AP2 2010.2 fis2b

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Gab-AP2-2010/2-fis2b
Questa˜o 1
Antes de tudo, ouve um pequeno erro na digitac¸a˜o da massa da bala que
seria 0,020kg e na˜o 0,020g.No entanto na˜o ha´ problemas a na˜o ser pelo fato de
na˜o existir(ordinariamente) tal bala.
a)
Bom, temos de considerar a conservac¸a˜o de momento total do sistema na
colisa˜o:
∆P (t) = 0→ mvib +Mvip = (m+M)vf (1)
Onde vib e´ a velocidade inicial da bala, vip a do peˆndulo e vf a velocidade final
do sistema bala+ peˆndulo.
Como vip = 0, chegamos a`:
vib =
(m+M)vf
m
(2)
Agora que sabemos vib em func¸a˜o de vf resta-nos usar as informac¸o˜es dadas
pelo peˆndulo, por meio da conservac¸a˜o de energia para chegarmos a` vf .
Aqui tem uma coisa muito importante que alguns na˜o entenderam: a con-
servac¸a˜o de energia (mecaˆnica) ocorre com o sistema bala+peˆndulo!!Na colisa˜o
ocorre conservac¸a˜o de momento e na˜o de energia, visto que a colisa˜o e´ inela´stica.
Assim, temos:
∆Eb+p = 0→
1
2
(m+M)v2f = (m+M)g∆y (3)
Isolando vf em (3) e substituindo em (2):
vib =
(m+M)
m
√
2g∆y (4)
Substituindo os valores:
vib =
(0,02×10−3+5)
0,02×10−3
√
2× 9, 81× 0, 10 ≈ 4, 9× 105m/s.
1
Para um valor normal de massa da bala(0,02kg),vib ≈ 492m/s
b)
O per´ıodo das oscilac¸o˜es e´ dado por:
T = 2pi
√
l
g
= 2pi
√
5
9,81 ≈ 4, 5s
A amplitude, θ0 = cos
−1(4,95,0) ≈ 11, 47◦
Questa˜o 2
Um oscilador harmoˆnico amortecido tem a seguinte soluc¸a˜o:
z(t) = e
−γ
2
t(ae−iωt + beiωt) (5)
onde:
ω =
√
ω20 −
γ2
4
(6)
ω20 = k/m (7)
γ = b/m (8)
Sabemos que ha´ treˆs casos poss´ıveis de amortecimento:
1. subcr´ıtico-γ/2 < ω0
2. cr´ıtico-γ/2 = ω0
3. supercr´ıtico-γ/2 > ω0
a)
Pela eq. (6), vemos que para γ ≥ 2ω0, ω → iω e a soluc¸a˜o na˜o e´ mais
oscilante.
Assim, o valor mı´nimo de γ e´ γ = 2ω0.
Usando (7) e (8),
b/2m =
√
k/m, portanto:
b = 2m
√
k/m = 2, 00× 1, 00
√
100, 00/1, 00 = 20, 00kg/s
b)
Bom, a amplitude num oscilador amortecido e´ A(t) = Ae
−γt
2 .
Matematicamente falando, o fato da amplitude cair a` metade a cada 5
per´ıodos pode ser expresso da seguinte forma: A(5τ ) = A(0)/2.
Assim:
2
Ae
−γ5τ
2 = A/2 (9)
Aplicando ln nesta expressa˜o:
−γ5τ
2
= ln(0, 5) (10)
Assim,usando (8):
b = −2m× ln(0, 5)
5τ
(11)
No entanto, o per´ıodo que devemos usar e´ τ = 2pi
ω
e na˜o ω0 como quase todos
usaram.
Dessa forma temos:
b = −2mω × ln(0, 5)
10pi
(12)
Seja, α = 2m×ln(0,5)10pi ficamos com:
b = −ωα (13)
Elevando ao quadrado a expressa˜o (13), usando (6) e isolando b temos:
b2 =
α2ω2o
1 + α
2
4m2
(14)
Numericamente, α ≈ 0, 044 e ω20 = 100, assim:
b2 =
(0, 044)2× 100
1 + 0,044
2
4
(15)
O que da´ b ≈ 0, 44kg/s
Questa˜o 3
A forma geral de uma func¸a˜o que descreve a dinaˆmica de uma onda unidi-
mensional e´ dada por:
y(x, t) = f(x − vt) + g(x+ vt) (16)
No enunciado temos uma onda do tipo:
y(x, t) = cos(pix + 10pit) (17)
Assim:
g(x + vt) = cos(k(x + vt)) (18)
Logo:
k = pim−1 (19)
e
kv = ω = 10pirad/s (20)
3
a)
usando (19) e (20),temos que:
λ =
2pi
k
=
2pi
pi
= 2, 0m (21)
ν =
ω
2pi
= 5, 0Hz (22)
b)
Uma func¸a˜o do tipo y(x, t) = f(x−vt) representa uma onda que se propaga
para a direita.
Nossa func¸a˜o tem o sinal positivo no argumento que e´ obtido fazendo-se
v → −v logo, teremos uma onda que se propaga para a esquerda.
c)
A velocidade de uma onda que se propaga na corda e´ dada por:
v =
√
T
µ
(23)
onde µ e´ a densidade linear da corda.
mcorda = µl
usando a equac¸a˜o (23): µ = T
v2
= T(λν)2=⇒mcorda = T(λν)2 l= 1,0100 × 20=200g
Questa˜o 4
a)
Neste experimento podemos considerar as extremidades da corda presas.Este
fato nos da´ condic¸o˜es de contorno tais que os comprimentos de onda poss´ıveis
para os modos normais sa˜o:
λn =
2l
n
(24)
A menor frequeˆncia com que o alto-falante pode forc¸ar a corda e´ f0.Portanto, de-
vemos ajustar a velocidade da onda de tal forma que ela possua essa frequeˆncia.
Esta velocidade pode ser controlada por um compromisso entre tensa˜o e
densidade linear da corda visto que: v =
√
T
µ
. Como T=Mg, o valor a ser
ajustado e´ o de µ, assim:
µ =
T
v2
→ µ = Mg
λ2f20
=
Mg
4l2f20
(25)
4
b)
So´ substituir os valores:
µ =
0, 20× 9, 81
4× 12 × 1642 ≈ 1, 82× 10
−2g/m (26)
c)
De (25) temos que:
f2n = n
2 Mg
4l2µ
= n2
0, 20× 9, 81
4× 0, 22× 10−3 ≈ n
2(2229, 5) (27)
Logo, fn ≈ n(47, 2)Hz ≥ 164Hz
Portanto, n ≥ 16447,2 = 3, 4.Como n e´ inteiro, a resposta fica n=4.
O comprimento de onda correspondente e´: λ4 =
2l
4 = 0, 5m.
5