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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
11o EP 2011/1 IPE Lic. em F´ısica Aula 23 Versa˜o Tutor Coord. Edson Cataldo
Estimados Tutores,
O conteu´do deste EP trata do Teorema de Bayes.
Conversem com os alunos sobre a importaˆncia de na˜o desistirem, pois ja´ chegaram ate´ aqui! Agora
falta pouco...
Saudac¸o˜es,
Edson Cataldo
Ex. 1 Treˆs ma´quinas, M1, M2, M3, produzem 500 pec¸as, 300 pec¸as e 200 pec¸as, respectivamente. As
percentagens de produc¸a˜o defeituosa destas ma´quinas sa˜o de 3%, 4% e 5%, respectivamente. Uma
pec¸a e´ selecionada aleatoriamente. Pede-se:
(a) A probabilidade de ela ser defeituosa;
(b) A probabilidade de ela ter sido fabricada pela ma´quina M1.
Resoluc¸a˜o: Seja D o evento em que a pec¸a e´ defeituosa. Enta˜o,
(a) Deseja-se determinar P (D), o qual e´ obtido pelo teorema da multiplicac¸a˜o de probabilidade
(regra da probabilidade total), a saber
P (D) = [P (M1)× P (D|M1)] + [P (M2)× P (D|M2)] + [P (M3)P (D|M3)].
Como o total de pec¸as e´ 1000, temos que P (M1) =
500
1000
= 0, 5, P (M2) =
300
1000
= 0, 3 e P (M3) =
200
1000
= 0, 2.
Portanto, P (D) = [(0, 50)× (0, 03)] + [(0, 30)× (0, 04)] + [(0, 20)× (0, 05)] = 0, 037.
(b) Deseja-se obter o nu´mero P (M1|D), o qual e´ dado pelo teorema de Bayes. Assim,
P (M1|D) = P (M1)× P (D|M1)[P (M1)× P (D|M1)] + [P (M2)× P (D|M2)] + [P (M3)× P (D|M3)]
=
(0, 50)× (0, 03)
[(0, 50)× (0, 03)] + [(0, 30)× (0, 04)] + [(0, 20)× (0, 05)]
=
15
37
.
Ex. 2 A probabilidade de chuva em uma determinada regia˜o no dia 03 de marc¸o de um ano e´ de 4/10.
A probabilidade de faltar energia ele´trica, nessa regia˜o, em um dia com chuva e´ de 6/10 e em um dia
1
sem chuva e´ de 4/10. A energia ele´trica faltou, na regia˜o, no dia 03 de marc¸o. Qual a probabilidade
de que tenha havido chuva nesse dia?
Resoluc¸a˜o: Os dados definem os seguintes eventos:
A : faltou energia ele´trica em 03 de marc¸o; B : choveu; C : na˜o choveu.
Deseja-se encontar P (B|A). Aplicando o teorema de Bayes, tem-se
P (B|A) = P (B)× P (A|B)
P (B)× P (A|B) + P (C)× P (A|C) =
(4/10)× (6/10)
[(4/10)× (6/10)] + [(6/10)× (4/10)] =
1
2
.
Ex. 3 Duas moedas M1 e M2 viciadas sa˜o tais que a probabilidade de se obter coroa ao jogar a moeda
M1 e´ 0, 4 e a probabilidade de se obter coroa ao jogar a moeda M2 e´ 0, 7. Escolhe-se uma das duas
moedas e a moeda escolhida e´ lanc¸ada.
Determine a probabilidade de que a moeda M1 tenha sido usada, sabendo que o resultado obtido
foi coroa.
Resoluc¸a˜o:
Consideremos os eventos: E1 - a moeda M1 foi usada; E2 - a moeda M2 foi usada; K - o resultado
obtido foi coroa.
Usando o teorema da probabilidade total, temos:
P (K) = P (K|E1)× P (E1) + P (K|E2)× P (E2) = 0, 4× 0, 5 + 0, 7× 0, 5 = 1, 1× 0, 5 = 0, 55 .
Observamos que P (E1) = P (E2) = 0, 5 pois a probabilidade de escolher a moeda M1 e´ a mesma
de escolher a moeda M2.
Usando a Regra de Bayes, temos:
P (E1|K) = P (K|E1)P (E1)
P (K)
=
0, 4× 0, 5
0, 55
=
20
55
.
2