ANÁLISE COMBINATÓRIA

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ENSINO MÉDIO NOTURNO / 2.ª SÉRIE / DISCIPLINA: MATEMÁTICA 1 
 
Nome: _______________________________________________________ N. º : ____ Turma: ____ 
 
Professor(a) : ________________________________________ ____São Paulo, ____ /____ / 2018 
____________________________________________________________________________________ 
OS 000/12-3b 
 
1- Introdução 
 
A finalidade de Análise Combinatória é o estudo 
da formação de agrupamentos. Daí a necessidade de 
definir regras gerais para a formação de grupos de 
pessoas, objetos, entes matemáticos e estabelecer 
fórmulas para cada tipo de agrupamento. 
 
2- Princípio fundamental da contagem 
 
Analisemos a seguinte questão: 
Um rapaz dispõe de 3 camisas e 2 bermudas. 
De quantos modos distintos ele pode se vestir? 
Indiquemos o conjunto das camisas por C = {c1; 
c2; c3} e as bermudas por B = {b1; b2}. 
Para vestirmos o rapaz precisaremos de uma 
camisa e uma bermuda. 
Podemos ilustrar o nosso problemas com o 
auxílio da árvore das possibilidades, como segue: 
 
Portanto, o número total de opções para 
vestirmos o rapaz é 3 x 2, ou seja, 6. 
Generalizando: 
Sendo A um conjunto com m elementos e B um 
conjunto com n elementos com A e B distintos. 
Para a escolha de um elemento de A e um 
elemento de B, numa certa ordem, existem m.n 
possibilidades. 
Este enunciado é conhecido como regra do 
produto ou princípio fundamental da contagem. 
3- Técnicas de contagem 
 
Seja A = {a, b, c, d} e consideremos os 
“agrupamentos” formados dois a dois. 
Os agrupamentos ab e bc são considerados 
sempre distintos pois diferem pela natureza de um 
elemento. 
Os agrupamentos ab e ba, que diferem apenas 
pela ordem de seus elementos, podem ser considerados 
distintos ou não. 
Existem, portanto, problemas de contagem em 
que os agrupamentos, a serem contados, são 
considerados distintos apenas quando diferem pela 
natureza de pelo menos um dos seus elementos: são as 
combinações. 
Outros casos são considerados distintos 
quando diferem pela natureza como também pela 
ordem: são chamados arranjos. 
Estudaremos três tipos de agrupamentos 
utilizados com freqüência na teoria da contagem que 
são arranjos, permutações e combinações. 
 
4- Arranjos simples 
 
São grupos que diferem entre si pela ordem ou 
pela natureza dos elementos. 
Seja A um conjunto com n elementos. Um 
arranjo dos n elementos, tomados p a p, é qualquer 
subconjunto ordenado de A que tenha p elementos (0 
 p  n). 
O número p chama-se classe do arranjo, e o 
número total de arranjos simples de n elementos 
tomados p a p é dado por: 
p)!-(n
n!
A pn,  
 
Exemplo: 
2 
 
Um cofre possui um disco com 20 letras 
distintas. O segredo de abertura são três letras 
distintas numa certa ordem. Se perdermos este 
segredo quantas tentativas poderão ter que ser feitas 
para abri-lo sem arrombamento. 
 Resolução: 
n = 20 
p = 3 
 
18.19.20
!17
!17.18.19.20
)!320(
!20
3,20 

A 
A20,3 = 6840 
teremos 6840 tentativas 
 
5- Permutação simples 
 
São grupos que diferem entre si pela ordem dos 
elementos. 
As permutações são um caso particular de 
arranjos onde a quantidade de elementos de cada 
grupo é igual ao número total de elementos a serem 
agrupados (n = p). 
O número de permutações de nelementos 
distintos, Pn, é dado por: 
 
Pn = n! 
 
Justificativa: 
n!P n!
0!
n!
n)!(n
n!
AP nnn,n 

 . 
 Exemplo: 
 Quantas permutações ou anagramas podemos 
formar com as letras da palavra PROVA. 
P5 = 5! = 5. 4 .3 .2 . 1 = 120 
PROVA 
PROAV 
PRAVO 
. 
. 
. 
 
 
6– Arranjos com repetição 
 
Como o próprio nome diz, arranjos com 
repetição são arranjos cujos elementos não são 
obrigatoriamente diferentes. 
 
Exemplo: 
Quantas siglas de 3 letras podemos formar com 
as 10 primeiras letras do alfabeto? 
Solução: 
 
Cada resposta tem três casas. 
1ª casa: primeira letra (10 possibilidades) 
2ª casa: segunda letra (10 possibilidades) 
3ª casa: terceira letra (10 possibilidades) 
 
 
 
 
 
 (possibilidades) 
 
Para cada casa teremos 10 possibilidades, 
portanto, pelo Teorema Fundamental da Contagem 
temos: 
P = 10 .10 . 10 = 103 = 1000 possibilidades 
Generalizando o raciocínio para n elementos em 
grupos com k elementos, o número de arranjos com 
repetição (completo) que representaremos por A*n,k é 
dado por: 
 
A*n,k = n
k 
 
7– Permutação com repetição 
 
Nas permutações com repetição (completas), 
os elementos não são necessariamente diferentes. 
 
Exemplo: 
 
Na palavra CASA, a letra A se repete. 
Quando permutamos apenas esta letra, a 
palavra não se modifica. 
CA1 SA2 e CA2 SA1 
 
ou então 
 
SA1 CA2 e SA2 CA1 
 
Se utilizarmos nesta situação a forma 
tradicional de permutações simples, estaremos 
cometendo o erro de considerar a mesma resposta 
duas vezes. Isto porque em cada palavra podemos 
permutar as vogais A de 2! maneiras. Portanto, o 
cálculo correto será: 
 
 
Generalizando, se tivermos n elementos e, entre 
eles, os elementos x1, x2, x3, ...xk, se repetem n1, n2, 
n3, ...,nk, as permutações com repetições serão feitas 
pela relação: 
 
 
 
 Exemplo: 
 
 Quantos são os anagramas da palavra 
PATRIARCA 
1ª casa 2ª casa 3ª casa
10 10 10
anagramas 12 
2
24 
2!
P
4 
!n ... !n!n!n
!nP
k321
kn , ... ,3n , 2n , 1n
n

3 
 
 
3 elementos são iguais a A 
2 elementos são iguais a R 
1 elemento é igual a P 
1 elemento é igual a T 
1 elemento é igual a I 
1 elemento é igual a C 
 
 
30240
!1!1!1!1!2!3
!9)1,1,1,1,2,3(
9
P 
 
 
 
8- Combinação simples 
 
Grupos que diferem entre si pela natureza dos 
elementos. 
Uma combinação dos elementos distintos de 
um conjunto A, tomados p a p, é qualquer subconjunto 
não-ordenado de A que tenha p elementos (0  p  n). 
O número de combinações dos n elementos 
tomados p a p é dado por: 
 
)!(!
!
,
pnp
n
p
n
C pn







 
 
Exemplo: 
 
Quantas partidas diferentes terá um 
campeonato envolvendo 5 times sendo que cada time 
joga obrigatoriamente uma única partida com cada 
outro time: 
 
10
)!25(!2
!5
2
5
2,5 







C 
 
 Portanto teremos 10 partidas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 
 
EXERCÍCIOS 
 
PFC E ARRANJO SIMPLES 
 
 
1. (UNB) Julgue a seguinte assertiva: A quantidade de maneiras distintas de se pintar 5 listras 
horizontais em um balão usando-se 4 cores diferentes e de modo que listras adjacentes não 
tenham a mesma cor é um número múltiplo de 27. 
 
2. (UFSCAR) Um encontro científico conta com a participação de pesquisadores de três áreas, 
sendo eles: 7 químicos, 5 físicos e 4 matemáticos. No encerramento do encontro, o grupo decidiu 
formar uma comissão de dois cientistas para representá-lo em um congresso.Tendo sido 
estabelecido que a dupla deveria ser formada por cientistas de áreas diferentes, o total de duplas 
distintas que podem representar o grupo no congresso é igual a : 
 
a) 46 b) 59 c) 77 d) 83 e) 91 
 
 
3. (FGV) Preparando-se para a sua festa de aniversário de sessenta anos, uma senhora quer 
usar três anéis de cores diferentes nos dedos das mãos, um anel em cada dedo. De quantos 
modos diferentes pode colocá-los, se não vai pôr nenhum anel nos polegares? 
 
 
4. (FUVEST) Maria deve criar uma senha de 4 dígitos para sua conta bancária. Nessa senha, 
somente os algarismos 1,2,3,4,5 podem ser usados e um mesmo algarismo pode aparecer mais de 
uma vez. Contudo, supersticiosa, Maria não quer que sua senha contenha o número 13, isto é, o 
algarismo 1 seguido imediatamente pelo algarismo 3. De quantas maneiras distintas Maria pode 
escolher sua senha? 
 
a) 551 b) 552 c) 553 d) 554 e) 555 
 
 
5. (FUVEST) 
a) Quantos são os números inteiros positivos de quatro algarismos, escolhidos sem repetição,entre 1, 3, 5, 6, 8, 9? 
b) Dentre os números inteiros positivos de quatro algarismos citados no item a), quantos são 
divisíveis por 5? 
c) Dentre os números inteiros positivos de quatro algarismos citados no item a), quantos são 
divisíveis por 4? 
 
 
 
6.(UNESP) Dispomos de 4 cores distintas e temos de colorir o mapa mostrado na figura com os 
países P, Q, R e S, de modo que países cuja fronteira e uma linha não podem ser coloridos com a 
mesma cor. Responda, justificando sua resposta, de quantas maneiras e possível colorir o mapa, 
se 
 
 
 
a) os países P e S forem coloridos com cores distintas? 
b) os países P e S forem coloridos com a mesma cor? 
 
 
 
 
 
 
 
5 
 
6.1. (UFSC 2014 - adaptado) Entre as últimas tendências da moda, pintar as unhas ganha um 
novo estilo chamado de “filha única”. A arte consiste em pintar a unha do dedo anelar de uma cor 
diferente das demais, fazendo a mesma coisa nas duas mãos, conforme mostra o 
exemplo na figura. Larissa tem três cores diferentes de esmalte, então, usando essa forma de 
pintar as unhas, poderá fazê-lo de n maneiras diferentes. O valor de n é: 
 
 
a) 3 b) 4 c) 6 d) 8 e) 12 
 
 
6.2.(UPF 2014)Alice não se recorda da senha que definiu no computador. Sabe apenas que é 
constituída por quatro letras seguidas, com pelo menos uma consoante. 
 
 
 
Se considerarmos o alfabeto como constituído por 23 letras, bem como que não há diferença para 
o uso de maiúsculas e minúsculas, quantos códigos dessa forma é possível compor? 
 
a) 423 b) 323 18 c) 323 72 d) 4 423 5 e) 4 418 5 
 
6.3. (UEG 2017) Uma comissão será composta pelo presidente, tesoureiro e secretário. Cinco 
candidatos se inscrevem para essa comissão, na qual o mais votado será o presidente, o segundo 
mais votado o tesoureiro e o menos votado o secretário. Dessa forma, de quantas maneiras 
possíveis essa comissão poderá ser formada? 
 
a) 120 b) 60 c) 40 d) 20 e) 10 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6 
 
PERMUTAÇÕES 
 
 
 
7. Considerando os anagramas da palavra DODECAEDRO calcule: 
 
a) quantos são no total; 
b) quantos começam por DODE (nessa ordem); 
c) quantos têm as vogais juntas e as consoantes também juntas. 
 
 
8. (UFMG) Para montar a programação de uma emissora de rádio, o programador musical conta 
com 10 músicas distintas, de diferentes estilos, assim agrupadas: 4 de MPB, 3 de Rock e 3 de Pop. 
Sem tempo para fazer essa programação, ele decide que, em cada um dos programas da emissora, 
ser.o tocadas, de forma aleatória, todas as 10 músicas. Assim sendo, é correto afirmar que o 
número de programas distintos em que as músicas vão ser tocadas agrupadas por estilo é dado 
por: 
 
a) 4! × 3! × 3! × 3! b) 
!7
!10
 
c) 4! × 3! × 3! d) 
!4
!10
 
 
 
9. (FATEC 2016) No Boxe, um dos esportes olímpicos, um pugilista tem à sua disposição quatro 
golpes básicos: o jab, o direto, o cruzado e o gancho. Suponha que um pugilista, preparando-se 
para os Jogos Olímpicos do Rio, em 2016, queira criar uma sequência com 6 golpes, empregando 
necessariamente dois jabs, dois diretos, um cruzado e um gancho. 
Assim, o número máximo de sequências que ele poderá criar será de: 
 
Lembre-se de que: 
 
Permutação com repetição 
1 2 3k ,k ,k ,...
n
1 2 3
n!
P
k !k !k !...
 
 
a) 180. b) 160. c) 140. d) 120. e) 100. 
 
 
9.a.(FGV 2014) Uma senha de internet é constituída de seis letras e quatro algarismos em que a 
ordem é levada em consideração. Eis uma senha possível: (a,a,b,7,7,b,a,7,a,7). Quantas senhas 
diferentes podem ser formadas com quatro letras “a”, duas letras “b” e quatro 
algarismos iguais a 7? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7 
 
COMBINAÇÕES SIMPLES 
 
 
10.(UERJ) Um cofre eletrônico possui um painel com dez teclas numéricas e pode ser aberto por 
meio da digitação, em qualquer ordem, de três teclas distintas entre seis habilitadas previamente 
pelo fabricante. Considere n o número máximo de conjuntos distintos de três teclas que abrem o 
cofre. Na figura em destaque, as teclas 1, 3, 5, 7, 8 e 9 representam as habilitadas previamente. 
Se o fabricante reduzisse para cinco o número de teclas habilitadas, haveria entre elas um total 
de m conjuntos distintos de três teclas distintas para abrir o cofre. Calcule o valor de n – m. 
 
 
 
11.(ESPCEX) A equipe de professores de uma escola possui um banco de questões de matemática 
composto de 5 questões sobre parábolas, 4 sobre circunferências e 4 sobre retas. De quantas 
maneiras distintas a equipe pode montar uma prova com 8questões,sendo 3 de parábolas, 2 de 
circunferências e 3 de retas? 
 
a) 80 b) 96 c) 240 d) 640 e) 1280 
 
12.(UNB 2010) Julgue a seguinte assertiva: Considere que em 2020 ocorrerá a primeira viagem 
de um trem Maglev entre Paris e Roma, e serão escolhidos 6 engenheiros, entre 10 engenheiros 
franceses e 6 engenheiros italianos, para compor a comissão que realizará a vistoria final do trem. 
Nesse caso, é possível a formação de 3.136 comissões, com a presença de pelo menos 3 
engenheiros italianos. 
 
12.1. (MACKENZIE) – Ao utilizar o caixa eletrônico de um banco, o usuário digita sua senha 
numérica em uma tela como mostra a figura. Os dez algarismos (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9) são 
associados aleatoriamente a cinco botões, de modo que a cada botão correspondam dois 
algarismos, indicados em ordem crescente. Qual é o número de maneiras diferentes de apresentar 
os dez algarismos na tela ? 
 
 
 
12.2 . (UNB 2012) Produtos de limpeza, como sabão, detergente, desentupidor de pia e alvejante, 
geralmente utilizados em residências, apresentam, na sua composição, compostos como hidróxido 
de sódio (NaOH) e hipoclorito de sódio (NaC O). A esse respeito, julgue o item a seguir. O número 
de maneiras distintas de escolher 5 tipos de sabão em pó entre 8 opções disponíveis na prateleira 
de um supermercado é igual a 23  32 11. 
 
12.3. (UEMG 2014) Na Copa das Confederações de 2013, no Brasil, onde a seleção brasileira foi 
campeã, o técnico Luiz Felipe Scolari tinha à sua disposição 23 jogadores de várias posições, sendo: 
3 goleiros, 8 defensores, 6 meio-campistas e 6 atacantes. Para formar seu time, com 11 jogadores, 
o técnico utiliza 1 goleiro , 4 defensores , 3 meio-campistas e 3 atacantes. Tendo sempre Júlio César 
como goleiro e Fred como atacante, o número de times distintos que o técnico poderá formar é : 
 
a) 14 000. b) 480. c) 8! + 4! d) 72 000. 
 
8 
 
EXERCÍCIOS GERAIS 
 
 
13. Num avião, uma fila tem 7 poltronas dispostas como na figura abaixo. 
 
 
 
 Os modos de João e Maria ocuparem duas poltronas dessa fila, de modo que não haja um 
corredor entre eles, são em número de: 
 
a) 6 b) 7 c) 8 d) 10 e) 12 
 
 
14. (UEPA)Para a formação de uma equipe de trabalho, uma empresa realizou um concurso para 
preenchimento de vagas em seu setor de informática, sendo 2 vagas para Analista de Sistemas e 3 
para Técnico. O primeiro colocado no cargo de analista de sistemas terá função de coordenador da 
equipe e os aprovados no cargo de técnico terão funções idênticas. Todos os aprovados no 
concurso serão chamados juntos, independente da classificação de cada um. Inscreveram-se 5 
pessoas para concorrer ao cargo de analista de sistemas e 6 ao cargo de técnico. Então o número 
máximo de maneiras distintas que essas 5 vagas podem ser preenchidas, para a formação da 
equipe de trabalho, pelos candidatos é: 
 
a)200 b) 400 c) 800 d) 1200 e) 24 
 
 
 
15. ( INSPER 2012 JUNHO) Em cada ingresso vendido para um show de música, éimpresso o 
número da mesa onde o comprador deverá se sentar. Cada mesa possui seis lugares, dispostos 
conforme o esquema a seguir. 
 
 
O lugar da mesa em que cada comprador se sentará não vem especificado no ingresso, devendo os 
seis ocupantes entrar em acordo. Os ingressos para uma dessas mesas foram adquiridos por um 
casal de namorados e quatro membrosde uma mesma família. Eles acordaram que os namorados 
poderiam sentar-se um ao lado do outro. Nessas condições, o número de maneiras distintas em 
que as seis pessoas poderão ocupar os lugares da mesa é: 
 
a) 96. b) 120. c) 192. d) 384. e) 720. 
 
 
16.(ESPM) Uma escola de línguas apresenta a seguinte distribuição deprofessores por sexo e 
área: 
 
 
 
 Uma equipe de 6 professores será formada do seguinte modo: 1 coordenador geral, do sexo 
masculino, 2 professoras de Inglês, 1 professora de Alemão e 2 professoras de Espanhol. O 
número de maneiras diferentes para se formar essa equipe é igual a: 
 
a) 240 b) 280 c) 630 d) 480 e) 720 
9 
 
 
 
17. (PUC SP 2015) No vestiário de uma Academia de Ginástica há exatamente 30 armários, 
cada qual para uso individual. Se, no instante em que dois alunos dessa Academia entram no 
vestiário para mudar suas roupas, apenas 8 dos armários estão desocupados, quantas opções 
eles terão para escolher seus respectivos armários? 
 
a) 14 b) 28 c) 48 d) 56 e) 112 
 
 
18. (UERJ 2012)A tabela abaixo apresenta os critérios adotados por dois países para a formação 
de placas de automóveis. Em ambos os casos, podem ser utilizados quaisquer dos 10 algarismos 
de 0 a 9 e das 26 letras do alfabeto romano. 
 
 
 
País Descrição Exemplo de placa 
X 
3 letras e 3 algarismos, em qualquer 
ordem 
 
 
 
Y 
um bloco de 3 letras, em qualquer 
ordem, 
à esquerda de outro bloco de 4 
algarismos, 
também em qualquer ordem 
 
 
 
 
 
Considere o número máximo de placas distintas que podem ser confeccionadas no país X igual a 
n e no país Y igual a p. A
n
p
razão corresponde a: 
 
a) 1 b) 2 c) 3 d) 6 e) 8 
 
 
19. (UNICAMP 2012)O grêmio estudantil do Colégio Alvorada é composto por 6 alunos e 8 
alunas. Na última reunião do grêmio, decidiu-se formar uma comissão de 3 rapazes e 5 moças 
para a organização das olimpíadas do colégio. De quantos modos diferentes pode-se formar essa 
comissão? 
 
a) 6720. b) 100800. c) 806400. d) 1120. e)1000 
 
 
20. (ENEM 2011) O setor de recursos humanos de uma empresa vai realizar uma entrevista com 
120 candidatos a uma vaga de contador. Por sorteio, eles pretendem atribuir a cada candidato um 
número, colocar a lista de números em ordem numérica crescente e usá-la para convocar os 
interessados. Acontece que, por um defeito do computador, foram gerados números com 5 
algarismos distintos e, em nenhum deles, apareceram dígitos pares. Em razão disso, a ordem de 
chamada do candidato que tiver recebido o número 75.913 é : 
 
a) 24. b) 31. c) 32. d) 88. e) 89. 
 
 
 
 
 
 
 
 
10 
 
21. (UPF 2016) Na figura a seguir, as linhas horizontais e verticais representam ruas e os 
quadrados representam quarteirões. A quantidade de trajetos de comprimento mínimo ligando A 
a B é: 
 
 
 
a) 40.320 b) 6.720 c) 256 d) 120 e) 56 
 
 
22. (PUC RJ ) Em uma sorveteria, há sorvetes nos sabores morango, chocolate, creme e flocos. De 
quantas maneiras podemos montar uma casquinha, com dois sabores diferentes, nessa 
sorveteria? 
 
a) 6 maneiras b) 7 maneiras c) 8 maneiras d) 9 maneiras e) 10 maneiras 
 
 
23. (PUC RJ ) Em uma sorveteria há sorvetes nos sabores morango, chocolate, creme e flocos. De 
quantas maneiras podemos montar uma casquinha com duas bolas nessa sorveteria? 
 
a) 10 maneiras b) 9 maneiras c) 8 maneiras d) 7 maneiras e) 6 maneiras 
 
 
24.(UFJF) – Dado um grupo com 3 mulheres e 8 homens, obtenha o número de filas distintas 
com 5 pessoas, contendo em cada fila exatamente 2 mulheres? 
 
 
25.(UNIFESO) A figura ilustra uma mesa de jantar com 6 lugares numerados. Diz-se que duas 
pessoas estão sentadas lado a lado quando ocupam os lugares 1 e 2, ou os lugares 4 e 5. 
 
 
 
 
Henrique vai fazer uma refeição nessa mesa com Eliane, sua esposa,Telma, sua mãe, e seu filho 
Daniel. Assinale a alternativa que indique de quantas formas diferentes essas 4 pessoas podem se 
sentar a mesa de modo que Henrique se acomode lado a lado com sua esposa. 
 
a) 12 b) 15 c) 30 d) 48 e) 60 
 
 
26. (PUC RS2015) Um fotógrafo foi contratado para tirar fotos de uma família composta por pai, 
mãe e quatro filhos. Organizou as pessoas lado a lado e colocou os filhos entre os pais. Mantida 
essa configuração, o número de formas em que poderão se posicionar para a foto é : 
 
a) 4 b) 6 c) 24 d) 36 e) 48 
 
 
11 
 
27.(ENEM) A escrita Braile para cegos e um sistema de símbolos no qual cada caráter e um 
conjunto de 6 pontos dispostos em forma retangular, dos quais pelo menos um se destaca em 
relação aos demais. Por exemplo, a letra A é representada por: 
 
 
 
O número total de caracteres que podem ser representados no sistema Braile é: 
 
a) 12 b) 31 c) 36 d) 63 e) 720 
 
 
 
28. (EPCAR) Um colecionador deixou sua casa provido de R$5,00 , disposto a gastar tudo na loja 
de miniaturas da esquina. O vendedor lhe mostrou três opções que havia na loja, conforme a 
seguir. 
 
• 5 diferentes miniaturas de carros, custandoR$4,00 cada miniatura; 
• 3 diferentes miniaturas de livros, custando R$1,00cada miniatura; 
• 2 diferentes miniaturas de bichos, custando R$3,00 cada miniatura. 
 
O número de diferentes maneiras desse colecionador efetuar a compra das miniaturas, gastando 
todo o seu dinheiro, é : 
 
a) 15 b) 21 c) 42 d) 90 e) 100 
 
 
29. ( IFPE 2012) Por questão de segurança os bancos instalaram ao lado da maçaneta da porta, 
que dá acesso à área por trás dos caixas, um teclado como o da figura abaixo. 
 
 
 
Para entrar nessa área, cada funcionário tem a sua própria senha. Suponha que esta senha seja 
composta por quatro dígitos distintos. Quantas senhas poderão ser criadas se forem usados 
apenas os números primos que aparecem no teclado? 
 
a) 6 b) 24 c) 80 d) 120 e) 720 
 
 
30. (UFRGS 2015) Considere o padrão de construção representado pelos desenhos abaixo. 
 
 
 
Na etapa 1, há um único triângulo equilátero. Na etapa 2, é traçado um segmento a partir dos 
pontos médios de dois lados do triângulo da etapa 1, formando dois triângulos equiláteros. Na 
etapa 3, é traçado um segmento a partir dos pontos médios de dois lados do triângulo menor da 
12 
 
etapa 2, formando três triângulos equiláteros. Na etapa 4 e nas etapas seguintes, o mesmo 
processo é repetido em cada um dos triângulos menores da etapa anterior. 
 
O número de trapézios na 6ª etapa de construção é : 
 
a) 14. b) 15. c) 16.d) 17. e) 18. 
 
 
31. (FUVEST) Um carro de lotação possui três bancos para passageiros, cada um com três 
lugares, e deve transportar os três membros da família Sousa, o casal Lúcia e Mauro e mais 
quatro pessoas. Além disso, 
 
1. a família Sousa quer ocupar um mesmo banco; 
2. Lúcia e Mauro querem sentar-se lado a lado. 
 
Nessas condições, o número de maneiras distintas de dispor os nove passageiros no carro é igual 
a: 
a) 928 b) 1152 c) 1828 d) 2412 e) 3456 
 
 
32.(FGV RJ 2012) Cinco estudantes param para pernoitar em um hotel à beira da estrada. Há 
dois quartos disponíveis, um com duas camas e outro com três. De quantas maneiras eles podem 
se dividir em dois grupos, um com duas pessoas e outro com três, para se hospedar no hotel? 
 
a) 80 b) 40 c) 20 d) 10 e) 5 
 
 
33. (FUVEST 2013) Vinte times de futebol disputam a Série A do Campeonato Brasileiro, sendo 
seis deles paulistas. Cada time joga duas vezes contra cada um dos seus adversários. A 
porcentagem de jogos nos quais os dois oponentes são paulistas é : 
 
a) menor que 7%. b) maior que 7%, mas menor que 10%. 
c) maior que 10%, mas menor que 13%. d) maior que 13%, mas menor que 16%. 
e) maior que 16%. 
 
34. (UPE 2013)Seguindo a etiqueta japonesa, um restaurante tipicamente oriental solicita aos 
seus clientes que retirem seus calçados na entrada do estabelecimento. Em certa noite, 6 pares de 
sapato e 2 pares de sandálias, todos distintos, estavam dispostos na entrada do restaurante, em 
duas fileiras com quatro pares de calçados cada uma. Se esses pares de calçados forem 
organizados nessas fileiras de tal forma que as sandálias devam ocupar as extremidades da 
primeira fila, de quantas formas diferentes podem-se organizar esses calçados nas duas fileiras? 
 
a) 6! b) 2 . 6! c) 4 . 6! d) 6 . 6! e) 8! 
 
 
35. (UFGD) Numa festa, todos os moradores da casa se cumprimentaram com um abraço entre si. 
Mais tarde, os moradores da casa vizinha chegaram à festa e cumprimentaram todos os presentes 
com um aperto de mão. Sabendo que ocorreram 48 apertos de mão e que no grupo que chegou 
havia duas pessoas a menos do que havia na casa, pode-se concluir que o número de abraços foi 
de: 
 
a) 28 b) 48 c) 24 d) 18 e) 16 
 
 
 
 
 
13 
 
36. ( UNICAMP 2013) Para acomodar a crescente quantidade de veículos, estuda-se mudar as 
placas, atualmente com três letras e quatro algarismos numéricos, para quatro letras e três 
algarismos numéricos, como está ilustrado abaixo. 
 
 
Considere o alfabeto com 26 letras e os algarismos de 0 a 9. O aumento obtido com essa 
modificação em relação ao número máximo de placas em vigor seria: 
 
a) inferior ao dobro. 
b) superior ao dobro e inferior ao triplo. 
c) superior ao triplo e inferior ao quádruplo. 
d) mais que o quádruplo. 
 
 
37. (UFMG 2013) Permutando-se os algarismos do número 123456, formam-se números de seis 
algarismos. Supondo-se que todos os números formados com esses seis algarismos tenham sido 
colocados numa lista em ordem crescente, 
 
a) DETERMINE quantos números possui essa lista. 
b) DETERMINE a posição do primeiro número que começa com o algarismo 4. 
c) DETERMINE a posição do primeiro número que termina com o algarismo 2. 
 
 
38. (UNESP2013)Quantos são os números naturais que podem ser decompostos em um produto 
de quatro fatores primos, positivos e distintos, considerando que os quatro sejam menores que 
30? 
 
 
39. (FATEC 2014 junho) Beatriz, Eduardo, Luísa, Regina e Ronaldo formaram um grupo para 
realizar um serviço para a Empresa Junior da Fatec-Bauru. Para identificar o seu grupo, esses 
alunos criaram uma sigla de 5 letras contendo, necessariamente, a primeira letra do nome de 
cada um deles: B, E, L, R e R. Nessas condições, a quantidade de siglas distintas que é possível 
formar é: 
 
a) 72. b) 60. c) 30. d) 24. e) 15. 
 
 
40. (INSPER 2014)Um dirigente sugeriu a criação de um torneio de futebol chamado Copa dos 
Campeões, disputado apenas pelos oito países que já foram campeões mundiais: os três sul-
americanos (Uruguai, Brasil e Argentina) e os cinco europeus (Itália, Alemanha, Inglaterra, França 
e Espanha). As oito seleções seriam divididas em dois grupos de quatro, sendo os jogos do grupo 
A disputados no Rio de Janeiro e os do grupo B em São Paulo. Considerando os integrantes de 
cada grupo e as cidades onde serão realizados os jogos, o número de maneiras diferentes de 
dividir as oito seleções de modo que as três sul-americanas não fiquem no mesmo grupo é : 
 
a) 140. b) 120. c) 70. d) 60. e) 40. 
 
 
41. (MACKENZIE 2014) Cinco casais resolvem ir ao teatro e compram os ingressos para 
ocuparem todas as 10 poltronas de uma determinada fileira. O número de maneiras que essas 10 
pessoas podem se acomodar nas 10 poltronas, se um dos casais brigou, e eles não podem se 
sentar lado a lado é : 
 
a) b) c) d) e) 
 
 
 
 
 9 9!  8 9!  8 8!
10!
2
10!
4
14 
 
42. (UNESP 2014 – junho) Um professor, ao elaborar uma prova composta de 10 questões 
de múltipla escolha, com 5 alternativas cada e apenas uma correta, deseja que haja um equilíbrio 
no número de alternativas corretas, a serem assinaladas com X na folha de 
respostas. Isto é, ele deseja que duas questões sejam assinaladas com a alternativa A, duas com a 
B, e assim por diante, como mostra o modelo. 
 
Modelo de folha de resposta (gabarito) 
 
 
 
 
Nessas condições, a quantidade de folha de respostas diferentes, com a letra X disposta nas 
alternativas corretas, será: 
 
a) 302 400. b) 113 400. c) 226 800. d) 181 440. e) 604 800 
 
 
43. Obtenha o numero de soluções inteiras e não negativas das equações: 
 
a) x + y = 3 
b) x + y + z + w = 6 
 
 
44. (UEPA 2014) Um jovem descobriu que o aplicativo de seu celular edita fotos, possibilitando 
diversas formas de composição, dentre elas, aplicar texturas, aplicar molduras e mudar a cor da 
foto. Considerando que esse aplicativo dispõe de 5 modelos de texturas, 6 tipos de molduras e 4 
possibilidades de mudar a cor da foto, o número de maneiras que esse jovem pode fazer uma 
composição com 4 fotos distintas, utilizando apenas os recursos citados, para publicá-las nas 
redes sociais, conforme ilustração abaixo, é: 
 
 
 
a) 424 120 . b) 4120 . c) 24 120. d) 4 120. e) 120. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
15 
 
45. (UEMG 2015) Observe a tirinha abaixo: 
 
 
 
Passando por uma sorveteria, Magali resolve parar e pedir uma casquinha. Na sorveteria, há 6 
sabores diferentes de sorvete e 3 é o número máximo de bolas por casquinha, sendo sempre uma 
de cada sabor. 
O número de formas diferentes com que Magali poderá pedir essa casquinha é igual a: 
 
a) 20. b) 41. c) 120. d) 35. 
 
 
46. (FATEC 2015 – julho) O grupo de estudantes Ana, Beto, Caio, Deise, Ester, Fábio e Gabriela 
foi assistir a uma palestra no auditório da Fatec – SP e ocupou os lugares de uma fileira com 
exatamente 7 cadeiras , de modo que cada um dos rapazes sentou-se entre duas moças do grupo. 
Na situação descrita, o número de modos distintos que esse grupo poderia ocupar esses 7 lugares 
é : 
 
a)144 b) 360 c) 720 d) 1240e) 2520 
 
 
47.(IMED 2016) O número de candidatos inscritos para realização do último vestibular de verão, 
em um determinado curso, corresponde ao número de anagramas da palavra VESTIBULAR que 
começam por VE e terminam por AR. Esse número é igual a: 
 
a) 120. b) 240. c) 360. d) 540. e) 720. 
 
48. (UNESP 2017) Uma criança possui 6 blocos de encaixe, sendo 2 amarelos, 2 vermelhos, 1 
verde e 1 azul. 
 
 
 
Usando essas peças, é possível fazer diferentes pilhas de três blocos. A seguir, são exemplificadas 
quatro das pilhas possíveis. 
 
 
 
Utilizando os blocos que possui, o total de pilhas diferentes de três blocos, incluindo as 
exemplificadas, que a criança pode fazer é igual a : 
 
a) 58. b) 20. c) 42. d) 36. e) 72. 
16 
 
 
 
49. (PUC RS 2017) A capital dos gaúchos, oficialmente fundada em 26 de março de 1772, já foi 
chamada de Porto de Viamão. Atualmente, a também capital dos Pampas recebe o nome de 
PORTO ALEGRE. 
Adicionando o número de anagramas formados com as letras da palavra ALEGRE ao de 
anagramas formados com as letras da palavra PORTO em que as consoantes aparecem juntas, 
obtemos __________ anagramas. 
 
a) 378 b) 396 c) 738 d) 756 e) 840 
 
50. (ENEM 2016) O tênis é um esporte em que a estratégia de jogo a ser adotada depende, entre 
outros fatores, de o adversário ser canhoto ou destro. 
Um clube tem um grupo de 10 tenistas, sendo que 4 são canhotos e 6 são destros. O técnico do 
clube deseja realizar uma partida de exibição entre dois desses jogadores, porém, não poderão ser 
ambos canhotos. 
Qual o número de possibilidades de escolha dos tenistas para a partida de exibição? 
 
a) 
10! 4!
2! 8! 2! 2!

 
 b) 
10! 4!
8! 2!
 c) 
10!
2
2! 8!


 d) 
6!
4 4
4!
  e) 
6!
6 4
4!
  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO 
 
 
1. CERTA 
2. d 
3. 336 
4. a 
5. a) 360 
 b) 60 
 c) 60 
6. a) 48 b) 36 6.1. c 6.2. d 6.3. b 
7. a) 151200b) 720 c) 1200 
8. a 
9. a 9.a. 3150 
10. 10 
11. C 
12. CERTA 12.1. 
32
!10
 12.2. Errada , é 2³. 7 12.3. A 
13. D 
14. B 
15. C 
16. E 
17. D 
18. B 
19. D 
20. E 
21. E 
22. A 
23. A 
24. 20160 
25. D 
17 
 
26. E 
27. D 
28. B 
29. B 
30. B 
31. E 
32. D33. B34. B 35.A 36. A 
 
 37. a) 6.5.4.3.2.1 = 720. 
 b) Começando com 1: 5! = 120 
 Começando com 2: 5! = 120 
 Começando com 3: 5! = 120 
 Logo, o primeiro número que começa por quatro ocupa a 361ª posição. 
c) 
 
 
A posição do primeiro número que termina em 2 é a trigésima quarta, pois 
24 6 2 1 1 34.     
 
38. 
10,4
10! 10 9 8 7
C 210.
4!.6! 24
  
  
 
39. B 
40. D 
41. B 
42. B 
43. a) 4 b) 84 
44. A 
45. B 
46. A 
47. E 
48. C 
49. A 
50. A