4873 EP11 IPE 2008 2 tutor EDSON

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
11o EP 2008/1 IPE Lic. em F´ısica Semana 13 - Aula 23 e 24 Versa˜o Tutor Coord. Edson Cataldo
Estimados Tutores,
esse e´ o penu´ltimo EP. Seu conteu´do esta´ relacionado com Teorema de Bayes e Valor esperado de
uma varia´vel aleato´ria.
Os alunos tendem a deixar para o final o estudo desses to´picos e, muitas vezes, os eliminam dos
estudos. Conversem com os alunos sobre a importaˆncia de na˜o desistirem, pois ja´ chegaram ate´ aqui!
Agora falta pouco...
Saudac¸o˜es,
Edson Cataldo
Ex. 1 Treˆs ma´quinas, M1, M2, M3, produzem 50%, 30% e 20%, respectivamente, do total de pec¸as
de uma fa´brica. As percentagens de produc¸a˜o defeituosa destas ma´quinas sa˜o de 3%, 4% e 5%. Uma
pec¸a e´ selecionada aleatoriamente. Pede-se
(a) A probabilidade de ela ser defeituosa;
(b) A probabilidade de ela ter sido fabricada pela ma´quina M1.
Resoluc¸a˜o: Seja D o evento em que a pec¸a e´ defeituosa. Enta˜o,
(a) Deseja-se determinar P (D), o qual e´ obtido pelo teorema da multiplicac¸a˜o de probabilidade
(regra da probabilidade total), a saber
P (D) = [P (M1)× P (D|M1)] + [P (M2)× P (D|M2)] + [P (M3)P (D|M3)].
Portanto, P (D) = [(0, 50) × (0, 03)] + [(0, 30) × (0, 04)] + [(0, 20) × (0, 05)] = 0, 037.
(b) Deseja-se obter o nu´mero P (M1|D), o qual e´ dado pelo teorema de Bayes. Assim,
P (M1|D) =
P (M1)× P (D|M1)
[P (M1)× P (D|M1)] + [P (M2)× P (D|M2)] + [P (M3)× P (D|M3)]
=
(0, 50) × (0, 03)
[(0, 50) × (0, 03)] + [(0, 30) × (0, 04)] + [(0, 20) × (0, 05)]
=
15
37
.
Ex. 2 A probabilidade de chuva em uma determinada regia˜o no dia 03 de marc¸o de um ano e´ de 4/10.
A probabilidade de faltar energia ele´trica, nessa regia˜o, em um dia com chuva e´ de 6/10 e em um dia
sem chuva e´ de 4/10. A energia ele´trica faltou, na regia˜o, no dia 03 de marc¸o. Qual a probabilidade
de que tenha havido chuva nesse dia?
1
Resoluc¸a˜o: Os dados definem os seguintes eventos:
A : faltou energia ele´trica em 03 de marc¸o; B : choveu; C : na˜o choveu.
Deseja-se encontar P (B|A). Aplicando o teorema de Bayes, tem-se
P (B|A) =
P (B)× P (A|B)
P (B)× P (A|B) + P (C)× P (A|C)
=
(4/10)× (6/10)
[(4/10)× (6/10)] + [(6/10)× (4/10)]
=
1
2
.
Ex. 3 Uma moeda e´ balanceada de modo que a distribuic¸a˜o de seu peso, ao ser jogada, produz
P (K) = 1/4 e P (C) = 3/4, onde K indica cara e C coroa. A moeda e´ jogada treˆs vezes. Se X e´ o
nu´mero de ocorreˆncia de caras, enta˜o pede-se:
(a) A distribuic¸a˜o de probabilidade de X;
(b) O valor esperado E(X).
Resoluc¸a˜o: O espac¸o amostral e´ dado por:
Ω = {KKK, KKC, KCK, KCC, CKK, CKC, CCK, CCC}.
A varia´vel X assume os valores 0, 1, 2, 3, com a seguinte distribuic¸a˜o de probabilidades:
P (0) = P (KKK) =
1
4
×
1
4
×
1
4
=
1
64
P (1) = P (KCC, CKC, CCK) =
(1
4
×
3
4
×
3
4
)
+
(3
4
×
1
4
×
3
4
)
+
(3
4
×
3
4
×
1
4
)
=
27
64
P (2) = P (KKC, KCK, CKK) =
(1
4
×
1
4
×
3
4
)
+
(1
4
×
3
4
×
1
4
)
+
(3
4
×
1
4
×
1
4
)
=
9
64
P (3) = P (CCC) =
3
4
×
3
4
×
3
4
=
27
64
Da´ı, a distribuic¸a˜o de probabilidade e´ dada por:
X 0 1 2 3
P(X) 1/64 27/64 9/64 27/64
(b) A expectaˆncia e´ dada por:
E(X) = [0× (1/64)] + [1× (27/64)] + [2× (9/64)] + [3× (27/64)] = 127/64 ≈ 1, 97.
Ex. 4 Uma moeda na˜o-viciada e´ lanc¸ada ate´ que uma cara K ou cinco coroas C aparec¸am. Ache o
valor esperado E de lanc¸amentos da moeda.
Resoluc¸a˜o: Um u´nico lanc¸amento ocorre, se der cara na primeira vez, isto e´, o evento K. Ocorrem dois
lanc¸amentos, se o primeiro e´ coroa C e o segundo e´ cara K, o evento CK. Ocorrem treˆs lanc¸amentos,
se os dois primeiros sa˜o coroa e o terceiro e´ cara, o evento CCK. Ocorrem quatro lanc¸amentos se der
CCCK, e cinco lanc¸amentos se ocorrer CCCCK ou CCCCC. Portanto, o espac¸o amostral e´ dado
por:
Ω = {K, CK, CCK, CCCK, CCCCK, CCCCC}.
A varia´vel X assume os valores 1, 2, 3, 4, 5, com a seguinte distribuic¸a˜o de probabilidades:
P (C) =
1
2
; P (CK) =
1
4
; P (CCK) =
1
8
; P (CCCK) =
1
16
;
P (CCCCK) + P (CCCCC) =
1
32
+
1
32
=
1
16
.
2
Logo,
E(X) =
(
1×
1
2
)
+
(
2×
1
4
)
+
(
3×
1
8
)
+
(
4×
1
16
)
+
(
5×
1
16
)
=
31
16
= 1, 9.
Ex. 5 Dois nu´meros do conjunto {1, 2, 3} sa˜o escolhidos aleatoriamente, e sa˜o permitidas repetic¸o˜es.
Se X e´ a soma dos nu´meros, enta˜o:
(a) Determine a distribuic¸a˜o de probabilidade de X;
(b) Determine o valor esperado E(X).
Resoluc¸a˜o: (a) O espac¸o amostral e´ formado por Ω = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2),
(3, 3)}. Note que cada elemento e´ equiprova´vel. Os valores da varia´vel aleato´ria X sa˜o: 2, 3, 4, 5 e 6,
cujas probabilidades sa˜o:
P (2) = P ({(1, 1)}) =
1
9
, P (3) = P ({(1, 2), (2, 1)}) =
2
9
, P (4) = P ({(1, 3), (2, 2)(3, 1)}) =
1
3
,
P (5) = P ({(2, 3), (3, 2)}) =
2
9
, P (6) = P ({(3, 3)}) =
1
9
.
Assim, a distribuic¸a˜o de probabilidade e´ dada por:
X 2 3 4 5 6
P (X) 1/9 2/9 1/3 2/9 1/9
(b) O valor esperado da varia´vel aleato´ria X e´ dado por:
E(X) =
(
2×
1
9
)
+
(
3×
2
9
)
+
(
4×
1
3
)
+
(
5×
2
9
)
+
(
6×
1
9
)
= 4.
3