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Probabilidade e Estat´ıstica
2o. Semestre de 2009
Exerc´ıcio Programado 5 – Versa˜o para o Tutor
Profa. Keila Mara Cassiano (UFF)
1. Um dado e´ viciado de tal forma que um nu´mero par e´ duas vezes mais prova´vel que um nu´mero
ı´mpar. Calcule a probabilidade de que, em um lanc¸amento:
(a) um nu´mero par ocorra;
(b) um nu´mero primo ocorra
(c) um nu´mero primo par ocorra.
2. Um nu´mero e´ escolhido, ao acaso, entre os nu´meros inteiros de 1 a 20. Considere os seguintes eventos
A = o nu´mero escolhido e´ mu´ltiplo de 3
B = o nu´mero escolhido e´ par
Descreva os eventos A ∩B,A ∪B,A ∩B e calcule suas probabilidades.
3. Sejam A e B eventos de um espac¸o amostral Ω. Sabendo-se que Pr(A) = 0, 7 e Pr(B) = 0, 6,
determine os valores ma´ximo e mı´nimo de Pr(A ∩B).
4. Sejam A e B eventos de um espac¸o amostral Ω.Mostre que Pr(A∩B) = 1−Pr(A)−Pr(B)+Pr(A∩B).
5. Sejam A e B eventos de um espac¸o amostral Ω. Mostre que, se Pr(A|B) ≥ Pr(A), enta˜o Pr(B|A) ≥
Pr(B).
6. Um comiteˆ e´ formado por quatro homens e duas mulheres. Dois membros do comiteˆ sa˜o selecionados
sucessivamente, ao acaso e sem reposic¸a˜o. Considere os eventos Hi = homem escolhido na i−e´sima
selec¸a˜o eMi = mulher e´ escolhida na i−e´sima selec¸a˜o, para i = 1, 2. Caclule a probabilidade de cada
um dos eventos: H1 ∩H2,H1 ∩M2,M1 ∩H2,M1 ∩M2.
7. Um restaurante popular apresenta dois tipos de refeic¸o˜es: salada completa e um prato a` base de
carne. 20% dos fregueses do sexo masculino preferem salada e 30% das mulheres preferem carne.
75% dos fregueses sa˜o homens. Considere os seguintes eventos:
H = fregueˆs e´ homem
M = fregueˆs e´ mulher
S = fregueˆs prefere salada
C = fregueˆs prefere carne
Calcule:
(a) Pr(H), Pr(S|H),Pr(C|H)
(b) Pr(S ∪H) e Pr(S ∩H)
8. Na tabela a seguir e´ dada a distribuic¸a˜o de 300 estudantes segundo o sexo e a a´rea de estudo:
Biologia Exatas Humanas
Masculino 52 40 58
Feminino 38 32 80
Um estudante e´ sorteado ao acaso.
(a) Qual e´ a probabilidade de que seja do sexo feminino e da a´rea de humanas?
1
(b) Qual e´ a probabilidade de que seja do sexo masculino e na˜o seja da a´rea de biolo´gicas?
(c) Dado que foi sorteado um estudante da a´rea de humanas, qual e´ a probabilidade de que seja
do sexo masculino?
9. A probabilidade de que a porta de uma casa esteja trancada a` chave e´ 3/5. Em um chaveiro ha´ 25
chaves, das quais treˆs abrem essa porta. Qual e´ a probabilidade de que um indiv´ıduo entre na casa,
se ele puder escolher, ao acaso, somente uma chave do chaveiro?
10. A probabilidade de que um aluno saiba a resposta de uma questa˜o de um exame de mu´ltipla escolha
e´ p. Ha´ m respostas poss´ıveis para cada questa˜o, das quais apenas uma e´ correta. Se o aluno na˜o
sabe a resposta para uma dada questa˜o, ele escolhe ao acaso uma das m respostas poss´ıveis. Qual
e´ a probabilidade de o aluno responder corretamente uma questa˜o?
2
Soluc¸a˜o dos Exerc´ıcios
1. O espac¸o amostral deste experimento e´ Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Para determinar a probabilidade de cada
ponto do espac¸o amostral, temos que usar o fato de que Pr(Ω) = 1 e a informac¸a˜o dada. Chamando
de p a probabilidade de face ı´mpar, resulta que a probabilidade de face par e´ 2p.
Pr(1) + Pr(2) + Pr(3) + Pr(4) + Pr(5) + Pr(6) = 1 =⇒
p+ 2p+ p+ 2p+ p+ 2p = 1 =⇒
9p = 1 =⇒
p =
1
9
Logo,
Pr(1) = Pr(3) = Pr(5) =
1
9
Pr(2) = Pr(4) = Pr(6) =
2
9
Vamos denotar por P o evento “nu´mero par” e por R o evento “nu´mero primo”.
(a) Chame atenc¸a˜o para a propriedade utilizada: unia˜o de eventos mutuamente exclusivos
Pr(A) = Pr ({2} ∪ {4} ∪ {6})
= Pr({2}) + Pr({4}) + Pr({6})
=
2
9
+
2
9
+
2
9
=
6
9
=
2
3
(b)
Pr(R) = Pr ({1} ∪ {2} ∪ {3} ∪ {5})
= Pr({1}) + Pr({2}) + Pr({3}) + Pr({5})
=
1
9
+
2
9
+
1
9
+
1
9
=
5
9
(c) O problema pede a probabilidade de P ∩R :
P ∩R = {2}
Logo,
Pr(P ∩R) = 2
9
2. O espac¸o amostral deste experimento e´
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20}
e os eventos dados sa˜o
A = {3, 6, 9, 12, 15, 18}
B = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20}
Logo
A ∩B = {6, 12, 18}
A ∪B = {2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20}
A ∩B = {3, 9, 15}
3
Como cada ponto e´ igualmente prova´vel (sorteio ao acaso) resulta que cada ponto ou evento simples
do espac¸o amostral tem probabilidade 120 . Usando a propriedade da unia˜o de eventos mutuamente
exclusivos, resulta que
Pr(A) =
6
20
Pr(B) =
10
20
Pr(A ∩B) = 3
20
Pr(A ∪B) = 13
20
Pr(A ∩B) = 3
20
Note que as duas u´ltimas probabilidades tambe´m podem ser obtidas usando as propriedades vistas:
Pr(A ∪B) = Pr(A) + Pr(B)− Pr(A ∩B) = 6
20
+
10
20
− 3
20
=
13
20
Pr(A ∩B) = Pr(A)− Pr(A ∩B) = 6
20
− 3
20
=
3
20
3. Aqui temos que usar o fato de que, para qualquer evento A, 0 ≤ Pr(A) ≤ 1 e tambe´m o fato de que
Pr(A ∪B) = Pr(A) + Pr(B)− Pr(A ∩B). Como Pr(A ∪B) ≥ 0, resulta que
Pr(A) + Pr(B)− Pr(A ∩B) ≥ 0 =⇒ Pr(A ∩B) ≤ Pr(A) + Pr(B)
Como Pr(A ∪B) ≤ 1, resulta que
Pr(A) + Pr(B)− Pr(A ∩B) ≤ 1 =⇒ Pr(A ∩B) ≥ Pr(A) + Pr(B)− 1
Com os dados do exerc´ıcio, temos que Pr(A) + Pr(B) = 1, 3; portanto, temos que ter:{
Pr(A ∩B) ≤ 1, 3
Pr(A ∩B) ≤ 1
Logo, o valor ma´ximo de Pr(A ∩B) e´ 1. Com relac¸a˜o ao valor mı´nimo, temos que ter
Pr(A ∩B) ≥ Pr(A) + Pr(B)− 1 =⇒ Pr(A ∩B) ≥ 1, 3− 1 =⇒ Pr(A ∩B) ≥ 0, 3
Logo, os valores poss´ıveis de Pr(A ∩B) esta˜o no intervalo [0, 3; 1].
4. Pela lei de Morgan, sabemos que
Pr(A ∩B) = Pr(A ∪B)
e pela lei do complementar,
Pr(A ∪B) = 1− Pr(A ∪B)
Logo, pela lei da unia˜o
Pr(A ∩B) = Pr(A ∪B) = 1− Pr(A ∪B) = 1− [Pr(A) + Pr(B)− Pr(A ∩B)] =⇒
Pr(A ∩B) = 1− Pr(A)− Pr(B) + Pr(A ∩B)
5. Usando a definic¸a˜o e supondo que A e B sejam ambos eventos poss´ıveis (isto e´, com probabilidade
maior que zero), temos que
Pr(A|B) ≥ Pr(A)⇐⇒ Pr(A ∩B)
Pr(B)
≥ Pr(A)⇐⇒ Pr(A ∩B) ≥ Pr(A) Pr(B)⇐⇒
Pr(A ∩B)
Pr(A)
≥ Pr(B)⇐⇒ Pr(B|A) ≥ Pr(B)
4
6. Vamos usar a regra da multiplicac¸a˜o: Pr(A ∩B) = Pr(A|B) Pr(B)
Pr(H1 ∩H2) = Pr(H1) Pr(H2|H1) = 46 ×
3
5
=
2
3
× 3
5
=
6
15
Pr(H1 ∩M2) = Pr(H1) Pr(M2|H1) = 46 ×
2
5
=
2
3
× 2
5
=
4
15
Pr(M1 ∩H2) = Pr(M1) Pr(H2|M1) = 26 ×
4
5
=
1
3
× 4
5
=
4
15
Pr(M1 ∩M2) = Pr(M1) Pr(M2|M1) = 26 ×
1
5
=
1
3
× 1
5
=
1
15
Note que a unia˜o dos eventos dados e´ o espac¸o amostral e, coerentemente, a soma das probabilidades
e´ igual a 1: 615 +
4
15 +
4
15 +
1
15 = 1.
7. Os dados do problemas nos da˜o que:
Pr(H) = 0, 75
Pr(S|H) = 0, 20
Pr(C|M) = 0, 30
Pela regra do complementar, resulta que
Pr(M) = Pr(H) = 1− 0, 75 = 0, 25
Pr(C|H) = Pr(S|H) = 1− Pr(S|H) = 1− 0, 20 = 0, 80
Pr(S|M) = Pr(C|M) = 1− Pr(C|M) = 1− 0, 30 = 0, 70
E´ muito importante salientar as propriedades sendo utilizadas! A figura a seguir tambe´m ajuda a
compreender o problema:
(a) Como visto,
Pr(H) = 0, 75
Pr(S|H) = 0, 20
Pr(C|H) = 0, 80
(b) Pela regra da multiplicac¸a˜o
Pr(S ∩H) = Pr(H) Pr(S|H) = 0, 75× 0, 20 = 0, 15
Pela lei da unia˜o:
Pr(S ∪H) = Pr(S) + Pr(H)− Pr(S ∩H)
Para calcular Pr(S), veja, pela figura acima, que
Pr(S) = Pr(S ∩H) + Pr(S ∩M) = Pr(H) Pr(S|H) + Pr(M) Pr(S|M) =
= 0.75× 0, 20 + 0.25× 0.70 = 0.15 + 0.175 = 0, 325
Logo,
Pr(S ∪H) = Pr(S) + Pr(H)− Pr(S ∩H) = 0.325 + 0.75− 0.15 = 0, 925
5
8. Complete a tabela, calculando as marginais:
Biologia Exatas Humanas TOTAL
Masculino 52 40 58 150
Feminino 38 32 80 150
TOTAL 90 72 138 300
Chame a atenc¸a˜o para o fato de que cada cela representa a intersec¸a˜o dos eventos representados
pelas categorias da linha e da coluna correspondentes. Defina os seguintes eventos relevantes:
B = a´rea de concentrac¸a˜o: Biologia
H = a´rea de concentrac¸a˜o: Humanas
E = a´rea de concentrac¸a˜o: Exatas
M = estudante do sexo masculino
F = estudante do sexo feminino
(a)
Pr(F∩H) = 80
300
=
4
15
(b)
Pr(M ∩B) = Pr(M)− Pr(M ∩B) = 150
300
− 52
300
=
150− 52
300
=
98
300
=
49
150
(c)
Pr(M |H) = Pr(M ∩H)
Pr(H)
=
58
300
150
300
=
58
150
=
29
75
9. E´ importante definir os seguintes eventos, usando a notac¸a˜o de evento complementar:
T = porta trancada a` chave
T = porta destrancada
C = chave abre a porta
C = chave na˜o abre a porta
E = pessoa consegue entrar na casa
O diagrama de a´rvore a seguir tambe´m e´ importante para ilustrar a situac¸a˜o descrita no problema.
Cada galho do diagrama representa uma probabilidade condicional. Obviamente, se a porta estiver
destrancada, a pessoa na˜o precisa usar qualquer chave. Por outro lado se a prota estiver trancada,
ela tem que sortear uma chave e ha´ 3 possibilidades em 25 de pegar uma chave que abre a porta.
Logo, Pr(C|T ) = 3
25
e, pela regra do complementar, Pr(C|T ) =22
25
.
6
O problema pede Pr(E). Note que a pessoa entra na casa se a porta estiver destrancada ou, no caso
de a porta estar trancada, escolher uma chave certa, ou seja:
Pr(E) = Pr(T ) + Pr(T ∩ C)
= Pr(T ) + Pr(T ) Pr(C|T )
=
2
5
+
3
5
× 3
25
=
50
125
+
9
125
=
59
125
10. E´ importante definir os seguintes eventos, usando a notac¸a˜o de evento complementar:
S = Aluno sabe a resposta
S = Aluno na˜o sabe a resposta
C = Resposta certa
C = Resposta errada
A = aluno acerta a questa˜o
O diagrama de a´rvore a seguir tambe´m e´ importante para ilustrar a situac¸a˜o descrita no problema.
Cada galho do diagrama representa uma probabilidade condicional. Obviamente, se o aluno sabe a
resposta, ele escolhe a resposta certa. Logo, Pr(C|S) = 1 e Pr(C|S) = 0. Por outro lado, se ele na˜o
sabe a resposta, ele “chuta” e tem 1 chance emm de acertar; logo, Pr(C|S) = 1
m
e Pr(C|S) = m− 1
m
.
Ainda segundo dados do problema, Pr(S) = p e, portanto, Pr(S) = 1− p
O problema pede Pr(A). Note que o aluno pode acertar a questa˜o sabendo, ou na˜o, a resposta, ou
seja:
Pr(A) = Pr(S ∩ C) + Pr(S ∩ C)
= Pr(S) Pr(C|S) + Pr(S) Pr(C|S)
= p× 1 + (1− p)× 1
m
= p+
1− p
m
7