119 AD2 ED 2007 1 gabarito

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
AD2 – Equações Diferenciais – 1/2007
Respostas
Questão 1: [2,5 pontos]
(a) [1,0 ponto] Mostre que o operador diferencial L ≡ (D − 2)(D + 5) anula a função y = 4e2x
(b) [1,5 pontos] Calcule duas funções linearmente independentes que são anuladas pelo operador
L ≡ D2 + 4
Solução:
a) Devemos mostrar que L(y) = 0, i.é, L(4e2x) = 0.
Temos:
L ≡ (D − 2)(D + 5) =⇒ L(4e2x) = (D − 2)[(D + 5)(4e2x)]
= (D − 2)[D(4e2x + 5(e2x))]
= (D − 2)(8e2x + 20e2x)
= D(8e2x + 20e2x)− 2(8e2x + 20e2x)
= 16e2x + 40e2x − 16e2x − 40e2x
= 0,
mostrando que o operador diferencial L ≡ (D − 2)(D + 5) anula a função y = 4e2x.
b) Se y1 e y2 são duas funções linearmente independentes que são anuladas pelo operador diferencial
linear de segunda ordem normal L ≡ D2 + 4, então elas constituem uma base para o espaço das
soluções da equação diferencial linear
(D2 + 4)y = 0
A forma canônica de (D2 + 4)y = 0 é y′′ + 4y = 0.
A equação característica associada a y′′ + 4y = 0 é r2 + 4 = 0, a qual possui raízes complexas
r = ±i.
Nesse caso, y1(x) = cos(2x) e y2(x) = sen(2x) são funções linearmente independente do núcleo
de L.
Ou seja, y1(x) = cos(2x) e y2(x) = sen(2x) são funções linearmente independentes que são anuladas
por L = D2 + 4.
Equações Diferenciais AD2 de Equações Diferenciais – 1/2007 2
Questão 2: [2,5 pontos]
Mostre que as funções f1(x) = xex e f2(x) = x2ex são linearmente independentes em qualquer inter-
valo real que não contém o ponto x = 0.
Solução:
As as funções f1(x) = xex e f2(x) = x2ex são linearmente independentes em qualquer intervalo
do eixo dos x que não contém o ponto x = 0, pois
W (xex, x2ex) = det
(
xex x2ex
xex + ex x2ex + 2xex
)
= x2e2x.
Vemos que se x pertence a um intervalo real que não contem o número zero, então
W (xex, x2ex) 6= 0. E portanto as funções f1(x) = xex e f2(x) = x2ex são linearmente independentes
no intervalo.
Questão 3 [2,5 pontos]
Sabendo que a solução geral de y′′ − y = 0 é y = c1ex + c2e−x, para todo x ∈ R, faça o que se pede:
a) [1,25 pontos] Calcule a solução particular que satisfaz às condições y(0) = 0, y′(0) = 1.
b) [1,25 pontos] Calcule uma solução particular que satisfaz às condições y(0) = 1, y(1) = 1.
Solução:
a) Temos:
y(0) = 0 ⇐⇒ 0 = c1e0 + c2(1/e0) (1)
⇐⇒ 0 = c1 + c2 (2)
e analogamente
y′(0) = 1 ⇐⇒ 1 = c1e0 − c2(1/e0) (3)
⇐⇒ 1 = c1 − c2 (4)
Resolvendo o sistema formado pelas equações (2) e (4):{
c1 + c2 = 0
c1 − c2 = 1
obtemos
c1 = 1/2, c2 = −1/2,
Portanto a solução particular que satisfaz às condições y(0) = 0, y′(0) = 1 é
y(x) =
1
2
(ex − e−x) = senh(x).
b) Temos:
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y(0) = 1 ⇐⇒ 1 = c1e0 + c2(1/e0) (5)
⇐⇒ 1 = c1 + c2 (6)
e analogamente
y(1) = 1 ⇐⇒ 1 = c1e1 + c2(1/e1) (7)
⇐⇒ 1 = ec1 + c2/e (8)
Resolvendo o sistema formado pelas equações (6) e (8):{
c1 + c2 = 1
e2c1 + c2 = e
obtemos
c1 =
1
1 + e
, c2 =
e
1 + e
;
assim, a solução procurada é y(x) =
ex
1 + e
+
ee−x
1 + e
. Ou ainda
y(x) =
1
1 + e
(ex + e1−x).
Questão 4: [2,5 pontos]
Utilizando o método dos coeficientes a determinar, calcule uma solução particular da equação
y′′ − y′ + y = 2 sen(3x).
Solução:
Procuramos uma solução particular da forma
yp(x) = A cos(3x) +B sen(3x).
Nesse caso;
y′p(x) = −3A sen(3x) + 3B cos(3x) e
y′′p(x) = −9A cos(3x)− 9B sen(3x).
Substituindo na equação:
[−9A cos(3x)− 9B sen(3x)]︸ ︷︷ ︸
y′′P
− [−3A sen(3x) + 3B cos(3x)]︸ ︷︷ ︸
y′p
+ [A cos(3x) + B sen(3x)]︸ ︷︷ ︸
yp
= 2 sen(3x)
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Agrupando os coeficientes das funções cos(3x) e sen(3x), obtemos a equação
(−8A− 3B) cos(3x) + (3A− 8B) sen(3x) = 2 sen(3x) = 0 cos(3x) + 2 sen(3x)
Igualando os coeficientes das funções cos(3x) e sen(3x) nos dois lados, obtemos o sistema{
−8A− 3B = 0
3A− 8B = 2 ,
cuja solução é A = 6/73 e B = −16/73.
Assim, uma solução particular para a equação é
yp(x) =
6
73
cos(3x)− 16
73
sen(3x).
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