Solucionário Box Física I SM

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Estrutura do livro do aluno
A coleção tem por objetivo convidar o aluno a se 
tornar agente principal de seu aprendizado, junto com 
colegas, professores e a comunidade em que se inse-
rem. Para assumir tal papel, o aluno precisa desenvol-
ver a autonomia e a criatividade e ser estimulado a to-
mar iniciativas.
As atividades propostas ao longo da coleção têm por 
objetivos centrais promover o entendimento de diferen-
tes modelos explicativos e de seus limites, assim como a 
aplicação do conhecimento científico em situações que 
conduzam à maior inclusão do indivíduo nas diversas 
instâncias da vida: escolar, familiar, comunitária, cida-
dã. Para isso, as seções foram organizadas de modo que 
contemplassem a variedade de conceitos, contextos, 
habilidades, processos, procedimentos e ações como a 
investigação e a experimentação, conforme esclarece a 
estrutura descrita a seguir. 
Abertura de unidades e capítulos
Primeiras ideias, Debate inicial e Primeiras 
anotações
A abertura de cada unidade é feita por uma imagem 
associada ao tema geral da unidade, acompanhada da 
seção Primeiras ideias, composta por um pequeno tex-
to que apresenta rapidamente os assuntos a serem estu-
dados na unidade. 
A abertura de cada capítulo também traz uma ima-
gem, agora mais específica que a da abertura da unida-
de, pontuando o assunto específico do capítulo. Para 
uma primeira exploração, são apresentadas duas se-
ções: o Debate inicial e Primeiras anotações. Essas são 
atividades que contextualizam e problematizam o as-
sunto do capítulo por meio da troca de ideias, da pes-
quisa e da identificação de conceitos prévios que os alu-
nos tenham a respeito, seja de sua vivência particular 
seja de aprendizados escolares anteriores. Procura-se, 
assim, criar um clima que favoreça o envolvimento do 
aluno com os conteúdos a estudar e sustente seu esfor-
ço na busca das explicações científicas desenvolvidas 
no texto. Depois do debate, cada aluno faz seu registro 
orientado pela seção Primeiras anotações.
Boxes complementares
Os conteúdos desenvolvidos no texto principal do 
capítulo são complementados por boxes, que trazem 
temáticas atuais ou históricas e procuram contribuir 
para um melhor entendimento do modo como a Física 
explica e descreve seu objeto de estudo. 
Exercícios resolvidos e propostos
As seções de exercícios pressupõem um movimento 
em direção ao reforço do aprendizado do aluno. Os Exer-
cícios resolvidos são atividades que servem como recurso 
imediato para consulta, enquanto os Exercícios propos-
tos permitem a verificação e o aprofundamento do apren-
dizado em vários níveis. Essas seções contemplam ativi-
dades que podem ser feitas tanto em sala de aula como 
em casa, conforme a prévia seleção do professor.
Para finalizar o capítulo e a unidade
Integre o aprendizado
Presente no final dos capítulos, a seção Integre o 
aprendizado propõe atividades que solicitam, além da 
verificação dos conceitos estudados, uma extrapolação 
do que foi aprendido, por meio do envolvimento de as-
pectos mais gerais e, por vezes, interdisciplinares.
Em alguns capítulos, existem atividades mais exi-
gentes, que colocam para o aluno situações-problema 
relacionadas com os conteúdos do capítulo.
Essas atividades constituem-se em ferramenta pro-
missora para o trabalho do professor, na medida em 
que oferecem condições para: 
 � integrar conteúdos; 
 � favorecer uma visão mais crítica dos processos que 
a ciência e a tecnologia empregam em seu desen-
volvimento; 
 � conceber a resolução de problemas como um processo 
dinâmico, que se apoia nas capacidades tanto de ava-
liar e criticar procedimentos quanto de tomar decisões.
A seção Integre o aprendizado é finalizada com o 
item De volta para o começo, que tem por objetivo in-
centivar a autoavaliação das respostas elaboradas no 
início do capítulo, na seção Primeiras anotações. Tra-
ta-se, portanto, de um encaminhamento didático que 
busca esclarecer, ao professor e ao aluno, a análise e a 
comparação do conhecimento inicial, em parte funda-
mentado no senso comum, com o conhecimento atual, 
em parte transformado pelo contato com o conheci-
mento explorado ao longo do capítulo.
Vestibular e Enem
Ao final de cada unidade, a seção Vestibular e Enem 
reproduz questões variadas, relacionadas com o tema 
dos capítulos trabalhados, extraídas de exames recentes 
de vestibulares de todo o país e dos exames nacionais 
do Ensino Médio.
2
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3
Respostas das atividades propostas no Livro do Aluno
 Introdução à Física
Página 15 – Para debater
Resposta pessoal. As opções são muitas. Podemos citar: proces-
sos de produção e consumo de energia em diferentes espaços, 
desde numa cidade até numa cadeia alimentar na natureza; a 
preparação de alimentos na cozinha; o ciclo do carbono na na-
tureza, etc.
Página 16 – Ação e cidadania
 ▪ As informações estatísticas sobre a população brasileira 
obtidas pelo censo são importantes para o Brasil, pois re-
velam dados sobre a situação de vida da população e são 
imprescindíveis para a definição de políticas públicas e 
para a tomada de decisões de investimento, seja ele pro-
venientes da iniciativa privada seja de qualquer nível de 
governo.
 ▪ Resposta pessoal. Oriente os alunos salientando que, se-
gundo o IBGE, o censo demográfico brasileiro obtém infor-
mações que possibilitam acompanhar o crescimento da po-
pulação, identificar áreas de investimentos prioritários em 
saúde, educação, habitação, transporte, energia, progra-
mas de assistência à infância e à velhice, selecionar locais 
que necessitam de programas de estímulo ao crescimento 
econômico e desenvolvimento social, fornecer as referên-
cias para as projeções populacionais, fornecer parâmetros 
para conhecer e analisar o perfil da mão de obra em nível 
municipal, fundamentar diagnósticos e reivindicações, pe-
los cidadãos, de maior atenção dos governos estadual ou 
municipal para problemas locais e específicos, como de in-
suficiência da rede de água e esgoto, de atendimento médi-
co ou escolar, etc. e subsidiar as comunidades acadêmica e 
técnico-científica em seus estudos e projetos. Para mais in-
formações sobre o censo demográfico brasileiro, consulte a 
página do IBGE disponível no endereço: <http://censo2010.
ibge.gov.br/>. Acesso em: 18 jun. 2013.
Exercícios propostos
1. a) Os cientistas descobriram que certa radiação eletromagnéti-
ca, com comprimentos de onda compreendidos entre 1 mm e 
1 cm, faz vibrar as moléculas de água. Essa descoberta cientí-
fica possibilitou uma invenção tecnológica, o forno de micro-
-ondas.
b) A ciência busca o entendimento dos fenômenos naturais 
observáveis e inobserváveis por meio de modelos. Com as 
pesquisas científicas sendo desenvolvidas para o enten-
dimento dos fenômenos, podemos ter novas descobertas, 
como a das micro-ondas e a dos raios X, que muitas vezes 
possibilitam a construção de novos equipamentos muito 
úteis para a sociedade. Por exemplo, na medicina, os raios X 
podem ser utilizados nas análises de fraturas. Isso é 
tecnologia.
2. a) Sim, pois Lorenz não somente observava as massas de ar, 
mas tentava formular um modelo para elas. Por meio de 
observações, experimentos, raciocínios, divergências e hi-
póteses, os cientistas podem formular modelos. Isso é fa-
zer ciência.
b) A experimentação: um programa de computador simulava o 
comportamento das massas de ar.
O uso de expressões matemáticas: Lorenz formulou equa-
ções matemáticas para demonstrar o que chamou de efei-
to borboleta.
A generalização: uma pequena mudança ocorrida no iní-
cio de um evento pode ter consequências imprevisíveis no 
futuro.
c) O aumento da credibilidade é fruto dos altos índices de 
acerto das atuais previsões de tempo, devido ao aprimora-
mento da obtenção de dados e dos modelos matemáticos.
3. a) Espera-se que o aluno responda que sim, pois o autor do 
texto afirma que as crianças são curiosas e intelectualmen-
te vigorosas, fazem perguntas provocadoras e perspicazes.Essas características são importantes e costumam estar pre-
sentes na personalidade de um cientista.
b) Resposta pessoal.
c) Resposta pessoal.
d) Resposta pessoal.
4. A translação da Terra em torno do Sol é nossa medida de ano, 
a rotação da Terra em torno de seu próprio eixo é nossa medi-
da de um dia, o mês é medido por um ciclo completo de fases 
da lua, etc.
5. a) Grandezas escalares: temperatura, altura, massa. Grandezas 
vetoriais: velocidade e deslocamento.
b) Para caracterizar uma grandeza vetorial, é preciso conhecer 
sua intensidade (módulo), sua direção e seu sentido.
6. a) 
 ____
 
›
 A 5 5 m
Falsa. A proposição apresentada iguala o vetor 
 ____
 
›
 A (que tem in-
tensidade, direção e sentido) apenas com seu módulo, o que 
não é correto.
b) B 5 5 m
Verdadeira. A proposição apresentada informa que o módulo 
do vetor 
 ____
 
›
 B é igual a 5 m.
c) 
 ____
 
›
 A 5 
 ____
 
›
 B 
Falsa. A proposição apresentada informa que o vetor 
 ____
 
›
 A é igual 
ao vetor 
 ____
 
›
 B , o que não é verdade, pois, para a igualdade ser 
verdadeira, eles devem ter módulo, direção e sentido iguais.
d) A 5 B 5 C 5 D 5 5 m
Verdadeira. A proposição apresentada informa que os módu-
los dos vetores são iguais a 5 m.
e) B 5 25 m
Falsa. Nessa situação, apresenta-se apenas o módulo do ve-
tor e não há módulo negativo (o sinal está associado unica-
mente ao sentido do vetor).
f) C 5 2 
 ____
 
›
 D 
Falsa. A proposição apresentada informa que o módulo do ve-
tor 
 ____
 
›
 C é igual ao oposto do vetor 
 _____
 
›
 D .
7. a) Considerando cada deslocamento como um vetor e definin-
do o sentido de A para B como positivo, temos que o deslo-
camento total do trem é 3 km, pois ele andou 5 km para fren-
te e depois voltou 2 km em sentido oposto.
b) O módulo do deslocamento total ilustra que, se o trem se mo-
vimentasse exclusivamente em um único sentido, teria se 
deslocado 3 km.
8. a) Sabendo que cada passo mede 1 metro de comprimento, 
podemos entender que a pessoa caminhou 3 metros para o 
norte e 4 metros para o leste. Então, o vetor resultante é o 
representado na figura abaixo. 
4 m
3 m x m
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4
Como a figura formada é um triangulo retângulo, temos 
que x 2 5 3 2 1 4 2 ä x 5 5, portanto, o deslocamento total 
da pessoa é igual a 5 metros.
b) Nesse caso, a pessoa caminhou 3 m para o norte e 4 m 
para o leste, totalizando uma distância total percorrida de 
7 m.
c) A distância total e o deslocamento têm valores diferentes, 
pois um é uma soma dos módulos dos vetores e a outra é a 
soma vetorial, que considera a direção e o sentido dos veto-
res. Eles teriam o mesmo valor se ambas as caminhadas da 
pessoa fossem na mesma direção e no mesmo sentido, pois 
o deslocamento seria obtido apenas pela soma dos módulos 
dos vetores.
9. Exemplos de grandezas escalares: tempo, espaço, massa, 
temperatura. Exemplos de grandezas vetoriais: velocidade, 
força, aceleração, quantidade de movimento, impulso, dis-
tância percorrida, deslocamento.
10. a) 
 ____
 
›
 A 5 
 ____
 
›
 R 1 
 ____
 
›
 S 
Utilizando o método do paralelogramo, obtemos:
R
AS
b) 
 ____
 
›
 B 5 
 ____
 
›
 R 1 
 ____
 
›
 T 
Utilizando o método do paralelogramo, obtemos:
R
B
T
c) 
 ____
 
›
 C 5 
 ____
 
›
 S 1 
 ____
 
›
 U 
Utilizando o método do paralelogramo, obtemos:
U
C
S
Ilu
st
ra
çõ
es
: S
et
up
 B
ur
ea
u/
ID
/B
R
d) 
 _____
 
›
 D 5 
 ____
 
›
 T 2 
 _____
 
›
 U 
Observe que o vetor 2 
 _____
 
›
 U é o vetor oposto do vetor 
 _____
 
›
 U .
Utilizando o método do paralelogramo, obtemos:
2U
T
D
e) 
 ____
 
›
 E 5 
 _____
 
›
 U 1 
 ____
 
›
 T 2 
 ____
 
›
 R 
Observe que o vetor 2 
 ____
 
›
 R é o vetor oposto do vetor 
 ____
 
›
 R .
Utilizando o método da linha poligonal, obtemos:
U
E T
2R
f) 
 ____
 
›
 F 5 
 ____
 
›
 S 2 
 ____
 
›
 T 1 
 _____
 
›
 U 
Observe que o vetor 2 
 ____
 
›
 T é o vetor oposto do vetor 
 ____
 
›
 T .
Utilizando o método da linha poligonal, obtemos:
S
2T
U
F
g) 
 _____
 
›
 G 5 
 _____
 
›
 U 1 
 ____
 
›
 S 2 
 ____
 
›
 T 
Utilizando o método da linha poligonal, obtemos:
G
2T
U
S
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5
11. a) Sim, pois os vetores 
 ____
 
›
 F e 
 _____
 
›
 G têm mesmo módulo, direção e sen-
tido.
b) A propriedade de adição dos números que garante a igualda-
de é a propriedade comutativa que é válida para os vetores.
15. a) É possível obter três algarismos significativos: dois da medi-
da do termômetro e um da aproximação feita. Por exemplo, 
podemos medir a temperatura de 19,0 °C; nesse caso, há três 
algarismos significativos.
b) As estimativas esperadas estão entre 14,0 °C e 15,0 °C.
16. a) 3,4 km 5 3 400 m
b) 2 000 mm 5 2 m
c) 187 cm 5 1,87 m
d) 0,008 mm 5 8 ? 10 26 m
17. a) Tempo de volta da Lua em torno da Terra é aproximadamente 
2,732 ? 10 1 dias.
b) População brasileira estimada em 2012 é aproximadamente 
1,94 ? 10 8 habitantes. 
c) Diâmetro do vírus da hepatite B é aproximadamente 4,2 ? 10 28 m.
18. a) 0,2 kg 5 0,2 ? 10 3 g 5 2 ? 10 2 g
b) 200 mg 5 200 ? 10 23 g 5 2 ? 10 21 g
c) 25 t 5 25 ? 10 3 kg 5 25 ? 10 6 g 5 2,5 ? 10 7 g
d) 397 kg 5 397 ? 10 3 g 5 3,97 ? 10 5 g
19. Como cada passo equivale a 1 m, então 1 600 m 5 1 600 passos. 
Se uma milha tem 1 600 passos, logo duas milhas têm, em notação 
científica: 2 ? 1 600 5 3 200 5 3,2 ? 10 3 , ou seja, 3,2 ? 10 3 passos.
Portanto, a ordem de grandeza será 10 3 .
20. a) Para quantificar os alimentos citados, usamos o quilograma 
(kg) como unidade de medida.
b) Se um grão de arroz tem massa de 20 ? 10 26 kg, o número n 
de grãos contidos em um saco de 1 kg é dado por:
n ? 20 ? 10 26 5 1 ä n 5 1 _____________ 20 ? 10 26 ä n 5 0,05 ? 10 
6 ä 
 ä n 5 5 ? 10 4 
 Portanto, um saco de 1 kg contém 5 ? 10 4 grãos de arroz, ou 
seja, 50 000 grãos.
Integre o aprendizado
21. Sabemos que 1 quatrilhão é igual 10 15 , assim obtemos o tempo 
gasto para um cálculo ser feito por:
 1 _______ 10 15 5 1 ? 10 
215 , ou seja, um cálculo a cada femtossegundo.
Portanto, a alternativa correta é a d.
22. Sabemos que:
1 erg 5 10 27 J, 1 eV 5 1,602 ? 10 219 J e 1 W 5 J/s, pede-se a con-
versão de 1,602 ? 10 10 erg/min, portanto, temos:
1,602 ? 10 10 erg/min 5 1,602 ? 10 3 J/min (I)
Observe que 1 eV 5 1,602 ? 10 219 J ä 1 J 5 1 eV/1,602 ? 10 219 , 
logo, substituindo em I, temos:
1,602 ? 10 3 J/min 5 1,602 ? 10 3 ? 1 eV/1,602 ? 10 219 /min 5 
5 1 ? 10 22 eV/min 5 1 ? 10 22 eV / 60 s > 1,7 ? 10 20 eV / s.
Ou, 1,7 ? 10 20 eV/s 5 1,7 ? 10 20 ? 1,602 ? 10 219 J/s > 2,7 ? 10 1 J/s 5 
5 27 W
Portanto, a alternativa correta é a b.
23. No SI, para expressar magnitude de calor transferido de um cor-
po a outro, utiliza-se o Joule.
Portanto, a alternativa correta é a a.
24. a) Verdadeira.
b) Verdadeira.
c) Falsa. A unidade de medida de tempo adotada pelo SI é o se-
gundo, denotada por s.
d) Verdadeira.
25. Sabemos que: micro 5 10 26 , nano 5 10 29 , deci 5 10 21 e 
centi 5 10 22 .
Portanto, a alternativa correta é a e. 
26. Sabemos que a ordem de grandeza de nano é 10 29 ; assim, 
temos:
1 ? 10 29 m 5 0,000000001 m
Portanto, a alternativa correta é a d.
27. 01) Verdadeira.
02) Verdadeira.
04) Falsa. Dois vetores são iguais se possuírem mesmo módulo, 
direção e sentido.
08) Falsa. O módulo do vetor depende de sua intensidade e não 
de sua direção.
16) Verdadeira. 
 Unidade 1 – Cinemática
CAPítUlo 1 Movimento uniforme
Página 32 – Debate inicial
1. Considerando o local de onde a fotografia foi tirada, as divisó-
rias da rodovia, o viaduto ao fundo, os postes e a própria rodo-
via são exemplos de objetos que estavam parados. Os veículos 
são exemplos de objetos que estavam em movimento. Ao longo 
do tempo, os objetos que estavam emmovimento mudaram de 
posição. Já os objetos que estavam parados permaneceram na 
mesma posição.
2. Sabendo que todos os veículos percorrerão a mesma distância, 
e considerando que em todo o percurso os veículos seguirão nas 
mesmas condições, ou seja, congestionamento na pista à es-
querda e tráfego normal na pista à direita, os veículos da pis-
ta à direita do canteiro central chegarão mais rapidamente ao 
seu destino.
3. Para que o radar registre a velocidade de um automóvel, primei-
ro é definida uma distância a ser percorrida. Depois, a partir da 
velocidade permitida no trecho, o tempo necessário para percor-
rer a distância definida é calculado, e todo automóvel que fizer 
o percurso pré-definido em um tempo menor estará acima da ve-
locidade permitida.
Página 32 – Primeiras anotações
1. Significa que o corpo se desloca, isto é, muda de posição ao lon-
go do tempo.
2. Descrever um movimento significa, a cada instante, saber qual 
é sua posição e, em alguns casos, saber também a velocidade.
3. Posição, tempo e velocidade são exemplos de grandezas impor-
tantes para descrever e fazer previsões sobre um movimento.
4. Velocidade informa a distância percorrida pelo móvel a cada 
unidade de tempo.
Página 40 – Conceito em questão
1. Exemplo de resposta: De maneira análoga ao barco, o tempo gas-
to por um pássaro ao fazer uma travessia de um lado para outro, 
imaginando que esses lados são paralelos, será o mesmo inde-
pendente da ocorrência ou não de correntes de ar.
2. Resposta pessoal.
Página 42 – Para debater
Resposta pessoal. É possível descrever qualquer tipo de fenô-
meno por meio de funções, desde que se tenha domínio das va-
riáveis que influenciam no estudo.
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6
Página 45 – Ação e cidadania
 ▪ Compartilhe as respostas encontradas pelos alunos e favore-
ça o debate em torno do tema abordado. Oriente os alunos so-
bre os perigos e possíveis consequências que ingerir bebida 
alcoólica e dirigir podem acarretar. Aproveite o momento para 
promover a conscientização e conhecer o ponto de vista que 
os alunos têm sobre o assunto.
 ▪ Ao elaborar uma mensagem informativa com o objetivo de pro-
mover a conscientização no trânsito, os alunos poderão desen-
volver suas próprias opiniões relacionadas ao tema e se apro-
priar dessa causa, tornando a aprendizagem mais significativa. 
Página 49 – De volta para o começo
1. Resposta pessoal.
2. Para um movimento com velocidade constante, as expressões 
matemáticas da cinemática descrevem a posição em cada ins-
tante e relacionam grandezas como posição, tempo e velocidade.
3. As explicações são compatíveis, assim como a fórmula matemá-
tica para calcular a velocidade no movimento uniforme.
Exercícios propostos
2. a) A afirmativa está incorreta, pois C está em repouso em rela-
ção a B. Correção possível: Em relação a B, A está em movi-
mento e C está em repouso.
b) A afirmativa está correta.
c) A afirmativa está incorreta, pois C está em repouso em rela-
ção a B. Correção possível: Em relação a A, B e C estão em mo-
vimento.
3. Resposta pessoal. Espera-se que o aluno responda que sim, e 
justifique que a sacola estará em repouso desde que não ocorra 
variação de sua posição em relação à pessoa.
4. Resposta pessoal.
5. Neste exercício é preciso fazer uma interpretação física tomando 
por base um trecho de uma canção, em que as palavras são subje-
tivas, ou seja, podem ser interpretadas de formas diferentes. Por 
exemplo, pode-se considerar que o chocalho mexe com a “more-
na” imaginando uma situação na qual o chocalho é o referencial e 
há uma mudança de posição entre eles. No entanto, considerando 
que o chocalho está literalmente “amarrado na canela” da “morena 
de Angola”, independentemente de se escolher como referencial o 
chocalho ou a morena, um estará em repouso em relação ao outro, 
mesmo ambos estando em movimento em relação a um terceiro re-
ferencial (por exemplo, a Terra).
6. a) Se o barco está navegando, quer dizer que está em movimento 
em relação às margens do rio. Se colocarmos o referencial em um 
ponto fixo na margem do rio, essa pessoa estará em movimento.
b) Neste caso, deveremos colocar o referencial em um ponto fixo 
no barco. Como a pessoa está sentada no barco, ela não se 
move em relação a este referencial, portanto, está em repou-
so em relação ao barco.
9. a) Posição inicial: s 0 5 2 m
Posição final: s 5 10 m
b) O deslocamento escalar é dado por:
Ds 5 s 2 s 0 5 10 2 2 Æ Ds 5 8 m
c) Se para ir de A até B a partícula se desloca 8 m, para voltar 
pelo mesmo caminho se desloca os mesmos 8 m. Portanto, 
a distância total percorrida será 16 m.
10. Podemos obter o intervalo de tempo gasto por:
 v m 5 
Ds ____ 
Dt
 Æ 2 5 8 ____ 
Dt
 Æ Dt 5 4 s
11. Inicialmente devemos fazer a seguinte transformação:
10 h 30 min 5 10,5 h
Dos dados do enunciado, temos:
Distância percorrida: d 5 Ds 5 220 km
Intervalo de tempo: Dt 5 ( t 2 2 t 1 ) 5 (10,5 2 7) Dt 5 3,5 h
Para determinar a velocidade escalar média v m , fazemos:
 v m 5 
Ds ____ 
Dt
 5 220 ______ 3,5 Æ v m > 62,9 km/h
12. Inicialmente devemos fazer a seguinte transformação:
2 400 m 5 2,4 km
40 min 5 40 _____ 60 5 
2 __ 3 h
Para determinar a velocidade escalar média v m , fazemos:
 v m 5 
Ds ____ 
Dt
 5 2,4 _____ 
 2 __ 3 
 Æ Dt 5 3,6 km/h
13. Inicialmente devemos transformar a velocidade máxima permi-
tida v máx que está em km/h para m/s.
 v máx 5 
40 km _________ 1 h 5 
40 000 m ______________ 3 600 s > 11,11 m/s
Sabendo que a distância entre os dois sensores do radar é 3 m, temos:
 v máx 5 
d ____ 
Dt
 Æ Dt 5 d _____ v máx > 
3 _______ 11,11 Æ Dt 5 0,27 s
14. Para determinar a velocidade escalar média ao longo de todo 
o percurso, precisamos do tempo total de viagem e da varia-
ção de espaço. Inicialmente vamos determinar o tempo total do 
percurso. Para isso, analisaremos isoladamente cada trecho 
do  percurso e, no final, somaremos os tempos obtidos.
Primeiro trecho:
 v m 5 
Ds ____ 
Dt
 Æ Dt 5 Ds ____ v m Æ Dt 5 
10 ____ 15 > 0,67 h
Segundo trecho:
 v m 5 
Ds ____ 
Dt
 Æ Dt 5 Ds ____ v m Æ Dt 5 
10 ____ 10 5 1 h
Terceiro trecho:
 v m 5 
Ds ____ 
Dt
 Æ Dt 5 Ds ____ v m Æ Dt 5 
10 ____ 15 > 0,67 h
Tempo total do percurso:
 Dt total 5 0,67 1 1 1 0,67 5 2,34 h
Nesse caso, a variação de espaço total do percurso pode ser ob-
tida somando a variação de espaço dos três trechos:
 Ds total 5 10 1 10 1 10 Æ Ds total 5 30 km
A velocidade escalar média pode ser obtida da seguinte maneira:
 v m 5 
 Ds total ________ 
 Dt total 
 5 30 _______ 2,34 Æ v m > 12,8 km/h
15. Podemos obter a profundidade da caverna por:
 v m 5 
Ds ____ 
Dt
 Æ 340 5 Ds ____ 2 Æ Ds 5 340 ? 2 Æ Ds 5 680 m
19. No cálculo da velocidade escalar média, o tempo de parada tam-
bém é considerado, portanto, temos:
 v m 5 
Ds ____ 
Dt
 Æ v m 5 
120 ______ 3 5 40 Æ v m 5 40 km/h
20. a) 
vp
vb
Para um observador em um ponto fixo da margem, a velocida-
de do passageiro é dada por:
 v r 5 v b 1 v p Æ v r 5 2,5 1 1 5 3,5 Æ v r 5 3,5 m/s
b) Nesse caso, o passageiro faz o movimento na direção oposta 
do item a, portanto, temos:
 v r 5 v b 1 v p Æ v r 5 1 2 2,5 5 1,5 Æ v r 5 1,5 m/s
21. a) A velocidade de B em relação a A é dada por:
 v BA 5 v b 1 v a Æ v BA 5 80 2 120 5 240 Æ v BA 5 240 m/s
Portanto,  v BA  5 40 km/h
S
et
up
 B
ur
ea
u/
ID
/B
R
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7
b) Os carros descrevem movimento retilíneo uniforme. A função 
horária de cada um dos carros, admitindo que o carro A se en-
contre na origem, é dada abaixo:
Carro A: s A 5 120 ? t
Carro B: s B 5 0,5 1 80 ? t
O instante em que o carro A encontrará o carro B se dá quan-
do s A 5 s B . Assim:
120 ? t 5 1 __ 2 1 80 ? t Æ t 5 0,0125 h 5 0,75 min
24. a) A posição inicial s 0 pode ser obtida diretamente da função 
horária.
s 5 s0 1 v ? t 5 4 2 2t
Portanto, s 0 5 4 m.
A velocidade da partícula é o número que multiplica o tempo 
na função horária; no caso, v 5 22 m/s.
b) A posição da partícula após 3 s de movimento é dada a partir 
da substituição do valor de t na função. Assim:
s 5 4 2 2 ? 3 5 4 2 6 Æ s 5 22 m
c) O instante em que a partícula atinge a posição 8 m pode ser 
obtido pela substituição desse valor na função horária.
s 5 4 2 2t Æ 8 5 4 2 2t Æ 2t 5 4 2 8 Æ t 5 22 s
Como não existe tempo negativo, a partícula não passará pela 
posição 8 m.
25. A posição inicial do esquiador em relação à bandeira é s 0 5 10 m. 
A velocidade do esquiador é 4 m/s. Assim:
s 5 s 0 1 v ? t Æ s 5 10 1 4 ? t 
28. a) v (km/h)
0 t (min)
800
30
b) Dados:
t 5 30 min 5 0,5 h
A distância percorrida é dada por:
v 5 s __ t Æ 800 5 
s _____ 0,5 Æ s 5 400 km
c) A função horária (ou de posição) é dada por:
s 5 0 1 800 ? t
29. Analisando o gráfico podemos concluir que se trata de um movi-
mento retilíneo uniforme, com posição inicial na origem e velo-
cidade constante de 10m/s. A função horária é dada por:
s 5 0 1 10 ? t
Para sabermos a distância do corpo no instante t 5 10s, pode-
mos substituir o tempo na função horária do corpo:
s 5 0 1 10 ? 10 Æ s 5 100 m
32. a) A velocidade do atleta é aproximadamente constante e igual 
a 10 m/s. Logo:
v (m/s)
0 t (s)
10
8
6
4
2
963
b) O comprimento L da pista de corrida é numericamente igual 
à área A do retângulo formado pelo gráfico e eixos do plano. 
Assim, temos:
 L 5 10 ? 9 Æ L 5 90 m
33. O deslocamento escalar será numericamente igual à área do 
retângulo mostrado no gráfico.
área 5 b ? h 5 3 ? 3 Æ área 5 9
Logo: Ds 5 9 cm
34. O deslocamento escalar será numericamente igual à soma das 
áreas dos retângulos mostrados no gráfico.
 área total 5 área 1 1 área 2 5 10 ? 10 1 10 ? 20 Æ área total 5 300
Logo: Ds 5 300 m
35. a) S
t
S0
V . 0
b) S
t
S0
V , 0
Integre o aprendizado
36. Na ida o barco movimenta-se em relação à garrafa com velocida-
de v r 5 v b 1 v g gastando 20 minutos no percurso, note que v g 5 v c . 
Na volta o barco está a favor da correnteza, portanto em relação 
à garrafa ele continua com velocidade v r 5 v b 1 v c , e concluímos 
que ele demorou também 20 minutos para voltar até a garrafa. 
Durante esse período, a garrafa deslocou-se 1,6 km em relação 
à ponte, a velocidade da água em relação à ponte é a mesma ve-
locidade da garrafa em relação à ponte. Assim podemos calcular 
a velocidade da correnteza, utilizando o deslocamento da garra-
fa e o tempo que ela demorou para fazer esse percurso, ou seja, 
1,6 km em 40 minutos, logo:
 v c 5 
d __ t Æ v c 5 
1,6 _____ 
 2 __ 3 
 Æ v c 5 2,4 km/h
37. a) Sabemos que 80 km/h > 22,22 m/s.
A distância será:
 Ds 5 v ? Dt > 22,22 ? 0,75 Æ Ds > 16,66 m
b) Nesta situação, sabe-se que a distância percorrida pelo carro du-
rante o tempo de reação do motorista é 16,6 m. Para saber a dis-
tância mínima que um carro deve ficar de outro para não colidi-
rem, é preciso calcular a distância que o carro percorre até parar 
completamente. Isso se calcula usando as equações do MUV, e é 
necessário ter a aceleração do carro para fazer esse cálculo.
c) Os valores encontrados podem variar conforme a fonte utili-
zada. Deve-se levar em consideração que fontes como artigos 
científicos costumam ser mais precisas, enquanto fontes que 
abrangem o assunto de modo geral apresentam valores mais 
simples (arredondados). Valores encontrados na internet su-
gerem que esse tempo é em média igual a 2 s.
d) Utilizando o valor de reação encontrado na pesquisa para 
uma pessoa com 0,5 g/L, calcula-se a distância utilizando a 
relação da velocidade média.
e) A concentração de álcool no sangue dos motoristas antes da 
reforma da lei era de 0,6 g/L. Com a sua modificação, esse va-
lor caiu para 0,2 g/L, ficando na América do Sul atrás apenas 
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8
da Colômbia, onde a taxa é igual a zero. Na Europa, o limi-
te varia bastante dependendo da região. Em alguns países, 
como Grã-Bretanha, Irlanda, Luxemburgo e Malta, a taxa é a 
mais alta de toda a Europa, sendo igual a 0,8 g/L. Entretanto, 
na República Tcheca, Hungria, Eslováquia, Romênia e Irlanda, 
o limite é zero. No caso apresentado acima, observa-se que os 
valores variam muito de região para região, não sendo neces-
sariamente relacionadas com a questão econômico-financei-
ra do país (caso da Europa e seus diferentes índices). Ao fazer 
a pesquisa, é importante notar que há certa tendência em bai-
xar os índices em muitos lugares no mundo, reflexo de uma 
conscientização que acontece em muitos países.
38. 
Dt2 5 17,8 ? 10
24 s
h
c
d 2 h
Dt1 5 18 ? 10
24 s
Terra
Satélite Satélite
Terra
Na primeira figura, o caso em que o pulso é emitido na região so-
bre o nível do mar, temos:
2 ? d 5 c ? Dt 1 (I)
Sendo c a velocidade do laser, c 5 3 ? 10 8 m/s satélite
Na segunda figura, o caso em que o pulso é emitido sobre a mon-
tanha de gelo, temos:
2 ? (d 2 h) 5 c ? Dt 2 (II)
Subtraindo II em I, temos:
2 ? h 5 c ? ( Dt 1 2 Dt 2 ) Æ h 5 
c ? ( Dt 1 2 Dt 2 ) ___________________ 2 5 
5 3 ? 10 
8 __________ 2 ? (0,2 ? 10 
24 ) Æ h 5 3 000 m
39. A velocidade média é dada por:
 v m 5 
DS ____ 
Dt
 Æ v m 5 
930 000 000 ___________________ 24 ? 365 1 5 5 
930 000 000 ___________________ 8 765 Æ 
Æ v m > 106 104 km/h
Portanto, a alternativa correta é a a.
CAPítUlo 2 Movimento uniformemente 
variado
Página 50 – Debate inicial 
1. Dizer que um corpo foi abandonado do repouso no vácuo signi-
fica dizer que esse corpo está se deslocando verticalmente para 
baixo sob ação exclusiva da gravidade.
2. Fotografias estroboscópicas são feitas a partir de uma técnica 
ob tida com o uso do estroboscópio para registrar objetos em 
movimento. O estroboscópio é um aparelho que dispara flashes 
de modo intermitente e periódico. Desse modo, ao fotografar é 
possível registrar posições sucessivas em intervalos de tempo 
constantes. 
3. Não, observando a fotografia e sabendo que o intervalo de tem-
po entre o registro de duas posições sucessivas da pena e da 
maçã é constante, podemos dizer que o movimento que elas 
realizam não é uniforme, pois é possível perceber que a dis-
tância entre duas posições sucessivas aumenta com o passar 
do tempo.
S
et
up
 B
ur
ea
u/
ID
/B
R
Página 50 – Primeiras anotações 
1. Resposta pessoal.
2. Se o experimento fosse reproduzido em um ambiente com atmos-
fera, tanto a pena quanto a maçã estariam submetidas à resistên-
cia do ar. Assim, poderíamos observar que a distância entre duas 
posições sucessivas da pena seria menor do que a distância entre 
duas posições sucessivas da maçã; e a pena e a maçã não esta-
riam lado a lado em cada posição. 
3. As distâncias entre duas posições sucessivas da pena e da maçã 
aumentam porque à medida que os dois corpos caem o módulo 
da velocidade aumenta.
Página 58 – Ação e cidadania 
 ▪ Resposta pessoal. Compartilhe as opiniões dos alunos e apro-
veite o momento para favorecer o debate com base na argu-
mentação. Ressalte a importância de as pessoas terem de-
veres e direitos iguais e incentive a reflexão sobre o tema 
proposto intermediando sempre que necessário.
 ▪ Resposta pessoal. Promova um debate que inicialmente avalie 
quais dificuldades as pessoas com deficiência encontram em 
nossa sociedade, e demonstre que tais dificuldades englobam 
desde problemas de infraestrutura, como rampas de acesso e 
equipamentos adaptados, até problemas relacionados ao pre-
conceito. Depois de elucidar essa questão, liste atitudes que 
podem ser tomadas para sanar, ou pelo menos amenizar, os 
problemas identificados. 
Página 67 – De volta para o começo
1. Resposta pessoal.
2. Sim. A pena e a maçã são corpos que foram abandonados do re-
pouso e estão se deslocando verticalmente para baixo sob ação 
exclusiva da gravidade, isto é, no vácuo, em que não há a força 
de resistência do ar. 
3. Não. Considerandoque em um local sob a influência da atmosfera 
há resistência do ar, a pena demoraria mais tempo para atingir o 
chão do que a maçã, uma vez que o formato da pena, com maior 
área de exposição efetiva, proporciona um maior atrito com o ar 
e, portanto, maior força de resistência do ar.
Exercícios propostos 
3. a) Como o enunciado pede para calcular a aceleração usando as 
unidades do SI, devemos converter km/h em m/s, dividindo o 
valor dado por 3,6. Assim:
n 5 540 ______ 3,6 5 150 m/s
Além disso, o enunciado afirma que a velocidade inicial do 
veículo é nula e levou 5 s para atingir a velocidade de 150 m/s. 
Então, a aceleração pode ser calculada pela seguinte equação:
 a m 5 
Dn _____ 
Dt
 5 150 2 0 ____________ 5 5 30 ä a m 5 30 m/ s 
2 
b) Devemos inicialmente obter a equação horária da velocida-
de do dragster. Lembrando que a velocidade inicial é nula e a 
aceleração escalar é 30 m/ s 2 , temos:
n 5 n 0 1 at ä n 5 30t
Para encontrar a velocidade do dragster 3 s após a largada, pode-
mos substituir esse tempo na função horária da velocidade que 
obtemos anteriormente. Assim, temos:
n 5 30 ? 3 5 90 m/s
Convertendo para km/h, temos:
n 5 324 km/h
Portanto, após 3 s de aceleração, o dragster atinge a veloci-
dade 324 km/h.
4. A função horária da velocidade no MUV é dada por:
n 5 n 0 1 a ? t
Substituindo os valores fornecidos no enunciado, temos a se-
guinte função horária da velocidade do corpo:
n 5 4 1 10 ? t
3P_SPF_FR1_MP_001A040.indd 8 27/06/14 14:57
9
7. a) De acordo com o gráfico, o módulo da velocidade varia em 
relação ao tempo, portanto, o movimento é denominado va-
riado (MUV).
b) Usando a definição de aceleração para os valores obtidos a 
partir do gráfico entre os instantes 0 s e 6 s, teremos:
 a m 5 
Dn _____ 
Dt
 5 18 2 0 __________ 6 5 3 m/ s 
2 
Do mesmo modo, teremos entre os instantes 6 s e 12 s:
 a m 5 
Dn _____ 
Dt
 5 18 2 0 __________ 6 5 23 m/ s 
2 
c) Observando o gráfico, notamos que, entre os instantes 0 s e 6 s, 
o movimento do automóvel é uniformemente variado com 
aceleração constante de 3 m/ s 2 . Assim, podemos obter a fun-
ção horária da velocidade neste trecho do movimento. Lem-
brando que a velocidade inicial é nula, temos:
n 5 n 0 1 at ä n 5 3t
Substituindo t 5 2 s na função obtida, temos:
n 5 3t ä n 5 3 ? 2 ä n 5 6 m/s
d) Neste caso, a distância percorrida coincide com o desloca-
mento escalar, que é numericamente igual à área delimitada 
pela curva e o eixo do tempo. A figura representada no gráfico 
é um triângulo e sua área é dada por:
A 5 b ? h _______ 2 5 
12 ? 18 __________ 2 5 108
Logo, Ds 5 108 m.
10. a) Segundo o enunciado, o movimento é retardado, portanto a 
velocidade e a aceleração possuem sinais contrários. Adote-
mos a velocidade positiva e a aceleração negativa; assim, te-
mos a seguinte função horária da posição:
s 5 60 1 8 ? t 2 2 ? t 2 
b) Função horária da velocidade:
n 5 8 2 4 ? t
c) O instante em que ocorre inversão do movimento se dá quan-
do a velocidade é nula; assim, temos:
0 5 8 2 4 ? t ä t 5 2 s
d) Para encontrarmos a posição do corpo no instante t 5 10 s, 
basta substituirmos os dados numéricos na função horária da 
posição:
s 5 60 1 8 ? 10 2 2 ? 10 2 ä s 5 260 m
e) Primeiro encontramos a velocidade do corpo no instante t 5 6 s:
n 5 8 2 4 ? 6 ä 216 m/s
Para calcularmos o deslocamento, utilizamos a equação de 
Torricelli:
 n 2 5 n 0 
2 1 2 ? a ? Ds ä Ds 5 
 n 2 2 n 0 
2 
 __________ 2 ? a 
Substituindo os valores numéricos, temos:
Ds 5 16 
2 2 8 2 ____________ 
22 ? 4 ä Ds 5 224 m
11. a) Como a aceleração da gravidade é constante e vale 10m/ s 2 , 
o movimento é uniformemente variado. De acordo com o 
enunciado, a velocidade inicial da pedra é nula. Consideran-
do a posição inicial da pedra nula, determinaremos a função 
horária da posição da pedra:
s 5 s 0 1 n 0 t 1 
 gt 2 
 ____ 2 ä s 5 0 1 0t 1 
 10t 2 ______ 2 ä s 5 5t 
2 
b) A função da velocidade da pedra pode ser obtida conhecen-
do-se a velocidade inicial e a aceleração. A velocidade inicial 
é nula e a aceleração é 10 m/ s 2 . Dessa forma a função pode 
ser obtida da seguinte maneira:
n 5 n 0 1 gt ä n 5 10t
c) Sabendo que a altura do penhasco é 20 m, podemos utilizar a 
função horária do espaço para determinar o tempo em que a 
pedra chega ao solo:
s 5 5t 2 ä 20 5 5t 2 ä t 2 5 4 ä t 5 2 s
d) Para o cálculo da velocidade da pedra ao atingir o solo, utiliza-
remos a função horária da velocidade determinada no item b. 
Sabendo que o tempo de queda foi de 2 s, podemos substituir 
esse tempo na função da velocidade:
n 5 10t ä n 5 10 ? 2 5 20 ä n 5 20 m/s
12. Neste movimento o corpo parte do repouso em queda livre e 
atinge a velocidade de 40 m/s ao atingir o chão sob a ação da 
gravidade a 5 10 m/ s 2 . Para determinar a altura do prédio, de-
vemos utilizar a equação de Torricelli:
 n 2 5 n 0 
2 1 2 ? g ? Ds ä 40 2 5 0 1 2 ? 10 ? Ds ä 1 600 5 20 ? Ds ä 
ä Ds 5 80 m
13. Desprezando-se a resistência do ar, o gato cai em queda livre sob 
ação da gravidade e, portanto, com uma aceleração de 10 m/ s 2 . Sa-
bendo que o gato chega ao solo com uma velocidade de 7 m/s e con-
siderando que despencou da janela com velocidade nula, podemos 
calcular a altura da queda com o auxílio da equação de Torricelli:
 n 2 5 n 0 
2 1 2 ? g ? Ds ä 7 2 5 0 1 2 ? 10 ? Ds ä Ds 5 2,45 m
14. Inicialmente devemos levar em consideração que o pino desenvol-
verá um movimento desacelerado até parar (n 5 0) na altura máxi-
ma, com uma desaceleração de 10m/ s 2 . Outra informação que ob-
temos no desenho é a altura máxima atingida pelo pino, que é 4m. 
Com essas informações e com o auxílio da equação de Torricelli, po-
deremos obter a velocidade inicial do lançamento.
 n 2 5 n 0 
2 1 2 ? g ? Ds ä 0 5 n 0 
2 1 2 ? (210) ? 4 ä n 0 
2 5 80 ä 
ä n 0 5 dXXX 80 ä n 0 > 9 m/s
15. Adotando para a direita como sentido positivo, temos:
A B
0 19,2
A função horária da posição do carro A é S A 5 1 ? t 2 , do carro B é 
S B 5 19 200 2 2 ? t 2 . Os veículos se encontrarão quando S A 5 S B . 
Assim, obtemos o intervalo de tempo t para que os veículos se 
encontrem por:
1 ? t 2 5 19 200 2 2 ? t 2 ä 3t 2 5 19 200 ä t 2 5 6 400 ä t 5 80s
19. a) De acordo com a figura ao 
lado, o espaço inicial é nulo e 
a velocidade inicial é 40 m/s. 
Como o corpo está subindo, 
temos um MUV com desace-
leração de 10  m/ s 2 . A equa-
ção da velocidade pode ser 
obtida da seguinte maneira:
n 5 n 0 1 at ä n 5 40 2 10t
b) A função da posição em função do tempo pode ser obtida 
substituindo os valores:
s 5 s 0 1 n 0 t 1 
 at 2 ____ 2 ä s 5 0 1 40t 2 
 10t 2 ______ 2 ä s 5 40t 2 5t 
2 
c) Quando o corpo atinge a altura máxima, sua velocidade é 
nula. Dessa forma, o instante em que o corpo atinge a altura 
máxima pode ser obtido substituindo-se n 5 0 na função da 
velocidade:
n 5 n 0 1 at ä 0 5 40 2 10t ä 10t 5 40 ä t 5 4 s
d) Para determinar a altura máxima atingida pelo corpo, deve-
mos substituir o tempo de altura máxima na função horária 
dos espaços:
s 5 40t 2 5t 2 ä s 5 40 ? 4 2 5 ? 4 2 ä s 5 80 m
e) Como no movimento não há atrito, o tempo de subida será 
igual ao tempo de descida. Se o corpo leva 4 s para atingir a 
altura máxima, ele levará mais 4 s para retornar ao solo. Des-
sa forma, o instante em que o corpo retorna ao solo é 8 s.
f) Como no movimento não há atrito, a velocidade inicial com 
que o corpo saiu do chão será igual à velocidade com que re-
tornará ao chão, portanto, o corpo irá chegar ao solo com a 
velocidade 40 m/s.
S
et
up
 B
ur
ea
u/
ID
/B
R
S0 5 0
V0 5 40 m/s
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10
g) 
t (s)1 2 3 4 6 7 8
0
10
210
230
220
240
30
20
40
v (m/s)
5 9
h) 
t (s)20
0
50
40
20
30
10
70
60
90
80
s (m)
4 6 8
20. a) Para determinarmos a velocidade, inicialmente, devemos encon-
trar a aceleração. Com as informações do gráfico, podemos ob-ter a aceleração utilizando a função horária dos espaços. Saben-
do que a velocidade inicial é nula, que o espaço inicial é 20 m e 
que no instante t 5 2 s o corpo se encontra na posição s 5 32 m, 
podemos substituir esses valores:
s 5 s 0 1 n 0 t 1 
 at 2 ____ 2 ä 32 5 20 1 0 1 
a ? 2 2 _______ 2 ä a 5 6 m/ s 
2 
Encontrando a aceleração e sabendo que a velocidade inicial 
é nula, podemos encontrar a função da velocidade do corpo:
n 5 n 0 1 at ä n 5 0 1 6t ä n 5 6t
b) A função horária do movimento pode ser obtida substituindo 
os valores obtidos no item a:
s 5 s 0 1 n 0 t 1 
 at 2 ____ 2 ä s 5 20 1 0 ? t 1 
 6t 2 ____ 2 ä s 5 20 1 3t 
2 
c) Para encontrar a velocidade no instante t 5 5 s, podemos 
substituir o valor do tempo na função da velocidade encon-
trada no item a:
n 5 6t ä n 5 6 ? 5 ä n 5 30 m/s
d) Para encontrar a posição do corpo no instante 4 s, podemos 
substituir o valor do tempo na função horária dos espaços 
obtida no item b:
s 5 20 1 3t 2 ä s 5 20 1 3 ? 4 2 ä s 5 68 m
21. Inicialmente, devemos observar no gráfico que o movimento do 
corpo A é uniforme e o movimento do corpo B é uniformemente 
variado.
Como o movimento do corpo A é uniforme, a velocidade é constante 
e podemos obtê-la a partir da função da velocidade escalar:
 n A 5 
Ds ____ 
Dt
 5 50 ____ 5 5 10 m/s
Portanto, a velocidade do corpo A no instante 5 s é 10 m/s.
Para determinar a velocidade do corpo B, inicialmente deve-
mos encontrar a aceleração. Com as informações do gráfico, 
podemos obter a aceleração utilizando a função horária dos 
espaços. Sabendo que a velocidade inicial é nula, que o espa-
ço inicial é nulo e que no instante t 5 5 s o corpo se encontra 
na posição s 5 50 m, podemos substituir esses valores na se-
guinte função:
s 5 s 0 1 n 0 t 1 
 at 2 ____ 2 ä 50 5 0 1 0 1 
a ? 5 2 _______ 2 ä a 5 4 m/ s 
2 
Encontrada a aceleração e sabendo que a velocidade inicial é 
nula, podemos encontrar a função da velocidade do corpo B:
n 5 n 0 1 at ä n 5 0 1 4t ä n 5 4t
Substituindo o valor do tempo na função da velocidade, temos:
 n B 5 4t ä n B 5 4 ? 5 5 20 m/s
Portanto, a velocidade do corpo B no instante 5 s é 20 m/s.
Agora podemos obter a razão entre as velocidades dos cor-
pos A e B:
 
 n A ____ n B 5 
10 ____ 20 5 0,5
22. Os vértices do gráfico indicam a inversão do sentido do movi-
mento. De acordo com o gráfico, temos quatro vértices e, por-
tanto, durante os 40 s teremos quatro inversões no sentido do 
movimento.
23. a) Substituindo na função horária da velocidade os valores da-
dos no enunciado, temos:
n 5 1 1 0,5 ? t
b) Para calcularmos a velocidade no instante t 5 3 s, podemos 
substituir a variável que representa o tempo na função horária 
da velocidade obtida no item a, assim:
n 5 1 1 0,5 ? 3 ä n 5 2,5 m/s
c) Utilizando a equação de Torricelli, temos:
 n 2 5 1 2 1 2 ? 0,5 ? 10 ä n > 3,32 m/s 
d) v (m/s)
t (s)0 1 2 3
1
1,5
2
2,5
24. a) A partir dos dados apresentados no enunciado, temos:
 s 5 s 0 1 n 0 t 1 
 at 2 ____ 2 ä s 5 60 1 8t 2 
 8t 2 ____ 2 ä s 5 60 1 8t 2 4t 
2 
b) A partir dos dados apresentados no enunciado, temos:
 n 5 n 0 1 at ä n 5 8 2 8t
c) A inversão do movimento ocorre quando a velocidade é nula. 
Assim, temos:
n 5 8 2 8t ä 0 5 8 2 8t ä t 5 1 s
A inversão do movimento ocorre em t 5 1 s.
d) Para construir o gráfico da posição do móvel em função do 
tempo, devemos encontrar o ponto de inversão do movimen-
to. O valor do tempo foi obtido no item c desta atividade. Ago-
ra, devemos obter a posição do móvel neste instante t 5 1 s. 
Assim, temos:
s 5 60 1 8t 2 4t 2 ä s 5 60 1 8 ? 1 2 4 ? 1 2 ä s 5 64 m
Como a aceleração é negativa, a curva do gráfico é uma pará-
bola de concavidade voltada para baixo:
s (m)
t (s)0 1
64
e) Para encontrar a posição no instante t 5 8 s, basta subs-
tituir esse valor na função horária da posição do móvel; 
assim, temos:
s 5 60 1 8t 2 4t 2 ä s 5 60 1 8 ? 8 2 4 ? 8 2 ä s 5 2132 m
f) Usando a função da velocidade, podemos obter o gráfico da 
velocidade do móvel até o instante 6 s. Para tanto, vamos 
construir uma tabela:
v (m/s) t (s)
1 0
1,5 1
2 2
2,5 3
3P_SPF_FR1_MP_001A040.indd 10 27/06/14 14:57
11
t (s) v (m/s)
0 8
1 0
2 28
3 216
4 224
5 232
6 240
Assim, temos:
v(m/s)
t(s)0
1 2 3 4 5 6
8
28
216
224
232
240
g) A distância percorrida pode ser determinada pela soma dos 
deslocamentos, que por sua vez são obtidos pela substitui-
ção dos valores presentes no gráfico na equação de Torricelli. 
Graficamente, o deslocamento equivale à soma da área 
delimitada pela linha do gráfico e o eixo horizontal. Neste 
caso, existe uma área acima do eixo horizontal ( A 1 ) e ou-
tra abaixo ( A 2 ).
Portanto, a distância percorrida é dada por: 
 d 5 A 1 1 A 2 ä d 5 
1 ? 8 _______ 2 1 
5 ? 40 _________ 2 5 4 1 100 5 104 m
25. a) De acordo com os dados que podem ser obtidos a partir do 
gráfico, temos:
0 5 10 1 n 0 ? 2 1 
a ? 2 2 _______ 2 ä a 5 
210 2 2 ? n 0 __________________ 2  (I)
10 5 10 1 n 0 ? 4 1 
a ? 4 2 ________ 2 ä n 0 5 22 ? a  (II)
Substituindo II em I, temos:
a 5 210 1 4 ? a _________________ 2 ä a 5 5 m/ s 
2 
Podemos obter a velocidade substituindo o valor da acelera-
ção em II. Assim, temos:
 n 0 5 22 ? 5 ä n 0 5 210 m/s
Portanto, a velocidade inicial é 210 m/s e a aceleração 
é 5 m/ s 2 . 
b) A partir das informações obtidas no item a, temos a função 
horária da posição:
s 5 10 2 10 ? t 1 5 ? t 
2 _______ 2 
E a função horária da velocidade:
n 5 210 1 5 ? t
26. a) Desprezando o atrito com o ar e observando que a borracha 
alcança sua altura máxima quando sua velocidade é nula, 
temos:
0 5 n 0 2 9,8 ? 3 ä n 0 5 29,4 m/s
Observando que a posição inicial da borracha é zero, a altura 
máxima alcançada é dada por:
s 5 29,4 ? 3 2 9,8 ? 3 
2 __________ 2 ä s 5 44,1 m
b) A velocidade da borracha na subida foi calculada no item a: 
 n 0 5 29,4 m/s
c) Sua aceleração é a mesma da gravidade e, observando a 
orientação do sistema, temos:
 a 5 2 9,8 m/ s 2 
27. a) A altura máxima atingida pela pedra é 9 m, em t 5 3 s. Logo:
s 5 s 0 1 n 0 t 1 
a t 2 ____ 2 ä 9 5 0 1 n 0 ? 3 2 
a ? 3 2 ________ 2 ä 
ä 9 5 3 n 0 2 4,5a (I)
Observe que nesta função temos duas incógnitas e, portanto, 
precisamos de outra equação do movimento. Utilizaremos a 
função da velocidade:
n 5 n 0 1 at ä 0 5 n 0 2 a ? 3 ä n 0 5 3a (II)
Substituindo II em I, temos:
9 5 3 n 0 2 4,5a ä 9 5 3 ? 3a 2 4,5a ä a 5 2 m/s
b) Vamos calcular a velocidade inicial. Pela função II, temos:
 n 0 5 3a ä n 0 5 3 ? 2 5 6 ä n 0 5 6 m/s
Agora, devemos substituir os valores encontrados na função 
horária da posição:
s 5 s 0 1 n 0 t 1 
a t 2 ____ 2 ä s 5 0 1 6t 2 
2 t 2 ____ 2 ä s 5 6t 2 t 
2 
c) Como o instante t 5 3 s é um ponto de inversão do movimen-
to, a velocidade da pedra é nula neste ponto.
d) Como não há atrito, a velocidade com que a pedra sai é a mes-
ma com que ela chega ao solo, ou seja, 6 m/s.
28. Para o veículo II, temos s 0 5 0 m e velocidade inicial nula. En-
tão, a partir do gráfico, vamos calcular sua aceleração usando 
t 5 15 s. Assim, temos:
225 5 0 1 0 ? 15 1 a ? 15 
2 _________ 2 ä a 5 2 m/ s 
2 
Observando o gráfico, podemos notar que o instante em que o 
veículo II alcança o veículo I é t 5 15 s. Obtemos sua velocidade 
nesse instante, t 5 15 s, da seguinte maneira: 
n 5 0 1 2 ? 15 ä n 5 30 m/s
Portanto, a alternativa correta é a d.
29. Trata-se de um movimento uniformemente variado. Com os 
dados fornecidos pelo gráfico, montaremos duas funções para 
encontrar a velocidade e a aceleração do automóvel:
5 5 5 1 n 0 ? 2 1 
a ? 2 2 _______ 2 ä n 0 5 2a (I)
15 5 5 1 n 0 ? 4 1 
a ? 4 2 ________ 2 ä 10 5 4 ? n 0 1 8 ? a (II)
Substituindo I em II, temos:
10 5 4 ? 2a 1 8 ? a ä a 5 2,5 m/ s 2 
Podemos observar no gráfico queno momento t 5 1 s temos a 
distância de maior aproximação do automóvel com a origem do 
sistema de coordenadas. Substituindo na função horária da po-
sição, temos:
s 5 5 2 2,5 ? 1 1 2,5 ? 1 _________ 2 ä s 5 3,75 m
Portanto, a alternativa correta é a b.
31. 
53°
v0
vx
v0y
a) Na direção horizontal, temos MU com função horária dada por:
x 5 x 0 1 n 0 ? cos a ? t ä x 5 0 1 200 ? cos 53° ? t ä 
ä x 5 200 ? 0,6 ? t ä x 5 120 ? t
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12
b) Na direção vertical, temos MUV com aceleração de módulo 
igual ao da aceleração da gravidade. A função horária da 
posição é:
y 5 y 0 1 n 0 ? sen a ? t 2 
 gt 2 
 ____ 2 ä y 5 0 1 200 ? sen 53° ? t 2 
10 t 2 ______ 2 
y 5 200 ? 0,8t 2 5 t 2 
A função da velocidade do movimento pode ser obtida da 
seguinte maneira:
 n y 5 n 0 ? sen a 2 gt ä n y 5 200 ? sen 53° 2 10t ä 
ä n y 5 160 2 10t
c) O instante em que a bala atinge a altura máxima pode ser 
obtido substituindo-se v y 5 0 na função da velocidade.
 n y 5 160 2 10t ä 0 5 160 2 10t ä t 5 16 s
d) A altura máxima atingida pela bala pode ser obtida substi-
tuindo-se o tempo encontrado, no item anterior, na função 
horária da posição na direção vertical:
 n y 5 160 2 5 t 2 ä y 5 160 ? 16 2 5 ? 1 6 2 ä y 5 1 280 m
e) Anteriormente, já calculamos o tempo de subida da bala, que 
foi 16 s. O tempo de descida será o mesmo, portanto, 16 s. 
Logo, o tempo total, desde a saída da bala até o seu retor-
no ao chão, é 32 s. Para obter a velocidade vertical da bala 
ao chegar ao chão, basta substituir o tempo total de voo na 
equação da velocidade vertical da bala.
 n y 5 160 2 10t ä n y 5 160 2 10 ? 32 ä n y 5 2160 m/s
f) O alcance máximo pode ser obtido substituindo-se o tempo 
total de voo da bala na função horária da posição na direção 
horizontal:
x 5 120t ä x 5 120 ? 32 ä x 5 3 840 m
Integre o aprendizado
32. Utilizando a equação de Torricelli, vamos calcular a distância 
percorrida até os veículos pararem. Observe que a velocidade 
final em ambos os casos é nula e adotando para a direita como 
sentido positivo.
Dados:
 n 0 5 108 km/h 5 30 m/s
Carro: 0 5 30 2 2 2 ? 3 ? DS carro ä DS carro 5 150 m
Caminhão: 0 5 30 2 2 2 ? 2DS caminhão ä DS caminhão 5 225 m
Portanto, a distância mínima em que os dois veículos deveriam 
estar antes de começarem a frear deve ser maior ou igual a:
 d min 5 225 2 150 5 75 ä d min 5 75 m
Portanto, a alternativa correta é a b.
33. Na primeira parte do percurso, o paraquedista está em queda livre, 
descrevendo um MUV. Vamos calcular a distância percorrida nes-
se primeiro trecho:
 s 1 5 0 1 0,5 1 
10 ? 5 2 _________ 2 ä s 1 5 125 m
No segundo trecho, o paraquedista descreve um MU. Ele saltou 
de uma altura de 325 metros e ainda restam 200 metros para 
que ele chegue ao solo. Assim, temos:
 v m 5 
Ds ____ t ä t 5 
200 ______ 10 ä t 5 20 s
O tempo total é encontrado somando-se o tempo gasto no pri-
meiro trecho e o tempo gasto no segundo trecho:
 t total 5 5 1 20 5 25 s
Portanto, a alternativa correta é a b.
34. a) Vamos utilizar a função horária da posição para encontrar a 
aceleração. Inicialmente o corredor está em repouso. Assim, 
temos:
20 5 0 1 0 ? 4 1 a ? 4 
2 ________ 2 ä a 5 2,5 m/ s 
2 
b) Ao final dos primeiros 20 metros, utilizando a função horária 
da velocidade, temos:
v 5 0 1 2,5 ? 4 ä n 5 10 m/s
c) Nos últimos 80 metros da corrida, o corredor manteve veloci-
dade constante. Para encontrarmos o tempo gasto nesse tre-
cho, temos:
n 5 Ds ____ t 5 t 5 
80 ____ 10 ä t 5 8 s
O tempo total gasto é dado pela soma do tempo nos dois 
trechos:
 t total 5 4 1 8 ä t total 5 12 s
35. a) Considerando um MUV para A e Z partindo simultaneamente 
com origem em A e sentido do movimento positivo de A para Z, 
utilizando a função horária da posição, para o encontro, temos:
 Para o jogador A:
 S A 5 0 1 0 ? t 1 
3 ? t 2 _______ 2 
 Para o jogador Z:
 S Z 5 12 1 0 ? t 2 
3 ? t 2 _______ 2 
 O momento de encontro dos jogadores A e Z é dado a seguir:
 S A 5 S Z ä 
3 ? t 2 _______ 2 5 12 2 
3 ? t 2 _______ 2 ä 6t 
2 5 24 ä t 2 5 4 ä t 5 2 s
 O jogador L deverá lançar a bola com tempo menor ou igual 
a 2 s.
b) Sendo n r 5 6 1 6 5 12 m/s a velocidade relativa entre A e Z 
para que o árbitro decida que não há impedimento, após 
Dt 5 5 0,1 s, os jogadores deverão estar, no máximo, na mes-
ma posição. Assim, temos:
 n r 5 
Ds ____ 
Dt
 ä 12 5 Ds _____ 0,1 ä Ds 5 1,2 m
Portanto, a distância mínima entre A e Z é 1,2 m.
CAPítUlo 3 Movimento circular
Página 68 – Debate inicial
1. Por não serem linhas fechadas, constituem semicircunferências.
2. Está registrado o movimento de rotação da Terra em, mais ou 
menos, meio período de rotação.
3. Como na realidade as estrelas podem ser consideradas fixas no 
céu, e os rastros deixados pela fotografia dependem apenas da 
velocidade de rotação da Terra, o tempo para percorrerem as 
semicircunferências é igual. Aparentemente a estrela que está 
mais distante percorreu uma distância maior.
Página 68 – Primeiras anotações 
1. Um movimento circular.
2. Todos os pontos de um disco giram juntos, com a mesma velo-
cidade angular. No entanto, como observamos no exemplo das 
estrelas, quanto mais distante o ponto, maior será a distância 
que deve percorrer. Portanto, a velocidade escalar desses pontos 
mais distantes do centro será maior relativamente a pontos mais 
próximos do centro do disco.
Página 76 – Conceito em questão 
Carrossel com velocidade angular constante, movimento de rotação 
da Terra, movimento de translação da Terra, hélices de um avião 
em pleno voo. Todos esses exemplos apresentam movimento cir-
cular uniforme, por terem velocidade angular, velocidade escalar, 
frequência e períodos que não variam ao longo do tempo. No caso 
da translação da Terra, há uma variação de 6,74% na velocidade an-
gular e uma elipsidade da órbita que podem ser desconsiderados.
Página 81 – Ação e cidadania
 ▪ Algumas das vantagens do uso da bicicleta como meio de 
transporte estão citadas no texto deste boxe. É importante 
você valorizar a produção textual dos alunos, sobretudo se 
eles assinalarem outras vantagens além das que já foram lis-
tadas, procurando ver coerência na argumentação deles. Entre 
as desvantagens, é possível que citem: poucas ciclovias nas 
cidades; falta de bicicletários (para estacionar ou guardar as 
bicicletas); ruas esburacadas e asfaltos irregulares; trânsito 
3P_SPF_FR1_MP_001A040.indd 12 27/06/14 14:57
13
urbano pesado; falta de respeito de certos motoristas de au-
tomóveis em relação ao ciclista; a mudança brusca das condi-
ções atmosféricas, especialmente de sol para chuva; falta de 
sinalização para os usuários desse tipo de transporte.
 ▪ Oriente os alunos para se organizarem em busca das respostas. 
A ideia é estimular neles o interesse pela cidade ou região em 
que vivem. A atividade de descrever os projetos de incentivo do 
uso de bicicleta pode ser trabalhada com base no conhecimento 
inicial de cada aluno, mas seria interessante uma pesquisa 
para conhecer melhor os projetos que incentivam o uso da bici-
cleta na cidade ou região dos alunos. Como sugestões de medi-
das de incentivo, podem ser lembradas: a construção de ciclo-
vias; a criação de ciclofaixas e bicicletários; a sinalização para 
os usuários desse veículo; a elaboração de campanhas educati-
vas que estimulem a sua adoção e utilização. 
Página 83 – De volta para o começo 
1. Resposta pessoal.
2. Resposta pessoal.
3. O tempo de 11 h 41 min é o tempo necessário para as estrelas per-
correrem uma semicircunferência, ou seja, meia-volta. Portanto, o 
período desse movimento é igual ao dobro desse tempo, ou seja, 
23 h 22 min, que equivalem a 84 120 s. E a velocidade angular será: 
ï 5 2p ____ T 5 
2p __________ 84 120 > 2,4 ? 10 
25 ä ï > 2,4p ? 10 25 rad/s
O período de rotação da Terra é 24 h, queequivalem a 86 400 s. 
E a velocidade angular da Terra é:
 ï Terra 5 
2p ______ T Terra 
 5 2p ___________ 86 400 > 2,3p ? 10 
25 ä ï Terra > 2,3p ? 10 25 rad/s
4. Analisando os valores do período e da velocidade angular das 
estrelas e da Terra, percebe-se que são valores muito próximos, 
como era de esperar, já que o movimento aparente das estrelas 
ocorre justamente em função da rotação da Terra.
Exercícios propostos
2. a) Como são realizadas quatro voltas a cada segundo, a frequên-
cia é 4Hz.
b) Para calcular o período, pode-se substituir o valor na expressão.
T 5 1 __ ƒ ä T 5 
1 ___ 4 ä T 5 0,25 s
3. a) Podemos observar na tabela e na figura da representação ar-
tística do Sistema Solar que quanto maior a distância do pla-
neta ao Sol, maior será seu período. Como exemplo temos o 
planeta Mercúrio, o planeta mais próximo do Sol, cujo perío-
do é de 0,24 anos terrestres. O próximo planeta é Vênus, cujo 
período é de 0,62 anos terrestres.
b) O planeta Urano demora 84,01 anos terrestres para dar uma 
volta completa ao redor do Sol.
c) Como o período de Júpiter é 11,86 anos terrestres:
ƒ 5 1 __ t 5 
1 ________ 11,86 5 0,084 ä ƒ 5 0,084 voltas/ano
d) Para encontrar esse valor, temos de dividir o período de Netu-
no pelo período de Urano:
 
 T Neturno _________ T Urano 
 5 164,80 __________ 84,01 5 1,96
Esse valor indica que, enquanto Netuno completa uma volta 
ao redor do Sol, Urano completa aproximadamente 2 voltas.
6. a) Sabendo que o período de rotação da Terra em torno de seu 
próprio eixo é de 24 h, e que para uma volta completa temos 
a variação angular de 28p rad, podemos encontrar a veloci-
dade angular média substituindo esses valores na equação:
 ï m 5 
Df
 _____ 
Dt
 5 2p ____ 24 5 0,083p ä ï m 5 0,083 radiano por hora
b) Desta vez, devemos utilizar a variação angular em graus. Para 
uma volta completa, temos 360°. Então:
 ï m 5 
Df
 _____ 
Dt
 5 360 ______ 24 ä ï m 5 15 graus por hora
7. a) Devemos inicialmente calcular a variação angular, lembran-
do que para cada volta a variação angular é de 2p rad. Então, 
para 40 voltas temos:
Df 5 40 ? 2p rad 5 80p rad
A velocidade angular média pode ser obtida substituindo os 
valores na equação:
 ï m 5 
Df
 _____ 
Dt
 5 80p _______ 10 ä ï m 5 8p rad/s
b) Para três voltas, temos a seguinte variação angular:
Df 5 3 ? 2p rad 5 6p rad
E a velocidade angular média:
 ï m 5 
Df
 _____ 
Dt
 5 6p _____ 1 ä ï m 5 6p rad/s
c) Para duzentas voltas, temos a seguinte variação angular:
Df 5 200 ? 2p rad 5 400p rad
E a velocidade angular média:
 ï m 5 
Df
 _____ 
Dt
 5 400p _________ 10 ä ï m 5 40p rad/s
d) Para duas voltas, temos a seguinte variação angular:
Df 5 2 ? 2p rad 5 4p rad
E a velocidade angular média:
 ï m 5 
Df
 _____ 
Dt
 5 4p _____ 1 ä ï m 5 4p rad/s
8. a) Em um minuto, a variação angular de um ponto do HD é obti-
da com a equação abaixo:
Df 5 5 400 ? 2p rad 5 10 800p rad
b) Utilizando a variação angular obtida em a, podemos encontrar 
a velocidade angular média em rad/s com a equação abaixo:
 ï m 5 
Df
 _____ 
Dt
 5 10 800p _____________ 60 ä ï m 5 180p rad/s
9. Vamos obter o valor da velocidade angular para a partícula 1:
v5 ïR ä ï 5 v __ R 5 
8 ___ 4 5 2 ä ï 5 2 rad/s
Vamos obter a velocidade escalar para a partícula 2:
v 5 ïR ä v 5 4 ? 3 5 12 ä v 5 12 m/s
Vamos obter o raio para a partícula 3:
v 5 ïR ä R 5 v ___ ï 5 
10 ____ 2 5 5 ä R 5 5 m
Completando a tabela, temos:
Velocidade 
escalar 
(m/s)
Raio (m)
Velocidade 
angular 
(rad/s)
Partícula 1 8 4 2
Partícula 2 12 3 4
Partícula 3 10 5 2
12. a) A frequência pode ser obtida pela expressão:
ƒ 5 
número de oscilações
 _____________________________ 
Dt
 5 4 ___ 1 5 4 ä ƒ 5 4 Hz 
b) A velocidade angular pode ser obtida substituindo-se o valor 
da frequência na seguinte equação:
ï 5 2pƒ 5 2p ? 4 5 8p ä ï 5 8p rad/s
13. a) Como o movimento é circular e uniforme, os pontos A e B se 
movem juntos com a mesma variação angular. Portanto, as 
velocidades angulares dos pontos serão as mesmas: 
 ï A 5 ï B 5 2pƒ 5 2p ? 20 5 40p ä ï A 5 ï B 5 40p rad/s
A velocidade escalar depende do raio; logo, as velocidades 
escalares dos pontos A e B serão diferentes.
Ponto A: v A 5 ï R A 5 40p ? 5 5 200p ä v A 5 200p cm/s
Ponto B: v B 5 ï R B 5 40p ? 10 5 400p ä v B 5 400p cm/s
Como o raio R B 5 2 R A , a velocidade escalar do ponto B será o 
dobro da velocidade escalar do ponto A.
3P_SPF_FR1_MP_001A040.indd 13 27/06/14 14:57
14
b) A aceleração centrípeta pode ser obtida pela expressão: a cp 5 ï 2 R
Como os dois pontos têm a mesma velocidade angular, o que 
vai diferir na expressão é o raio; a aceleração centrípeta é 
diretamente proporcional ao raio. O ponto mais distante do 
centro do movimento tem maior raio e, portanto, maior ace-
leração centrípeta. O raio do B é o dobro do raio do A; dessa 
forma, a aceleração centrípeta do B será o dobro da acelera-
ção centrípeta do A.
14. a) Para calcular a frequência do disco em unidades do SI, deve-
mos converter rpm em Hz:
ƒ 5 45 ________ 1 min 5 
45 _______ 60 s 5 0,75 hz
Como T 5 1 __ ƒ , temos:
T 5 1 _______ 0,75 ä T > 1,33 s 
b) A velocidade angular pode ser obtida pela expressão:
ï 5 2pƒ 5 2p ? 0,75 5 1,5p ä ï 5 1,5p rad
c) A velocidade escalar pode ser obtida substituindo-se os valo-
res na expressão:
v 5 ïR 5 1,5p ? 0,2 5 0,3p ä v 5 0,3p m/s
15. Na situação 1 podemos observar que, à medida que o tempo 
passa, a variação do deslocamento angular vai ficando cada vez 
maior, portanto, é um movimento circular variado (MCV).
Na situação 2, à medida que o tempo passa, a variação do des-
locamento angular é constante, portanto, o corpo descreve um 
movimento circular uniforme (MCU).
16. a) A velocidade angular é dada por:
v 5 ïR ä ï 5 v __ R 5 
15 ____ 5 5 3 ä ï 5 3 rad/s
b) Inicialmente vamos determinar a frequência do movimento:
ï 5 2pƒ ä ƒ 5 ï ____ 2p 5 
3 _______ 2 ? 3 5 0,5 ä ƒ 5 0,5 hz
O período é o inverso da frequência:
T 5 1 __ ƒ 5 
1 _____ 0,5 5 2 ä T 5 2 s 
18. a) A função horária do movimento pode ser determinada substi-
tuindo-se a posição angular inicial e a velocidade angular na 
função horária do MCU:
f 5 f 0 1 ït ä f 5 
p ____ 16 1 
p ____ 12 ? t
b) Para determinar a posição angular no instante considerado, 
deve-se substituir o instante na função horária:
f 5 p ____ 16 1 
p ____ 12 ? t ä f 5 
p ____ 16 1 
p ____ 12 ? 6 ä f 5 
p ____ 16 1 
p ___ 2 ä 
ä f 5 9p _____ 16 rad
19. a) Para a construção do gráfico, deve-se, inicialmente, obter a 
função horária desse movimento. Conhecendo a posição an-
gular inicial e a velocidade angular, basta substituir esses va-
lores na seguinte expressão:
f 5 f 0 1 ït ä f 5 
p ___ 3 1 20p ? t
No instante t 5 5 s, o ângulo de fase será:
f 5 p ___ 3 1 20p ? t ä f 5 
p
 ___ 3 1 20p ? 5 ä f 5 
p
 ___ 3 1 100p ä 
ä f 5 301p ________ 3 rad
f (rad)
p 
 3 
5
301p
3 
t (s)
b) A velocidade angular do movimento é constante:
ï (rad/s)
5
20p
t (s)
c) A área do gráfico da velocidade angular pelo tempo é numeri-
camente igual à variação do ângulo de fase:
ï (rad/s)
Df 5 A
5
20p
t (s)
A 5 5 ? 20p 5 100p rad
Portanto: Df 5 100p rad
d) Para determinar o número de voltas realizadas durante os 5 s de 
movimento precisamos determinar a frequência do movimento.
ï 5 2pƒ ä ƒ 5 ï ____ 2p 5 
20p ______ 2p 5 10 ä ƒ 5 10 Hz
ƒ 5 n ____ 
Dt ä n 5 ƒ ? Dt 5 10 ? 5 5 50 ä n 5 50 voltas
20. a) De acordo com o gráfico, a posição angular inicial é: 
 f 0 5 
p
 ___ 6 rad
b) Conhecendo a posição angular inicial e sabendo que no instante 
t 5 2 s o corpo se encontra na posição angular 5p _____ 6 rad, podemos 
obter a velocidade angular substituindo os valores na expressão:
 ï m 5 
Df
 _____ 
Dt
 5 
f 2 f0 __________ 
Dt
 5 
 5p _____ 6 2 
p ___ 6 ___________ 2 5 
 4p _____ 6 _____ 2 5 
p ___ 3 ä ï m 5 
p ___ 3 rad/s
c) f 5 f 0 1 ït ä f 5 
p ___ 6 1 
p ___ 3 ? t
d) Inicialmente vamos obter o ângulo em radiano, substituindo 
t 5 1 s na função horária: 
f 5 p ___ 6 1 
p ___ 3 ? t 5 
p
 ___ 6 1 
p ___ 3 ? 1 5 
p
 ___ 2 ä f 5 
p
 ___ 2 rad
Para obter o ângulo em grau, vamos utilizar a proporção:
2p rad 360°
 p ___ 2 rad f
2p ? f 5 p ___ 2 ? 360 ä f 5 90°
21. a) Para uma volta completa, o período é 6 min. Então: 
T 5 6 min 5 360 s
b) A distância percorrida pelo atleta em uma volta é igual ao 
deslocamento escalar para uma volta completa:
Ds 5 2pR 5 2p ? 10 5 20p ä Ds 5 20p m
c) A velocidade escalar pode ser obtida pela equação:
v 5 Ds ____ 
Dt
 5 20p ______ 360 5 
p ____ 18 m/s
d) A velocidade angular pode ser obtida pela equação:
v 5 ïR ä ï 5 v __ R 5 
 p ____ 18 ____ 10 ä ï 5 
p ______ 180 rad/s
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15
e) Considerando que a posição angular inicial é nula, a função 
horária do deslocamento angular pode ser obtida substituin-
do-se os valores na expressão:
f 5 f 0 1 ït ä f 5 
p ______ 180 ? t
f) A aceleração centrípeta é obtida pela expressão:
 a cp 5 ï R 2 5 
p ______ 180 ? 10 
2 5 5p _____ 9 ä a cp 5 
5p
 _____ 9 m/ s 
2 
23. a) À medida que a roda A gira no sentido anti-horário, a roda B 
gira em sentido contrário, ou seja, horário.
b) Para encontrar a frequência da roda B, devemos aplicar os 
dados fornecidos pelo enunciado na relação de igualdade da 
velocidade linear encontrada no item anterior.
 ï A ? R A 5 ï B ? R B ä 2p ? ƒ A ? R A 5 2p ? ƒ B ? R B ä ƒ A ? R A 5 
5 ƒ B ? R B ä 180 ? 5 5 ƒ B ? 10 ä ƒ B 5 90 rpm
c) Primeiramente encontraremos a velocidade angular da roda A:
Como são realizadas 180 rotações em 60 segundos em Hz 
 temos ƒ A 5 
180 ______ 60 5 3 Hz
Portanto ï A 5 2p ? ƒ A 5 2 ? p ? 3 5 6p ä ï A 5 6p rad/s.
Cálculo da velocidade angular da roda B:
Temos ƒ B 5 90 rpm 5 1,5 Hz
Portanto ï B 5 2p ? ƒ B 5 2 ? p ? 1,5 5 3p ä ï B 5 3p rad/s
d) As duas engrenagens giram com velocidades escalares iguais, 
isso ocorre devido às engrenagens estarem acopladas e gira-
rem juntas.
 v A 5 v B 
24. Essa verificação pode ser obtida analisando-se os períodos das 
duas engrenagens.
 ƒ A ? R A 5 ƒ B ? R B ä 
 R A ____ T A 
 5 
 R B ____ T B 
 ä 10 ____ T A 
 5 5 ____ T B 
 ä T A 5 2 ? T B 
Portanto, o ponto P demora o dobro do tempo para circular a en-
grenagem A em relação a B.
25. a) Como a engrenagem A gira em sentido horário, a engrena-
gem B gira em sentido anti-horário e a engrenagem C gira 
em sentido horário.
b) As engrenagens A e B estão acopladas; portanto, as velocida-
des lineares serão iguais:
 ƒ A ? R A 5 ƒ B ? R B ä 125 ? 5 5 ƒ B ? 10 ä ƒ B 5 62,5 rpm
c) A engrenagem C está acoplada à engrenagem B; portanto, as 
velocidades lineares são iguais:
 ƒ C ? R C 5 ƒ B ? R B ä ƒ C ? 8 5 62,5 ? 10 ä ƒ C 5 78,125 rpm
Integre o aprendizado
26. a) Em dias de estiagem, o fluxo de água é menor que em dias 
chuvosos. Como a velocidade angular da roda da turbina é 
proporcional ao fluxo de água, em dias de estiagem a veloci-
dade angular da roda será menor.
b) Para uma volta a cada 2 s, o período será T 5 2 s.
A frequência é o inverso do período: ƒ 5 1 ____ 2 s 5 0,5 Hz
c) De acordo com os dados: ï 5 2pƒ 5 2p ? 0,5 5 1p ä 
ä ï 5 1p rad/s
27. Resposta pessoal. A seguir uma sugestão de lista de objetos ou 
coisas que têm movimento circular e os respectivos diâmetros.
Objeto/coisa Diâmetro
Roda gigante 8 m
Carrossel 3 m
Hélice de ventilador 30 cm
Ciclone pequeno 200 km
Ventoinha de computador 8 cm
28. Nesta atividade, mais importante do que a medida obtida para a 
aceleração angular é fazer com que os alunos pensem e debatam 
sobre diferentes maneiras de realizar determinada medida dese-
jada e resolver um problema experimental. Ao ligarmos o venti-
lador, suas pás vão progressivamente ganhando velocidade, até 
atingirem uma velocidade constante. Em princípio, não é sabido 
se esse aumento de velocidade ocorre com aceleração constante 
ou variável. Assim, o interessante é obter medidas da aceleração 
angular em diferentes instantes do processo, para então verifi-
car sua constância ou não. Podem ser levantados pelos alunos 
diferentes métodos para obtenção dos valores para a aceleração 
angular das pás do ventilador em diferentes instantes do movi-
mento. É importante que seja feita uma discussão sobre esses 
métodos e que cada grupo seja estimulado a formular um (gru-
pos diferentes podem terminar por adotar métodos iguais, mas 
cada um deles deve debater e entender o porquê do caminho es-
colhido). Um possível método consiste em medir, com um cronô-
metro, o período da revolução das pás para diferentes voltas. A 
partir dessas medidas, obtêm-se valores para a velocidade angu-
lar em diferentes instantes, a partir dos quais pode ser calculada 
a aceleração angular média no intervalo entre duas medidas uti-
lizando a fórmula a 5 Dï _____ 
Dt
 , em que Dï é a diferença entre dois 
valores para a velocidade angular medidos sucessivamente e 
Dt, o intervalo de tempo decorrido entre essas medidas. Para a 
medição do período, é interessante realizar uma marcação em 
algum ponto do ventilador, de forma que seja computada uma 
volta quando esse ponto retornar à posição inicial, que pode 
também ser marcada com a utilização de uma escala atrás do 
ventilador. Outra possibilidade é realizar uma filmagem do mo-
vimento do ventilador e tomar as medidas pela observação do 
filme. Utilizando os valores obtidos para a aceleração angular 
em diferentes instantes, pode ser feito um gráfico da acelera-
ção angular em função do tempo, a partir do qual é possível 
determinar se tal grandeza é constante ou varia com o tem-
po. Nesse momento, é importante que fique claro aos alunos 
qual o significado do gráfico obtido e como se pode analisá-
-lo. Espera-se que o valor da aceleração angular diminua com 
o tempo, atingindo valor nulo quando a velocidade das pás se 
torna constante.
Página 84 – Vestibular e Enem
1. A velocidade que pode ser medida no gráfico é de aproximada-
mente 5 km/h, o que seria a velocidade de uma caminhada.
Portanto, a alternativa correta é a c.
3. A velocidade pode ser medida levando em consideração que o 
guepardo correu 640 m em 20 s.
v 5 Ds ____ 
Dt
 5 640 m __________ 20 s 5 
32 m _______ s 5 115,2 km/h
Portanto, a alternativa correta é a c.
4. Se adotarmos como referencial o mosquito que persegue o pro-
fessor que, por sua vez, caminha pela sala, e se levarmos em 
consideração que o mosquito se move com a mesma velocida-
de do professor, então, não há afastamento nem aproximação 
do professor em relação ao referencial. Dessa forma, podería-
mos dizer que o professor se encontra em repouso em relação 
ao mosquito ou que o mosquito encontra-se em repouso em re-
lação ao professor.
Portanto, a alternativa correta é a e.
5. De acordo com o gráfico, a posição de encontro é 225 m, e o tem-
po de encontro é 15 s. Como o a curva do gráfico do veículo II é 
uma parábola, ele executa um MUV. Portanto, para encontrar a 
velocidade, devemos encontrar inicialmente a aceleração.
s 5 s 0 1 v 0 t 1 
a ? t 2 _______ 2 ä 225 5 0 1 0 1 
a ? 1 5 2 _________ 2 ä 
ä 225 5 112,5 ? a ä a 5 2 m/ s 2 
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16
Substituindo a aceleração e o tempo de encontro na função da 
velocidade, poderemos encontrar a velocidade do móvel II.
v 5 v 0 1 at ä v 5 0 1 2 ? 15 ä v 5 30 m/s
Portanto, a alternativa correta é a d.
7. Inicialmente devemos encontrar a aceleração. Substituindo-se 
as informações na função horária do espaço:
s 5 s 0 1 v 0 t 1a ? t 2 _______ 2 ä 8 5 0 1 0 ? t 1 
a ? 4 2 ________ 2 ä a 5 1 m/ s 
2 
Encontrada a aceleração, voltamos para a função horária do es-
paço e a substituímos:
s 5 s 0 1 v 0 t 1 
a ? t 2 _______ 2 ä s 5 0 1 0 ? t 1 1 ? 
 t 2 ___ 2 ä s 5 0,5 ? t 
2 
Portanto, a alternativa correta é a c.
8. Considerando que o foguetinho realizou um movimento verti-
cal até atingir a altura máxima de 25 cm 5 0,25 m, poderemos 
encontrar a velocidade inicial máxima impelida ao foguetinho 
aplicando os valores na equação de Torricelli. Lembrando que na 
altura máxima o foguetinho tem velocidade nula:
 v 2 5 v 0 
2 1 2 a ? Ds ä 0 5 v 0 
2 1 2 ? (210) ? 0,25 ä v 0 
2 5 5 ä 
 ä v 0 5 dXX 5 m/s > 2,3 m/s 
Portanto, a alternativa correta é a c.
 Unidade 2 – Dinâmica
CAPítUlo 4 Forças e leis de Newton
Página 88 – Debate inicial
1. Testes de colisões são feitos com o objetivo de avaliar a segu-
rança que veículos oferecem a seus passageiros. Esses testes 
simulam possíveis situações reais de colisão e a partir disso 
dados são coletados e usados no aprimoramento de equipa-
mentos e dispositivos de segurança. Portanto, testes de coli-
sões são necessários porque, além de avaliar os riscos, con-
tribuem para a evolução da tecnologia ligada à segurança 
automotiva.
2. Resposta pessoal. Espera-se que o aluno elabore hipóteses so-
bre o acidente simulado, percebendo que o motoqueiro estava 
em movimento com a moto quando um impacto com o carro fez 
com que ele fosse projetado para frente. É importante que o alu-
no reflita, de maneira geral, sobre a relação entre força e altera-
ção da velocidade de um corpo.
3. Resposta pessoal.
Página 88 – Primeiras anotações
1. Para que um corpo em repouso passe a se movimentar, é neces-
sário aplicar nele uma força externa não nula.
2. Para alterar a velocidade de um corpo em movimento, é preciso 
fornecer a ele uma aceleração, que só pode ser feita por meio da 
aplicação de uma força.
Página 93 – Ação e cidadania
 ▪ O objetivo do boxe é promover uma discussão sobre atitu-
des cidadãs no trânsito. O texto do boxe traz aplicações dos 
conhecimentos abordados no capítulo: os fatores relevantes 
na frenagem de veículos (em que a primeira lei de Newton 
é aplicada). O texto ajuda a contextualizar as leis básicas 
da dinâmica, associando-as a situações do cotidiano, o que 
facilita a compreensão e o julgamento de normas e leis do 
trânsito. Pode-se sugerir que os alunos pesquisem em textos 
ou entrevistas em jornais e revistas as principais inovações 
na fabricação de automóveis com relação a materiais, dese-
nhos, equipamentos e acessórios, que objetivem dar mais 
segurança aos passageiros e reduzir as forças de resistên-
cia do ar. 
Página 128 – De volta ao começo
1. Resposta pessoal.
2. O princípio da inércia é uma lei da Física que pode ser utilizada 
para explicar o resultado do teste, pois, segundo o princípio da 
inércia, se um corpo está em movimento, ele tende a continuar 
em movimento retilíneo e uniforme. 
Exercícios propostos
1. a) Garfield, curioso com a manivela do carro, aciona o freio de 
mão, fazendo com que o carro freie bruscamente e os passa-
geiros sejam arremessados em direção ao para-brisas.
b) A Lei da Inércia é uma fundamentação para a explicação 
desse fenômeno. “Um corpo tende a permanecer em repou-
so ou em movimento retilíneo uniforme se nenhuma força 
for aplicada a ele”. Nesse caso, o corpo (carro 1 pes soas) 
se encontrava em movimento quando uma força (exercida 
pelo freio de mão) foi aplicada ao carro, fazendo com que 
as pessoas continuassem seu movimento até serem paradas 
pelo vidro.
2. Sim. A velocidade do carro é constante, portanto, a aceleração 
do carro é nula. O conjunto de forças aplicadas no carro não alte-
ra o seu movimento. Conclui-se que a soma das forças que geram 
a força resultante é nula.
3. a) Falsa. No caso de o corpo estar em movimento com velocidade 
constante, a soma das forças que atuam no corpo é nula, mas 
ele está em movimento.
b) Verdadeira.
c) Verdadeira.
4. a) Garfield se refere nesse quadrinho à primeira lei de Newton, 
ou seja, à lei da Inércia.
b) De acordo com a lei da inércia mas em sua forma completa, 
“Um corpo tende a permanecer em repouso ou em movimento 
retilíneo uniforme se nenhuma força for aplicada a ele”.
8. a) Sabendo que o guepardo pode partir do repouso ( n 0 5 0 m/s) 
e atingir uma velocidade final n ƒ 5 33 m/s, podemos utilizar 
a equação que calcula a aceleração média vista nos capítulos 
anteriores para obter o tempo que o animal demora para atin-
gir a velocidade final com esta aceleração. 
 a m 5 
Dn _____ 
Dt
 ä a m 5 
 n ƒ 2 n i ___________ t ƒ 2 t i 
 
Sabendo que a aceleração média é 1,4 m/ s 2 , podemos substi-
tuir os valores e isolar o tempo:
 t ƒ 5 
 n ƒ 2 n i ___________ a m ä t ƒ 5 
33 2 0 __________ 1,4 ä t ƒ 5 23,57 s
b) Com o valor da massa do animal e de sua aceleração, pode-
mos utilizar e equação da segunda lei de Newton para encon-
trar a força resultante no guepardo.
 F r 5 m ? a ä F r 5 60 ? 1,4 ä F r 5 84 N
9. Vamos calcular a aceleração do corpo:
F 5 m ? a ä 7 5 3 ? a ä a 5 7 __ 3 m/ s 
2 
Utilizando a função horária da velocidade, temos:
No instante t 0 : 0 5 n 0 1 
7 __ 3 t 0 ä n 0 5 2 
7
 __ 3 t 0  (I)
No instante t 1 : 21 5 n 0 1 
7 __ 3 t 1  (II)
Substituindo I em II, temos:
21 5 2 
7
 __ 3 t 0 1 2 
7
 __ 3 t 1 ä 21 5 
7 __ 3 ? ( t 1 2 t 0 ) ä ( t 1 2 t 0 ) 5 9
Dt 5 t 1 2 t 0 5 9 ä Dt 5 9 s
Portanto, a alternativa correta é a b.
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17
10. A aceleração do caminhão é dada por:
F 5 m ? a ä 20 000 5 4 000 ? a ä a 5 5 m/ s 2 
11. Com os dados fornecidos, vamos calcular a intensidade da 
força:
F 5 m ? a ä F 5 2 ? 3 5 6 ä F 5 6 N
Essa força agindo sobre uma massa de 1 kg é dada por:
6 5 1 ? a ä a 5 6 m/ s 2 
Portanto, a alternativa correta é a d.
12. a) Com os valores da massa e da aceleração do corpo, podemos 
utilizar a segunda lei de Newton para obter a força resultante, 
assim, temos:
 F r 5 m ? a ä F r 5 4 ? 2 ä F r 5 8 N
b) Se duplicarmos o valor da massa mantendo a mesma força, 
por dedução, a aceleração deve diminuir pela metade. Mas 
isso pode ser mostrado por meio do uso da equação da segun-
da lei de Newton.
 F r 5 m ? a 2 ä a 2 5 
 F r ___ m ä a 2 5 
8 ___ 8 ä a 2 5 1 m/ s 
2 
c) Temos: 
 a 1 ____ a 2 5 2
13. a) Adicionamos as forças que estão na mesma direção:
F 5 F 1 2 F 3 5 3 N
A força resultante é calculada pelo teorema de Pitágoras:
 F r 
2 5 F 2 1 F 2 
2 ä F r 5 dXXXXXXX F 2 1 F 2 
2 ä F r 5 dXXXXXXX 3 2 1 4 2 ä F r 5 5 N
b) F 5 m ? a ä 5 5 20 ? a ä a 5 0,25 m/ s 2 
14. A resultante das forças é dada por: 
 F r 5 F 1 1 F 2 1 F 3 2 F 4 ä F r 5 1 __ 3 F 4 1 
1 __ 3 F 4 1 
1 __ 3 F 4 2 F 4 ä F r 5 0
Portanto, a aceleração é nula.
15. a) Considerando que o corpo está sobre um plano horizontal:
45°
F2
F1
Regra do Paralelogramo:
F2 Fr
F1
b) Temos:
 F rx 5 F 1 1 F 2 ? cos(45°) ä F rx 5 10 1 10 ? 0,71 ä F rx 5 17,1 N
 F ry 5 F 2 ? sen(45°) ä F ry 5 10 ? 0,71 ä F rx 5 7,1 N
 F r 
2 5 F rx 
2
 1 F ry 
2
 ä F r 
2 5 17,1 2 1 7,1 2 ä F r > 18,51 N
16. a) Podemos usar uma associação de proporcionalidades das 
equações. Se uma força aplicada em um bloco de massa m 
produz uma aceleração de 1 m/s 2 , então, para calcular a acele-
ração de um bloco de massa 4m submetido à mesma força F, 
basta aplicarmos os novos valores dados à equação.
 F 1 5 m ? a 1 ä a 1 5 
 F 1 ___ m 
 F 2 5 4m ? a 2 ä F 2 5 4 ? m ? a 2 ä a 2 5 
 F 2 _____ 4m 
Como:
 F 2 5 F 1 ä a 2 5 1 ___ 4 a 1 ä a 2 5 0,25 m/s 
2 
b) Se os dois blocos forem unidos e submetidos à mesma força, a 
diferença é que teremos uma