Mecsolos1 6 fluxo bidimensional

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6 � Fluxo Bidimensional
6.1- Fluxos uni, bi e tridimensionais
▪ Fluxo unidimensional → o fluxo ocorre sempre em 
uma única direção.
- direção de fluxo
- gradiente
são os mesmos em qualquer 
ponto da massa de solo
▪ Fluxo tridimensional → as 
partículas de água seguem caminhos 
▪ Fluxo bidimensional → as partículas de 
água seguem caminhos curvos, mas em 
planos paralelos transversais ao eixo 
longitudinal da obra – consideração mais 
frequente.
barragem 
de terra
partículas de água seguem caminhos 
curvos, tendo componentes de 
deslocamento nas três direções 
ortogonais. 
bombeamento 
em poçosx
z
y
6.2- Redes de fluxo
6.2.1 - Rede de fluxo unidimensional
8
Rede de fluxo: representação gráfica dos caminhos percorridos pela 
água e da dissipação da carga hidráulica total ao longo deste caminho. 
medidas em cm
1
solo
6.2- Redes de fluxo
6.2.1 - Rede de fluxo unidimensional
8
medidas em cm Htotal,A = 0 + 20cm = 20cm
Htotal,B = 12 + 2cm = 14cm
h = H - H = 6cm (dissipada ao longo de 12cm)
Rede de fluxo: representação gráfica dos caminhos percorridos pela 
água e da dissipação da carga hidráulica total ao longo deste caminho. 
solo
h = Htotal, A - Htotal,B = 6cm (dissipada ao longo de 12cm)
i = 6/12 = 0,5
Q = k x i x A = 0,05 x 0,5 x 8 x 1 
Q = 0,2 cm3/s
A
B
�
�
k = 5 x 10-2 cm/s
p.r.
6.2- Redes de fluxo
6.2.1 - Rede de fluxo unidimensional
8
medidas em cm Htotal,A = 0 + 20cm = 20cm
Htotal,B = 12 + 2cm = 14cm
h = H - H = 6cm (dissipada ao longo de 12cm)
Rede de fluxo: representação gráfica dos caminhos percorridos pela 
água e da dissipação da carga hidráulica total ao longo deste caminho. 
h = Htotal, A - Htotal,B = 6cm (dissipada ao longo de 12cm)
i = 6/12 = 0,5
Q = k x i x A = 0,05 x 0,5 x 8 x 1 
Q = 0,2 cm3/s
A
B
� caminho percorrido pela água → a gota que penetra 
na face inferior se dirige à face superior segundo uma 
linha reta → LINHA DE FLUXO
LINHAS DE FLUXO → determinam canais de fluxo
de mesmo q. No caso 1D, canais
com a mesma largura.k = 5 x 10-2 cm/s
Q
/
4
Q
/
4
Q
/
4
Q
/
4
�
�
p.r.
� dissipação da carga ao longo do caminho da água
H=a+L+b
∆H ao longo da areia:
Lembrando...
H=a+L+b+h
∆H ao longo da areia:
∆H = (a+L+b+h)-(a+L+b)
∆H = h
⇒ fluxo
∆H ≠ 0 
8
medidas em cm
� dissipação da carga ao longo do caminho da água
- qualquer ponto da face inferior tem a mesma HTA : 
LINHA EQUIPOTENCIAL
- qualquer ponto da face superior tem a mesma HTB : 
LINHA EQUIPOTENCIAL
- A dissipação de h = 6cm ocorre linearmente ao 
longo da linha de fluxo entre A e B.
Ex: ao longo de uma linha horizontal a 2cm da face 
2
h = 6cm 
A
B
2
2
2
2
2
k = 5 x 10-2 cm/s
Ex: ao longo de uma linha horizontal a 2cm da face 
inferior ocorreu uma perda de carga de
(6/12 = perda de carga de 0,5cm por cada cm de percolação):
⇒ em 2cm de percolação: perda de carga de (6/12)x2 = 1cm
No caso de fluxo unidimensional vertical
⇒ qualquer linha horizontal é uma LINHA
EQUIPOTENCIAL
2cm
�
�
8
medidas em cm
� dissipação da carga ao longo do caminho da água
- qualquer ponto da face inferior tem a mesma HTA : 
LINHA EQUIPOTENCIAL
- qualquer ponto da face superior tem a mesma HTB : 
LINHA EQUIPOTENCIAL
- A dissipação de h = 6cm ocorre linearmente ao 
longo da linha de fluxo entre A e B.
Ex: ao longo de uma linha horizontal a 2cm da face 
4
h = 6cm 
A
B
2
2
2
2
2
k = 5 x 10-2 cm/s
Ex: ao longo de uma linha horizontal a 2cm da face 
inferior ocorreu uma perda de carga de
(6/12 = perda de carga de 0,5cm por cada cm de percolação):
⇒ em 2cm de percolação: perda de carga de (6/12)x2 = 1cm
�
�
No caso de fluxo unidimensional vertical
⇒ qualquer linha horizontal é uma LINHA
EQUIPOTENCIAL
2cm
8
medidas em cm
� LINHAS DE FLUXO: determinam canais 
de fluxo com o mesmo q ⇒ linhas 
igualmente espaçadas no caso 1D
REDE 
DE 
FLUXO
� LINHAS EQUIPOTENCIAIS: apresentam 
a mesma HT; determinam faixas de perda 
de carga (∆h) de igual valor⇒ linhas 
igualmente espaçadas no caso 1D
rede formada por retângulos
Por conveniência matemática, procura-se 
construir uma rede formada por quadrados: a 
distância entre LEs é a mesma que entre LFs.
LF
LE
l
b
k = 5 x 10-2 cm/s
b=l
8
medidas em cm
REDE 
DE 
FLUXO
� LINHAS DE FLUXO: determinam canais 
de fluxo com o mesmo q ⇒ linhas 
igualmente espaçadas no caso 1D
� LINHAS EQUIPOTENCIAIS: apresentam 
a mesma HT; determinam faixas de perda 
de carga (∆h) de igual valor⇒ linhas 
igualmente espaçadas no caso 1D
rede formada por quadrados (b=l)
LF
LE
- número de canais de fluxo: NF
- número de faixas de perda de carga: ND
- dimensões do quadrado: b = largura do canal de fluxo
l = dist. entre equipotenciais
l
b
k = 5 x 10-2 cm/s No ex.: NF=4 ;ND = 6; b=l=2cm
medidas em cm
Informações 
obtidas a partir do 
traçado de uma 
rede de fluxo:
� Perda de carga 
entre equipotenciais:
DN
hh =∆
� Gradiente hidráulico:
lN
h
l
hi
D ⋅
=
∆
=
Por cada canal de fluxo: 
� Vazão:
b
lN
hkAikq
D
⋅
⋅
==
hkq =⇒
No exemplo: i = 6cm/(6X2cm) = 0,5
k = 5 x 10-2 cm/s
LF
LE
DN
hkq =⇒
Como todos os canais tem a mesma vazão: 
D
F
F N
NhkQNqQ =⇒⋅=
No exemplo: Q= 0,05x6x(4/6) = 0,2cm3/sl
b
� Poropressão: u =hP .γw
hP = H – z ; H = Hi - ∆h.n
No exemplo, em C: Hc=20-1x3=17cm⇒ uc= (0,17-0,06)xγw =1,1kPa
� C vazão total:
p.r.
6.2.2 - Rede de fluxo bidimensional
Mesmo princípio da 
rede unidimensional
linhas de fluxo determinam canais de igual vazão
linhas equipotenciais determinam faixas de iguais 
perdas de carga 
Linhas 
- arco AC : i = 6/12 = 0,5
- arco BD : i = 6/24 = 0,25
- outras linhas: arcos concêntricos 
com diferentes i
h
medidas em cm
Linhas 
de fluxo 
com diferentes i
→ para cada linha de fluxo o h é o 
mesmo ao longo do percurso da água, 
mas o comprimento do percurso (L) é 
diferente ⇒ diferentes i
k = cte e sabe-se que v=ki
Cada linha de fluxo tem uma velocidade 
diferente;
qto menor o caminho de percolação (L), 
maior o i ⇒ maior a v.
q
q
q
q
q
linhas de fluxo determinam canais de fluxo com igual vazão (q=v.A)Por definição →
onde as linhas apresentam maior v ⇒ canais mais estreitos
onde as linhas apresentam menor v ⇒ canais mais largos
q
q
medidas em cm
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
qq
q
medidas em cm
linhas de fluxo determinam canais de fluxo com igual vazão (q=v.A)Por definição →
q
onde as linhas apresentam maior v ⇒ canais mais estreitos
onde as linhas apresentam menor v ⇒ canais mais largos
l
b
h=6m
Se optarmos por ∆h=0,5 cm
6/0,5 = 12 faixas de igual perda de carga
l = ?
caminho interno: 12cm ⇒ l = 12cm/12=1cm
caminho externo: 24cm ⇒ l = 24cm/12=2cm
Linhas Equipotenciais :
As faixas de perda de carga vão se 
alargando linearmente no sentido da 
linha de fluxo mais longa.
O fluxo segue o caminho de maior gradiente.
⇒ As linhas de fluxo são ortogonais às linhas equipotenciais 
em qualquer rede de fluxo em solo homogêneos e 
isotrópicos.
medidas em cm
LF?
?
Como as LE e as LF se cruzam? 
●
Traçado das linhas de fluxo e equipotenciais:
- Como já falado, para facilitar os cálculos 
as linhas de fluxo devem formar figuras 
aproximadamente quadradas com as 
linhas equipotenciais.
Junto à superfície interna:
l: faixa de perda de carga = 1cm
b: canal de fluxo = 1cm
Junto à superfície externa:
b/l ≅ 1
Junto à superfície externa:
l: faixa de perda de carga = 2cm
b: canal de fluxo = 2cm
� Percolação sob pranchada:
pranchadapranchada
� Percolação sob pranchada: pranchadaQ (a água é 
bombeada para 
manter o NA baixo)LE
LE
L
F
L
F
(o contorno é uma LF) 
superfície 
impermeável (LF)
� Percolação sob pranchada:
Q (a água é 
bombeada para 
manter o NA baixo)LE
LE
□
□
pranchada (o contorno é uma LF) 
superfície 
impermeável (LF)
� Percolação sob pranchada: pranchada (o contorno é uma LF) 
Q (a água é 
bombeada para 
manter o NA baixo)LE
As LF e as LE se 
cruzam 
perpendicularmente 
e as figuras 
LE
□
□
superfície 
impermeável (LF)
Os canais de fluxo variam de largura ao longo do percurso da água, pois o espaço 
disponível para a passagem varia.
⇒ Já que q é constante no canal de fluxo, quando o canal se estreita ⇒ v aumenta
Se v aumenta e v=ki e k=cte⇒ i aumenta
Se i aumenta e i=∆h/l e ∆h=cte⇒ l diminui (espaç. entre as LE tem que diminuir)
formadas são 
“quadradas” (b/l=1).
□
� Percolação numa barragem:
� Rede de fluxo pela fundação numa barragem de concreto:
(Lambe e Whitman, 1979)
� Rede de fluxo pelo corpo da barragem (contorno não definido):
→ A fronteira superior do fluxo (linha freática no corpo do aterro) não 
é previamente conhecida.
hp=0 ⇒ u=0
superfície impermeável
Exemplos de 
redes de fluxo 
em barragens
(Vargas, 1978)
� Percolação em taludes naturais:
(Teixeira et al, 
2000)
� Percolação em taludes naturais:
(Teixeira et al, 
2000)
fluxo 
descendente
fluxo 
ascendente
� Percolação em taludes naturais – condições particulares:
(Lacerda, 1999)
Recomendações do Casagrande (1937) - pág 137 do 
CSP
�Traçado de rede de fluxo através da construção gráfica
Modelo de percolação em barragem de terra em escala reduzida
Lab. Mecânica dos Solos da Poli-UFRJ
�Traçado de rede de fluxo através de modelos físicos
Modelo de percolação em pranchada em escala reduzida
Lab. Mecânica dos Solos da Poli-UFRJ
�Traçado de rede de fluxo através de modelos físicos
Modelo de percolação em pranchada em escala reduzida
Lab. Mecânica dos Solos da Poli-UFRJ
�Traçado de rede de fluxo através de modelos físicos
•Perda de carga ao longo da rede:
h=
•Dados da rede:
ND= 
NF=
•Perda de carga entre equipotenciais:
Modelo de percolação sob 
pranchada em escala reduzida
Cargas hidráulicas:
34cm
•Perda de carga entre equipotenciais:
∆h=
•Ponto J:
HTJ=
zJ=
HPJ=
•Ponto K (piezômetro, sobre uma LE):
HTK=
zK=
HPK=
u = 
•Perda de carga ao longo da rede:
h=45-34=11cm
•Dados da rede:
ND=6; 
NF=3
•Perda de carga entre equipotenciais:
Modelo de percolação sob 
pranchada em escala reduzida
Cargas hidráulicas:
34cm
•Perda de carga entre equipotenciais:
∆h=h/ND=1,83cm
•Ponto J:
HTJ=45cm
zJ=33cm
hPJ=45-33=12cm
•Ponto K (piezômetro, sobre uma LE):
HTK=HTJ-2·∆h=45-2·1,83=41,34cm
zK=11cm
hPK=HTK-zK=41,34-11=30,34cm
u = hPK x γw = 0,3034 x 10 = 3,03 kPa
� Traçado de rede de fluxo através de métodos numéricos
→ malha de elementos finitos:
h
Ex: obra de pranchada
→ Rede de fluxo:
hpA = uA/γw
hpB = uB/γw
h/9 x 3
A partir das condições de contorno e da equação de fluxo
[ ], o programa define a direção de fluxo e a carga
total (carga altimétrica + carga piezométrica) em cada nó.
02
2
2
2
=





∂
∂
⋅+
∂
∂
⋅
z
hk
x
hk zx
AzA
B
Ex: talude (Aguiar, 2008)
Nível freático
Carga hidráulica 
total
Linhas de 
fluxo
Poropressão
Malha de 
EF
� Interpretação de uma rede de fluxo
barragem de 
concreto
medidas em cm
Relembrando...
Informações 
obtidas a partir do 
traçado de uma 
rede de fluxo:
� Perda de carga 
entre equipotenciais:
DN
hh =∆
� Gradiente hidráulico:
lN
h
l
hi
D ⋅
=
∆
=
Por cada canal de fluxo: 
� Vazão:
b
lN
hkAikq
D
⋅
⋅
==
h
LF
LE
DN
hkq =⇒
Como todos os canais tem a mesma vazão: 
D
F
F N
NhkQNqQ =⇒⋅=
l
b
� Poropressão:
� C Vazão total:
u =hP .γw
hP = H – z ; H = Hi - ∆h.n
� Interpretação de uma rede de fluxo
barragem de 
concreto
- vazão
- gradientes
- poropressões
Informações obtidas a 
partir da rede de fluxo:
k = 10-4 cm/s
Qual a importância 
de cada um?
� Interpretação de uma rede de fluxo
medidas em metro
Vazão:
D
F
N
NhkQ =
k = 10-4 cm/s
h =
k = 10-4 cm/s
NF =
ND =
⇒ smQQ /105,514
54,1510 366 −− ×=⇒⋅⋅=
15,4m
5
14
� Interpretação de uma rede de fluxo
⇒
k = 10-4 cm/s
variável de ponto para ponto da massa de solo
constante
variável de ponto 
para pontoGradientes: l
h∆
==
iaisequipotenc entre distância
iaisequipotenc entre carga de perdai
� Interpretação de uma rede de fluxo
• E6
medidas em metro
3
6
k = 10-4 cm/s
Perda de carga entre 
equipotenciais: ∆h= h/ND = 15,4/14 = 1,1
Em A:
Em E:
Gradientes:
l
h∆
==
iaisequipotenc entre distância
iaisequipotenc entre carga de perdai
i = 1,1/6 ⇒ i = 0,18
i = 1,1/3 ⇒ i = 0,37
� Interpretação de uma rede de fluxo
Gradientes: Atenção→ Situação crítica na barragem:
A distância entre as LE 
é mínima no sentido 
contrário à gravidade
→
imáximo no sentido 
contrário à gravidade⇒
queda de resistência
⇒ σ’↓ ⇒ “areia movediça” 
Verificação: → FS (areia movediça) = icrít/i
→ cálculo de σ’ ao longo do perfil de solo
levantamento de fundo
junto ao pé de jusante
� Interpretação de uma rede de fluxo
13,8m
Poropressão: em A
HTA? HTA= carga hidráulica total inicial – (perda de carga até A) 
HTA= (40 +15,4) – (15,4/14)x6 ⇒ HTA= 48,8m
hPA? HTA= zA + hPA⇒ hPA= HTA- zA⇒ HPA= 48,8 - 35 ⇒ hPA= 13,8m
uA? uA= hPA x γw⇒ uA= 13,8 x 10 = 138 kPa 
perda de carga entre LE (∆h) x o no. de 
faixas de perda de carga até o ponto A
20
plano de referência
� Interpretação de uma rede de fluxo
2
8
,
8
m
13,8m
mesma carga total
Poropressão: em B
HTB? HTB= HTA→ mesma LE
⇒ HTB= 48,8m
hPB? HTB= zB + hPB⇒ hPB= 48,8 - 20 ⇒ hPB= 28,8m
uB? uB= hPB x γw⇒ uB= 28,8 x 10 = 288 kPa
20
plano de referência
� Interpretação de uma rede de fluxo
2
8
,
8
m
13,8m 9,4m
Poropressão: em C
HTC? HTC= 55,4 – (15,4/14) x 10 = 55,4 -11
⇒ HTC= 44,4m
hPC? HTC= zC + hPC⇒ hPC= 44,4 - 35 ⇒ hPC= 9,4m
uC? uC= hPC x γw⇒ uC= 9,4 x 10 = 94 kPa 
20
plano de referência
� Interpretação de uma rede de fluxo
1
3
,
8
m
2
8
,
8
m
1
3
,
8
m
9,4m
Poropressão: em D
HTD? HTD=HTC→ mesma LE
⇒ HTD= 44,4m
hPD? HTD= zD + hPD⇒ hPD= 44,4 – 30,6 ⇒ hPD= 13,8m
uD? uD= hPD x γw⇒ uD= 13,8 x 10 = 138 kPa 
20
plano de referência
Cálculo da 
subpressão
Análise 
comparativa 
de rede de 
fluxo na 
fundação de 
uma 
barragem 
com 
diferentes 
D
F
N
NhkQ =
- vazão:
⇒ Qc Qb Qa(a)
- isaída:
⇒ i i i
l
hi ∆=
= <
<<
diferentes 
alternativas.
(b)
(c)
⇒ ic ib ia
- Subpressão
(resultante da 
poropressão na 
base da estrutura):
⇒ Uc Ua
Uc Ub
<<
>
>
•
2hhi ∂ ∂∂∂- O gradiente é 
6.3 - Equação diferencial de fluxo
yv
dy
y
v
v
y
y ∂
∂
+
xv
dx
x
v
v xx ∂
∂
+
dz
z
v
v zz ∂
∂
+
Direção x:
- Carga hidráulica no centro do elemento dx, dy, dz: h
- Gradiente na direção x (no centro):
x
hix ∂
∂
=
O fluxo tridimensional num elemento de solo 
pode ser decomposto nas 3 direções x, y e z:
2
2
x
h
x
h
xx
ix
∂
∂
=





∂
∂
∂
∂
=
∂
∂- O gradiente é 
variável na direção x:
- Na face de entrada tem-se:
dydzdx
x
h
x
hkqdydzikq xxExExxE ⋅





⋅
∂
∂
−
∂
∂
⋅=⇒⋅⋅=
22
2- Na face de saída tem-se: dydzdx
x
h
x
hkq xxS ⋅





⋅
∂
∂
+
∂
∂
⋅=
22
2
vazão de entrada:
dy
y
vy ∂
+
zv
=×
∂
∂
+
∂
∂
= face) a até centro do (dist.
x
i
x
hi xxE
vazão de saída:






⋅
∂
∂
+
∂
∂
22
2
-dx
x
h
x
h
Direção x:
- Diferença entre a vazão de entrada e a 
vazão de saída na direção na direção x:
dydzdxhhkq ⋅



⋅
∂
−
∂
⋅=
2
dydzdx
x
h
x
hkq xxS ⋅





⋅
∂
∂
+
∂
∂
⋅=
22
2
xExS qq −
yv
dy
y
v
v
y
y ∂
∂
+
xv
dx
x
v
v xx ∂
∂
+
dz
z
v
v zz ∂
∂
+
•
dydzdx
x
h
x
hkq xxE ⋅



⋅
∂
∂
−
∂
∂
⋅=
22
dxdydz
y
hkqq yyEyS ⋅∂
∂
⋅=− 2
2
⇒
Direção y:
Direção z: dxdydz
z
hkqq zzEzS ⋅∂
∂
⋅=− 2
2
dxdydz
x
hkqq xxExS ⋅∂
∂
⋅=− 2
2
dy
y
vy ∂
+
zv
vazão que entra no elemento:
zEyExEE qqqQ ++=
vazão que sai do elemento:
++=
⇓
yv
dy
y
v
v
y
y ∂
∂
+
xv
dx
x
v
v xx ∂
∂
+
dz
z
v
v zz ∂
∂
+
•
O fluxo tridimensional num elemento de solo 
pode ser decomposto nas 3 direções x, y e z:
zSySxSS qqqQ ++=
)()()( zEzSyEySxExS qqqqqq −+−+−
dxdydz
z
hk
y
hk
x
hkQ zyx ⋅





∂
∂
⋅+
∂
∂
⋅+
∂
∂
⋅=∆⇒ 2
2
2
2
2
2
→ Equação geral do 
fluxo tridimensional
dy
y
vy ∂
+
zv
=− ES QQ
dxdydz
y
hkqq yyEyS ⋅∂
∂
⋅=− 2
2
dxdydz
z
hkqq zzEzS ⋅∂
∂
⋅=− 2
2
dxdydz
x
hkqq xxExS ⋅∂
∂
⋅=− 2
2
vazão que entra no elemento:
zEyExEE qqqQ ++=
Nós estamos estudando o 
FLUXO ESTACIONÁRIO (QS = QE) 
⇓
(não há variação de e e S ao longo do tempo)
É IGUAL À
yv
dy
y
v
v
y
y ∂
∂
+
xv
dx
x
v
v xx ∂
∂
+
dz
z
v
v zz ∂
∂
+
•
vazão que sai do elemento:
zSySxSS qqqQ ++=
É IGUAL À
QS – QE =∆Q= 0
02
2
2
2
2
2
=





∂
∂
⋅+
∂
∂
⋅+
∂
∂
⋅⇒
z
hk
y
hk
x
hk zyx
Equação do fluxo 
estacionário tridimensional
dy
y
vy ∂
+
zv
02
2
2
2
2
2
=⋅





∂
∂
⋅+
∂
∂
⋅+
∂
∂
⋅=∆⇒ dxdydz
z
hk
y
hk
x
hkQ zyx
⇓
(não há fluxo na direção y)
02
2
2
2
2
2
=





∂
∂
⋅+
∂
∂
⋅+
∂
∂
⋅⇒
z
hk
y
hk
x
hk zyx
22
=


 ∂
⋅+
∂
⋅⇒
hh
yv
dy
y
v
v
y
y ∂
∂
+
xv
dx
x
v
v xx ∂
∂
+
dz
z
v
v zz ∂
∂
+
•
Nós estamos estudando o 
FLUXO ESTACIONÁRIO BIDIMENSIONAL
022 =





∂
∂
⋅+
∂
∂
⋅⇒
z
hk
x
hk zx
02
2
2
2
=





∂
∂
+
∂
∂
z
h
x
h EQUAÇÃO DE 
LAPLACE
→ O fluxo estacionário bidimensional em solo isotrópico 
é expresso pela Equação de Laplace
E se o solo for ISOTRÓPICO quanto a k ⇒
( )zx kk =
dy
y
vy ∂
+
zv
6.4 - Fluxo sob condição anisotrópica de permeabilidade ( )zx kk ≠
kx > kz kx = kz
⇒ A dissipação da carga hidráulica passa a ser maior na direção de maior x.
02
2
2
2
=





∂
∂
⋅+
∂
∂
⋅⇒
z
hk
x
hk zx
O fluxo não é mais regido 
pela Equação de Laplace.
x
z
T k
k
xx ⋅= Por quê esse valor?
kx > kz
transformação do problema 
considerando kx=kz mas alterando a escala 
do desenho na direção x para compensar a 
diferença de permeabilidade nesta direção.
x
z
⇒ Solução:
Traçado de rede de fluxo quando kx > kz :
x
02
2
2
2
=





∂
∂
⋅+
∂
∂
⋅
z
hk
x
hk zxComo
kx > kz
, dividindo por kz, tem-se: 02
2
2
2
=





∂
∂
+
∂
∂
⋅
z
h
x
h
k
k
z
x
Se for considerado: ⇒
z
x
T k
k
xx ⋅= 00 2
2
2
2
2
2
2
2
=
∂
∂
+
∂
∂
⇒=












∂
∂
+
∂⋅
∂
⋅
z
h
x
h
z
h
x
k
k
h
k
k
T
T
z
xz
x
Equação de Laplace com xT : permite utilizar o mesmo procedimento 
gráfico da construção da rede de fluxo → LE perpendicular a LF.
z
Equação 
de 
Laplace
kx > kz
x
z
xT
z
Procedimento para o traçado de rede de fluxo quando kx ≠ ky :
kx > kz
x
z
T k
k
xx ⋅=
Então:
1º. passo: desenha-se a seção transformada onde 
2º. passo: traça-se a rede de fluxo para a seção transformada pelos 
procedimentos normais.
z z
kx > kz
x
z
xT
z
Procedimento para o traçado de rede de fluxo quando kx ≠ ky :
kx > kz
z
x
T k
k
xx ⋅=
x
z
T k
k
xx ⋅=
Então:
1º. passo: desenha-se a seção transformada onde 
3º. passo: traça-se a rede de fluxo real a partir da seção transformada 
fazendo 
2º. passo: traça-se a rede de fluxo para a seção transformada pelos 
procedimentos normais.
z z
kx > kz
x
z
xT
z
Procedimento para o traçado de rede de fluxo quando kx ≠ ky :
kx > kz
z
x
T k
k
xx ⋅=
x
z
T k
k
xx ⋅=
Então:
1º. passo: desenha-se a seção transformada onde 
3º. passo: traça-se a rede de fluxo real a partir da seção transformada 
fazendo 
2º. passo: traça-se a rede de fluxo para a seção transformada pelos 
procedimentos normais.
z z
kx > kz
- Cálculo de
D
F
N
NhkQ =
Considerando um elemento da rede com fluxo horizontal:
Qual é o k? 
- Cálculo de i, HT e u
Obtenção das informações a partir 
da rede onde kx > kz :
k
x
z
: da mesma forma
lT
L
E
L
E
LF
LFL
E
L
E
= lT
LF
LF
Tq Vq
kx > kz
Na seção transformada: 
Na seção verdadeira: 
Fazendo qT = qV ⇒ ⇒zxE kkk ⋅=
D
F
E N
NhkQ =
z
x
T k
k
xx ⋅=
hkb
l
hkq E
T
ET ∆⋅=
∆
=
hkk
k
k
hkb
k
kl
hkb
l
hkq zx
z
x
x
z
x
T
x
V
xV ∆⋅=
∆
⋅=
∆
⋅=
∆
=
z
Exercício:
Considere uma obra de pranchada, onde ocorre um fluxo estacionário em meio homogêneo e
anisotrópico onde
kvertical = 5x10-5 cm/s khorizontal = 45x10-5 cm/s γsat = 18,3 kN/m3
Abaixo estão apresentadas a seção real (condição anisotrópica) e a seção transformada (condição
isotrópica).
Determine:
a) o gradiente no ponto A
b) a poropressão no ponto B
c) a vazão que percola pelo subsolo (por metro longitudinal de pranchada)
Sabe-se que:
h = 4,5m z= 1,25m L = 9,5mh = 4,5m z= 1,25m L = 9,5m
- vazão que percola num canal da seção real:
- vazão que percola num canal da seção 
transformada:
z
x
T k
k
xx ⋅=
hkkq zxV ∆⋅=
hkq ET ∆⋅=
NA: nível d’água; NT: nível do terreno