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Probabilidade e Estat´ıstica
2o. Semestre de 2010
Exerc´ıcio Programado 7 – Versa˜o para o Tutor
Profa. Keila Mara Cassiano (UFF)
1. (Continuac¸a˜o do EP6 ) A probabilidade de que a porta de uma casa esteja trancada a` chave e´ 3/5.
Em um chaveiro ha´ 25 chaves, das quais treˆs abrem essa porta. Sabendo que um indiv´ıduo acabou
de entrar na casa, qual e´ a probabilidade de que a porta estivesse destrancada?
2. (Continuac¸a˜o do EP6 ) A probabilidade de que um aluno saiba a resposta de uma questa˜o de um
exame de mu´ltipla escolha e´ p. Ha´ m respostas poss´ıveis para cada questa˜o, das quais apenas uma
e´ correta. Se o aluno na˜o sabe a resposta para uma dada questa˜o, ele escolhe ao acaso uma das m
respostas poss´ıveis. Se o aluno respondeu corretamente a` questa˜o, qual e´ a probabilidade de que
tenha “chutado” a resposta?
3. Um gerente de banco tem que decidir se concede ou na˜o empre´stimo aos clientes que o solicitam.
Ele analisa diversos dados para estudar a possibilidade de o cliente vir a ficar inadimplente. Com
base em dados passados, ele estima em 15% a taxa de inadimpleˆncia. Dentre os inadimplentes, ele
tem 80% de chance de tomar a decisa˜o certa, enquanto que essa chance aumenta para 95% entre os
clientes adimplentes. Esse gerente acaba de recusar um empre´stimo. Qual e´ a probabilidade de ele
ter tomado a decisa˜o correta?
4. Os circuitos A e B emitem independentemente trac¸os e pontos da seguinte forma: dos sinais emitidos
por A, 2/3 sa˜o trac¸os, enquanto para o circuito B, os pontos sa˜o duas vezes mais prova´veis que os
trac¸os. A escolha do circuito a operar e´ feita no in´ıcio, completamente ao acaso. Sabendo-se que
foram emitidos dois trac¸os, qual e´ a probabilidade de que o terceiro sinal tambe´m seja um trac¸o?
5. A probabilidade de que pelo menos duas de treˆs pessoas, A,B,C, estejam vivas daqui a 8 anos e´
54/125. A probabilidade de que apenas A, dentro desse grupo, esteja viva daqui a 8 anos e´ 3/125 e
a probabilidade de que apenas C morra dentro de 8 anos e´ 2/125. Admitindo que os acontecimentos
definidos pela sobreviveˆncia de A,B,C sejam independentes, calcule a probabilidade de sobreviveˆncia
de cada uma das pessoas ao final de 8 anos.
1
Soluc¸a˜o dos Exerc´ıcios
1. Usando os eventos definidos no Exerc´ıcio Programado 6, temos:
T = porta trancada a` chave
T = porta destrancada
C = chave abre a porta
C = chave na˜o abre a porta
E = pessoa consegue entrar na casa
O diagrama de a´rvore a seguir ilustra a situac¸a˜o descrita no problema.
Como visto, se a porta estiver destrancada, a pessoa entra dentro de casa, ou seja, T ⊂ E. Por outro
lado se a porta estiver trancada, ela tem que sortear uma chave e ha´ 3 possibilidades em 25 de pegar
uma chave que abre a porta. Logo, Pr(C|T ) = 3
25
e, pela regra do complementar, Pr(C|T ) =22
25
.
No Exerc´ıcio Programado 6, calculamos Pr(E) como
Pr(E) = Pr(T ) + Pr(T ∩ C)
= Pr(T ) + Pr(T ) Pr(C|T )
=
2
5
+
3
5
× 3
25
=
50
125
+
9
125
=
59
125
O problema, agora, pede Pr(T |E). Por definic¸a˜o:
Pr(T |E) = Pr(T ∩ E)
Pr(E)
=
Pr(T )
Pr(E)
=
2
5
59
125
=
2
5
× 125
59
=
50
59
2. Usando os eventos definidos no Exerc´ıcio Programado 6, temos:
S = Aluno sabe a resposta
S = Aluno na˜o sabe a resposta
C = Resposta certa
C = Resposta errada
A = aluno acerta a questa˜o
O diagrama de a´rvore a seguir ilustra a situac¸a˜o descrita no problema.
Como visto, se o aluno sabe a resposta, ele escolhe a resposta certa e acerta a questa˜o; logo, S ⊂ A,
Pr(C|S) = 1 e Pr(C|S) = 0. Por outro lado, se ele na˜o sabe a resposta, ele “chuta” e tem 1 chance
em m de acertar; logo, Pr(C|S) = 1
m
e Pr(C|S) = m− 1
m
. Ainda segundo dados do problema,
Pr(S) = p e, portanto, Pr(S) = 1− p.
2
No Exerc´ıcio Programado 6, calculamos Pr(A) como
Pr(A) = Pr(S ∩ C) + Pr(S ∩ C)
= Pr(S) Pr(C|S) + Pr(S) Pr(C|S)
= p× 1 + (1− p)× 1
m
= p+
1− p
m
O problema agora pede Pr(S|A) :
Pr(S|A) = Pr(S ∩A)
Pr(A)
=
Pr(A)− Pr(A ∩ S)
Pr(A)
=
Pr(A)− Pr(S)
Pr(A)
= 1− Pr(S)
Pr(A)
= 1− p
p+ 1−pm
3. Vamos definir os seguintes eventos:
I = cliente ficara´ inadimplente
I = cliente na˜o ficara´ inadimplente
C = gerente concede empre´stimo
C = gerente na˜o concede empre´stimo
Note que na˜o podemos definir as probabilidades dadas em termos de decisa˜o certa ou errada, pois
“certa” depende do cliente, conforme ilustrado no quadro a seguir:
Cliente
Inadimplente Adimplente
Gerente Concede empre´stimo Erro Acerto
Na˜o concede empre´stimo Acerto Erro
Pelos dados do problema e pela regra do complementar, temos que
Pr(I) = 0, 15 =⇒ Pr(I) = 0, 85
Pr(C|I) = 0, 80 =⇒ Pr(C|I) = 0, 20
Pr(C|I) = 0, 95 =⇒ Pr(C|I) = 0, 05
O problema pede Pr(I|C), uma vez que, se o gerente recusou o empre´stimo, sua decisa˜o so´ sera´
acertada se o cliente for inadimplente.
Pr(I|C) = Pr(I ∩ C)
Pr(C)
Veja o diagrama de a´rvore na figura abaixo:
3
Pr(C) = Pr(C ∩ I) + Pr(C ∩ I)
= Pr(I) Pr(C|I) + Pr(I) Pr(C|I)
= 0.15× 0.80 + 0.85× 0.05 = 0, 1625
Logo,
Pr(I|C) = Pr(I ∩ C)
Pr(C)
=
Pr(I) Pr(C|I)
Pr(C)
=
0.15× 0.80
0.1625
= 0, 7385
4. A probabilidade de trac¸o no circuito A e´ 2/3 e no circuito B, 1/3. Vamos indicar por Ti e Pi a
ocorreˆncia de ponto e trac¸o, respectivamente, na i−e´sima transmissa˜o, i = 1, 2, 3. O problema pede
Pr(T3|T1 ∩ T2). Por definic¸a˜o
Pr(T3|T1 ∩ T2) = Pr(T3 ∩ T1 ∩ T2)
Pr(T1 ∩ T2)
Por outro lado, a probabilidade de obtermos 2 ou 3 trac¸os depende de qual circuito foi escolhido.
Logo,
Pr(T1 ∩ T2) = Pr(A ∩ T1 ∩ T2) + Pr(B ∩ T1 ∩ T2)
= Pr(A) Pr(T1 ∩ T2|A) + Pr(B) Pr(T1 ∩ T2|B)
=
1
2
× 2
3
× 2
3
+
1
2
× 1
3
× 1
3
=
5
18
Note que as transmisso˜es sa˜o independentes; por isso, multiplicamos as probabilidades!
Pr(T1 ∩ T2 ∩ T3) = Pr(A ∩ T1 ∩ T2 ∩ T3) + Pr(B ∩ T1 ∩ T2 ∩ T3)
= Pr(A) Pr(T1 ∩ T2 ∩ T3|A) + Pr(B) Pr(T1 ∩ T2 ∩ T3|B)
=
1
2
× 2
3
× 2
3
× 2
3
+
1
2
× 1
3
× 1
3
× 1
3
=
9
54
Logo,
Pr(T3|T1 ∩ T2) = Pr(T3 ∩ T1 ∩ T2)
Pr(T1 ∩ T2) =
9
54
5
18
=
9
54
× 18
5
=
3
5
5. Vamos indicar por A,B,C os eventos relativos a` sobreviveˆncia de cada uma das treˆs pessoas ao
final de 8 anos. Pelos dados do problema, esses eventos sa˜o independentes. Na figura a seguir, a
parte sombreada corresponde ao evento “pelo menos duas pessoas estara˜o vivas ao final dos 8 anos”,
cuja probabilidade e´ 54125 . Note que esse evento pode ser decomposto como a unia˜o de A ∩B (parte
sombreada mais clara), A ∩ C ∩ B (parte sobreada mais escura a` esquerda) e B ∩ C ∩ A (parte
sombreada mais escura a` direita).
Como esses eventos sa˜o mutuamente exlusivos, podemos escrever
Pr(A ∩B) + Pr(A ∩ C ∩B) + Pr(B ∩ C ∩A) = 54
125
4
e pela independeˆncia, resulta que
Pr(A) Pr(B) + Pr(A) Pr(C) Pr(B) + Pr(B) Pr(C) Pr(A) =
54
125
(1)
O problema da´ tambe´m que
Pr(A ∩B ∩ C) = 3
125
e pela independeˆncia,
Pr(A) Pr(B) Pr(C) =
3
125
(2)
A u´ltima relac¸a˜o e´
Pr(A ∩B ∩ C) = 2
125
o que implica que
Pr(A) Pr(B) Pr(C) =
2
125
(3)
Dividindo (2) por (3) termo a termo, obtemos que
Pr(A) Pr(B) Pr(C)
Pr(A) Pr(B) Pr(C)
=
3
125
2
125
=⇒ Pr(B)
Pr(B)
=
3
2
=⇒ 2 Pr(B) = 3 Pr(B) =⇒
2[1− Pr(B)] = 3 Pr(B) =⇒ Pr(B) = 2
5
Substituindo este valor em (3) resulta
2
5
Pr(A) Pr(C) =
2
125
=⇒ Pr(A) Pr(C) = 1
25
=⇒ Pr(A) = 1
25[1− Pr(C)]
Substituindo esta expressa˜o, assim como o valor de Pr(B), em (1) e fazendo p = Pr(C), obtemos o
5
seguinte:
2
5
× 1
25(1− p) +
3
5
× 1
25(1− p)p+
2
5
× p
[
1− 1
25(1− p)
]
=
54
125
=⇒
2
25(1− p) +
3p
25(1− p) + 2p
[
1− 1
25(1− p)
]
=
54
25
=⇒
2 + 3p
25(1− p) + 2p−
2p
25(1− p) −
54
25
= 0 =⇒2 + 3p+ 50p(1− p)− 2p− 54(1− p)
25(1− p) = 0 =⇒
2 + 3p+ 50p− 50p2 − 2p− 54 + 54p
25(1− p) = 0 =⇒
−50p2 + 105p− 52 = 0 =⇒
50p2 − 105p+ 52 = 0 =⇒
p =
105±√1052 − 4× 50× 52
100
=⇒
p =
105±√625
100
=⇒
p =
105± 25
100
=⇒
p = 1, 3 ou p = 0, 80
Como p e´ uma probabilidade, resulta que o valor va´lido e´
p = Pr(C) = 0, 80
ou seja,
Pr(C) =
4
5
e, portanto,
Pr(A) =
1
25(1− 0.8) = 0, 2
ou seja
Pr(A) =
1
5
6