Taxas equivalentes – juros compostos

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Taxas equivalentes – juros compostos
Simone Motyczka Ott Telles
Introdução
Esta aula abordará a taxa nominal de juros compostos e sua equivalência. Saiba que o estudo 
das taxas de juros, segundo Müller (2012, p.49), “é fundamental no desempenho das funções 
empresariais em qualquer tipo de negócio”. 
Objetivos de aprendizagem
Ao final desta aula, você será capaz de:
 • conhecer o conceito de taxa de juros compostos;
 • entender o cálculo da taxa de juros compostos.
1 Equivalência de taxas
Entenda que taxas equivalentes “são taxas de juros fornecidas em unidades de tempo 
diferentes que, ao serem aplicadas a um mesmo valor principal, durante um mesmo prazo, 
produzem um mesmo montante acumulado no final daquele prazo, no regime de juros compostos” 
(PUCCINI, 2009, p. 66). Em outras palavras, são taxas diferentes, mas que produzem um valor final 
igual, quando aplicadas a um mesmo capital, pelo mesmo prazo em regime de juros compostos.
Perceba que este conceito é muito semelhante à proporcionalidade das taxas de juros, especí-
fica do regime de juros simples. As taxas equivalentes, entretanto, baseiam-se em juros compostos.
FIQUE ATENTO!
Pelo critério de juros simples, a taxa equivalente é a própria taxa proporcional. 
EXEMPLO
Marcos necessita de um capital de R$ 1.000,00, e pretendendo pagar este financia-
mento em uma única parcela no final de quatro anos, no regime de capitalização 
composto. As três instituições financeiras as quais ele recorreu operam com as 
seguintes taxas:
Banco A: 42,5761% a.a. (ao ano);
Banco B: 19,4052% a.s. (ao semestre);
Banco C: 3% a.m. (ao mês).
Para saber qual a melhor proposta, ele realiza o cálculo do valor futuro dos juros 
compostos por meio da fórmula: VF = VP (1 + i)n
Banco A: VP = R$ 1.000,00; n = 4 anos e i = 42,5761% a.a.
VF = VP (1 + i)n = 1.000,00 (1 + 0,425761)4 = 1.000,00 × 4,1322
VFA = R$ 4.132,25
Banco B: VP = R$ 1.000,00; n = 4 anos = 8 semestres e i =19,4052% a.s.
VF = VP (1 + i)n = 1.000,00 (1 + 0,194052)8 = 1.000,00 × 4,1322
VFB = R$ 4.132,24
Banco C: VP = R$ 1.000,00; n = 4 anos = 48 meses e i = 3% a.m.
VF = VP (1 + i)n = 1.000,00 (1 + 0,03)48 = 1.000,00 × 4,1322
VFC = R$ 4.132,25
Como o valor final obtido para as três taxas ofertadas foi o mesmo, constatamos 
que as três taxas (42,5761% a.a., 19,4052% a.s. e 3% a.m.) são equivalentes, ou 
seja, produzem um mesmo valor final para um tempo determinado. 
Figura 1 – Equivalência de taxas 
Fonte: kasiastock/Shutterstock.com 
Assim como na proporcionalidade de taxas, é necessário conhecermos um modo de cálculo que 
relacione as taxas de juros equivalentes. Puccini (2009) demonstra uma forma de relacionamento a 
partir da seguinte prerrogativa: quando as taxas equivalentes mensal (im) e anual (ia) produzem valores 
futuros equivalentes em um período de um ano. Sendo um ano equivalente a 12 meses, temos:
VFa = VP (1 + ia)
1
VFm = VP (1 + im)
12
Sendo: VFa = VFm
Logo, teremos: (1 + ia)
1 = (1 + im)
12
FIQUE ATENTO!
Na capitalização a juros compostos, devemos evitar arredondamento dos números 
e buscar utilizar o máximo de casas possíveis após a vírgula, para nos aproximar-
mos mais dos valores corretos. 
Também para as taxas equivalentes, as relações entre a taxa anual e as demais taxas (semes-
tral, trimestral etc.) ocorrem de forma idêntica. Considerando o ano comercial (360 dias), a fórmula 
para realizar o cálculo das taxas equivalentes é: 
(1 + ia )
1 = (1 + is)
2 = (1 + it)
4 = (1 + ib)
6 = (1 + im)
12 = (1 + id)
360
Lembre-se de que estamos utilizando a seguinte convenção:
ia = taxa de juro anual (a.a.)
is = taxa de juro semestral (a.s.)
it = taxa de juro trimestral (a.t.)
ib= taxa de juro bimestral (a.b.)
im = taxa de juro mensal (a.m.)
id = taxa de juro diário (a.d.)
EXEMPLO
Qual seria a taxa equivalente anual e semestral de 2% ao mês? Começamos por 
resumir os dados: 1 ano = 12 meses e 1 semestre = 6 meses; im = 2% a.m.
Para a taxa anual (ia), empregamos a relação: 
(1 + ia )1
 = (1 + im)12 (1 + ia) = (1 + 0,02)12
 = (1,02)12 = 1,26824
Então: (1 + ia) = 1,26824
ia = 1,26824 − 1 = 0,26824 ou 26,824% ao ano
Para a taxa semestral (is), empregamos a relação: (1 + is )2 = (1 + im )12
(1 + is)2 = (1 + 0,02)12 = (1,02)12 = 1,2682418
1 + is = 1,2682418
is = 1,12616242 − 1 = 0,12616242 ou 12,61624% ao semestre
Assim, definimos que a taxa de 2% a.m. possui taxas equivalentes (juros compos-
tos) de 26,824% a.a. e 12,616% a.s.. 
EXEMPLO
Qual seria a taxa equivalente anual e semestral de 2% ao mês? Começamos por 
resumir os dados: 1 ano = 12 meses e 1 semestre = 6 meses; im = 2% a.m.
Para a taxa anual (ia), empregamos a relação: 
(1 + ia )1
 = (1 + im)12 (1 + ia) = (1 + 0,02)12
 = (1,02)12 = 1,26824
Então: (1 + ia) = 1,26824
ia = 1,26824 − 1 = 0,26824 ou 26,824% ao ano
Para a taxa semestral (is), empregamos a relação: (1 + is )2 = (1 + im )12
(1 + is)2 = (1 + 0,02)12 = (1,02)12 = 1,2682418
1 + is = 1,2682418
is = 1,12616242 − 1 = 0,12616242 ou 12,61624% ao semestre
Assim, definimos que a taxa de 2% a.m. possui taxas equivalentes (juros compos-
tos) de 26,824% a.a. e 12,616% a.s.. 
Devido à capitalização composta ocorrer de modo exponencial, não temos com calcular a 
equivalência de taxas usando regra de três. No entanto, a equação de equivalência empregada 
anteriormente pode ser representada de formas mais simplificadas. Ratts (2009), por exemplo, 
apresenta a seguinte forma (sendo k = número de subperíodos):
(1 + i) = (1 + ik)
k
Qual seria a taxa mensal equivalente a 7,5% ao semestre? 
Temos: n = 1 semestre; k = 6 meses e ik = 7,5% a.s.
(1 + i) = (1 + ik)
k
(1 + 0,075) = (1 + ik)6
6 (1 + 0,075) = 1 + ik
1,01212638 = 1 + ik
ik = 1,01212638 − 1 = 0,01212638 a.m. ou 1,212638% a.m.
Percebemos então que a taxa de juros de 1,212638% a.m. é equivalente à taxa de 7,5% a.s. 
Por fim, outra forma (genérica) de escrever a relação entre as taxas pode ser:
( 1 + i1 )n1 = (1 + i2 )n2
Sendo i1 e n1 dados da taxa 1 e i2 e n2 dados da taxa 2, que são equivalentes.
FIQUE ATENTO!
Nos cálculos de equivalência de taxas (juros compostos), empregamos alguns co-
nhecimentos de aritmética, como a operação exponencial e a radiciação. 
Figura 2 – Cálculo de equivalência de taxas
Fonte: kurhan/Shutterstock.com 
Independente da equação escolhida, devemos usar as taxas de juros do tipo taxas de 
juros efetivas. 
2 Taxa nominal
A taxa de juros nominal é aquela cuja unidade de tempo não é a mesma dos períodos de capitalização. 
Isto quer dizer que os períodos de formação e inclusão dos juros são diferentes. Na verdade, a inclusão de 
juros ao principal ocorre mais de uma vez em cada período a que se refere a taxa.
Saiba que a taxa nominal pode “ser fracionada proporcionalmente nos subperíodos de capi-
talização, semelhante às taxas de juros simples” (RATTAS, 2009, p. 30). Podemos citar dois exem-
plos comuns de taxas nominais:
 • 24% ao ano com capitalização trimestral;
 • 12% ao ano com capitalização mensal.
Imagine que um capital de R$ 25.000,00 foi aplicado por 1 ano e que a taxa ofertada pelo 
banco foi de 24% a.a., capitalizado trimestralmente. Qual será o valor futuro?
VP = R$ 25.000,00; n = 1 ano = 4 trimestres e i = 24% a.a., capitalizado trimestralmente. 
Temos aqui uma taxa com “dois prazos”: ano e trimestre. Nesta situação, o prazo da taxa 
que prevalece é o que indica qual será a capitalização do valor envolvido (neste caso, trimestral-
mente). Com isto, o tempo no qual é expresso o Prazo (t) e o tempo da Taxa (i) devem ser ajusta-
dos para trimestre, ou seja, devem ser proporcionalizados. Vamos por passos:
1. Determinar a taxa proporcional ao trimestre utilizando a seguinte fórmula: i1 = n1
i2 n2
0,24 = 12meses
 i2 3meses
 0,24 × 3 = 12 × i2 i2 = 0,06 ou 6% a.t.2. Calcular o valor futuro utilizando a fórmula fv = pv (1 + i)n
FV = 25.000,00 (1 + 0,06)4 = 25.000,00 (1,06)4 = 25.000,00 × 1,26247
FV = R$ 31.561,92
Figura 3 – Representação da capitalização da taxa nominal 
0 1º tri 2º tri 3º tri 4º tri = 1 ano 
R$ 26.500,00 R$ 28.090,00 R$29.775,40 R$ 31.561,92
PV= R$ 25.000,00
FV = R$ 31.561,92
Fonte: elaborado pela autora, 2016.
Podemos concluir que uma “taxa a.a., capitalizada trimestralmente” significa que a cada tri-
mestre o valor é corrigido, servindo o valor atualizado para a capitalização do trimestre seguinte 
(princípio dos juros compostos). Perceba que, se em vez da capitalização trimestral, tivéssemos 
utilizado a capitalização anual, teríamos o seguinte valor futuro:
FV = 25.000 (1 + 0,24)1 = 25.000 (1,24)1 = R$ 31.000,00 
A diferença entre os valores encontrados (R$ 31.561,92 x R$ 31.000,00) ocorre porque, na 
capitalização trimestral, o capital inicial sofre mais capitalizações (4x) em relação à capitalização 
anual (1x). Como estamos tratando de juros compostos, isso acaba resultando na diferença con-
siderável dos resultados.
SAIBA MAIS!
Compreenda mais sobre conceitos, classificações e noções fundamentais relativas 
aos juros por meio da perspectiva jurídica. Confira: “Noções básicas sobre juros 
e o combate histórico à usura”. Disponível em: <https://jus.com.br/artigos/8158/
nocoes-basicas-sobre-juros-e-o-combate-historico-a-usura>.
3 Taxas equivalentes x taxas proporcionais 
Puccini (2009, p. 80), apresenta uma comparação entre as taxas de juros proporcionais e 
equivalentes: “em ambas as situações, são ditas taxas proporcionais (juros simples) ou equivalen-
tes (juros compostos) quando estas promoverem o mesmo crescimento do valor presente, para 
um mesmo período de tempo”.
Tabela 1 – Comparativo de diversas taxas anuais, proporcionais e equivalentes.
Taxas efetivas mensais (a.m.) Taxas anuais (a.a.) proporcio-nais (juros simples)
Taxas anuais (a.a.) equivalen-
tes (juros compostos)
1,00% 12,00% 12,68%
5,00% 60,00% 79,59%
10,00% 120,00% 213,84%
15,00% 180,00% 435,03%
20,00% 240,00% 791,61%
Fonte: PUCCINI, 2009, p. 80.
A tabela mostra as diferenças entre as taxas que são obtidas a juros simples (por meio da pro-
porcionalidade) e a juros compostos (por meio da equivalência), a partir de taxas efetivas mensais.
SAIBA MAIS!
Quando realizamos um financiamento bancário, o que analisar: o CET (Custo Efetivo 
Total) ou taxa de juros? Confira em: “Comparar a CET entre financiamentos poderá 
indicar, efetivamente, qual é o mais barato”. Disponível em <http://exame.abril.com.
br/seu-dinheiro/noticias/ao-tomar-emprestimo-nao-olhe-so-juros-583066>. 
Por fim, cabe ressaltar que o cálculo da proporcionalidade de taxas também é utilizado na 
transformação de taxas nominais em efetivas.
Fechamento
Chegamos ao final desta aula. Aqui, você pôde aprofundar seus conhecimentos sobre taxas 
de juros e suas variações. 
Nesta aula, você teve a oportunidade de: 
 • aprender sobre taxa nominal de juro;
 • entender o cálculo de equivalência de taxa em juros compostos;
 • compreender as diferenças que ocorrem na equivalência e proporcionalidade de taxas 
de juros.
Referências 
ALENCAR, Martsung F. C. R. Noções básicas sobre juros e o combate histórico à usura, mar. 2016. 
Jus Navigandi. Disponível em: < https://jus.com.br/artigos/8158/nocoes-basicas-sobre-juros-e-o-
combate-historico-a-usura >. Acesso em: 17 out. 2016. 
ASSAF NETO, Alexandre; LIMA, Fabiano Guasti. Fundamentos de Administração Financeira. 1. ed. 
São Paulo: Atlas, 2010. 
CASTANHEIRA, Nelson Pereira; MACEDO, Luiz Roberto Dias de. Matemática financeira aplicada. 
3. ed. Curitiba: Ibpex, 2010. 
MULLER, Aderbal Nicolas; ANTONIK, Luis Roberto. Matemática Financeira. São Paulo: Saraiva, 
2012. 
PUCCINI, Abelardo. Matemática Financeira Objetiva e Aplicada. 8. ed. São Paulo: Saraiva, 2009. 
RUIC, Gabriela. Ao tomar um empréstimo, não olhe só para os juros, jul. 2010. Exame.com 
Disponível em: <http://exame.abril.com.br/seu-dinheiro/noticias/ao-tomar-emprestimo-nao-olhe-
so-juros-583066>. Acesso em: Acesso em: 17 out. 2016.
SAMANEZ, Carlos Patrício. Matemática Financeira. 5. ed. São Paulo: Pearson, 2010.