aula rotacao umaparticula

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Física 1
Mecânica
Sandra Amato
Instituto de Física - UFRJ
Rotação de uma partícula
(Rotação de uma partícula) Física 1 1 / 28
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Outline
1 Produto Vetorial
2 Rotação em Torno de um Eixo Fixo
(Rotação de uma partícula) Física 1 2 / 28
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Produto Vetorial
Dados dois vetores A e B , o produto vetorial entre eles é
definido como o vetor
C A B
seu módulo é C A B sen
sua direção é perpendicular ao plano formado por A e B
seu sentido é dado pela regra da mão direita.
(Rotação de uma partícula) Física 1 3 / 28
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Propriedades do Produto Vetorial
seu módulo A B sen representa a área do paralelogramo
definido por A e B
A B B A ‹ não é comutativo.
Se A e B são paralelos ( 0 ou 180 ) ‹ A B 0
consequentemente A A 0
Obedece a propriedade distributiva:
A B C A B A C
tomando o cuidado de preservar a ordem entre A e B :
d
dt
A B A
dB
dt
dA
dt
B
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Propriedades do Produto Vetorial
k k 0
k
k k
k k
Se temos as componentes dos vetores
A Ax Ay Azk e B Bx By Bzk
A B AyBz AzBy AxBz AzBx AxBy AyBx k
(Rotação de uma partícula) Física 1 5 / 28
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Exercícios
Calcule o produto vetorial a b entre os vetores a e b onde
1 a 3 k e b 6 2 2 k ;
2 a é o vetor que liga os pontos O e B, e b é o vetor que liga
os pontos A e B do cubo de aresta 1 m da figura.
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A B
C
O
an ,
•
Bp
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(Rotação de uma partícula) Física 1 7 / 28
a-
'
= 3 i - j th
5
'
= - 6 it If - 2h
i j k
|
-
}zlya
/ = ( 2 - 4a+1-6+6 ) j + ( 6- 6)
ti=o
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Exercícios
1 Mostre que o módulo do produto triplo
a b c
é o volume do paralelepípedo cujos lados são definidos pelos
vetores a , b e c .
2 Calcule a área da superfície deste paralelepípedo.
3 Considere a , b e c 2 k . Calcule a área
da superfície e o volume do paralelepípedo definido por estes
vetores. Considere as unidades dadas no S.I.
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(Rotação de uma partícula) Física 1 9 / 28
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Cinemática de Corpo Rígido
Vamos começar o estudo do movimento mais geral (translação e
rotação) de objetos extensos, nos restringindo a corpos rígidos:
objeto cujas distâncias entre dois pontos quaisquer não mudam
(boa aproximação).
Translação Pura
Rotação Pura
Translação Rotação
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Translação Pura
A direção de qualquer segmento que une dois de seus pontos não
se altera. ‹ todos os pontos descrevem curvas paralelas.
Todos os pontos sofrem o mesmo deslocamento no mesmo t ‹
todos tem, em qquer instante, a mesma velocidade e
aceleração de translação.
Podemos escolher um ponto, p.ex., o CM, para descrever o
movimento de translação de um corpo rígido.
(Rotação de uma partícula) Física 1 11 / 28
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Rotação Pura em torno de Eixo Fixo
Vamos fixar dois pontos A e B , equivale a fixar todos os pontos
da reta AB , pois todos os pontos devem manter a mesma
distância.
Qualquer partícula situada fora dessa reta mantém a mesma
distância à reta ‹ Todos os pontos descrevem um círculo em
torno do eixo AB e giram de um mesmo ângulo no mesmo t .
O estudo do movimento se reduz ao estudo do movimento
circular de um ponto ‹ Rotação em torno de um eixo fixo, que
pode ser descrita em termos de uma única coordenada: O ângulo
de rotação.
(Rotação de uma partícula) Física 1 12 / 28
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Rotação Pura em torno de Ponto Fixo
Se fixarmos um ponto O do corpo, qualquer outro ponto
descreverá uma esfera centrada em O ‹ Rotação em torno de
um Ponto Fixo.
O deslocamento do ponto P é descrito por duas coordenadas, p.
ex., os ângulos de latitude e longitude
(Rotação de uma partícula) Física 1 13 / 28
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Movimento Geral
Chasles 1930: “O movimento mais geral de um corpo rígido se
compõe de uma translação e uma rotação”
O é o ponto para onde se desloca O .
Primeiro realizamos uma translação pura de O para O ,
registrando dois pontos quaisquer A e B .
Os pontos AB correspondentes na posição final são tais que os
dois triângulos são iguais pois o corpo é rígido.
‹ Os dois triângulos podem ser superpostos por uma rotação em
torno de O .
(Rotação de uma partícula) Física 1 14 / 28
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Cinemática de Rotação em Torno de um Eixo Fixo
Sendo a rotação em torno de um eixo
fixo (z ), basta descrevermos o
movimento circular de um ponto
qualquer através das coordenadas
polares r (constante) e .
Definimos o sentido anti-horário como
sendo o positivo de e temos
s r
onde tem que ser dado em radianos
para que essa definição seja válida.
360 corresponde a 2 rad:
rad
180
graus
(Rotação de uma partícula) Física 1 15 / 28
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Cinemática de Rotação em Torno de um Eixo Fixo
i e f são as posições angulares nos instantes ti e tf
Chamamos de deslocamento angular
f i
e definimos velocidade angular média
t
e velocidade angular instantânea
lim
t 0 t
d
dt
Como todas as linhas radiais giram do mesmo ângulo durante o
mesmo t , todos os pontos têm a mesma velocidade
angular
unidade no SI: rad/s, rotações/s ou simplesmente s 1
(Rotação de uma partícula) Física 1 16 / 28
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Cinemática de Rotação em Torno de um Eixo Fixo
Se varia de i para f no intervalo t , teremos a aceleração
angular média
t
e a aceleração angular instantânea
lim
t 0 t
d
dt
Como é o mesmo para todos os pontos do corpo, também
será a mesma.
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Relação entre cinemática angular e linear
O movimento de uma partícula em movimento circular pode ser
descrito tanto pelas grandezas angulares, , e , quanto pelas
lineares s v at . (Vantagem??)
se é dado em rad, s r . Derivando:
ds
dt
d
dt
r ‹ v r . Derivando:
dv
dt
d
dt
r ‹ aT r
Atenção: estas relações são entre os módulos
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(Rotação de uma partícula) Física 1 19 / 28
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Relação entre cinemática angular e linear
s r v r aT r
Linear
a constante:
v v0 a t
x x0 v0 t 1 2 a t2
v 2 v 20 2a x
Angular
constante:
0 t
0 0 t 1 2 t2
2 2
0 2
(Rotação de uma partícula) Física 1 20 / 28
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Grandezas vetoriais na rotação
Na descrição do movimento de translação, ao passarmos de uma
para 3 dimensões, temos que trabalhar com as grandezas
vetoriais r v a .
Para passar a rotação em torno de um ponto fixo, podemos
definir vetores ?
(Rotação de uma partícula) Física 1 21 / 28
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Grandezas vetoriais na rotação
Na descrição do movimento de translação, ao passarmos de uma
para 3 dimensões, temos que trabalhar com as grandezas
vetoriais r v a .
Para passar a rotação em torno de um ponto fixo, podemos
definir vetores ?
(Rotação de uma partícula) Física 1 21 / 28
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Para que uma grandeza seja um vetor ela deve obedecer a
algumas propriedades, p. ex., comutatividade da adição:
1 2 2 1
O deslocamento angular não é um vetor
(Rotação de uma partícula) Física 1 22 / 28
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Porém as rotações infinitesimais d são comutativas:
ds r d
Como o deslocamento é infinitesimal
dS pode ser considerado como sendo
tangente ao arco e podemos escrever
ds d r
Considerando dois deslocamentos
infinitesimais, o vetor r é o mesmo
para os dois:
ds1 d 1 r ds2 d 2 r
ds ds1 ds2 d 1 r d 2 r d 1 d 2 r
A rotação infinitesimal resultante é a soma d 1 d 2 d 2 d 1
‹ d é vetor!!
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Relação entre cinemática angular e linear - Vetorial
Relação entre cinemática angular e linear - Forma Vetorial
Podemos escrever: s r v r ?
NÃO!! ERRADO!!
ds d r
ds
dt
d
dt
r
v r
Note que não há movimento na direção do vetor, o movimento
é na direção perpendicular a ele.
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BEE
-
→ → →
→
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Relação entre cinemática angular e linear - Vetorial
Relação entre cinemática angular e linear - Forma Vetorial
Podemos escrever: s r v r ? NÃO!! ERRADO!!
ds d r
ds
dt
d
dt
r
v r
Note que não há movimento na direção do vetor , o movimento
é na direção perpendicular a ele.
(Rotação de uma partícula) Física 1 24 / 28
-
- → →
-
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Exercícios
Um motor que move um moinho é desligado quando este último
gira a 240 rpm. Após 10 s, a velocidade angular é 180 rpm. Se a
desaceleração angular permanecer constante, quantas rotações
adicionais ele faz até parar? R: 45 voltas
O volante de uma máquina a vapor desenvolve uma velocidade
angular constante de 150 rpm. Quando o motor é desligado, o
atrito dos mancais e do ar fazem com que a roda pare em 2,2
horas. (a) Qual é a aceleração angular média da roda? (b)
Quantas rotações fará a roda antes de parar? (c) Qual é a
aceleração tangencial de uma partícula distante 50 cm do eixo de
rotação, quando o volante estiver girando a 75 rpm? (d) Qual é o
módulo da aceleração total da partícula no instante do item (c)?
R: a) 2 10 3rad/s b) 104 voltas c) at 1 10 3m/s2 d)
a 30 8m/s2
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2
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(Rotação de uma partícula) Física 1 26 / 28
Wo = 240 rpm = 4 MM f = 150 rpm
W = 180 rpm =3 rpt Wo = zrf = 2511 = 15.7 radls
60
× cte : W = Wo t X £ W = O
1 = - 10 x ⇒ X =
- 0,1 Ups
?
t = 2
,
2h = 79 Is
FET
.
?E.TK#?t:ittEtIi:I::::I"4
w£
= Wd - 2 x DO me voltas = D- = 10
2T
0 = 32 - 2×0.1 DO e) at = xr = - 2 153×50×152=-1 ooxio
- ]
DO = 9 × 5 = 45 rotaries at = - 1×10 - Is 2] d) let =oi+#
AR = I f= 75 rpm
^
W = 7.85 rad A v= W R = 3.9 mm
2
an = 3.9*2 = 30 . 8 in /s2
1 oh I = ze . 8 m1s2
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Exercícios
As duas polias de uma máquina estão ligadas por uma correia
que não desliza, conforme mostra a figura. Se os raios das duas
polias são R1 e R2, determine a razão entre as velocidades
angulares das duas polias. Qual das duas gira mais rapidamente?
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se a correia moio desk .k V , e VZ soi igneous
:÷=÷÷=E÷
We > WZ
a
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a) 5 
b) 25 
c) 10 
d) 2,5 
e) 15
#
No
-
= wo t x t
I
Wo
x =
-
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2 t
2
O = wot
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¢0 = wot - lz West2¥
0 = 3- W . t
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W ? = 4.2 +
2×0 ,
0 = ( 5W.)2 - 2 WI O ,
25 at= ufo?
0 , =
 25 voltas
.
30/ 30
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30/ 30
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a)
b )
c )
d)
e)
for wiga : awl
:
Of = ZI
Oa = 6T
was GIE
 W
wf = I =
 I At
At R
At = GI
2 I R Wat :
= - c
zinc = 6¥ = >
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 31
30/ 30
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30/ 30
(Rotação de uma partícula) Física 1 28 / 28
@
&
'
@T×2=gIX
,
aaeaaqos relative
( @ paedo ) X , - xz =
 f- a ,
Chuan do @ dci una
volta O , = 2T wo=O
O
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 I xt
2
: 25 =
 
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,
t2
t = 244€
30/ 30
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