Gabarito(AP2) de Física 2B tutor Paulo Henrique Ortega

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Gabarito da AP2 de 2016-1.
Paulo Henrique Ortega
Tutor à distância da disciplina Física 2B.
Instituto de Física, Universidade Federal do Rio de Janeiro
I. QUESTÃO 1
(a) Sabemos que a amplitude A da onda em questão é dada por
A =
|yma´x − ymı´n|
2
, (1)
sendo que yma´x e ymı´n são, respectivamente, os valores de máximo e mínimo da função
y = y(x, t), que descreve a onda.
Pelo desenho, temos que |yma´x − ymı´n| = 1, 6 cm. Logo,
A =
|yma´x − ymı´n|
2
=
1, 6 cm
2
= 0, 8 cm. (2)
Portanto, a amplitude da onda é 0, 8 cm.
(b) Sabemos que o comprimento λ de um onda é a distância entre valores repetidos
sucessivos num padrão de onda. O desenho mostra que a distância entre duas cristas (λ)
mais a distância entre uma crista e um vale (λ/2) é 2, 25 cm. Logo,
λ+
λ
2
= 2, 25 cm =⇒ 3
2
λ = 2, 25 cm⇐⇒ λ = 2× 2, 25
3
cm = 1, 5 cm. (3)
Portanto, o comprimento da onda é 1, 5 cm.
(c) Sabemos que, numa onda, a frequência f , o comprimento de onda λ e a velocidade
de propagação v se relacionam por
v = λf. (4)
O exercício forneceu que v = 300 m/s = 3 × 104 cm/s. Utilizando o comprimento de
onda encontrado no item (b), temos que
f =
v
λ
=
3× 104 cm/s
1, 5 cm
= 2× 104 s−1 = 20 kHz. (5)
Portanto, a frequência da onda é 20 kHz.
(d) Sabemos que o período T de uma onda, em termos da frequência f da mesma, é
dada por
T =
1
f
. (6)
2
Utilizando a frequência encontrada no item (c), temos que
T =
1
f
=
1
2× 104 s−1 = 0, 5× 10
−4 s = 50 µs. (7)
Portanto, o período da onda é 50 µs.
(e) A equação diferencial para uma onda geral y = y(x, t) é
∂2y
∂x2
=
1
v2
∂2y
∂t2
. (8)
Como a velocidade de propagação da onda é v = 300 m/s, então
∂2y
∂x2
=
1
90000
∂2y
∂t2
. (9)
com [x] = m e [t] = s. A equação (9) é a equação que rege a propagação da onda
em questão.
(f) Qualquer função y = y(x− vt) é solução da equação diferencial (8). No entanto, o
padrão do sinal indica um comportamento senoidal. Desta forma, a proposta para solução é
y(x, t) = A sin(kx− ωt), (10)
com A a amplitude da onda, k =
2pi
λ
o número de onda angular e ω = 2pif a frequência
angular. Estamos supondo, sem perda de generalidade, que ϕ = 0.
Vamos determinar k e ω. Utilizando os resultados do itens (b) e (c), temos que
k =
2pi
λ
=
2pi rad
1, 5 cm
=
2pi
15× 10−3 rad/m =
2pi
150
× 104 rad/m = pi
75
× 104 rad/m. (11)
ω = 2pif = (2pi rad)× (4× 104) = 4pi × 104 rad/s. (12)
Desta forma, utilizando o valor da amplitude encontrado no item (a), temos que
y(x, t) = A sin(kx− ωt) = (8 cm) sin
[( pi
75
× 104
)
x− (4pi × 104) t] ,
= 8× 10−2 sin
[( pi
75
× 104
)
(x− 300t)
]
m. (13)
Portanto, a solução completa da equação diferencial que rege sua propagação é
y(x, t) = 8× 10−2 sin
[(
pi
75
× 104
)
(x− 300t)
]
m, com [x] = m e [t] = s.
3
II. QUESTÃO 2
O enunciado diz que a ambulância e o carro se movem em sentidos opostos. Sendo assim,
temos duas possibilidades: aproximação ou afastamento. A expressão para a frequência
aparente fap medida pelo observador no carro, para ambos os casos, é dada por
fap = ffonte
(
v ± u
v ∓ V¯
)
, (14)
sendo ffonte a frequência da fonte medida no referencial de repouso da fonte, v a velocidade
de propagação do som no ar (suposto parado), u a velocidade do observador no referencial de
repouso do ar e V¯ a velocidade do emissor, também no referencial de repouso do ar. Os sinais
superiores são usados para a aproximação e os inferiores para afastamento. Consideraremos
cada caso separadamente.
Aproximação: Nesta caso, utilizamos os sinais superiores. As velocidades do carro e
da ambulância são dadas por
u = 36 km/h =
36× 1000 m
3600 s
=
36× 103 m
36× 102 s = 10 m/s. (15)
V¯ = 108 km = 3× (36 km) = 3× (10 m/s) = 30 m/s. (16)
O exercício diz que a velocidade de propagação do som é v = 330 m/s. Deste modo,
temos que
fap = ffonte
(
v + u
v − V¯
)
= (900 Hz)
(
330 m/s+ 10 m/s
330 m/s− 30 m/s
)
=
(
900× 34
30
)
Hz = 1020 Hz.
(17)
Portanto, quando o carro estiver se aproximando da ambulância, ele ouvirá o
som com um frequência de 1020 Hz. Note que era de se esperar isso, pois a frequência
do som da ambulância aumenta a medida que e carro ambulância se aproximam.
Afastamento: Nesta caso, utilizamos os sinais inferiores . Deste modo, temos que
fap = ffonte
(
v − u
v + V¯
)
= (900 Hz)
(
330 m/s− 10 m/s
330 m/s+ 30 m/s
)
=
(
900× 32
36
)
Hz = 800 Hz.
(18)
Portanto, quando o carro estiver se afastando da ambulância, ele ouvirá o som
com um frequência de 800 Hz. Note que esta resultando também era esperado. A
medida que ambulância e carro se afastam, a frequência aparente fica menor que a frequência
da fonte, como mostramos.
4
III. QUESTÃO 3
(a) A equação que rege o movimento de uma corda vibrante é a equação de onda.
∂2u
∂x2
=
1
v2
∂2u
∂t2
, (19)
sendo u(x, t) o deslocamento vertical da corda na posição x e no instante t, e v a velocidade
de propagação da onda na corda.
Precisamos determinar v. Sabemos que, neste caso, a velocidade de propagação é
v =
√
‖~T‖
µ
, (20)
sendo ~T a tensão aplicada a corda e µ a densidade linear de massa dada por
µ =
m
L
(21)
com m a massa da corda e L seu comprimento. Desta forma, temos que
v =
√
‖~T‖L
m
. (22)
O exercício fornece m = 5 g = 5× 10−3 kg, L = 2, 2 m e ‖~T‖ = 40 N . Desta maneira, temos
que
v =
√
‖~T‖L
m
=
√
(40 N)× (2, 2 m)
5× 10−3kg =
√(
88
5
× 103
)
m2/s2 = 10
√
176 m/s
∼= 132, 665 m/s. (23)
Portanto, temos que a equação de movimento da corda é
∂2u
∂x2
=
1
17600
∂2u
∂t2
, (24)
com [x] = m e [t] = s. A equação (24) é a equação que rege o movimento da corda.
(b) Para determinar o comprimento de onda λ, notemos que o exercício fornece que
a frequência da corda é 50 Hz. Desta forma, utilizando a relação v = λf e a velocidade
encontrada no item (a), temos que
v = λf ⇔ λ = v
f
=
10
√
176 m/s
50 Hz
=
√
176
5
m ∼= 2, 6533 m. (25)
Portanto, o comprimento da onda é
√
176
5
m.
5
Para determinar a frequência angular, recorremos a expressão ω = 2pif . Deste modo,
temos que
ω = 2pif = (2pi rad)× (50 Hz) = 100pi rad/s. (26)
Portanto, a frequência angular da onda é 100pi rad/s.
(c) A densidade linear média de energia cinética da corda é dada por
∂K
∂x
=
1
4
µω2A2 =
4pi2f 2A2m
4L
=
pi2f 2A2m
L
, (27)
sendo A a amplitude da OHP. O exercício diz que o deslocamento máximo da corda da
posição estática, ou seja, a amplitude da onda é 2, 0 cm = 2 × 10−2 m.Deste modo, temos
que
∂K
∂x
=
pi2f 2A2m
L
=
pi2 × (50 Hz)2 × (2× 10−2 m)2 × (5× 10−3kg)
2, 2 m
,
=
pi2 × 2, 5× 103 × 4× 10−4 × 5× 10−3
2× 11× 10−1 kg.
m
s2
,
=
25pi2
11
× 10−3 J/m,
∼= 22, 431× 10−3 J/m. (28)
Portanto, a densidade linear média de energia cinética da corda é
25pi2
11
× 10−3 J/m.
IV. QUESTÃO 4
Para resolvermos esta questão, devemos notar as ondas em uma corda de violino são
estacionárias. Isto implica que os comprimentos das ondas estacionárias são múltiplos inteiros
do comprimento da corda, isto é,
λn =
2L
n
, (29)
onde n indica qual modo normal de vibração se trata.
O exercício diz que o comprimento da corda é L = 50 cm e que, quando tocada sem
pressionar, apresentando o modo normal fundamental (n = 1), a mesma emite a nota lá
(f = 440 Hz). Com estas informações , primeiramente calcularemos o comprimento de onda
λ referente a este modo.
λ ≡ λ1 = 2L
1
= 2× 50 cm = 100 cm. (30)
6
Agora, note que a expressão da velocidade de propagação da onda é
v =
√
‖~T‖
µ
, (31)
isto é, v só depende da tensão ~T aplicada e da densidade linear de massa µ. Istoimplica que
a velocidade da onda é a mesma, mesmo quando pressionada no braço do violino. O que se
muda são as relações entre o comprimento da onda e a frequência da mesma.
Tendo isso em mente, podemos dizer que dado dois pares (λi, fi) e (λj, fj) que satisfazem
λf = v, então vale
λifi = v = λjfj ⇔ λifi = λjfj. (32)
isto permite-nos determinar o comprimento de onda referente a nota dó (f ′ = 528 Hz).
Sendo assim, como já temos um par (λ, f) = (100 cm, 440 Hz) e temos a frequência
f ′ = 528 Hz, então
λ′ =
f
f ′
λ =
(440 Hz)× (100 cm)
528 Hz
=
440× 100
528
cm =
250
3
cm ∼= 83, 33 cm. (33)
Agora, note que a corda também vibrará no modo normal fundamental (n = 1) quando
pressionada no braço do violino, só que agora com um comprimento de corda diferente L′.
Vamos obter este novo comprimento.
L′ =
λ′
2
=
250/3 cm
2
=
250
6
cm ∼= 41, 67cm. (34)
Note que L′ < L. Isto era de se esperar pois λ′ < λ e f ′ > f , mantendo v constante.
Agora, a distância que deve ser colocado o dedo para emitir a nota dó é dada pela diferença
∆L = L− L′.
∆L = 50 cm− 250
6
cm =
300− 250
6
cm =
50
6
cm =
25
3
cm ∼= 8, 33cm. (35)
Portanto, o dedo deve ser colocado a
25
3
cm da extremidade da corda presa no
braço do violino.
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