Prova 1 AMOSTRAGEM

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO
INSTITUTO DE MATEMA´TICA
DEPARTAMENTO DE ME´TODOS ESTATI´STICOS
PROFESSORA: KELLY CRISTINA M. GONC¸ALVES
DISCIPLINA: AMOSTRAGEM
1a Prova
Rio de janeiro, 30 de setembro de 2016
Nome:
Instruc¸o˜es:
• Nas questo˜es a seguir apresente o desenvolvimento e na˜o apenas o resultado final.
• Se for utilizar uma notac¸a˜o diferente das aulas, e´ necessa´rio defini-la.
• Deixe claro todos os resultados utilizados, caso use algum.
• Durante a prova na˜o e´ permitido o uso de quaisquer aparelhos eletroˆnicos, exceto calcu-
ladora.
• Na˜o e´ permitido ir ao banheiro durante a prova.
Qualquer aluno que na˜o seguir estas regras pode ter sua prova anulada.
Boa prova, muita calma e boa sorte! Amostragem e´ o poder! :)
1.[2,5] Considere uma populac¸a˜o comN = 3 elementos, em queD = (1, 3, 4), da qual pretende-
se estimar a me´dia populacional atrave´s da me´dia amostral. Para isso seleciona-se uma
amostra aleato´ria de tamanho n = 2. Considere os planos amostrais A e B, definidos
abaixo:
s : 12 13 23
P (s): 1/3 1/3 1/3
Table 1: Plano amostral A
s : 11 12 13 22 23 33
P (s): 1/9 2/9 2/9 1/9 2/9 1/9
Table 2: Plano amostral B
(a)[1,0] Encontre a distribuic¸a˜o amostral de y¯ sob ambos os planejamentos.
(b)[1,0] Compare, da forma mais completa possı´vel, o estimador me´dia amostral y¯, em relac¸a˜o
aos planos amostrais. Qual dos planos amostrais voceˆ sugere para estimar a me´dia
populacional usando y¯?
(c)[0,5] Na pra´tica e´ possı´vel obter a distribuic¸a˜o amostral exata de um estimador? Justifique
sua resposta.
2.[1,5] Suponha que uma amostra aleato´ria simples e sem reposic¸a˜o de tamanho n = 2 seja
selecionada de uma populac¸a˜o de tamanho N = 3. Considere o seguinte estimador para
a me´dia de uma caracterı´stica de interesse Y:
Se as unidades 1 e 2 forem selecionadas enta˜o y¯∗ = c1Y1 + c2Y2
Se as unidades 1 e 3 forem selecionadas enta˜o y¯∗ = c3Y1 + c4Y3
Se as unidades 2 e 3 forem selecionadas enta˜o y¯∗ = c5Y2 + c6Y3.
(a)[1,0] Que condic¸o˜es devemos impor nas constantes ck, k = 1, . . . , 6 para que este esti-
mador seja na˜o viciado?
(b)[0,5] Entre y¯∗ e y¯, discuta qual dos dois estimadores tem melhores propriedades.
3.[4,0] Uma pesquisa numa populac¸a˜o de 1500 pessoas sobre a popularidade de um hit do mo-
mento foi feita a partir de uma amostra aleato´ria simples com reposic¸a˜o de tamanho 270.
Foi perguntado a cada indivı´duo quantas vezes o mesmo escutou o funk “Malandramente”
em um particular dia da semana e as respostas sumarizadas esta˜o na tabela abaixo:
no de vezes no de indivı´duos
0 190
1 40
2 30
3 10
total 270
(a)[1,2] Calcule um intervalo de confianc¸a de 95% para o nu´mero total de vezes que escutou-
se o funk neste dia.
(b)[1,2] Calcule um intervalo de confianc¸a de 95% para a proporc¸a˜o de pessoas que ouviram
o funk ao menos uma vez neste dia.
(c)[0,4] Discuta, sem fazer ca´lculos, se haveria diferenc¸a significativa nos resultados acima
caso fosse selecionada uma amostra aleato´ria simples sem reposic¸a˜o.
(d)[1,2] Suponha que deseja-se num pro´ximo estudo sorteando uma AASs diminuir o erro
ma´ximo tolerado para a metade do erro obtido na estimac¸a˜o da proporc¸a˜o nesta
pesquisa. Neste caso, qual deveria ser o tamanho da nova amostra coletada?
4.[2,0] Considere uma populac¸a˜o com N elementos, ou seja, U = {1, 2, . . . , N} da qual pretende-
se estimar a me´dia µ, atrave´s de um plano AASs. Considere o seguinte estimador:
y¯st =
Y1 + YN + (N − 2)µˆ2
N
,
em que y1 e yN sa˜o os valores da caracterı´stica de interesse associados ao primeiro e
u´ltimo elementos, respectivamente, os quais sa˜o conhecidos e µˆ2 e´ a me´dia amostral ori-
unda de uma amostra de tamanho n − 2 retirada dos N − 2 (U∗ = {2, 3, . . . , N − 1})
elementos restantes. Verifique se as afirmac¸o˜es abaixo sa˜o verdadeiras ou falsas, justifi-
cando sua resposta.
(a)[1,0] O estimador y¯st e´ na˜o viesado para a me´dia populacional µ.
(b)[1,0] A variaˆncia de y¯st e´ igual a(
N − 2
N
)2(
1− n− 2
N − 2
)
S22
n− 2 , em que S
2
2 =
1
N − 3
N−2∑
i=1
(Yi − µ2)2 e µ2 = 1
N − 2
N−2∑
i=1
Yi.