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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Equações Diferenciais - Exercícios Programados 07
(Semana de 28/03 a 03/04/2011)
Exercício 1 Escreva cada equação na forma “notação de operadores”.
a)
d2y
dx2
+ 3
dy
dx
+ 2y = x3
b) 3y(IV ) − 5y′′′ + y = e−x + senx
c)
d2s
dt2
= −β
ds
dt
− ω2s
d) x2y′′ − 2xy′ = y + 1.
Exercício 2 Se y = x3 − 3x2 + 2e−x e z = sen2x+ 3 cos 2x, determine:
a) (D2 + 3D + 1)y
b) (2D3 −D2 − 4)z
c) (D2 + 2D)(y + z)
d) (x2D2 + 3xD − 2)(2y − 3z).
Exercício 3 Determine F (x) ≡ (D − 1)(x3 + 2x), onde D ≡
d
dx
. Depois
determine (D−2)F (x). Note que o resultado pode ser expresso como (D−2)(D−
1)(x3+2x). O resultado é o mesmo que o da expressão (D2−3D+2)(x3+2x)?
O operador (D − 2)(D − 1) é o mesmo que o operador (D2 − 3D + 2) quando
eles são aplicados em qualquer função diferenciável? Prove sua resposta.
Exercício 4 Responda:
a) (D − a)(D − b) = D2 − (a+ b)D + ab, onde a e b são constantes?
Consórcio CEDERJ - Fundação CECIERJ 2011/1
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b) Dois operadores φ1(D) e φ2(D) são ditos comutativos com respeito a multi-
plicação se φ1(D)φ2(D)u = φ2(D)φ1(D)u. Os operadores (D− a) e (D− b) são
comutativos?
c) Operadores φ1(D), φ2(D) e φ3(D) são ditos associativos com respeito a mul-
tiplicação se
φ1(D) [φ2(D)φ3(D)] u = [φ1(D)φ2(D)]φ3(D)u.
Os operadores (D − a), (D − b) e (D − c), onde a, b e c são constantes, são
associativos?
Exercício 5 Represente, se possível, D3−6D2+11D−6 como um “produto”
de três fatores. A ordem dos fatores faz alguma diferença? Prove sua afirmação.
Consórcio CEDERJ - Fundação CECIERJ 2011/1