ad1 ipe 2011 1 gabarito edson novo

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
1a AD 2011/1 IPE Licenciatura em Fı´sica Gabarito Coord. Edson Cataldo
1a Questa˜o [2,0 pontos] Dados treˆs conjuntos A, B e C, represente no diagrama de Venn
A
&%
'$B
&%
'$
C
&%
'$
os seguintes conjuntos: (a) (1,0 ponto) [A∩B]− [A∩C] e (b) (1,0 ponto) [Ac∩B]∩ [Cc−A].
Resoluc¸a˜o: Representando cada regia˜o do Diagrama de Venn por Ri, para i = 1,2, · · · ,8, temos a figura a
seguir:
A
&%
'$B
&%
'$
C
&%
'$R4 R6R2
R1
R3 R5
R7R8
(a) A∩B corresponde a`s regio˜es R1 e R2 e A∩C corresponde a`s regio˜es R1 e R3. Portanto, (A∩B)−(A∩C)=R2.
A
&%
'$B
&%
'$
C
&%
'$R2
(b) Ac∩B = {R5, R6, R7, R8}∩{R1, R2, R5, R6}= {R5, R6} e Cc−A = {R2, R4, R6, R8}−{R1, R2, R3, R4}=
{R6, R8}. Logo, [Ac∩B]∩ [Cc−A] = R6.
A
&%
'$B
&%
'$
C
&%
'$R6
2a Questa˜o - [2,0 pontos] Uma escola realizou uma pesquisa com jovens em relac¸a˜o a treˆs modalidades de
esportes que praticam. Considere U o conjunto de todos os jovens entrevistados e os conjuntos dados a seguir:
M = {x ∈ U| x joga futebol} , P = {x ∈ U| x joga voˆlei} , Q = {x ∈ U| x joga basquete}.
Sabe-se que n(U) = 300, n(M) = 32, n(P) = 90, n(Q) = 45, n(M∩P) = 11, n(P∩Q) = 15, n(M∩Q) = 23
e n(M∩P∩Q) = 7.
Determine o nu´mero de jovens que:
(a) (0,5 ponto) jogam apenas futebol.
(b) (0,5 ponto) na˜o jogam voˆlei.
(c) (1,0 ponto) na˜o praticam nenhuma das treˆs modalidades de esporte.
Resoluc¸a˜o:
O diagrama de Venn e´ muito u´til para a resoluc¸a˜o desse problema.
U
M
&%
'$P
&%
'$
Q
&%
'$4
7
16 8
Resoluc¸a˜o :
(a) Temos n(M)−4−7−16 = 32−4−7−16 = 5. Logo, 5 alunos jogam apenas futebol.
(b) Devemos retirar dos 300 aqueles que jogam futebol; isto e´, 90. Logo, a resposta e´ 210.
(c) O nu´mero de jovens que jogam apenas voˆlei e´ dado por 90−4−7−8= 71 e o nu´mero de jovens que jogam
apenas basquete e´ dado por 45−16−7−8 = 14.
Assim, o nu´mero de jovens que praticam pelo menos uma das treˆs modalidades e´ dado por 5+ 71+ 14+
4+7+16+8 = 125. Portanto, o nu´mero de jovens que na˜o praticam nenhuma das treˆs modalidades e´ igual a
300−125 = 175.
3a Questa˜o [1,5 ponto] Considere M e N dois conjuntos. Sabe-se que M tem 40 elementos, N tem 35 elementos
e M∪N tem 55 elementos. Determine o nu´mero de elementos do conjunto M∩N.
Resoluc¸a˜o:
Pelo Princı´pio de Inclusa˜o-Exclusa˜o, escrevemos n(M∪N) = n(M)+ n(N)− n(M∩N). Substituindo os
valores, temos 55 = 40+35−n(M∩N)⇒ n(M∩N) = 20.
4a Questa˜o [2,0 pontos] Quantos nu´meros ı´mpares com seis dı´gitos pode-se formar com os algarismos
1, 2, 4, 6, 7e8?
Resoluc¸a˜o:
Temos,
6×6×6×6×6×6×2 = 15552 possibilidades.
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Caro tutor, considere a resoluc¸a˜o, dada a seguir, no caso em que os dı´gitos sa˜o distintos.
E´ possivel formar duas classes de nu´meros ı´mpares, os terminados com 1 e os terminados com 7, a saber:
1 e 7 . Nos demais trac¸os, os cinco nu´meros restantes podera˜o ser
permutados.
Para os terminados em 1, temos 5×4×3×2×1 = 120 possibilidades e, para os terminados em 7 temos,
tambe´m, 120 possibilidades. No total, podemos formar 240 nu´meros ı´mpares com os seis dı´gitos dados.
5a Questa˜o [2,5 pontos]
O funciona´rio de uma empresa de limpeza deve limpar 6 ambientes de uma empresa. Pore´m, 2 ambientes
sa˜o fa´ceis de limpar e os demais sa˜o difı´ceis. De quantas maneiras distintas o funciona´rio pode ordenar a
limpeza dos ambientes, sabendo que:
(a) [0,5 ponto] Ele quer limpar os ambientes fa´ceis de limpar primeiro.
(b) [1,0 ponto] Ele na˜o quer levar em conta se o ambiente e´ fa´cil de limpar ou na˜o, quando planeja a execuc¸a˜o.
(c) [1,0 ponto] Ele vai limpar primeiro um ambiente fa´cil de limpar, em seguida dois difı´ceis de limpar, em
seguida outro ambiente fa´cil de limpar e, finalmente, dois ambientes difı´ceis de limpar.
Resoluc¸a˜o:
(a) Neste caso, usaremos o Princı´pio Multiplicativo.
2×1︸︷︷︸
fa´ceis
× 4×3×2×1︸ ︷︷ ︸
difı´ceis
= 2×24 = 48 possibilidades.
(b) Neste caso, como o funciona´rio na˜o leva em conta se o ambiente e´ fa´cil ou na˜o de limpar, a situac¸a˜o e´ bem
mais simples: basta fazer a permutac¸a˜o de seis elementos P(6) = 6! = 720 possibilidades.
(c) Seguindo a ordem, temos: um ambiente fa´cil de limpar, dois difı´ceis, um fa´cil, dois difı´ceis.
Portanto, ha´ 2× (4×3)×1× (2×1) = 48 possibilidades.