aula Gravitacao

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Física 1
Mecânica
Sandra Amato
Instituto de Física - UFRJ
Lei da Gravitação de Newton
(Vetores) Física 1 1 / 33
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Física 1
Mecânica
Sandra Amato
Instituto de Física - UFRJ
Lei da Gravitação de Newton
(Vetores) Física 1 1 / 33
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Outline
1 Introdução
2 Leis de Kepler
3 Lei da Gravitação Universal
4 Energia Potencial Gravitacional
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Gravitação
A observação do céu e a tentativa de entender o movimento dos
corpos celestes é uma das atividades mais antigas da humanidade.
Ptolomeu - 200 AC - órbitas
circulares em torno da Terra
Copérnico - 1543 - modelo
heliocêntrico
Tycho Brahe - 1546-1601 - Tomou
dados extremamente precisos
Kepler - 1618 - Três Leis de Kepler
com base nos dados de Brahe
Galileo - 1609 - Usou o telescópio,
observou 4 satélites de Júpiter
Newton - 1687 - Lei da Gravitação
Universal
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Leis de Kepler
Primeira Lei de Kepler
As órbitas descritas pelos planetas em redor do Sol são elipses,
com o Sol em um dos focos.
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Elipse
Uma elipse é o conjunto de
pontos cujas somas das
distâncias desses pontos aos
focos é constante.
Sendo a o semieixo maior e c a semidistância focal, definimos a
excentricidade
e
c
a
Se e 0 ‹ círculo.
Quanto maior e mais achatada é a elipse.
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c
< >
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Sistema Solar
Planeta Semieixo Período e Inclinação
maior (UA) (anos) ( )
Mercúrio 0,39 0,24 0,21 7,00
Vênus 0,72 0,62 0,01 3,39
Terra 1,00 1,00 0,02 0,00
Marte 2,77 1,88 0,09 1,85
Júpiter 5,20 11,86 0,05 1,30
Saturno 9,54 29,46 0,06 2,49
Urano 19,19 84,07 0,05 0,77
Netuno 30,06 164,80 0,01 1,77
Plutão 39,60 248,60 0,25 17,15
1UA 1 5 1011m 1 5 108km 4000 Distancia Terra Lua
Distância Terra-Lua: 384.400 km
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Leis de Kepler
Segunda Lei de Kepler
O raio vetor que liga um planeta ao Sol descreve áreas iguais em
tempos iguais
Isto significa que quando está na posição mais próxima do Sol
(periélio) o planeta se desloca mais rapidamente do que quando
está na posição mais afastada (afélio)
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Leis de Kepler
Terceira Lei de Kepler
Os quadrados dos períodos de revolução de dois planetas
quaisquer estão entre si como os cubos de suas distâncias médias
ao Sol
T1 T2 2 R1 R2 3 ou R3 T 2 constante
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Newton
As Leis de Kepler foram um passo importante na compreensão
do movimento dos planetas, mas eram Leis empíricas obtidas a
partir das observações de Brahe.
Newton - Cambridge 1665: Peste e
o grande incêncio de Londres. Nesse
período ele desenvolveu:
m série binomial
m fórmula da interpolação de Newton
m cálculo diferencial
m teoria das cores
m cálculo integral
m Lei da Gravitação Universal
Até aí, não se tinha a noção de que as leis que governavam o
movimento dos planetas eram aplicáveis a objetos “terrestres”.
Foi nessa época que ele pensou que a mesma força gravitacional
que fazia com que “uma maçã caísse” era a responsável também
pelos movimentos de corpos celestes longe da Terra.
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Lei da Gravitação Universal
Como a excentricidade das órbitas eram pequenas Newton usou a
aproximação de órbitas circulares.
Nesse caso, pela Segunda Lei de Kepler ele sabia que o
movimento era uniforme e portanto a aceleração era centrípeta.
Que Força causa essa aceleração?
ac v 2 R r 2 R 2 T 2R r 4 2R T 2 r
Pela Segunda Lei de Newton tem que ter uma força nessa direção:
F mac 4m 2R T 2r
3a Lei de Kepler:
R3 T 2 C constante ‹ F 4 2Cm R2r
3a Lei de Newton, o planeta exerce uma força igual e contrária
sobre o Sol, então deveria também ser proporcional à MSol :
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Lei de Newton da Gravitação
Lei da gravitação universal – Newton 1687
“Cada partícula de matéria do universo atrai qualquer outra
com uma força diretamente proporcional ao produto de suas
respectivas massas e inversamente proporcional ao quadrado
da distância que as separa”.
F GmMR2 r
onde G é uma constante Universal, vale para quaisquer objetos
massivos. Foi medida experimentalmente por Sir Cavendish em
1798:
G 6 673 10 11Nm2 kg2
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Força gravitacional de distribuição de massa
Esses resultados já estavam prontos há mais de 10 anos. O
problema que Newton queria resolver era que esta dedução havia
sido feita para duas massas pontuais. Precisava demonstrar que
isso valeria também para uma distribuição uniforme de massa.
Ele então desenvolveu o cálculo diferencial e integral e
demonstrou que
Força gravitacional de distribuição de massa
“A força de uma distribuição esfericamente simétrica sobre
uma partícula fora da distribuição é exatamente a força que
essa partícula sofreria se toda a massa da distribuição
estivesse concentrada em seu centro”.
se a distribuição tem massa total M e raio R, a força F sobre a
partícula de massa m é
F GmMr2 r r R
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Relação da Força Gravitacional com o Peso
Qual a relação entre a Lua e a Maçã?
Um objeto perto da superfície da Terra sente a força
F G
mM
RT h 2
como h RT ‹ F GmM R2T mg
usando MT 5 97 1024 kg , RT 6 38 106m e
G 6 67 10 11 Nm2 kg2
obtemos g 9 8 N/kg
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A Terceira Lei de Kepler e a Segunda Lei de Newton
A Terceira Lei de Kepler pode ser obtida da Lei da Gravitação
Universal:
F G
mM
R2
m
v 2
R
m
2 R T 2
R
G
mM
R2
m
4 2R
T 2
T 2
R3
4 2
GM
constante 2 97 10 19s2 m3
Pode-se demonstrar que ela também é válida para órbitas
elípticas substituindo R pelo semieixo maior.
Note que essa constante é independente da massa do planeta
valendo, portanto, para qualquer planeta.
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A 2a Lei de Kepler e a Cons. do Momento Angular
A Força Gravitacional é uma força central, portanto:
l Mpr v constante
Lembrando que r dr é a área do paralelogramo formado pelos
lados r e dr e observando que a área dA varrida pelo vetor r é
metade da do paralelogramo:
dA
1
2
r dr
1
2
r vdt
L
2Mp
dt
dA
dt
L
2Mp
constante
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Exercício
Você observa a Estação Espacial Internacional (ISS), que está em
uma órbita aproximadamente circular em torno da Terra. Se sua
altitude é 385km acima da superfície da terra, quanto tempo
voce deve esperar para vê-la novamente?
MT 5 97 1024 kg
RT 6 38 106m
G 6 67 10 11 Nm2 kg2
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Exercício
Você observa a Estação Espacial Internacional (ISS), que está em
uma órbita aproximadamente circular em torno da Terra. Se sua
altitude é 385km acima da superfície da terra, quanto tempo
voce deve esperar para vê-la novamente?
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F = Mae T2= 4 Is 6755×103 = 30.5×106
2
-
6 Mm
= we V 6.67 ×
 15
"
, 5.98×103
"
÷2 A T = 5528 s = 92.1 win .
2
GI-r
L
v2iY#
Gm
=let÷
T2= 4 it
Gm
r ÷ RT the = 6370+385
 =
6755 km
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Exercício
Qual deve ser a altura da órbita de um satélite geo-estacionário?
Esta órbita, que se localiza na altura do equador, é chamada de
“Anel de Clarke” em homenagem à Arthur C. Clarke que foi
quem propôs sua utilização nas telecomunicações.
MT 5 97 1024 kg
RT 6 38 106m
G 6 67 10 11 Nm2 kg2
O Brasil possui 5 satélites
geo-estacionários
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Total: 402
2GMM
= MV←
r
Goa=:
-
2¥-
GM
=Gtat
is
= a M¥ 52
T = 24 k = 24×3600=864 oos
~ = 42 169 km
h = or - Rt = 42164 - 6378 ± 56×15
'
km
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Cometa Halley
O cometa Halley se move em uma órbita elíptica alongada em
torno do Sol. As distânciasao Sol no periélio e afélio são
respectivamente 8,75 107 km/ e 5,26 109km, respectivamente.
Determine o comprimento do semieixo maior e o seu período.
A última vez que passou perto da Terra foi em 1986.
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~ 75,5 anos
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Energia Potencial Gravitacional
Usando o Teorema do Trabalho-Energia Cinética e a Conservação
de Energia Mecânica, vimos que podemos definir uma Energia
Potencial a Forças Conservativas:
U x U x0
x
x0
F x dx
No caso da Força gravitacional sobre objetos próximos à
superfície da Terra (h RT ), usamos
F y mg
Escolhemos U y0 0 onde y0 0 (ponto mais baixo, eixo y
orientado para cima)
Ug 0
h
0
m g dy m g h
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Energia Potencial Gravitacional
Se considerarmos agora distâncias grandes, de forma a não ser
mais razoável usar a aproximação h RT , a força é
F G
mM
r 2
r
Antes de calcularmos a Energia Potencial utilizando essa força
precisamos mostrar que esta é uma força conservativa :
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Energia Potencial Gravitacional
Uma Força é conservativa quando o Trabalho realizado por ela
para levar uma partícula de um ponto a outro não depende da
trajetória.
Vamos calcular o Trabalho de
uma Força central para levar
uma partícula de P para Q
W
rf
ri
F dr
rf
ri
F dr
o W não depende do caminho
Toda força central é
conservativa
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Energia Potencial Gravitacional
Uf Ui
rf
ri
F r dr G M m
rf
ri
1
r 2
dr G M m
1
r
rf
ri
Uf Ui G M m
1
rf
1
ri
Como sempre, a escolha do zero de energia potencial é arbitrária.
Uma escolha adequada é Ui 0 em ri
Energia Potencial Gravitacional
U G M mr para r RT
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Energia Potencial Gravitacional
Energia Potencial Gravitacional
F GmMr2 r U
G M m
r para r RT
comentar que U 0
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Movimento de Satélites
Para estudarmos o movimento de satélites, consideramos que
temos um objeto de massa m M de forma que a Terra possa
ser considerado um referencial inercial, e esfericamente simétrica.
A Energia Total do sistema é
E
1
2
mv2
G M m
r
Pela Segunda Lei de Newton:
G M m
r2
mv2
r ‹
G M m
2r
mv2
2
Substituindo na equação de E
E
G M m
2r
G M m
r
G M m
r
para que o satélite se mantenha em óbita E 0
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2
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Velocidade de Escape
Ao lançarmos um objeto para cima ele sobe e retorna à Terra. Se
aumentarmos a velocidade ele sobe a uma altura maior.
Qual a menor velocidade que devemos dar a um objeto para que
ele escape do campo gravitacional Terrestre?
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Velocidade de Escape
A Energia é constante e em qualquer ponto vale
E
1
2
mv 2
G M m
r
Na superfície da Terra: v vi e ri RT . No infinito (r
1
2
mv 2i
G M m
RT
1
2
mv
a menor velocidade será tal que v 0
1
2
mv 2esc
G M m
RT
0
vesc
2GM
RT
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vescT
2GM
RT
2 6 67 10 11 5 98 1024
6 37 106
1 12 104m s
vescT 40 320km h
vesc km h
Mercúrio 15.480
Vênus 37.080
Terra 40.320
Lua 8.280
Marte 18.000
Júpiter 216.000
Saturno 129.600
Urano 79.200
Netuno 86.400
Plutão 3.960
Sol 2.224.800
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(Vetores) Física 1 31 / 33
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(Vetores) Física 1 32 / 33
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