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A origem dos números quânticos

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A origem dos números quânticos 
 
O modelo atômico de Bohr (1913) para o átomo de hidrogênio se mostrou algo 
genialmente simples. A partir da equação de Balmer e Rydberg (RH em unidades de 
freqüência): 
 






−−=
22
1
2
1
n
hRE H (Equação 1) 
 
foi possível explicar as propriedades do átomo em termos de um único parâmetro, 
chamado de número quântico n. Outras séries de linhas espectrais do hidrogênio 
foram descobertas, mas de modo incrivelmente simples, bastava substituir o número 
2 da série de Balmer por outro número inteiro. 
O Modelo de Bohr foi estendido com sucesso para outros átomos de um elétron, 
como os íons He+, Li++, etc. 
 
Para átomos com mais de um elétron, a energia depende também da repulsão 
média exercida pelos outros elétrons. Em 1916, Arnold Sommerfield admitiu a 
existência de órbitas elípticas. Trata-se de uma correção feita ao modelo de Bohr, 
mas que manteve suas idéias principais. No modelo de Sommerfield, um nível 
energético n pode ter n subníveis. Sommerfield introduziu um novo parâmetro, 
representado pela letra l e a partir de então o número quântico n passou a ser 
chamado de número quântico principal e o parâmetro l foi denominado número 
quântico secundário. Neste modelo, quanto mais achatada a órbita, menor a 
repulsão exercida pelos outros elétrons e menor é a energia do subnível. 
 
 
 Figura 1. Modelo de Sommerfield. 
 Fonte: http://library.thinkquest.org/19662/low/eng/improved-bohr.html 
 
Acontece que, partículas que exercem um movimento giratório têm certas 
propriedades, entre elas o momento angular.1 Na ausência de um campo elétrico ou 
magnético externo, todos os subníveis com números quânticos n e l idênticos têm a 
mesma energia. Quando um campo elétrico ou magnético é aplicado, os níveis de 
energia mudam e elétrons com n e l idênticos podem ter energias diferentes. 
Vejamos o porquê desse fenômeno. 
 
1 Uma órbita circular não aponta para nenhuma direção. Uma órbita elíptica possui um eixo mais 
longo. O modelo de Bohr-Sommerfield foi revisto, e as órbitas planas foram substituídas por orbitais 
tridimensionais. A energia da órbita, calculada pela equação 1 passou a ser definida a partir da 
expressão HΨ = EΨ, onde Ψ é o orbital. 
Momento angular orbital e momento angular de spin do elétron 
 
 
Quando uma partícula gira ao redor 
de um eixo, ela possui uma 
propriedade chamada de momento 
angular representada por L, definida 
pelo produto r X p 
 
L= r X p 
 
Onde: L é o momento angular; 
 r é o raio da circunferência 
 p é o momento linear da 
partícula, 
(o produto de sua massa por sua 
velocidade). 
 
 
Por exemplo, um objeto de 1 kg movendo-se em linha reta a 10 m/s possui momento 
linear igual a 10 kg m/s. Se este objeto se mover à mesma velocidade descrevendo 
uma trajetória circular, cujo raio é 2m, o seu momento angular será de 2m X 10 Kg 
m/s = 20 kg m2/s. Lembrando da física, o símbolo X significa que se trata de um 
produto vetorial, de modo que, se os vetores r e p se encontram em um plano, o 
produto r X p deve ser um vetor perpendicular a este plano. 
 
Caso a partícula em questão seja 
carregada, a trajetória equivale a um fio 
condutor esférico (imagine um fio de cobre 
enrolado em um tambor). O fluxo da carga 
desta partícula equivale a uma corrente 
elétrica percorrendo o fio, que se torna um 
eletroímã simples.2 
 
Pois bem. Elétrons são partículas carregadas que se movem ao redor do núcleo 
atômico. Sendo assim, cada orbital funciona como um pequeno eletroímã. Quando 
um átomo é colocado em um campo magnético, o movimento de seus elétrons é 
orientado em relação ao campo, de modo a atingir a menor energia possível. Se 
você já brincou com dois ímãs sabe bem o que é isso. Os ímãs tendem a se colocar 
em determinadas posições. Se você mexer neles, eles voltam para a posição de 
menor energia. 
Em palavras mais simples, cada subnível é desdobrado em orbitais que se 
comportam como pequenos eletroímãs. A interação de cada eletroímã com o campo 
externo depende de sua orientação. Por exemplo, se o campo externo é aplicado na 
direção vertical, um elétron se movendo em um orbital perpendicular ao campo 
 
2 Os eletroímãs comuns possuem várias voltas ao redor de um cilindro de ferro. A intensidade do 
campo magnético é proporcional ao número de voltas e à intensidade da corrente. Aumentar o 
número de voltas permite que se reduza a corrente o que gera uma considerável economia de 
energia. 
 
 
Figura 2. Momento angular. Fonte: 
www.unb.br/iq/kleber/CursosVirtuais/QQ/aula-
14/aula-14.htm 
 
Figura 3. Eletroímã. Fonte: 
http://blog.imatec.ind.br/category/imas/ 
sentirá um efeito diferente de um elétron em um orbital paralelo ao campo. Com isto, 
foi necessário admitir um terceiro número quântico, que por motivos históricos foi 
chamado de número quântico magnético. A energia de um elétron em um átomo 
com muitos elétrons era então definida a partir de 3 parâmetros: 
o número n, que define o tamanho do orbital; 
o número l, que define a forma do orbital; 
o número ml, que define a orientação do orbital em relação aos eixos cartesianos. 
 
OBS: No modelo de Sommerfield, o número l definia o achatamento da órbita. No modelo 
quântico de Schrödinger, este número define o número de nós angulares, às vezes 
chamados de superfícies nodais. Um nó angular é uma superfície em que a probabilidade 
de encontrar o elétron é zero. Para l = zero, o orbital não tem nós angulares. Para l = 1, 
existe uma superfície nodal para l = 2 existem duas superfícies, etc como mostra a Tabela 1. 
 
Tabela 1. Orbitais s, p e d. Fonte, Atkins e Jones, Princípios de Química. 
 
 
 
Orbital s; l = 0. Orbital p; l= 1 (1 plano 
nodal em azul) 
Orbital d; l=2 (2 planos nodais em 
verde). 3 
 
A equação de Schrödinger permitiu relacionar as linhas espectrais de átomos com 
muitos elétrons com a estrutura eletrônica, sendo um grande salto em relação ao 
modelo de Bohr. 
 
 
Figura 3. Espectros atômicos. 
Fonte:http://faculty.fortlewis.edu/tyler_c/classes/206/notes4.htm 
 
3 O orbital dz
2 possui superfícies nodais curvas. 
Entretanto, os valores calculados apresentam um pequeno desvio em relação aos 
dados experimentais. Mais do que isso, para o espectro de sódio na região da luz 
visível, são encontradas duas linhas muito próximas, a 590,0 nm e a 586,9 nm, 
referentes a transições envolvendo o subnível 3s do sódio. A presença de duas 
linhas tão próximas indica que este subnível está desdobrado em dois. Como pode 
um único orbital s ter dois níveis de energia? 
A explicação foi admitir um quarto número quântico. Além do momento angular 
relacionado ao movimento orbital do elétron, existe um momento angular adicional, 
que confere propriedades magnéticas (o momento magnético µ) aos átomos. A 
origem deste magnetismo adicional é desconhecida, mas o efeito corresponde ao 
observado quando um objeto gira ao redor de si mesmo como um pião. (Figura 4) 
 
a) b) 
Figura 4. Momento magnético µ gerado pelo spin do elétron Fonte: 
clickciencia.ufscar.br (a) e desdobramento causado pela interação do spin com um 
campo externo (b). 
 
Houve, então, a necessidade de um número quântico de spin, denominado ms que 
vale ½ ou –½ . É comum representar os spins usando uma seta pra cima, indicando 
o estado alfa de menor energia e uma seta para baixo, indicando o estado beta. 
 
Cabem aqui duas observações: 
 
O principio desenvolvido por Wolfgang Pauli estabelece que em um átomo, dois 
elétrons não podem ter os quatro números quânticos iguais. Isto significa que 
não existem dois elétrons com a mesma quantidade de energia. Sendo assim, 
somente dois elétrons podem ocupar um mesmo orbital e neste caso,