2009.2 2015.1 PF

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Coletânea 
Provas Antigas 
 
P1 - P2 - PF
P1
P2
PF
Física I 
 
 
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO
INSTITUTO DE FI´SICA
FI´SICA I – 2014/1
PROVA FINAL – 4/06/2014
VERSA˜O: A
Nas questo˜es em que for necessa´rio, considere que g e´ o mo´dulo da acelerac¸a˜o da gravidade.
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (10×0,5 = 5,0 pontos)
1. Duas escadas rolantes esta˜o dispostas como mostra a fi-
gura. O aˆngulo de elevac¸a˜o θ de cada escada, em relac¸a˜o
a horizontal e´ o mesmo. As escadas movimentam os de-
graus com velocidades constantes de mesmo mo´dulo v,
medidas em relac¸a˜o a um referencial fixo na Terra. Em
um dado instante, duas pessoas A e B entram simulta-
neamente nas escadas, como mostra a figura, e ao en-
trarem permanecem paradas em relac¸a˜o aos respectivos
degraus. Seja um referencial fixo em B e em translac¸a˜o
relativa ao referencial da Terra. O mo´dulo da velocidade
de A em relac¸a˜o B enquanto A e B esta˜o nas escadas e´
(a) |~vA/B| = 0;
(b) |~vA/B| = vsen θ;
(c) |~vA/B| na˜o e´ constante;
(d) |~vA/B| = 2vcos θ
(e) |~vA/B| = vcos 2θ
2. Treˆs part´ıculas de massas iguais a m movem-se na
auseˆncia de forc¸as externas com velocidades ~v1 = −vıˆ,
~v2=−vıˆ, e ~v3= −vıˆ +vˆ. Num dado instante elas ocu-
pam as posic¸o˜es indicadas na figura abaixo. O vetor
momento angular total ~LO deste sistema de part´ıculas
em relac¸a˜o a origem O do eixo de coordenadas da figura
e´
(a) ~0.
(b) −2avmkˆ.
(c) avmkˆ.
(d) −avmkˆ
(e) −3avmkˆ.
1
3. Duas part´ıculas A e B de massas iguais colidem uni-
dimensionalmente ao longo do eixo OX. Os gra´ficos a
seguir representam as velocidades em func¸a˜o do tempo
para cada part´ıcula. Se ~P e´ o momento linear do sistema
formado pelas duas part´ıculas e K sua energia cine´tica,
podemos afirmar que nessa colisa˜o
(a) ~P se conserva e K na˜o se conserva;
(b) ~P se conserva e K se conserva;
(c) ~P na˜o se conserva e K na˜o se conserva;
(d) ~P na˜o se conserva e K se conserva;
(e) ~P 6= ~0 e K = 0.
4. Dois discos de massas 2m e 3m esta˜o ligados por uma
barra r´ıgida de massa 5m sobre uma mesa horizontal
lisa. Uma forc¸a ~F paralela ao plano da mesa esta´ apli-
cada sobre o primeiro disco em um certo instante, como
mostra a figura (da mesa vista de cima). Nesse instante,
a acelerac¸a˜o do centro de massa do sistema constitu´ıdo
pelos discos e pela barra e´
(a)
~F
5m
;
(b)
~F
10m
;
(c)
~F
3m
;
(d)
~F
2m
;
(e)
~F
8m
.
5. Dois discos A e B de mesmo raio R, constitu´ıdos de
materiais homogeˆneos, repousam sobre uma mesa hori-
zontal lisa. Aplica-se a mesma forca ~F a cada disco, tan-
gencialmente a`s suas respectivas periferias, como indica
a figura, fazendo-os girar em torno de um pino central
O no disco A e O′ no disco B. Considerando a massa
do disco A maior do que a massa do disco B, as relac¸o˜es
entre os mo´dulos dos torques τA e τB, em relac¸a˜o a O e
O′, devido a` forc¸a ~F e os mo´dulos das respectivas ace-
larac¸o˜es angulares resultantes αA e αB sa˜o dadas por
(a) τA = τB e αA = αB;
(b) τA = τB e αA < αB;
(c) τA < τB e αA = αB;
(d) τA = τB e αA > αB;
(e) τA > τB e αA > αB;
6. Uma esfera e´ lanc¸ada rolando sem deslizar subindo um
plano inclinado com velocidade inicial ~v do seu centro de
massa. Um bloco e´ lanc¸ado subindo em translac¸a˜o um
plano inclinado com a mesma inclinac¸a˜o e com a mesma
velocidade inicial ~v do seu centro de massa. No plano
onde se encontra a esfera ha´ atrito suficiente para que
ela permanec¸a rolando sem deslizar e no plano onde esta´
o bloco na˜o ha´ atrito. A relac¸a˜o entre a altura ma´xima
Hb que o bloco atinge e a altura ma´xima He que a esfera
atinge nos respectivos planos e´ dada por
(a) Hb = He, pois tanto a energia cine´tica do bloco
como a da esfera se conserva.
(b) Hb = He, pois tanto a energia mecaˆnica do bloco
como a da esfera se conserva.
(c) Hb > He, pois o bloco desliza sem atrito.
(d) He > Hb, pois a esfera rola sem deslizar.
(e) He > Hb, pois tanto a energia mecaˆnica do bloco
como a da esfera se conserva.
2
7. Uma part´ıcula percorre uma trajeto´ria circular de raio
R onde, no trecho do arco AB, o mo´dulo da sua velo-
cidade e´ reduzido uniformemente, isto e´, com derivada
constante. No ponto A a sua velocidade e´ ~vA, con-
forme ilustrado na figura. Considere a sua acelerac¸a˜o ~a
decomposta segundo duas direc¸o˜es, um componente na
direc¸a˜o radial (acelerac¸a˜o radial) e o outro componente
na direc¸a˜o tangente a` trajeto´ria (acelerac¸a˜o tangencial).
No seu movimento de A para B a afirmativa correta e´
(a) a acelerac¸a˜o ~a tem mo´dulo constante;
(b) a acelerac¸a˜o radial tem mo´dulo constante;
(c) a acelerac¸a˜o tangencial tem mo´dulo constante;
(d) a acelerac¸a˜o tangencial e´ sempre nula;
(e) nenhuma das respostas anteriores e´ correta.
8. Dois proje´teis 1 e 2 sa˜o lanc¸ados simultaneamente e ho-
rizontalmente de alturas h1 e h2 (diferentes) em relac¸a˜o
ao solo. Verifica-se que ambos atingem o mesmo ponto
C no solo e teˆm o mesmo alcance A1 = A2 = A. A
raza˜o v1/v2 entre os mo´dulos v1 e v2 das velocidades de
lanc¸amento dos respectivos proje´teis 1 e 2 e´
(a) h1/h2;
(b) h2/h1;
(c)
√
h1/h2;
(d)
√
h2/h1.
(e)
√
h2/2h1.
9. Uma part´ıcula desloca-se ao longo do eixo x sob a ac¸a˜o
de uma forc¸a conservativa ~F , correspondente a uma
energia potencial U(x), dada pelo gra´fico da figura, na
qual o ponto B e´ um ponto de ma´ximo e C e´ um ponto
de mı´nimo. Para esse potencial, entre as opc¸o˜es abaixo
a u´nica incorreta e´
(a) na posic¸a˜o xB a forc¸a sobre a part´ıcula e´ nula;
(b) na posic¸a˜o xC , tem-se a condic¸a˜o de equil´ıbrio
esta´vel;
(c) o sentido da forc¸a ~F na posic¸a˜o xA e´ positivo;
(d) no deslocamento do corpo de xB para xC o tra-
balho realizado pela forc¸a ~F e´ positivo;
(e) na posic¸a˜o xC a forc¸a ~F e´ nula.
10. Um bloco encontra-se em repouso sobre um plano incli-
nado como indicado na figura. Dentre os diagramas (I),
(II), (III) e (IV), o que melhor representa (ilustrada por
uma seta) a forc¸a total que o bloco exerce sobre o plano
inclinado e´
(a) nenhum dos diagramas;
(b) (I);
(c) (III);
(d) (II);
(e) (IV);
3
Sec¸a˜o 2. Questo˜es discursivas (2×2,5 = 5,0 pontos)
Na˜o sera˜o consideradas respostas sem justificativa; expresse-as somente em func¸a˜o dos dados fornecidos.
1. Um bloco A de massa m esta´ sobre uma mesa horizontal sendo em-
purrado em movimento retil´ıneo por uma forc¸a constante ~F dada,
com velocidade e acelerac¸a˜o de mesmo sentido que a forc¸a; o coe-
ficiente de atrito cine´tico entre o bloco e a mesa e´ µ. Sobre esse
primeiro bloco ha´ um segundo bloco B de mesma massa m e rigi-
damente colado ao primeiro, como indica a figura.
a) Fac¸a um diagrama de forc¸as externas sobre o sistema constitu´ıdo
pelos dois blocos;
b) calcule o mo´dulo a da acelerac¸a˜o com a qual os blocos se
deslocam;
c) Calcule os mo´dulos da forc¸a horizontal e da forc¸a vertical que o
bloco A exerce sobre o bloco B.
2. Dois blocos de massas m e 3m esta˜o ligados por um fio ideal que
passa por uma roldana homogeˆnea, tambe´m de massa m, e de raio
R. A roldana e´ sustentada por um eixo horizontal coincidente com
seu eixo geome´trico de simetria, como ilustra a figura. Na˜o ha´ atrito
entre o eixo e a roldana e o fio na˜o desliza sobre ela. Considere o
intervalo de tempo com um instante inicial em que a roldana e os
blocos esta˜o em repouso e um instante final em que o bloco mais
pesado ja´ desceu uma distaˆncia vertical h. Considere como dados
m, R, h e o mo´dulo g da acelerac¸a˜o da gravidade. O momento de
ine´rcia da roldana relativo ao seu eixo de simetria e´mR2/2. Calcule
a) a variac¸a˜o da energia cine´tica do sistema constitu´ıdo pela roldana
e os blocos no intervalode tempo considerado;
b) o mo´dulo da velocidade do bloco mais pesado no instante final;
c) a raza˜o entre a energia cine´tica de rotac¸a˜o da roldana e a energia
cine´tica total de translac¸a˜o dos dois blocos no instante final.
4
Universidade Federal do Rio de Janeiro
Centro de Cieˆncias Matema´ticas e da Natureza
Instituto de F´ısica
Prova Final de F´ısica IA - 04/06/2014
Respostas para provas h´ıbridas
Gabarito das Questo˜es objetivas (valor=5,0 pontos)
Versa˜o A
Questa˜o (a) (b) (c) (d) (e)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Versa˜o B
Questa˜o (a) (b) (c) (d) (e)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Versa˜o C
Questa˜o (a) (b) (c) (d) (e)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Versa˜o D
Questa˜o (a) (b) (c) (d) (e)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
Questa˜o discursiva 1 (valor=2,5 pontos)
a) valor=0,4 pontos
As forc¸as que agem sobre o sistema formado pelos blocos A e B esta˜o representadas na figura.
As setas indicam o sentido e direc¸a˜o e ao lado delas os seus mo´dulos, como no livro texto. No
diagrama alternativo R corresponde a` forc¸a resultante de contato, P o peso total dos blocos e
F a forc¸a aplicada.
b) valor=1,6 pontos
Pela segunda Lei de Newton, ~Fres = ~R+ ~F + ~fat+ ~P = m~a. Obtemos para os componentes
das forc¸as na direc¸a˜o vertical e horizontal as equac¸o˜es,


F − fat = 2ma (i)
N − 2mg = 0 (ii)
fat = µN (iii)
Das equac¸o˜es (ii) em (iii), obtemos fat = 2µmg. Este resultado ao ser substituido em (i) nos
fornece o valor de a,
a =
F
2m
− µg
c) valor=0,5 ponto
Para o bloco B temos de acordo com a figura e aplicando a segunda Lei
de Newton, nas direc¸o˜es vertical e horizontal,
{
fat(BA) = ma
NBA = mg
Com as equac¸o˜es acima e com o valor de a obtido no item anterior, o
mo´dulo das forc¸as fH horizontal e fV vertical que o bloco A exerce sobre
o bloco B sa˜o,
fH =
F
2
− µmg
fV = mg
2
Questa˜o discursiva 2 (valor=2,5 pontos)
a) valor=1,0 ponto
Como na˜o ha´ forc¸as dissipativas atuando sobre o sistema, a energia mecaˆnica do sistema formado
pela roldana e os blocos e´ conservada, ∆E = ∆K +∆U = 0, logo,
∆K = −∆U = −(∆U1 +∆U2)) = −(−3mgh+mgh)
∆K = 2mgh
b) valor=1,1 pontos
O procedimento para obter a velocidade do bloco de maior massa consiste em:
• obtermos as variac¸o˜es de energia cine´tica de cada constituinte do sistema formado pelo
blocos e pela roldana.
∆K = ∆Kb1 +∆Kb2 +∆KRold
Temos assim: ∆Kb1 = (1/2)3mv
2
f , ∆Kb2 = (1/2)mv
2
f e ∆KRold = (1/2)Iω
2
• uma vez que os blocos adquirem a mesma velocidade e a roldana gira com velocidade
angular ω = v/R vinculada ao movimento dos blocos, podemos expressar a variac¸a˜o de energia
cine´tica total em func¸a˜o da velocidade final dos blocos vf ; lembrando que I = (1/2)mR
2.
∆K =
1
2
(
3mv2f +mv
2
f +
1
2
m��R
2
v2f
��R2
)
=
9
4
mv2f
• comparar a variac¸a˜o de energia cine´tica com o resultado obtido no item a) ∆K = 2mgh.
Logo
9
4
mv2f = 2mgh ∴ vf =
√
8
9
gh
c) valor=0,4 pontos
No ca´lculo da raza˜o entre a energia cine´tica de rotac¸a˜o da roldana KRot e a energia cine´tica
total de translac¸a˜o dos blocos KT temos,
KRot
KT
=
1
2
(1
2
m��R
2
)
v2f
��R2
1
2
(4mv2f)
=
1
8
3
 
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO
INSTITUTO DE FI´SICA
FI´SICA I – 2013/2
PROVA FINAL – 9/12/2013
VERSA˜O: A
Nas questo˜es em que for necessa´rio, considere que g e´ o mo´dulo da acelerac¸a˜o da gravidade.
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (10×0,5 = 5,0 pontos)
1. Uma astronauta com sua caixa de ferramentas encontra-
se no espac¸o sideral pro´xima a` sua nave, todos muito
afastados do restante do universo e com velocidades nu-
las relativamente a um referencial inercial. Em um dado
instante a astronauta arremessa sua caixa de ferramentas
com velocidade de mo´dulo v, conforme indica a figura;
com isso a astronauta percorre uma distaˆncia D ate´ che-
gar a` nave. Sabendo-se que a massa da astronauta e´M e
a da caixa de ferramentas e´ m, conlcu´ımos que o tempo
que a astronauta leva para percorrer a distaˆncia D e´
(a) Dm/Mv;
(b) DM/mv.
(c) D/v;
(d) DM/[(m+M)v];
(e) Dm/[(M +m)v];
2. Um bloco de massa m esta´ em translac¸a˜o retil´ınea sobre
uma superf´ıcie horizontal lisa empurrado por uma forc¸a
constante de mo´dulo F que faz um aˆngulo φ com a ho-
rizontal, como mostra a figura. O mo´dulo N da forc¸a
normal que a superf´ıcie exerce sobre o bloco e o mo´dulo
a da acelerac¸a˜o do bloco sa˜o, respectivamente,
(a) mg e (Fsenφ)/m;
(b) mg e (Fcos φ)/m;
(c) mg + Fsenφ e (Fsenφ)/m;
(d) mg − Fsenφ e (Fcos φ)/m
(e) mg + Fsenφ e (Fcos φ)/m;
1
3. Um proje´til puntiforme de massa m e´ lanc¸ado de um
ponto O de um plano horizontal com velocidade de
mo´dulo v0 e aˆngulo θ0 de lanc¸amento, onde 0 < θ0 <
π/2. O proje´til atinge uma altura ma´xima H e um al-
cance A. Se LH
o
e´ o mo´dulo do momento angular do
proje´til ao atingir a altura ma´xima H e LA
o
, o mo´dulo
do momento angular quando ele atinge o alacance A,
ambos calculados em relac¸a˜o a O, enta˜o
(a) LH
o
= Hmv0sen θ0 e L
A
o
= Amv0cosθ0;
(b) LH
o
=
A
2
mv0cos θ0 e L
A
o
= Amv0senθ0;
(c) LH
o
= Hmv0cos θ0 e L
A
o
= Amv0senθ0;
(d) LH
o
=
A
2
mv0sen θ0 e L
A
o
= Amv0cosθ0;
(e) LH
o
= Hmv0cos θ0 e L
A
o
= 2Hmv0senθ0.
4. Uma barra de comprimento ℓ e massa M repousa, sem
estar fixa, sobre uma mesa horizontal lisa (sem atrito).
Aplicam-se a` barra, simultaneamente, treˆs forc¸as ~F1,
~F2 e ~F3 perpendiculares a ela, de mesma intensidade
F e de sentidos como indicados na figura. As forc¸as
~F1 e ~F3 sa˜o aplicadas nas extremidades e a forc¸a ~F2 no
centro de massa da barra. Os mo´dulos da acelarac¸a˜o
do centro de massa da barra e do torque resultante
sobre ela relativo ao seu centro de massa, imediata-
mente apo´s aplicac¸a˜o das forc¸as, sa˜o, respectivamente,
(a) F/M e zero;
(b) 2F/M e zero;
(c) 3F/M e Fℓ;
(d) 2F/M e Fℓ/2;
(e) 2F/M e 2Fℓ.
5. Uma part´ıcula de massa m esta´ pendurada no teto por
uma mola de constante ela´stica k. Se a part´ıcula e´
solta com velocidade nula na posic¸a˜o em que a mola se
encontra relaxada e na vertical, podemos afirmar que a
mola estica de uma distaˆncia ma´xima h igual a
(a) mg/k;
(b) mg/2k;
(c) 2mg/k;
(d)
√
mgh
k
;
(e)
√
k
mg
.
6. Um disco rola sem deslizar sobre um plano horizontal,
mantendo-se sempre na vertical. Sejam em um certo
instante os pontos A, B e C localizados na perferia do
disco como mostra a figura. Para um referencial fixo no
plano, se v e´ a velocidade do centro de massa do disco, e
vA, vB e vC sa˜o os respectivos mo´dulos das velocidades
dos pontos A, B e C, enta˜o
(a) vA =
√
2 v;
(b) vB = 2v;
(c) vC = v;
(d) vB =
√
2 v.
(e) vA = v
7. Uma part´ıcula de massa m pendurada por um fio ideal
de comprimento ℓ, cuja extremidade e´ presa ao teto, e´
abandonada em repouso com o fio esticado fazendo um
aˆngulo θ0 com a vertical (0 < θ0 < π/2). Sejam, ~T a
forc¸a do fio sobre a part´ıcula, ~P o seu peso e ~v a sua
velocidade, todos os treˆs vetores no instante em que a
part´ıcula passa pelo ponto mais baixo de sua trajeto´ria.
A a opc¸a˜o correta e´
(a) T − P = mv2/ℓ
(b) T + P = mv2/ℓ
(c) T = mv2/ℓ
(d) ~T + ~P = ~0
(e) ~T = ~P .
2
8. Dois proje´teis 1 e 2 sa˜o lanc¸ados simultaneamente e ho-
rizontalmente de alturas h1 e h2 (diferentes) em relac¸a˜o
ao solo. Verifica-se que ambos atingem o mesmo ponto
A no solo. A raza˜o v1/v2 entre os mo´dulos v1 e v2 das
velocidades de lanc¸amento dos respectivos proje´teis 1 e
2 e´
(a)
√
h1/h2;
(b)
√
h2/h1.
(c) h2/h1;
(d) h1/h2;
(e)
√
h2/2h1.
9. Uma part´ıcula desloca-se ao longo do eixo x sob a ac¸a˜o
de uma forc¸aconservativa ~F , correspondente a uma
energia potencial U(x), dada pelo gra´fico da figura, na
qual o ponto C e´ um ponto de mı´nimo. Para este po-
tencial entre as opc¸o˜es abaixo a u´nica incorreta e´
(a) na posic¸a˜o xC , tem-se a condic¸a˜o de equil´ıbrio
esta´vel;
(b) no deslocamento do corpo de xB para xC o tra-
balho realizado pela forc¸a ~F e´ positivo;
(c) o sentido da forc¸a ~F na posic¸a˜o xB e´ positivo;
(d) na posic¸a˜o xC a forc¸a ~F e´ nula.
(e) na posic¸a˜o xB a forc¸a sobre a part´ıcula e´ nula;
10. A figura mostra um trilho perfeitamente liso contido
em um plano vertical. Uma part´ıcula e´ abandonada em
repouso no ponto P1 do trilho e desliza sobre ele sem
nunca perder contato. A part´ıcula passa pelos pontos
P2, P3, P4 e atinge o ponto P5, localizado em uma linha
horizontal passando por P1. No percurso de P1 a P5 a
energia cine´tica da part´ıcula e´
(a) nula em P1 e P5 e ma´xima em P3;
(b) nula em P1 e P5 e mı´nima em P2 e P4;
(c) nula em P1, P3 e P5;
(d) nula em P1 e P5;
(e) nula em P1, P2, P3, P4 e P5;
3
Sec¸a˜o 2. Questo˜es discursivas (2×2,5 = 5,0 pontos)
Na˜o sera˜o consideradas respostas sem justificativa; expresse-as somente em func¸a˜o dos dados fornecidos.
1. Um bloco de massa m, pressionado sobre uma pa-
rede vertical por uma forc¸a horizontal constante
~F , como indica a figura, desce verticalmente com
acelerac¸a˜o para baixo. Os coeficiente de atrito
cine´tico e esta´tico entre o bloco e a parede sa˜o,
respectivamente, µc e µe.
a) Fac¸a um diagrama das forc¸as sobre o bloco;
b) calcule o mo´dulo a da acelerac¸a˜o desse bloco;
c) determine o mo´dulo da forc¸a total ~Fc exercida
pelo bloco sobre a parede.
d) Se, em vez de descendo, o bloco estivesse
em repouso, qual seria o valor mı´nimo Fmin do
mo´dulo da forc¸a horizontal ~F que manteria o
bloco em repouso.
2. Um bloco de massam esta´ preso a um fio de massa
desprez´ıvel e inextens´ıvel, cuja outra extremidade
esta´ enrolada na periferia de um disco homogeˆneo
de massa M e raio R, que pode girar sem atrito
em torno de um eixo fixo horizontal. O bloco e´
abandonado a partir do repouso e desce vertical-
mente fazendo o disco girar sem que haja desliza-
mento do fio sobre o disco. Dado que o momento
de ine´rcia do disco relativo ao seu eixo de rotac¸a˜o
e´ (1/2)MR2 e que a massa do disco e´ o dobro da
massa do bloco, M = 2m, calcule
a) o mo´dulo a da acelerac¸a˜o do bloco em movi-
mento;
b) o mo´dulo T da trac¸a˜o do cabo e o mo´dulo Fe da
forc¸a que o suporte exerce sobre o disco em movi-
mento;
c) a energia cine´tica do bloco apo´s o disco dar uma
volta completa a partir do repouso.
4
Universidade Federal do Rio de Janeiro
Centro de Cieˆncias Matema´ticas e da Natureza
Instituto de F´ısica
Prova Final de F´ısica IA - 9/12/2013
Respostas para provas h´ıbridas
Gabarito das Questo˜es objetivas (valor=5,0 pontos)
Versa˜o A
Questa˜o (a) (b) (c) (d) (e)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Versa˜o B
Questa˜o (a) (b) (c) (d) (e)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Versa˜o C
Questa˜o (a) (b) (c) (d) (e)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Versa˜o D
Questa˜o (a) (b) (c) (d) (e)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
Questa˜o discursiva 1 (valor=2,5 pontos)
a) valor=0,4 ponto
No diagrama esta˜o representadas as forc¸as que agem sobre o
bloco, onde ~P e´ o peso do bloco, ~fc a forc¸a de atrito cine´tica
e ~N a forc¸a que a parede exerce sobre o bloco.
b) valor=1,2 pontos
Pela segunda Lei de Newton ~F + ~fc+ ~N + ~P = m~a e decompondo as forc¸as segundo as direc¸o˜es
horizontal e vertical temos:
na direc¸a˜o horizontal: N − F = 0 (i)
na direc¸a˜o vertical: P − fc = ma (ii)
Como |~fc| = µcN = µcF e P = mg, de (ii)
a =
P − fc
m
→ a = g −
µc
m
F (iii)
c) valor=0,4 ponto
A forc¸a ~F ′C que o bloco exerce sobre a parede e´ obtida pela
soma das reac¸o˜es ~N ′ da normal e ~f ′c da forc¸a de atrito. Por-
tanto |~F ′C| =
√
N ′2 + f ′c
2, como N ′ = N e f ′c = fc = µcF ,
|~F ′C| =
√
F 2 + (µcF )2
|~F ′C| =
√
1 + µ2c F
d) valor=0,5 ponto
A forc¸a mı´nima que permite manter o bloco em repouso corresponde fisicamente a a = 0. Neste
caso µc → µe e ~F = ~Fmin. Portanto do resultado da acelerac¸a˜o (iii),
0 = g −
µe
m
Fmin → Fmin =
mg
µe
2
Questa˜o discursiva 2 (valor=2,5 pontos)
a) valor=1,6 pontos
A dinaˆmica para o disco e o bloco corresponde a:
disco:
∑
i
~τ exti = I~α
bloco:
∑
i
~F exti = m~a,
ale´m da condic¸a˜o de v´ınculo a = αR.
Assim temos, considerando o sentido de rotac¸a˜o positivo como
anti-hora´rio e que |~T | = |~T ′|:


RT = Iα
mg − T = ma
a = αR
⇒


T = (1/2)2mR2/R2 = ma (i)
mg − T = ma
∴ a =
1
2
g
b) valor=0,5 ponto
A trac¸a˜o do fio pode ser obtida de (i), apo´s substituirmos o valor de a encontrado no item
anterior,
T = ma → T =
mg
2
.
Para a forc¸a ~Fe que o eixo exerce sobre o disco temos, ~T + ~Fe+M~g = ~0. Assim, comoM = 2m,
Fe = Mg + T = 2mg +
1
2
mg → Fe =
5
2
mg
c) valor=0,4 ponto
Quando o disco gira de 2pi o bloco cai da distaˆncia d = 2piR. Logo ∆K = Wtotal = Kf , pois
Ki = 0.
O trabalho total e´ dado pelo trabalho das forc¸as ~T e m~g que agem sobre o bloco.
Kf = (mg − T )2piR =
1
2
mg2piR
∴ Kf = pimgR
Obs: uma maneira simples de calcular Wtotal sobre o bloco e´ fazer Wtotal = Fres.d = ma.2piR
= m
g
2
2piR = pimgR !!
3
 
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO
INSTITUTO DE FI´SICA
FI´SICA I – 2013/1
PROVA FINAL – 31/07/2013
VERSA˜O: A
Nas questo˜es em que for necessa´rio, considere que g e´ o mo´dulo da acelerac¸a˜o da gravidade.
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (10×0,5 = 5,0 pontos)
1. Uma u´nica forc¸a atua sobre um objeto em movimento
retil´ıneo. O gra´fico da velocidade do objeto em func¸a˜o
do tempo e´ mostrado na figura. A opc¸a˜o que descreve
o sinal do trabalho realizado pela forc¸a sobre o ob-
jeto em cada um dos intervalos tAB, tBC , tCD e tDE,
respectivamente e´:
(a) +,0,-,+ ;
(b) -, 0, -, +;
(c) +, 0, -, -;
(d) +, +, -, +;
(e) +, +, +, -.
2. Um haltere e´ constitu´ıdo de duas massas m e 2m liga-
das por uma barra fina e r´ıgida de massa desprez´ıvel
e de comprimento a. Ele e´ colocado em um pino O
numa parede vertical de duas maneiras A e B. Na
maneira A a massa m esta´ no pino e na maneira B
ele e´ invertido, veja a figura. Em ambas as situac¸o˜es o
haltere e´ alinhado horizontalmente e liberado a partir
do repouso. Se τA, αA, τB, e αB sa˜o os mo´dulos dos
torques e das acelerac¸o˜es angulares adquiridos imedia-
tamente apo´s libera´-los, respectivamente nas situac¸o˜es
A e B, e´ correto afirmar:
(a) τA > τB e αA > αB;
(b) τA > τB e αA = αB;
(c) τA < τB e αA < αB;
(d) τA > τB e αA < αB;
(e) τA < τB e αA > αB.
1
3. Uma bola desloca-se com velocidade ~v constante so-
bre o tampo de uma mesa horizontal e colide elastica-
mente na lateral da mesa, segundo o aˆngulo α definido
entre a direc¸a˜o de seu movimento e a lateral da mesa
e e´ claro que |~v| = |~v ′|; como mostra a figura. O pro-
cesso de colisa˜o dura um tempo ∆t. Na figura esta˜o
indicadas 4 setas numeradas de 1 a 4. A opc¸a˜o cuja
seta representa a forc¸a me´dia que atua na lateral da
mesa durante a colisa˜o e´:
(a) 4;
(b) 3;
(c) 2;
(d) 1;
(e) nenhuma das respostas anteriores.
4. Dois blocos 1 e 2 de massas iguais a m1 = 2m e
m2 = m esta˜o presos por um fio de massa desprez´ıvel
e inextens´ıvel, e repousam sobre um plano horizontal
sem atrito. Entre os blocos ha´ uma mola de cons-
tante ela´stica k comprimida de uma distaˆncia d, sem
estar presa a eles. Num dado instante corta-se o fio
e os blocos movem-se em sentidos opostos e mesma
direc¸a˜o, sendo v1 o mo´dulo da velocidade do bloco 1.
A distaˆncia d era igual a:
(a)
√
5m
k
v1;
(b)√
3m
k
v1;
(c)
√
5m
k
2v1;
(d)
√
6m
k
v1;
(e)
√
5m
k
v1
2
;
5. Dois discos ideˆnticos A e B, giram com momentos an-
gulares de mesmo mo´dulo em torno de eixos Z e Z ′ or-
togonais a`s suas superf´ıcies. O eixo Z passa pela peri-
feria do disco A e o eixo Z ′ passa pelo centro de massa
do disco B, como mostra a figura. A relac¸a˜o ωA/ωB,
entre as velocidades angulares dos discos e´ dada por:
(o momento de ine´rcia do disco B em relac¸a˜o eixo Z ′
e´ (1/2)MR2)
(a) 1/5;
(b) 1/3;
(c) 1
(d)
√
3;
(e) 2/3.
6. Um corpo e´ solto de uma altura H em um plano in-
clinado de um aˆngulo θ em relac¸a˜o a horizontal. De-
vido ao atrito cine´tico, ao chegar na base do plano
a sua velocidade tem mo´dulo v. O mesmo corpo
quando solto nas mesmas condic¸o˜es em plano incli-
nado ideˆntico mas sem atrito, ao chegar na base deste
plano, o mo´dulo da sua velocidade e´ o triplo do caso
anterior. O coeficiente de atrito cine´tico do corpo com
o plano, µc, e´ igual a:
(a)
7
9
tanθ;
(b)
4
9
tanθ ;
(c)
5
9
tanθ;
(d)
1
9
tanθ;
(e)
8
9
tanθ.
2
7. Num dia chuvoso uma pessoa esta´ parada numa
estac¸a˜o de trem e observa a chuva caindo inclinada de
um aˆngulo θ em relac¸a˜o a direc¸a˜o vertical. Um pas-
sageiro sentado no interior do trem que se move hori-
zontalmente com velocidade de mo´dulo vT em relac¸a˜o
a estac¸a˜o observa a chuva caindo verticalmente. O
mo´dulo da velocidade da chuva vC em relac¸a˜o a pes-
soa da estac¸a˜o e´ igual a:
(a) vT senθ;
(b) vT/cosθ.
(c) vT/senθ ;
(d) vT tanθ;
(e) vT cotθ;
8. Uma forc¸a exerce um impulso J sobre um corpo de
massa m, variando o mo´dulo de sua velocidade de v
para v ′. A forc¸a e o movimento do objeto esta˜o na
mesma direc¸a˜o e sentido. O trabalho realizado pela
forc¸a sobre o corpo vale:
(a) J(v + v ′)/2;
(b) J(v + v ′);
(c) 2J(v + v ′);
(d) J(v + v ′)2/v
(e) na˜o e´ poss´ıvel calcular o trabalho pois a
distaˆncia percorrida pelo corpo na˜o e´ conhe-
cida durante a ac¸a˜o da forc¸a sobre o corpo.
9. Um pequeno corpo e´ lanc¸ado a partir da origem com
velocidade ~v0 segundo um aˆngulo θ com a horizontal.
Outro corpo e´ lanc¸ado (na˜o simultaneamente) hori-
zontalmente de uma altura h com uma velocidade ~v1
de mesmo mo´dulo de v0, como mostra a figura. Qual
deve ser o valor de h tal que eles atinjam o mesmo
ponto x no eixo OX?
(a) (v0senθ)
2/2g
(b) (v0senθ)
2/g
(c) 2(v0senθ)
2/g
(d) (v0sen2θ)
2/2g
(e) (v2
0
senθ)/2g
10. Uma esfera rola sem deslizar sobre uma superf´ıcie ho-
rizontal plana com velocidade vCM no sentido positivo
do eixo horizontal OX. Num dado instante aplica-se
no seu centro de massa uma forc¸a horizontal cons-
tante de mo´dulo F e sentido contra´rio ao eixo OX. A
distaˆncia d percorrida pela esfera ate´ que a sua velo-
cidade angular se anule sera´ igual a: (o momento de
ine´rcia de uma esfera em relac¸a˜o ao eixo que passa
pelo seu centro de massa e´ igual a (I = 2MR2/5)
(a)
5
10
Mv2
CM
F
;
(b)
2
5
Mv2
CM
F
;
(c)
5
7
Mv2
CM
F
;
(d)
2
7
Mv2
CM
F
.
(e)
7
10
Mv2
CM
F
;
3
Sec¸a˜o 2. Questo˜es discursivas (2×2,5 = 5,0 pontos)
1. Um cilindro homogeˆneo de massa M e raio R rola sem deslizar descendo um plano inclinado de um aˆngulo θ, como
mostra a figura. Sabendo que o momento de ine´rcia de um cilindro relativo ao seu eixo de simetria longitudinal e´
MR2/2, responda aos itens:
a) em um diagrama represente todas as forc¸as que atuam no cilindro.
b) calcule o mo´dulo da acelerac¸a˜o do centro de massa do cilindro;
c) calcule o mo´dulo da forc¸a de atrito esta´tico entre a superf´ıcie do plano inclinado e o cilindro.
2. Uma esfera homegeˆnea de massa M , raio R e momento de ine´rcia I = (2/5)MR2, em relac¸a˜o ao eixo de rotac¸a˜o
que passa pelo seu centro de massa, e´ liberada a partir do repouso de uma altura H do solo em uma rampa sinuosa
como mostra a figura. O trecho CDE da rampa e´ um arco de c´ırculo de raio igual 10R. Ao deslocar-se sobre a
rampa a esfera rola sem deslizar e sem perder contato com a superf´ıcie da rampa. Considere que todas as alturas
sa˜o medidas em relac¸a˜o a` posic¸a˜o do centro da esfera.
a) Qual e´ o mo´dulo da velocidade angular da esfera ao passar pelo ponto mais baixo da rampa, B, cuja altura do
solo e´ h?
b) Qual e´ a altura ma´xima Hmax, a partir da qual, a esfera (liberada a partir do repouso) passe pelo ponto D, o
ponto mais alto do trecho CDE sem perder contato com a superf´ıcie da rampa?
4
Universidade Federal do Rio de Janeiro
Centro de Cieˆncias Matema´ticas e da Natureza
Instituto de F´ısica
Prova Final de F´ısica IA - 31/07/2013
Respostas para provas h´ıbridas
Gabarito das Questo˜es objetivas (valor=5,0 pontos)
Versa˜o A
Questa˜o (a) (b) (c) (d) (e)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Versa˜o B
Questa˜o (a) (b) (c) (d) (e)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Versa˜o C
Questa˜o (a) (b) (c) (d) (e)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Versa˜o D
Questa˜o (a) (b) (c) (d) (e)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
Questa˜o discursiva 1 (valor=2,5 pontos)
a) valor=0,3 pontos
b) valor= 1,7 pontos
O cilindro desloca-se com o movimento dado pela dinaˆmica de rotac¸a˜o e de translac¸a˜o.
translac¸a˜o :
∑
~F ext =M~aCM
rotac¸a˜o :
∑
~τ ext = I~α
Considerando a direc¸a˜o e sentido do movimento de translac¸a˜o do centro de massa, a rotac¸a˜o
em torno do eixo longitudinal do cilindro no sentido anti-hora´rio como positiva, os torques
calculados em relac¸a˜o centro de massa e que ele na˜o desliza sobre a superf´ıcie temos:


Mgsen θ − fat = MaCM
−fatR = −Iα
aCM = αR
→


Mgsen θ − fat = MaCM (i)
fat = IaCM/R
2 (ii)
A soluc¸a˜o do sistema de equac¸o˜es da direita permite obter a acelerac¸a˜o do centro de massa,
aCM =
Mgsen θ
(I/R2 +M)
como I = (1/2)MR2 ∴ aCM =
2
3
gsen θ
c) valor=0,5 ponto
Para obter o valor da for ca de atrito podemos usar a equac¸a˜o (ii) do sistema de equac¸o˜es,
substituindo o valor da aCM obtido do item anterior. Logo,
fat =
IaCM
R2
→ fat =
1
3
Mgsen θ
2
Questa˜o discursiva 2 (valor=2,5 pontos)
a) valor=1,0 ponto
Podemos aplicar o princ´ıpio de conservac¸a˜o da energia mecaˆnica ao sistema rampa esfera, pois
a u´nica forc¸a que realiza trabalho e´ a forc¸a peso. Para as posic¸o˜es inicial (i) e B, temos:
Ei = MgH
EB =Mgh +KR +KT
Sabendo que KR =
1
2
Iω2 e KT =
1
2
Mv2
CM
e que Ei = EB, temos:
MgH = Mgh +
1
2
Iω2
B
+
1
2
Mv2
CM
Como a esfera rola sem deslizar vCM = ωBR e I = ICM = (2/5)MR
2 substituindo estes valores
na igualdade anterior,
MgH = Mgh+
(1
2
.
2
5
MR2
ω2
B
R2
+
1
2
.Mω2BR
2
)
ωB =
1
R
√
10
7
g(H − h)
b) valor=1,5 pontos
Analogamente ao item anterior para aconservac¸a˜o de energia mecaˆnica, com H =Hmax e que
hD e´ a altura na posic¸a˜o D, apo´s aplicarmos a condic¸a˜o de que a esfera rola sem deslizar, temos:
Ei = MgHmax
ED = MghD +KR +KT =MghD +
7
10
Mv2CM
Igualando Ei com ED obtemos MgHmax = MghD +
7
10
Mv2CM .
Na altura Hmax temos a condic¸a˜o limite da esfera perder contato com a superf´ıcie da rampa.
Na posic¸a˜o D pela segunda Lei de Newton ~N + ~P = ~FR, onde ~N e´ forc¸a de contato (normal),
~P o peso da esfera e FR a forc¸a resultante (radial). No limite de perder o contato com a rampa
~N → ~0. Logo ~P = ~FR, em mo´dulo, e note que o centro de massa da esfera percorre o arco de
raio R +RCDE .
Mg = FR = Mv
2
CM/R → v
2
CM = (RCDE +R)g
Como o raio de curvatura no trecho CDE, RCDE = 10R, v
2
CM
= 11Rg Substituindo este
u´ltimo resultado na igualdade da conservac¸a˜o de energia,
MgHmax = MghD +
7
10
11MRg
∴ Hmax = hD + 7
11
10
R
Observac¸a˜o:na versa˜o anterior do gabarito foi usado que o centro de massa da esfera percorre o
arco de raio RCDE = 10R, de tal modo a obtermos o resultado Hmax = hD+7R; este resultado
tambe´m sera´ aceito como uma aproximac¸a˜o correta.
3
 
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO
INSTITUTO DE FI´SICA
FI´SICA I – 2012/2
PROVA FINAL – 04/03/2013
VERSA˜O: A
Nas questo˜es em que for necessa´rio, considere que g e´ o mo´dulo da acelerac¸a˜o da gravidade.
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (10×0,5 = 5,0 pontos)
1. A figura abaixo representa um observador inercial O
fixo na superf´ıcie da Terra. Ele veˆ uma part´ıcula de
massa m caindo verticalmente em queda livre. O que
se pode afirmar sobre o mo´dulo τ0 do torque, devido
a` forc¸a peso, e o mo´dulo ℓ0 do momento angular, refe-
ridos ao observador em relac¸a˜o ao ponto O para esta
part´ıcula durante a sua queda?
(a) τ0 e ℓ0 sa˜o constantes.
(b) τ0 e´ constante e ℓ0 varia linearmente com o
tempo.
(c) τ0 e´ constante e ℓ0 varia quadraticamente com
o tempo.
(d) τ0 e ℓ0 na˜o sa˜o constantes.
(e) τ0 na˜o e´ constante e ℓ0 e´ constante.
2. Um bloco move-se sobre uma superf´ıcie horizontal
com atrito. As forc¸as que agem sobre o bloco esta˜o
indicadas no diagrama abaixo, onde a forc¸a ~F faz um
aˆngulo φ com a horizontal. Se o bloco move-se com
velocidade constante, a opc¸a˜o correta e´ dada por:
(a) ~N = ~P .
(b) ~N = ~Fsenφ+ ~P .
(c) ~N + ~F + ~fat + ~P = ~0.
(d) ~Fcosφ+ ~fat = ~0.
(e) Nenhuma das respostas anteriores.
1
3. Um fio ideal passando por um pequeno orif´ıcio O, so-
bre uma mesa horizontal e sem atrito, liga dois corpos
de dimenso˜es desprez´ıveis. As massas destes corpos
sa˜o m e M , onde o corpo de massa M esta´ pendu-
rado verticalmente. O corpo de massa m descreve
uma trajeto´ria circular com velocidade de mo´dulo v
constante; como mostra a figura. O mo´dulo ℓ0 do mo-
mento angular do corpo de massa m, em relac¸a˜o a O
e´:
(a) ℓO = m
2v3/Mg.
(b) ℓO =M
2v3/mg.
(c) ℓO = m
3v3/M2g.
(d) ℓO = mv
3/g.
(e) Nenhuma das respostas anteriores
4. A figura abaixo representa dois blocos ideˆnticos e de
dimenso˜es desprez´ıveis que giram com velocidade an-
gular comum constante em torno de um eixo que passa
perpendicularmente por O. O fio A que liga um bloco
ao outro tem o mesmo comprimento que o fio B que
liga o bloco mais interno ao centro O da trajeto´ria,
como mostra a figura. A raza˜o TA/TB entre as trac¸o˜es
dos fios A e B e´:
(a) 1/2
(b) 2/3
(c) 1/4
(d) 1
(e) 1/3
5. Uma barra e´ constituida de dois materiais ho-
mogeˆneos, ac¸o (parte clara da barra na figura) e ma-
deira (parte escura da barra), distribu´ıdos em cada
metade da barra. Ela repousa sobre uma mesa hori-
zontal e sem atrito. Aplica-se a mesma forca ~F , per-
pendicularmente ao extremo da barra nas situac¸o˜es
(A) e (B) como indica a figura, fazendo-a girar em
torno de um pino de articulac¸a˜o O na situac¸a˜o (A) e
O′ na situac¸a˜o (B). Considerando a massa da parte
de ac¸o maior do que a massa da parte de madeira, as
relac¸o˜es entre os mo´dulos dos torques ~τ , em relac¸a˜o a
O e O′, devido a` forc¸a ~F e os mo´dulos das acelarac¸o˜es
angulares resultantes α, nas situac¸o˜es (A) e (B), sa˜o
dadas por:
(a) τA = τB e αA = αB;
(b) τA = τB e αA < αB;
(c) τA < τB e αA = αB;
(d) τA = τB e αA > αB;
(e) τA > τB e αA > αB.
6. Uma esfera homogeˆnea e r´ıgida rola sem deslizar sobre
uma superf´ıcie plana e horizontal com velocidade an-
gular constante. Sabendo-se que o momento de ine´rcia
de uma esfera de raio R e de massa M segundo um
eixo de rotac¸a˜o que passa pelo centro de massa e´ igual
(2/5)MR2, a raza˜o entre a energia cine´tica de rotac¸a˜o
da esfera em torno do centro de massa e a sua energia
cine´tica de translac¸a˜o e´ dada por:
(a) 2/5;
(b) 1/5.
(c) 1/2;
(d) 1;
(e) 4/5.
2
7. Considere o processo de colisa˜o entre duas part´ıculas
na auseˆncia de forc¸as externas. Pode-se afirmar sem-
pre que:
(a) Na colisa˜o ela´stica entre part´ıculas de massas
diferentes o centro de massa permanece em re-
pouso apo´s a colisa˜o.
(b) Em uma colisa˜o inela´stica o centro de massa
das part´ıculas diminui de velocidade apo´s a co-
lisa˜o.
(c) A velocidade do centro de massa das part´ıculas
permance constante para qualquer tipo de co-
lisa˜o entre elas.
(d) Em uma colisa˜o totalmente inela´stica o centro
de massa aumenta de velocidade apo´s a colisa˜o.
(e) Em uma colisa˜o em que as part´ıculas teˆm mas-
sas iguais o centro de massa permanece em re-
pouso apo´s a colisa˜o.
8. Um mo´vel descreve uma trajeto´ria circular onde o
mo´dulo de sua velocidade aumenta linearmente com o
tempo. Dos diagramas abaixo, onde as setas indicam
os vetores velocidade e acelerac¸a˜o correspondentes a
este movimento num dado instante t, o que representa
este movimento e´:
(a) I);
(b) IV)
(c) III);
(d) II);
(e) Nenhuma das respostas anteriores.
9. A figura representa o gra´fico v × t do movimento de
um carro que se move em um trecho retil´ıneo de uma
estrada. Entre as figuras I), II), III) qual ou quais po-
deriam representar a posic¸a˜o do carro em func¸a˜o do
tempo correspondente a` figura (A)?
(a) Somente I);
(b) Somente II);
(c) Somente III);
(d) I), II) e III);
(e) I) e III).
10. Um corpo preso a uma mola ideal descreve um movi-
mento circular e uniforme, onde a mola permanece
distendida de ∆ℓ. Afirma-se que: I) a acelerac¸a˜o
tangencial do corpo e´ nula. II) A acelerac¸a˜o radial
(centr´ıpeta) do corpo e´ nula. III) A energia potencial
da mola e´ nula. IV) A energia mecaˆnica do sistema
massa-mola e´ nula. Das afirmac¸o˜es I), II), III) e IV)
as corretas sa˜o:
(a) I) e II)
(b) I) e IV)
(c) Somente III)
(d) III) e IV)
(e) Somente I)
3
Sec¸a˜o 2. Questo˜es discursivas (2×2,5 = 5,0 pontos)
1. Um bloco de massa m desliza sem atrito por um plano inclinado de um aˆngulo θ com a horizontal, partindo do
repouso de uma altura H ate´ atingir uma regia˜o plana, tambe´m sem atrito. Nesta regia˜o, ele colide elasticamente
com outro bloco, de massa 2m, que se encontra em repouso, fazendo com que este suba por um segundo plano
com a mesma inclinac¸a˜o do primeiro. Este segundo plano tem atrito, cujo coeficiente de atrito cine´tico entre a sua
superf´ıcie e a do bloco de massa 2m e´ µc. Determine:
a) o mo´dulo da velocidade com que o bloco de massa m atinge o de massa 2m;
b) as velocidades dos blocos apo´s a colisa˜o;
c) a altura H ′, atingida pelo bloco de massa 2m no segundo plano;
2. Uma roda e´ formada por um anel de massa M e raio R, atravessado por uma haste homogeˆnea de massa m, como
indicado na figura. Inicialmente, ela gira com velocidade angular ω0 em torno do eixo que passa pelo seu centro e
e´ perpendicular ao plano que a conte´m. Um freio e´ enta˜o acionado. Sabendo-se que a ac¸a˜o do freio produz uma
forc¸a de atrito de mo´dulo F constante e tangencial a periferia do anel (ver a figura), pede-se:
a) determine o mo´dulo da acelarac¸a˜o angular α, produzida pelo freio (o resultado deste item e os resultados dos
dois itens seguintes podem ser expressos em func¸a˜o do momento de ine´rcia da roda I, em torno de seu eixo de
rotac¸a˜o que passa pelo seu centro;
b) calcule o deslocamento angular da roda desde o instante que o freio acionado ate´ o instante que a roda para;
c) escreva o vetor momento angular da roda, ~L, para um dado instante t, em termos dos vetores unita´rios indicados
na figura, onde kˆ aponta para fora do papel.
d) sabendo que o momento de ine´rcia para uma haste de massaM e comprimento L para girar em torno de um
eixo perpendicular a ela passando por seu centro de massa e´ML2/12, e que o momento de ine´rcia de um anel de
massaM e de raio R, em relac¸a˜o a um eixo que passa pelo seu centro de massa e perpendiculat ao plano onde o
anel esta´ contido e´ igualMR2,calcule o momento de ine´rcia da roda (anel-haste) I, com relac¸a˜o ao eixo de rotac¸a˜o
(em termos de M, m e R).
4
Universidade Federal do Rio de Janeiro
Centro de Cieˆncias Matema´ticas e da Natureza
Instituto de F´ısica
Prova Final de F´ısica IA - 04/03/2013
Respostas para provas h´ıbridas
Gabarito das Questo˜es objetivas - 0,5 ponto cada questa˜o
Versa˜o A
Questa˜o (a) (b) (c) (d) (e)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Versa˜o B
Questa˜o (a) (b) (c) (d) (e)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Versa˜o C
Questa˜o (a) (b) (c) (d) (e)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Versa˜o D
Questa˜o (a) (b) (c) (d) (e)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
Questa˜o discursiva 1) - 2,5 pontos
a) valor=0,5 ponto
Ate´ o momento da colisa˜o o bloco de massa m percorre regio˜es onde somente atuam forc¸as
conservativas, portanto a energia mecaˆnica e´ conservada. Considerando o zero da Energia
Potencial gravitacional localizado no plano horizontal temos:
Ei = mgH (a energia mecaˆnica inicial)
Ed =
1
2
mv2m (a energia mecaˆnica imediatamente antes da colisa˜o)
Como Ei = Ed, obtemos:
vm =
√
2gH
b) valor=1,0 ponto
Considerando-se o processo de colisa˜o, na auseˆncia de forc¸as externas na direc¸a˜o hori-
zontal, o momento linear total do sistema conserva-se nesta direc¸a˜o: P inicial = P final.
Designemos vi
1
e vf
1
as velocidades escalares do bloco de massa m antes e depois da
colisa˜o. Para o bloco de massa 2m, vf
2
e´ a sua velocidade escalar apo´s a colisa˜o. A
colisa˜o se da´ somente na direc¸a˜o horizontal, neste caso podemos considera´-la como sendo
unidimensional. Como a colisa˜o e´ ela´stica, a energia cine´tica e´ conservada. Assim temos:
Para a conservac¸a˜o do momento linear : mvi
1
=mvf
1
+ 2mvf
2
(1)
Para a conservac¸a˜o da energia cine´tica :
1
2
m(vi
1
)2 =
1
2
m(vf
1
)2 +
1
2
2m(vf
2
)2 (2)
As equac¸o˜es (1) e (2) consituem um sistema de equac¸o˜es.


vi
1
= vf
1
+ 2vf
2
(vi
1
)2 = (vf
1
)2 + 2(vf
2
)2
Resolvendo-o, por exemplo para v1f , encontramos dois valores para v
f
1
: vf
1
=vi
1
e vf
1
=−1
3
vi
1
.
O primeiro valor na˜o tem significado f´ısico pois implicaria que o bloco de massa m
na˜o alterou a sua velocidade, e o bloco de massa 2m permaneceu em repouso, ou seja, e´
como se na˜o houvesse ocorrido colisa˜o. Assim,
vf
1
= −
1
3
vi
1
→ vf
1
= −
1
3
√
2gH
e
vf
2
=
2
3
vi
1
→ vf
2
=
2
3
√
2gH
apo´s a subsituic¸a˜o de vi
1
= vm =
√
2gH ; o sinal negativo de vf
1
indica que o bloco de
massa m inverte o seu movimento apo´s a colisa˜o.
2
c) valor=1,0 ponto
O bloco de massa 2m apo´s a colisa˜o adquire velocidade deslocando-se para o plano incli-
nado com atrito. No plano a energia mecaˆnica na˜o e´ conservada. Assim,
∆E = Wfat (i).
A energia mecaˆnica inicial para este bloco e´, Ei = Ki =
8
9
mgH. Ao atingir a altura
ma´xima H ′ no plano com atrito Ef = 2mgH
′, pois a sua velocidade se anula nesta altura.
O trabalho da forc¸a de atrito Wfat sobre o bloco e´ dado por,
Wfat = ~fat ◦ ~`
Onde a variac¸a˜o de posic¸a˜o no plano e´ igual ~`; ate´ parar momentaneamente na posic¸a˜o
correspondente a altura H ′. Como ` =
H ′
sen θ
,
Wfat = −µc2mgcos θ
H ′
sen θ
→ Wfat = −µc2mgcot θH
′
Da equac¸a˜o (i) e apo´s substituirmos os valores de Ef e Ei, obtemos
2mgH ′ −
8
9
mgH = −µc2mgcot θH
′
Finalmente,
H ′ =
4
9
H
(1 + µccot θ)
3
Questa˜o discursiva 2) - 2,5 pontos
a) valor=1,0 ponto
A acelerac¸a˜o angular α e´ dada pela relac¸a˜o,
~α =
~τ
I
onde I e´ o momento de ine´rcia da roda e ~τ e´ o torque resultante. Neste caso somente o
freio produz torque. Temos assim,
τ = (−Rıˆ)× (F ˆ) → ~τ = −RF kˆ
Deste u´ltimo resultado ~α = −
RF
I
kˆ. Portanto a componente da acelerac¸a˜o angular e´,
α = −
RF
I
e o seu mo´dulo | − α| = RF/I
De acordo com o sistema de refereˆncia e o sentido de rotac¸a˜o da roda, o valor negativo
da componente do vetor ~α indica que o vetor acelerac¸a˜o angular se opo˜e ao sentido de
rotac¸a˜o da roda, como era de se esperar.
b) valor=0,5 ponto
Para calcular o deslocamento angular, utilizamos a equac¸a˜o ana´loga a de Torricelli apli-
cada a rotac¸a˜o da roda.
ω2f − ω
2
i = 2α∆θ
como ωf = 0, ωi = ω0 e com o valor de α = −
RF
I
, obtemos:
∆θ =
1
2
Iω2
0
RF
c) valor=0,5 ponto
O momento angular inicial ~LiO, em relac¸a˜o ao centro da roda, tem mo´dulo Iω0 e esta´ no
plano perpendicular a` roda, ou seja, e´ paralelo ao eixo z. Como a rotac¸a˜o e´ no sentido
anti-hora´rio, temos para um instante de tempo qualquer,
~LO = Iω(t)kˆ
como ω(t) = ω0 −
RF
I
t.
~LO = I(ω0 −
RF
I
t)kˆ → ~LO = (Iω0 − RFt)kˆ
d) valor=0,5 ponto
O momento de ine´rcia da roda e´ dado por IR = Ihaste+Ianel. Segundo os dados fornecidos
Ihaste = mh(2R)
2/12 e Ianel = maR
2, logo:
IR = (ma +
1
3
mh)R
2
4
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO
INSTITUTO DE FI´SICA
FI´SICA I – 2012/1
PROVA FINAL(PF) – 04/07/2012
VERSA˜O: A
INSTRUC¸O˜ES: LEIA COM CUIDADO!
1. Preencha CORRETA, LEGI´VEL E TOTALMENTE os campos em branco do cabec¸alho do caderno de resoluc¸a˜o,
fornecido em separado.
2. A prova constitui-se de duas partes:
• uma parte objetiva, perfazendo um total de 5,0 pontos, constitu´ıda por dez (10) questo˜es objetivas (de mu´ltipla
escolha), cada uma das quais valendo 0,5 ponto, sem penalizac¸a˜o por questa˜o errada.
• uma parte discursiva, perfazendo um total de 5,0 pontos, constitu´ıda por duas (2) questo˜es discursivas (ou argumen-
tativas ou dissertativas), cada uma das quais valendo 2,5 pontos.
3. Acima da tabela de respostas das questo˜es objetivas, na primeira pa´gina do caderno de resoluc¸a˜o, INDIQUE CLARA-
MENTE A VERSA˜O DA PROVA (A, B,. . . ).
4. O item considerado correto, em cada uma das questo˜es objetivas, deve ser assinalado, A CANETA (de tinta azul ou
preta), na tabela de respostas correspondente do caderno de resoluc¸a˜o
5. E´ vedado o uso de qualquer instrumento eletro-eletroˆnico (calculadora, celular, iPod, etc)
6. Seja organizado e claro.
Formula´rio
sen2θ + cos2θ = 1, sen2θ = 2senθcosθ
sen(α± θ) = senαcosθ ± cosαsenθ, cos(α± θ) = cosαcosθ ∓ senαsenθ
d
dx
xn = nxn−1
∫
xndx =
xn+1
n+ 1
(n 6= −1)
d
dx
senax = acosax,
d
dx
cosax = −asenax
Lei dos senos:
a
senα
=
b
senβ
=
c
senγ
Lei dos cossenos: a2 = b2 + c2 − 2bc cosα
1
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (10×0,5 = 5,0 pontos)
1. Na figura veˆ-se um tubo semicircular de raio R, colocado
verticalmente. Uma part´ıcula de massa m e´ disparada
para o interior do tubo com velocidade de mo´dulo v0.
Na˜o ha´ atrito dentro do tubo. Se g e´ mo´dulo da ace-
lera ca˜o local da gravidade, o mo´dulo da velocidade da
part´ıcula na sa´ıda do tubo e´:
(a)
√
v20 + gR
(b)
√
v20 + 2gR
(c)
√
v20 + 4gR
(d)
√
2v20 + 2gR
(e)
√
v20/2 + gR
2. Treˆs arames de comprimentos iguais a d e massas iguais
a m formam uma estrutura r´ıgida em H, com os arames
perpendiculares entre si. Um dos arames e´ alinhado com
o eixo Z e o H gira com velocidade angular ω constante;
vide a figura. O momento de ine´rcia de uma haste fina,
homogeˆnea, de massa M e de comprimento L, para um
eixo que passa pelo seu centro e´ (1/12)ML2. A energia
cine´tica de rotac¸a˜o da estrutura e´:
(a) (4/3)md2ω2
(b) (1/3)md2ω2 (2/3)md2ω2
(c) (1/6)md2ω2
(d) (1/4)md2ω2
(e) (7/6)md2ω2
3. Um haltere consituido de duas massas M e uma haste
r´ıgida de massa desprez´ıvel e´ fixado em uma parede ver-
tical por um pino passando pelo seu centro C e pode girar
sem atrito em torno do pino. Ele e´ deixado, a partir do
repouso, com uma inclinac¸a˜o θ com a horizontal, como
mostra a figura.Pode-se afirmar que:
(a) Ele permance na posic¸a˜o inicial.
(b) Ele gira ate´ a posic¸a˜o vertical, onde permanece
em repouso.
(c) Ele gira ate´ a posic¸a˜o horizontal, onde permanece
em repouso.
(d) Ele oscila com amplitude angular θ.
(e) Ele oscila com amplitude angular decrescente ate´
parar alinhado horizontalmente.
4. Duas part´ıculas de massas iguais a m e M esta˜o separa-
das por uma distaˆncia D e inicialmente em repouso. Na˜o
ha´ forc¸as externas atuando sobre elas. Considerando que
elas se atraiam com uma forc¸a constante, a distaˆncia da
posic¸a˜o original da part´ıcula de massa m ao ponto onde
elas colidira˜o sera´:
(a) (m/M)D
(b) [m/(m+M)]D
(c) (M/m)D
(d) [M/(m+M)]D
(e) [m/(2m+M)]D
5. Uma part´ıcula desloca-se no plano horizontal XOY , sem
atrito, com velocidade ~v constante, segundo a trajeto´ria
como mostra a figura. Afirma-se que: I) O momento an-
gular em relac¸a˜o a O e´ constante. II) O momento linear
e´ constante. III) A energia mecaˆnica e´ constante. IV)
A energia potencial potencial e´ constante em relac¸a˜o a
origem O. A opc¸a˜o correta e´:
(a) somente I, II e III
(b) somente II, III, IV
(c) somente I, II, IV
(d) I, II, III e IV
(e) somente I, III e IV
6. Uma part´ıcula esta´ sob a influeˆncia de um potencial uni-
dimensional mostrado na figura abaixo. A afirmativa
incorreta que corresponde a situac¸a˜o para a energia
mecaˆnica E da part´ıcula e´:
(a) a posic¸a˜o a e´ um ponto de retorno.
(b) a energia cine´tica em b e´ ma´xima.
(c) a energia cine´tica em c e´ nula.
(d) a forc¸a derivada deste potencial em b e´ nula.
(e) ela pode movimentar-se entre a e d.
2
7. Uma placa em forma de disco de raio R = 2a tem um
pedac¸o extra´ıdo, veja a figura, em forma de disco de raio
r = a. A posic¸a˜o do seu centro de massa em relac¸a˜o a O
e´ igual a:
(a)
2
3
R
(b)
1
3
R
(c)
1
2
R
(d)
π
6
R
1
6
R
(e)
5π
6
R
8. Um corpo move-se na parte interna trilho circular de raio
R, colocado na vertical, com velocidade em mo´dulo cons-
tante. Ele move-se, influenciado pelo seu peso ~P , da forc¸a
de atrito~fat e da normal ~N . Qual das opc¸o˜es abaixo, para
as forc¸as presentes, possui mo´dulo constante?
(a) ~P + ~fat
(b) ~fat + ~N
(c) ~N
(d) ~P + ~fat + ~N
(e) ~fat
9. Uma massa m e´ pendurada por um fio ideal. Ela e´
abandonada da altura h a partir do repouso e colide
com a massa M , tambe´m em repouso, de forma total-
mente inela´stica; vide a figura. Considerando que g e´ o
mo´dulo da acelerac¸a˜o local da gravidade, apo´s a colisa˜o a
raza˜o(h/H) entre h e altura ma´xima H que ambas atin-
gem e´:
(a)
(m+M
m
)2
(b)
m+M
m
(c)
M
m
(d)
( m
M +m
)2
(e)
(m
M
)2
10. Um corpo movimenta-se no plano XOY com a posic¸a˜o
em func¸a˜o do tempo descrita por ~r(t) = rx(t)ˆı + ry(t)ˆ
e velocidade ~v constante, cuja direc¸a˜o passa pela origem.
O corpo movimenta-se na mesma direc¸a˜o dada por ~r(t) e
aproximando-se da origem quando:
(a) vx > 0 e vy > 0
(b) vx < 0 e vy < 0
(c) rxvx < 0 e ryvy < 0
(d) rxvx > 0 e ryvy > 0
(e) Nenhuma das respostas anteriores
3
Sec¸a˜o 2. Questo˜es discursivas (2×2,5 = 5,0 pontos)
1. Uma pequena esfera de massa m e´ ligada por um fio ideal de comprimento ℓ preso ao teto. Ela encontra-se, com o fio,
alinhada verticalmente, quando uma forc¸a horizontal varia´vel ~F , puxa-a lentamente, da posic¸a˜o A ate´ a posic¸a˜o B, com
velocidade escalar constante v e mantendo fio esticado. A amplitude angular entre as posic¸o˜es A e B e´ igual a θ e o valor
da acelerac¸a˜o local da gravidade e´ g. Determine justificando as suas respostas:
a) o trabalho da forc¸a peso entre A e B;
b) o trabalho da trac¸a˜o do fio entre A e B;
c) o trabalho da forc¸a ~F entre A e B;
d) o valor da trac¸a˜o do fio na posic¸a˜o A, ao liberar a esfera de B para A deixando-a cair, sem a acc¸a˜o da forc¸a ~F .
2. Um disco de massa M , raio R e de momento de ine´rcia ICM = (1/2)MR
2 encontra-se em repouso, preso por um pino
pelo seu centro O sobre o plano XOY que e´ perfeitamente liso. Uma got´ıcula de massa m movendo-se com velocidade
~v constante e direc¸a˜o perpendicular ao raio do disco colide com ele na sua periferia, como mostrado na figura. A colisa˜o
ocorre de forma totalmente inela´stica e a got´ıcula permanece no disco apo´s a colisa˜o. Determine, justificando as respostas,
de acordo com os vetores unita´rios indicados na figura:
a) o vetor momento angular total ~Li, em relac¸a˜o ao centro do disco O antes da colisa˜o;
b) o momento de ine´rcia do sistema disco-got´ıcula apo´s a colisa˜o;
c) o mo´dulo da velocidade angular ω com que o sistema disco-got´ıcula gira apo´s a colisa˜o, em relac¸a˜o ao eixo que passa
por O perpendicular ao plano XOY ;
d) a velocidade angular ω′ final do disco, quando apo´s algumas rotac¸o˜es a got´ıcula evapora-se totalmente da superf´ıcie do
disco.
4
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Instituto de F´ısica
Prova Final de F´ısica IA - 04/07/2012
Respostas para provas h´ıbridas
Gabarito das Questo˜es objetivas
Versa˜o A
Questa˜o (a) (b) (c) (d) (e)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Versa˜o B
Questa˜o (a) (b) (c) (d) (e)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Versa˜o C
Questa˜o (a) (b) (c) (d) (e)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Versa˜o D
Questa˜o (a) (b) (c) (d) (e)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Observac¸a˜o: a tarja preta corresponde a questa˜o anulada. Por erro de digitac¸a˜o:
tomando a prova A como refereˆncia: questa˜o 2) item (b) (1/3...)→(2/3...); questa˜o 7) item
(d) (pi/6...)→ (1/6...). Na questa˜o 5) no texto faltou a palavra ...potencial gravitacional...
o que gerou duas possibilidades de respostas (a) e (d).
Questa˜o discursiva 1
a) valor=0.5 pontos
Como o peso e´ uma forc¸a conservativa temos que
W PA→B = −∆U,
onde U e´ a energia potencial gravitacional. Portanto
W PA→B = −mg`(1− cos θ)
b) valor=0.5 pontos
Como a trac¸a˜o e´ sempre perpendicular a trajeto´ria, no deslocamento da esfera de A para
B, ela na˜o realiza trabalho, isto e´,
W TA→B = 0.
c) valor=0.5 pontos
O teorema trabalho-energia nos diz que a variac¸a˜o da energia cine´tica e´ igual ao
trabalho da resultante das forc¸as que atuam na esfera,
∆K = W PA→B +W
T
A→B +W
F
A→B .
Como de A para B a velocidade escalar e´ constante, na˜o ha´ variac¸a˜o da energia cine´tica
e portanto
0 = W PA→B +W
T
A→B +W
F
A→B = −mg`(1− cos θ) + 0 +W
F
A→B .
Assim
W FA→B = mg`(1− cos θ).
d) valor=1.0 pontos
Considere o sistema com a esfera em B mas sem a ac¸a˜o da forc¸a ~F . O sistema e´
conservativo e a conservac¸a˜o da energia mecaˆnica nos leva a (supondo nulo o potencial
gravitacional em A):
1
2
mv2A =
1
2
mv2B +mg`(1− cos θ),
Como |~vB| = v, mv
2
A
= mv2 + 2mg`(1− cos θ) (i).
A segunda lei de Newton aplicada a` esfera, nos diz que ~T + ~P = ~FRes.
Como
∣∣∣ ~FRes
∣∣∣ = mv2A
`
, a segunda lei de Newton em termos das componentes de ~T e ~P ,
e´ expressa por
T −mg = m
v2
A
`
.
Com o valor de mv2
A
obtido em (i), finalmente obtemos o valor da trac¸a˜o,
T = mg +m
v2A
`
=
mv2
`
+mg(3− 2cosθ).
Questa˜o discursiva 2
a) valor=0.5 pontos
Usando diretamente a definic¸a˜o do momento angular, considerando o vetor posic¸a˜o ~r
da got´ıcula, em relac¸a˜o ao ponto O(centro do disco), imeditamente antes da colisa˜o, e de
acordo com com os eixos orientados, temos que,
~Li = m~r × ~v = mRvkˆ
b) valor=0.5 pontos
O momento do de ine´rcia sistema disco-got´ıcula sera´ a soma dos momentos de ine´rcia
do disco e da got´ıcula em relac¸a˜o ao centro do disco O, logo,
IO = Idisco +mR
2 =
(
M
2
+m
)
R2
c) valor=0.7 pontos
No processo de colisa˜o, o torque resultante, devido a`s forc¸as externas exercidassobre
o sistema disco-got´ıcula, em relac¸a˜o ao pino e´ nulo. Portanto o momento angular e´
conservado. Apo´s a colisa˜o, a rotac¸a˜o passa a ser puramente efetuada em torno do ponto
O, assim o momento angular apo´s a colisa˜o sera´ dado por ~Lf = I~ω, onde I e´ o momento
de ine´rcia do sistema em relac¸a˜o a O e ~ω e´ a velocidade angular de rotaca˜o, que queremos
descobrir. Pela conservac¸a˜o do momento angular, encontramos o mo´dulo da velocidade
angular ω:
~Li = ~Lf =⇒ |~Li| = |~Lf |
Portanto,
mRv =
(
M
2
+m
)
R2ω ⇒ ω =
mv(
M
2
+m
)
R
d) valor=0.8 pontos
No processo de evaporac¸a˜o da got´ıcula o momento angular e´ conservado, pois o torque
resultante sera´ sempre nulo. O momento angular apo´s a evaporac¸a˜o da got´ıcula sera´ dado
por ~L′ = Idisco~ω
′. Queremos determinar ω′ = |~ω′|, como o momento angular e´ conservado:
~L′ = ~Lf → |~L
′| = |~Lf | → Idiscoω
′ = Iω
Logo,
ω′ =
Iω
Idisco
⇒ ω′ =
2mv
MR
 
Instituto de F´ısica - UFRJ
Prova Final de F´ısica IA - 2011/2
Obs: em todas as questo˜es em que for necessa´rio, considere que g e´ o mo´dulo da acelerac¸a˜o da gravidade
Questa˜o 1) Um bloco de massam esta´ em repouso na extremidade de uma prancha horizontal de
comprimentoD e massaM . A prancha encontra-se sobre uma superf´ıcie horizontal tambe´m em
repouso em relac¸a˜o ao referencial fixo na Terra. Num dado instante aplica-se sobre a prancha a
forc¸a horizontal ~F constante, como mostra a figura. Os coeficientes de atrito esta´tico e cine´tico
entre o bloco e a prancha sa˜o µe e µc respectivamente. As dimenso˜es do bloco sa˜o muito
pequenas em relac¸a˜o ao comprimento da prancha.
a) Desenhe em um diagrama as forc¸as que atuam no bloco e na prancha(na condic¸a˜o de que
o bloco na˜o desliza sobre a prancha).
b) Que forc¸a ma´xima ~Fmax pode ser aplicada na prancha tal que o bloco na˜o deslize sobre ela?
c) Para uma forc¸a ~F de mesma direc¸a˜o e sentido de ~Fmax mas de intensidade maior, calcule
as acelerac¸o˜es do bloco e da prancha, em relac¸a˜o ao referencial fixo na Terra.
d) Quanto tempo o bloco leva para atingir a outra extremidade da prancha?
Questa˜o 2) Uma part´ıcula de massa m esta´ sujeita a um potencial que depende da posic¸a˜o x,
cuja func¸a˜o U(x) e´ dada pela figura abaixo.
a) Qual e´ a intensidade da forc¸a derivada deste potencial que atua na part´ıcula nas posic¸o˜es
xc e xe e o estado dinaˆmico da part´ıcula nestas posic¸o˜es?
b) Se a part´ıcula tem a energia mecaˆnica E1 calcule a energia cine´tica e potencial da part´ıcula
na posic¸a˜o xa.
c) Para a energia mecaˆnica E2 calcule a velocidade da part´ıcula nas posic¸o˜es xb, xc e xd.
Questa˜o 3) Um pequeno bloco apoiado sobre uma mesa horizontal sem atrito possui massa m.
Ele esta´ preso a uma corda sem massa que passa atrave´s de um buraco na superf´ıcie (veja a
figura). O bloco esta´ inicialmente executando um movimento circular uniforme de raio R e
velocidade angular ω.
a) Qual e´ o vetor momento angular do bloco em relac¸a˜o a` posic¸a˜o do buraco? Use o sistema
de refereˆncia indicado na figura.
b) A seguir, a corda e´ puxada lentamente para baixo, fazendo com que o raio do c´ırculo seja
reduzido a R/2. O momento angular e´ conservado? Por queˆ?
c) Qual a nova velocidade angular?
d) Qual a variac¸a˜o da energia cine´tica do bloco?
e) Qual o trabalho realizado sobre o bloco ao puxar a corda para baixo?
Questa˜o 4) Duas roldanas 1 e 2 de raios R1=R e R2 =2R, massas M1 =m e M2 =4m esta˜o
presas ao teto por cabos que as sustentam passando pelos respectivos eixos de rotac¸a˜o. Um cabo
de massa desprez´ıvel e inextens´ıvel e´ passado por suas periferias e em suas extremidades sa˜o
pendurados verticalmente dois blocos de massas m1=2m e m2=m. Os blocos sa˜o liberados a
partir do repouso. Durante o movimento dos blocos o cabo ao passar pelas roldanas na˜o desliza
e na˜o ha´ atrito entre as roldanas e os seus eixos de rotac¸a˜o. Determine:
a) a raza˜o entre as acelerac¸o˜es angulares α1/α2 das roldanas 1 e 2; justifique a sua resposta.
b) a acelerac¸a˜o com que os blocos se deslocam;
c) os mo´dulos das trac¸o˜es nas regio˜es I, II e III.
Obs: considere cada roldana como se fosse um disco. O momento de ine´rcia de um disco e´
I = (1/2)MR2 , segundo um eixo que passa pelo seu centro e perpendicular a sua superf´ıcie.
Questa˜o 1
a) valor = 1,0 pontos
O diagrama de forc¸as e´ dado na condic¸a˜o em que o bloco na˜o desliza por:
Onde:
~Pp e ~Pb; sa˜o as forc¸as peso da prancha e do bloco;
~N ′′ e´ a forc¸a que o bloco exerce sobre a prancha e ~N ′ a sua reac¸a˜o;
~N e´ a forc¸a que a superf´ıcie exerce sobre a prancha;
~fat e´ a forc¸a de atrito que age sobre o bloco e ~f
′
at a sua reac¸a˜o;
~F e´ a forc¸a extra aplicada sobre a prancha.
b) valor = 0,5 pontos
A segunda Lei de Newton nos diz que ~Fres = m~a, aplicada a` prancha e ao bloco temos,
de acordo com o diagrama de forc¸as e na direc¸a˜o e sentido do movimento:
Prancha:
~F + ~N ′′ + ~Pp + ~N + ~f
′
at = M~ap ⇒ F − f
′
at = Map (1)
Bloco:
~Pb + ~N
′ + ~fat = m~ab ⇒ fat = mab (2)
Para que o bloco e a prancha andem juntos, ou seja, o bloco na˜o desliza ap = ab = a.
Da equac¸a˜o (2) e sabendo que |~fat| = µe| ~N
′| = µemg obtemos a acelerac¸a˜o a:
a = µeg (3)
Como o resultado anterior esta´ ligado a` condic¸a˜o de na˜o deslizamento este valor de a e´ o
seu valor limite e tambe´m o valor limite de |~F | igual a Fmax. Portanto de (1) e (2).
Fmax = (m+M)a ⇒ Fmax = (m+M)µeg (4)
1
c) valor = 0,5 pontos
Quando |~F | > |~Fmax| enta˜o ap 6= ab e a equac¸a˜o (2) torna-se,
µcN
′ = mab ⇒ ab = µcg (5)
Substituindo este resultado na equac¸a˜o (1) temos,
F − µcN = Map ⇒ F − µcmg =Map ∴ ap =
F − µcmg
M
(6)
d) valor = 0,5 pontos
Para calcular o tempo que o bloco leva deslizando sobre a prancha e´ necessa´rio obter o
movimento do bloco em relac¸a˜o a` prancha. Portanto temos, considerando um referencial
localizado na extremidade da prancha:
Para o bloco: ~rb = ~D +
1
2
~abt
2
Para a prancha: ~rp =
1
2
~apt
2
O deslocamento do bloco em relac¸a˜o a` prancha e´:
~rbp = ~rb − ~rp = ~D +
1
2
(~ab − ~ap)t
2
Como o movimento e´ unidimensional, de (5) e (6),
rbp = D +
1
2
(µcg −
F − µcmg
M
)t2 ⇒ rbp = D +
1
2
µc(m+M)g − F
M
t2
Ao alcanc¸ar a extremidade da prancha rbp = 0 no tempo t
∗, logo,
t∗ =
√
2DM
F − µcg(m+M)
2
Questa˜o 2
a) valor = (1,0 pontos)
A forc¸a derivada do potencial(unidimensional) e´ F (x) = −dU(x)/dx. A derivada e´
nula nas posic¸o˜es xc e xe, logo a intensidade de F nestas posic¸o˜es e´ nula, o que caracteriza
um estado de equil´ıibrio. Ale´m disso temos para U(x), na posic¸a˜o xc um mı´nimo e para
xe um ma´ximo. Portanto o estado dinaˆmico da part´ıcula em xc e´ de equil´ıbrio esta´vel e
em xe de equil´ıbrio insta´vel.
b) valor = (0,5 pontos)
Pelo princ´ıpio da conservac¸a˜o da energia mecaˆnica U(x)+K = E. Para a energia E1,
K = E1 − U(x)
Em x = xa,
U(xa) = E1 ⇒ Ka = 0
c) valor = (1,0 pontos)
Para a energia mecaˆnica E2, K = E2 − U(x), e sendo m a massa da part´ıcula,
v(x) =
√
2
m
(E2 − U(x))
Portanto,
x = xb; U(xb) = E2 ⇒ vb = 0
x = xc; U(xc) = 0 ⇒ vc =
√
2
m
E2
x = xd; U(xd) = E2 ⇒ vd = 0
As posic¸o˜es xb e xd sa˜o pontos de retorno e xc onde a energia cine´tica e´ ma´xima!
3
Questa˜o 3
a) valor = (0,5 pontos)
De acordo com sistema de refereˆncia indicado, o momento angular e´:
~l = ~r × ~p = mωR2kˆ.
b) valor = (0,5 pontos)
Sim, o momento angular e´ conservado pois a forc¸a resultante sobre o bloco e´ radial e
portanto na˜o produz torque.
c) valor = (0,5 pontos)
Como momento angular e´ conservado, |~li |= |~lf |, onde |~li |=mωR
2 e |~lf |=mω
′(R/2)2,
de modo que a novavelocidade angular e´
ω ′ = 4ω.
d) valor = (0,5 pontos)
A energia cine´tica inicial do bloco e´ Ki =
1
2
m(ωR)2 e a energia cine´tica final e´ dada
por Kf =
1
2
m(ω′R/2)2 = 2m(ωR)2, de modo que a variac¸a˜o de energia cine´tica e´,
∆K = Kf −Ki =
3
2
m(ωR)2.
e) valor = (0,5 pontos)
Pelo Teorema Trabalho-Energia o trabalho realizado sobre o bloco pela forc¸a ex-
terna(ao puxar o bloco) e´, de acordo com o resultado anterior:
W = ∆K =
3
2
m(ωR)2.
4
Questa˜o 4
a) valor = (0.5 pontos)
Como os fios inextens´ıveis na˜o deslizam sobre as roldanas, devemos ter a1 = a2 = a.
Ou seja, o mo´dulo da acelerac¸a˜o tangencial na borda de cada roldana e´ igual ao mo´dulo
da acelerac¸a˜o dos blocos. A relac¸a˜o entre a acelerac¸a˜o tangencial e a acelerac¸a˜o angular
de cada roldana e´ dada por a = αR. Portanto, temos, com R1 = R e R2 = 2R:
α1R1 = α2R2 ⇒
α1
α2
=
R2
R1
= 2. (1)
b) valor = (1.5 pontos)
Definimos a orientac¸a˜o do sistema de coordenadas e desenhamos os diagramas de
forc¸as que agem sobre cada bloco e sobre as duas polias:
As equac¸o˜es de movimento para os blocos sa˜o
∑
~F1 = m1~a1 ⇒ 2ma = 2mg − TI, (2)∑
~F2 = m2~a2 ⇒ −ma = mg − TIII. (3)
Como os fios sa˜o inextens´ıveis e possuem massas desprez´ıveis, segue que |~T ′
I
| = |~TI| =
TI, |~T
′
II
| = |~TII| = TII, e |~T
′
III
| = |~TIII| = TIII. Logo, as equac¸o˜es de rotac¸a˜o para as duas
roldanas (as forc¸as peso e normal na˜o produzem torque) sa˜o:
∑
~τ1 = I1~α1 ⇒
1
2
mR2
( a
R
)
= RTI − RTII,
∑
~τ2 = I2~α2 ⇒
1
2
(4m)(2R)2
( a
2R
)
= −(2R)TIII + (2R)TII.
Simplificando as equac¸o˜es acima
1
2
ma = TI − TII, (4)
2ma = −TIII + TII. (5)
5
Com as equac¸o˜es (2), (3), (4) e (5) obtemos o sistema:


2ma = 2mg − TI i)
ma = −mg + TIII ii)
1
2
ma = TI − TII iii)
2ma = −TIII + TII iv)
A soluc¸a˜o do sistema acima nos da´:
a =
2
11
g. (6)
c) valor = (0,5 pontos)
De i) e ii) obtemos
TI =
18
11
mg, TIII =
13
11
mg. (7)
De iii) ou iv) segundo os resultados anteriores,
TII =
17
11
mg. (8)
6
Instituto de F´ısica - UFRJ
Prova Final de F´ısica IA - 2011/1
Obs: em todas as questo˜es em que for necessa´rio, considere que g e´ o mo´dulo da acelerac¸a˜o da gravidade
Questa˜o 1) Um atleta esta´ em uma competic¸a˜o de salto em altura, onde ha´ uma vara colocada
em uma trave que e´ o seu obsta´culo a ser transposto. A vara esta´ distante de d da posic¸a˜o
a partir da qual ele efetua o salto com velocidade ~v0 e aˆngulo θ0 desconhecidos. Ao pular ele
passa imediatamente acima da vara. A trajeto´ria do salto, indicada na figura, tem como altura
ma´xima a altura h. Considere o atleta como uma part´ıcula e que o sistema de coordenadas
ZOX esta´ localizado no ponto O, de onde ele salta. Determine:
a) o aˆngulo θ0, em func¸a˜o de d e h;
b) o mo´dulo da sua velocidade inicial v0.
Questa˜o 2) Um carrinho de montanha russa de massa m encontra-se com seus freios ativados
em uma rampa, inclinada de um aˆngulo θ com a horizontal, na imineˆncia de deslizar.
a) Os freios do carrinho sa˜o soltos, e ele comec¸a a deslizar para baixo sem atrito. Determine
o mo´dulo de sua acelerac¸a˜o nesse instante.
b) O carrinho desliza por uma distaˆncia d na superf´ıcie da rampa, e atinge em seguida o in´ıcio
de um loop vertical de raio R. Supondo que o carrinho consiga completar o loop, determine
o mo´dulo de sua velocidade v no ponto mais alto do c´ırculo descrito por ele.
c) Qual a altura mı´nima hmin que a rampa deve ter para que o carrinho atinja esse ponto
mais alto sem perder o contato com o trilho?
Questa˜o 3) Um brac¸o articulado, composto por dois semibrac¸os de comprimento d e massa m
cada, esta´ firmememte preso numa das extremidades a um eixo vertical(r´ıgido) que gira sem
atrito com velocidade ω constante quando os semibrac¸os fazem um aˆngulo reto entre si. Veja a
figura abaixo i). Por meio de um controle remoto, enquanto o sistema gira, o aˆngulo entre os
semibrac¸os e´ alterado para a posic¸a˜o em que eles ficam alinhados como mostra a figura ii).
a) Calcule os momentos de ine´rcia do sistema, formado pelos semibrac¸os, em relac¸a˜o ao eixo
de rotac¸a˜o nas situac¸o˜es i) e ii); denomine-os I e I ′ respectivamente. (Dado: O momento
de ine´rcia de uma barra de comprimento L e massa M , em torno de um eixo perpendicular
a ela e passando por uma de suas extremidades e´ I = (1/3)ML2).
b) Apo´s o alinhamento dos semibrac¸os, figura ii), a velocidade angular altera o seu valor para
ω′ constante, calcule esta nova velocidade. Justifique a sua deduc¸a˜o.
Questa˜o 4) Uma polia presa ao teto esta´ ligada a um bloco por um fio ideal enrolado em torno
do seu ressalto. O bloco que esta´ pendurado verticalmente tem massa m, a massa da polia
M = 2m, raio R = 2r e o raio do ressalto r. A polia inicia o seu movimento a partir do
repouso e pode girar em torno do seu eixo livremente e sem que o fio deslize. O momento de
ine´rcia da polia em relac¸a˜o a um eixo que passa pelo seu centro e perpendicularmente a ela e´
I = (1/2)MR2 . Apo´s o in´ıcio de seu movimento:
a) isole o bloco e a polia e por meio de um diagrama
represente todas as forc¸as que atuam em cada um
deles;
b) de acordo com as leis da dinaˆmica escreva as
equac¸o˜es para a translac¸a˜o do bloco e a rotac¸a˜o
da polia e determine o mo´dulo da acelerac¸a˜o com
que o bloco se movimenta;
c) apo´s a polia dar uma volta completa, qual a ener-
gia cine´tica que o sistema bloco-polia adquiriu?
d) calcule o trabalho exercido pela forc¸a externa re-
sultante sobre o sistema bloco-polia, apo´s ela dar
uma volta completa, e compare-o com o resul-
tado obtido no item anterior. O que conclui-se
desta comparac¸a˜o? Justifique a sua resposta.
Questa˜o 1
a) valor = (2,0 pontos)
Durante a trejeto´ria do atleta no ar este sofre a ac¸a˜o apenas de uma u´nica forc¸a, a forc¸a
peso, que esta´ orientada no sentido negativo do eixo Z e produz uma acelerac¸a˜o constante
g. Portanto, o movimento do atleta pode ser decomposto nas direc¸o˜es Z e X, onde os
movimentos sa˜o uniformemente acelerado e uniforme respectivamente. Observa-se que o
atleta passa necessariamente pelo ponto de coordenda (d, h) que representa o ponto onde
a componente Z da velocidade se anula. As equac¸o˜es hora´rias do movimento sa˜o:


Eixo X : x = v0xt = v0 cos θ0t
Eixo Z : v2z = v
2
z0 − 2gz = v
2
0
sen2θ0 − 2gz
vz = vz0 − gt = v0senθ0 − gt
No ponto mais alto da trajeto´ria, vz=0, t= t
∗, x=d e z=h, substituindo estes resultados
nas equac¸o˜es anteriores:
d = v0 cos θ0.t
∗ i)
v2
0
sen2θ0 = 2g ii)
v0senθ0 = gt
∗ iii)
Substituindo iii) em i): d =
v2
0
g
senθ0.cosθ0, eliminando v0, com a utilizac¸a˜o da equac¸a˜o
ii), temos:
d =
2gh
sen2θ0
1
g
senθ0.cosθ0 =
2h
tanθ0
⇒ tanθ0 =
2h
d
b) valor = (0,5 pontos)
Do resultado anterior, tan(θ0)
2 =
4h
d2
, logo, sen2θ0 =
4h2
d2
.cos2θ0. Substituindo este resul-
tado na eq. ii), obtemos: v2
0
.(
4h2
d2
).cos2θ0 = 2gh, da eq. i), cosθ0 =
d
v0t∗
, portanto:
v2
0
.
(4h2
d2
)
.
d2
v2
0
(t∗)2
=
2h
g
⇒ (t∗)2 =
2h
g
iv)
Das eqs i) e iii), podemos isolar senθ0 e cosθ0. Usando a identidade trigonome´trica
sen2θ0 + cos
2θ0 = 1, obtemos:
g2(t∗)2
v2
0
+
d2
v2
0
(t∗)2
= 1→ v2
0
= g2(t∗)2 +
d2
(t∗)2
Finalmente da eq. iv),
v2
0
= g2.
2h
g
+
gd2
2h
= 2gh+
gd2
2h
⇒ v0 =
√
g(d2 + 4h2)
2h
1
Questa˜o 1(Outra soluc¸a˜o)
a) valor = (2,0 pontos)
O movimento do atleta durante o salto tem como equac¸o˜es para o seu alcance A e
altura ma´xima h,
A = v2
0
.
2senθ0.cosθ0
g
h = v2
0
.
sen2θ0
2g
ii)Como A/2 = d = v2
0
.
senθ0.cosθ0
g
, dividindo a equac¸a˜o ii) por d,
Obtemos,
h
d
=
v2
0
.sen2θ0/2g
v2
0
.senθ0.cosθ0/g
=
tanθ0
2
⇒ tanθ0 =
2h
d
b) valor = (0,5 pontos)
Sabemos que:
h =
1
2
v0z
2
g
→ v2
0
=
2gh
sen2θ0
v2
0
= 2ghcsc2θ0 = 2gh(1 + cot
2θ0) = 2gh(1 +
d2
4h2
)
Portanto,
v0 =
√
g(d2 + 4h2)
2h
ou geometricamente, vide figura! A direc¸a˜o do vetor velocidade ~v0 e´ dada pelo aˆngulo de
lanc¸amento!!
senθ0 =
2h
√
d2 + 4h2
→ sen2θ0 =
4h2
d2 + 4h2)
Mas, v2
0
sen2θ0 = 2gh → v
2
0
=
2gh
sen2θ0
Logo,
v2
0
= 2gh.
(d2 + 4h2)
4h2
⇒ v0 =
√
g(d2 + 4h2)
2h
2
Questa˜o 2
a) valor = (0,7 pontos)
Considerando como eixo x a direc¸a˜o paralela a` superf´ıcie da rampa e como eixo y a
direc¸a˜o perpendicular a` mesma, a segunda lei de Newton para o eixo x pode ser escrita
como:
mg sin(θ) = ma
Logo,
a = g sin(θ)
b) valor = (1,0 pontos)
Temos, K0+U0 = Ksolo+Usolo. Como o carrinho parte do repouso, podemos reescrever
a equac¸a˜o acima como mgh = (1/2)mv2 +mg(2R), onde h = d sin(θ).
Logo, gd sin(θ) = (1/2)v2 + g(2R).
Por fim,
v =
√
2g(d sin(θ)− 2R)
c)valor= (0,8 pontos)
Quando o carrinho encontra-se na imineˆncia de cair, a forc¸a realizada por ele no trilho
e´ nula; consequentemente, a reac¸a˜o do trilho - a Normal - sera´ tambe´m nula. Com isso,
podemos escrever ~N + ~P = m~a simplesmente como:
P = marad = mg =
mv2min
R
vmin =
√
gR
Aplicando a conservac¸a˜o de energia para o sistema, encontramos:
mghmin =
1
2
mv2
min
+mg(2R)
hmin =
gR
2g
+ 2R
hmin =
5R
2
3
Questa˜o 3
a) valor = (1,0 pontos)
Na situac¸a˜o i), o momento de ine´rcia do semi-brac¸o perpendicular ao eixo de rotac¸a˜o e´
igual a
1
3
md2. Para o semi-brac¸o paralelo, como todos os seus elementos de massa esta˜o
a uma mesma distaˆncia d do eixo de rotac¸a˜o, enta˜o, o seu momento de ine´rcia e´ md2.
Assim,
I =
1
3
md2 +md2 ⇒ I =
4
3
md2
Na situac¸a˜o ii), temos, efetivamente, uma barra de comprimento 2d e massa 2m perpen-
dicular ao eixo de rotac¸a˜o e com uma extremidade presa a ele. Logo,
I ′ =
1
3
(2m)(2d)2 ⇒ I ′ =
8
3
md2
c) valor=(1,5 pontos)
Justificativa(0,5 pontos):
Na˜o ha´ torques na direc¸a˜o do eixo de rotac¸a˜o e, portanto, a componente do momento
angular naquela direc¸a˜o e´ constante.
Resultado(1,0 pontos)
Usando a a conservac¸a˜o do momento angular na direc¸a˜o do eixo de rotac¸a˜o, temos,
Iω = I ′ω′
Logo,
ω′ =
I
I ′
ω =
4/3
8/3
ω ⇒
ω
2
4
Questa˜o 4
a) valor = (0,5 pontos)
Veja o diagrama ao lado.


sobre a polia
o peso M~g
a trac¸a˜o ~T exercida pela corda no ponto P, e
a trac¸a˜o ~TO sobre o eixo no suporte fixo no teto


sobre o bloco
o peso m~g, e
a trac¸a˜o ~T ′ exercida pela corda
b) valor= (1,3 pontos)
IO~α = ~OP × ~T
m~a = m~g + ~T ′
Escolhendo o eixo Z vertical de cima para baixo e o eixo X para dentro e perpendicular
ao plano da figura. Temos:
~g = gkˆ; ~T = T kˆ
~α = αıˆ; ~OP × ~T = rT ıˆ
~a = akˆ; ~T ′ = −T ′kˆ
Das equac¸o˜es acima resultam em:
IOα = rT ; (i)
ma = mg − T ′ (ii)
Para o bloco, polia e o desenrolar do fio de massa desprez´ıvel e inexten´ıvel temos adi-
cionalmente as condic¸o˜es:
a = αr e |~T ′| = |~T | (iii)
Das relac¸o˜es (i), (ii) e (iii), onde IO = 1/2MR
2 = (1/2)2m(2r)2 = 4mr2 obtemos:
a =
m
m+ IO/r2
g =
g
5
c) valor= (0,3 pontos)
Uma volta completa corresponde ao fio desenrolar de 2pir, ou seja, o deslocamento vertical
do bloco de h = 2pir. Como a acelerac¸a˜o do bloco e´ constante e igual a a, podemos aplicar
a equac¸a˜o de Torricelli obtendo v2 = 2ah, logo,
K = 1
2
(IOω
2) + 1
2
(mv2) = 1
2
(IO/r
2 +m) v2
K = 1
2
(IO/r
2 +m) (2ah) = mgh ⇒ K = mg.2pir
5
d) valor= (0,4 pontos)
A forc¸a externa resultante atuando sobre o sistema bloco-polia e´ a forc¸a peso que atua no
bloco. O trabalho desta forc¸a, apo´s o bloco deslocar-se de 2pir e´:
WP = ~P ◦ ~h = mg.2pir
Este resultado coincide com o resultado anterior c), pois expressa o Teorema Trabalho-
Energia aplicado ao sistema bloco-polia.
6
 
 
 
 
 
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