciço de alumínio tem diâmetro de 50 mm. Determinar a tensão de
cisalhamento máxima absoluta nele desenvolvida e traçar o gráfico da
distribuição cisalhamento-tensão ao longo de uma reta radial onde o
cisalhamento é máximo. Considerar T1 = 20 Nm.
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EXERCÍCIOS PROPOSTOS
3. O eixo de aço está submetido à carga de torção mostrada. Determinar a
tensão de cisalhamento desenvolvida nos pontos A e B e desenhar o gráfico
da tensão de cisalhamento nos elementos de volume localizados nesses
pontos. O eixo onde A e B estão localizados tem raio externo de 60 mm.
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EXERCÍCIOS PROPOSTOS
4. O acoplamento é usado para acoplar dois eixos. Supondo que a tensão de
cisalhamento nos parafusos seja uniforme, determinar o número de
parafusos necessários para que a tensão de cisalhamento máxima no eixo
seja igual à tensão de cisalhamento nos parafusos. Cada parafuso tem
diâmetro d.
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EXERCÍCIOS PROPOSTOS
5. A bomba opera com um motor que tem potência de 85 W. Supondo que o
impulsor em B esteja girando a 150 rpm, determinar a tensão de
cisalhamento máxima desenvolvida em A, localizada no eixo de transmissão
que tem 20 mm de diâmetro.
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EXERCÍCIOS PROPOSTOS
6. Os dois eixos de aço maciço mostrados na figura estão acoplados por meio
de engrenagens. Determinar o ângulo de torção da extremidade A do eixo
AB quando é aplicado o torque T = 45 Nm. Supor G = 80 GPa. O eixo AB é
livre para girar nos mancais E e F, enquanto o eixo DC é fixo em D. Cada eixo
tem diâmetro de 20 mm.
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EXERCÍCIOS PROPOSTOS
7. As extremidades estriadas e as engrenagens acopladas ao eixo de aço A-36
estão submetidas aos torques mostrados. Determinar o ângulo de torção da
extremidade B em relação à extremidade A. O eixo tem diâmetro de 40 mm.
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EXERCÍCIOS PROPOSTOS
8. O eixo de aço A-36 está composto pelos
tubos AB e CD e por uma parte maciça
BC. Apoia-se em mancais lisos que lhe
permitem girar livremente. Se as
extremidades estão sujeitas a torques de
85 Nm, qual o ângulo de torção da
extremidade A em relação à extremidade
D? Os tubos tem diâmetro externo de 30
mm e diâmetro interno de 20 mm. A
parte maciça tem diâmetro de 40 mm.
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EXERCÍCIOS PROPOSTOS
9. O eixo maciço de aço A-36 tem 3 m de comprimento e diâmetro externo de
50 mm. Requer-se que transmita 35 kW de potência do motor E para o
Gerador G. Determinar a menor velocidade angular que o eixo pode ter se a
máxima torção admissível é de 1°.