APOSTILA5 Matemática Atuarial

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Profº: José Roberto Montello
Bibliografia:
1. C. W. Jordan, Lifes Contingencies - The Society of Actuaries/1975.
2. José Gonzales Galé - Elementos de Cálculo Actuarial - Impresso en La Prenta Lopez - Buenos Aires - Dezembro 1942.
Seguros em caso de morte a prêmios periódicos:
1. Prêmios Anuais:
Temos considerado, até aqui, os valores atuais a prêmios únicos dos distintos tipos de seguros. Quer dizer, o que o segurado deveria pagar à vista pelo seguro contratado. É evidente porém que se todos os contratos fossem celebrados nessas condições, a instituição do seguro teria entrado em colapso.
O seguro não se dirige, salvo casos excepcionais, às pessoas que dispõem de grandes capitais. O seguro se dirige principalmente à pessoas mais modestas, que vivem graças ao trabalho dos pais ou responsáveis. O brusco desaparecimento destes representa um verdadeiro desastre econômico que apenas o seguro pode aliviar. Porem tais pessoas só podem pagar os prêmios dos seguros se estes forem diluídos no tempo, fracionados em prestações periódicas. Inicialmente vamos considerar o caso dos Prêmios Anuais.
O cálculo dos Prêmios Anuais é fácil. Temos de substituir o prêmio único, A, (usaremos simplesmente o símbolo principal para que possamos representar o prêmio único puro de qualquer dos seguros existentes) pelos respectivos prêmios anuais.
Se 
� é o prêmio anual a ser pago por um determinado seguro, seja durante toda a vida do segurado, seja durante um dado número de anos enquanto o segurado esteja vivo, é evidente que o valor atual dos futuros prêmios anuais é uma renda vitalícia ou temporária, conforme o caso, de 
� unidades monetárias calculada sobre a vida do segurado, visto que o pagamento dos prêmios anuais depende dele estar vivo ou não. Se a renda antecipada de 1 valor 
, (também aqui prescindimos de símbolos auxiliares para que se possa sempre adaptar ao caso em questão) então uma renda de 
� valor 
� . 
�. E, como este valor tem de ser igual ao prêmio único, resulta que:;
� . 
� = 
		
Para o seguro de vida inteira, temos:
�� EMBED Equation.3 
Se o seguro de vida inteira será pago por um número determinado, n de prêmios anuais, temos o seguro de vida inteira com pagamentos limitados, onde:
Se se trata de um seguro diferido por n anos com pagamento limitado a n anos, temos:
�
Se o seguro for diferido por n anos e o pagamento vitalício, temos:
�
Se o Seguro for temporário por n anos e for pago através de n prêmios anuais, temos:
�
Se se trata de um capital diferido por n anos, pagável com n prêmios anuais, temos:
�
Para o seguro dotal misto, pagável por n prêmios anuais, temos:
�
Caso o Seguro seja temporário por n anos e pago através de t < n prêmios anuais temos: 
��� EMBED Equation.3 ��� EMBED Equation.3 �
�
Caso o Capital diferido por n anos seja pago com t < n prêmios anuais temos:
�
Caso o seguro total misto seja pago em t < n prêmios anuais temos:
�
Importante: Não é incomum para um segurador estabelecer uma apólice na qual o prêmio anual não é nivelado. Suponhamos, por exemplo, que um seguro de vida inteira estabeleça que cada prêmio pagável durante os primeiros 5 anos seja igual a metade de cada prêmio pagável nos anos subsequentes. Se o prêmio anual inicial for denotado por 
�, o valor de 
� pode ser obtido através da seguinte fórmula:
�
�
NOTA: Nesta situação é necessário colocar a seguinte restrição ao valor mínimo assim obtido para P:
�
É comum encontrar-se prêmios anuais referentes a anuidades diferidas. O prêmio anual pagável durante t anos para uma anuidade diferida por n anos de 1 para (x) é denotado por
�
Na prática, t é normalmente igual a n.
OBS: O símbolo 
� está associado a prêmios antecipados de seguros pagáveis no fim do ano da morte, o símbolo P está associado a prêmios postecipados de seguros pagáveis no fim do ano da morte, o símbolo 
� está associado a prêmios antecipados de seguros pagáveis imediatamente após o falecimento, e o símbolo 
� está associado a prêmios postecipados de seguros pagáveis imediatamente após o falecimento.
2. Os prêmios anuais dos seguros em função das anuidades:
O prêmio único do seguro de vida inteira é:
�
Portanto, o prêmio anual antecipado correspondente é:
�
Do mesmo modo podemos verificar para o seguro dotal misto que:
�
Exercício Modelo: Obter o valor da anuidade vitalícia postecipada em função do Prêmio Único e em função do Prêmio Anual antecipado do Seguro de Vida Inteira.
�
como d = 1 - v = vi = 
� temos que:
�
� 
Agora, de 
�, temos que:
�
�e que, portanto, 
�
Este tipo de exercício é importante para que se possa entender perfeitamente as relações entre anuidades e seguros.
3. Prêmios pagáveis em períodos menores que 1 ano (Prêmios Fracionados)
As Companhias de Seguros, com objetivo de facilitar ainda mais aos seus segurados o pagamento dos prêmios, costumam fracioná-los de modo a que o pagamento seja feito em prestações semestrais, trimestrais, mensais e até mesmo semanais. Tal fracionamento, às vezes, não implica na substituição do prêmio anual por outro semestral, trimestral etc. Se trata apenas do mesmo prêmio anual fracionado em partes iguais e levemente carregado para a cobertura dos juros correspondentes a demora que o fracionamento acarreta. Essas apólices estipulam que, se o segurado falecer tendo pago apenas p das m cotas em que se fracionou o prêmio anual, do capital segurado a ser pago se deduzirá as m-p cotas não pagas no ano do falecimento.
Em geral, no entanto, ocorre é que os prêmios são fracionados em períodos menores que 1 ano, sem que o segurado possa reter da importância segurada as m-p cotas que restavam no falecimento para integralizar o último prêmio anual devido. Neste caso, o prêmio deixa de ser anual e passa a ser semestral, trimestral, etc. É preciso no seu cálculo levar em conta esta nova modalidade. No entanto, a solução dessa situação dessa situação não pode ser mais simples: basta substituir a anuidade 
� pela anuidade fracionada 
�.
Representando por 
�o prêmio fracionado na enésima parte do ano temos que: m . 
��� EMBED Equation.3 � será o valor atual de todos os prêmios, valor atual que deverá ser igual ao Prêmio Único A do seguro. Assim:
�, sendo que de propósito não colocamos índices visto que se trata de um procedimento aplicável a qualquer tipo de seguro.
Como: 
�, teremos para o Seguro de Vida Inteira;
�
Se desejarmos obter o valor do prêmio fracionado, 
�, em função do prêmio anual 
�, teremos que recordar que:
�
substituindo em 
�, obteremos que:
�
�
ou, numa fórmula equivalente, se preferirmos:
�
4. Forma especial de Seguro ( Seguro de remissão de Prestações amortizantes remanescentes de uma dívida:
i) Prestação Financeira que amortiza uma dívida (D) em n anos:
	. Prestação anual antecipada:
	
	. Prestação mensal antecipada:
ii) Prestação a ser paga pelo mutuário durante n anos enquanto estiver vivo para amortizar uma dívida (D):
	. Prestação anual antecipada:
	
	. Prestação mensal antecipada:
NOTA: A diferença entre o valor de 
, que denominaremos Prestação Atuarial, e o valor de 
, que denominaremos de prestação financeira, consiste no fato de que a segunda será paga durante o período certo de n anos (ou de 12 ( n meses) e a primeira será paga enquanto o mutuário estiver vivo e no máximo durante n anos (ou 12 ( n meses).
iii) Prêmios Anual e Mensal do Seguro de remissão das prestações (amortizantes) remanescentes em caso de morte do mutuário durante o período de amortização da dívida:
	. Prêmio anual antecipado:. Prêmio mensal antecipado:
iv) Prêmio Único do Seguro de remissão das prestações (amortizantes) remanescentes em caso de morte do mutuário durante o período de amortização da dívida:
	
	 
 
 ou
	
ou diretamente:
	
	 
 
 ou
	
IMPORTANTE: É preciso tomar muito cuidado com este tipo de seguro quando os prêmios forem fracionados pois, como veremos na apostila nº 6 ao estudarmos “Reservas Matemáticas”, ele é um dos casos onde é bastante possível a ocorrência de Reservas Negativas.
5. Prêmios Puros, Prêmios Carregados e Prêmios Comerciais:
i) Prêmios Puros: São os prêmios resultantes pura e simplesmente do cálculo atuarial relativo a cobertura do risco atuarial (morte, sobrevivência, invalidez, etc), ou seja, a cobertura das contingências que cercam nossa vida. São representados em geral pelas letras A ou P.
ii) Prêmios Carregados: São os prêmios resultantes de se agregar aos Prêmios Puros os custos relacionados com a administração do contrato de seguro (produção, colocação, comissionamento, etc).
São representados em geral por A’ ou P’.
iii) Relação entre os Prêmios Carregados e os Prêmios Puros: 
�
onde: 
� é o percentual de carregamento que depende diretamente do Prêmio cobrado do segurado; 
� é o carregamento fixo, que independe do valor do Prêmio, por exemplo: o custo de emissão da apólice.
Em muitos casos, o valor de 
� é nulo. Portanto:
�. Neste caso, temos que dos Prêmios Comerciais A’ ou P’, (1-
�). A’ ou (1-
�) . P’ correspondem aos Prêmios Puros e 
�. A’ ou 
� . P’ correspondem as sobrecargas para cobertura de despesas.
iv) Prêmios Comerciais: São os prêmios efetivamente pagos pelo segurado, que incluem taxas, impostos, ou outros encargos, incidentes sobre a operação de seguro, que não os que se destinam a que o segurador dê cobertura aos riscos corridos pelo segurado ou aos gastos administrativos da seguradora.
APOSTILA5/scv.
 APOSTILA Nº 5 DE MATEMÁTICA ATUARIAL I
 
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