Material Complementar 01 Aula 04

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Material Complementar 01
MO´DULO 1 - AULA 4
Aula 4 – Material Complementar 01
Jacob Bernoulli
1654 - 1705
Jacob era o mais velho de
uma famı´lia de talentosos
matema´ticos su´ıc¸os,
contemporaˆneos de Newton
e Leibniz, e que viviam
competindo entre si,
propondo desafios e
disputando quem era
melhor. Um terceiro
Bernoulli, de uma gerac¸a˜o
posterior, tambe´m produziu
contribuic¸o˜es significativas a`
Matema´tica e a F´ısica de seu
tempo.
Nota Histo´rica
Esta aula e´ relativa a uma equac¸a˜o bastante interessante. A equac¸a˜o
diferencial de Bernoulli. Do ponto de vista histo´rico, essas equac¸o˜es desem-
penharam um papel bastante importante. Por outro lado, a equac¸a˜o de
Bernoulli, e suas generalizac¸o˜es, continuam sendo de grande importaˆncia na
modelagem de problemas atuais.
E´ importante frisar que, historicamente, as equac¸o˜es diferenciais surgiram
como uma maneira de definir/analisar curvas. A “representac¸a˜o de curvas
por meio de equac¸o˜es envolvendo “quantidades” conhecidas e/ou desconhe-
ceidas era ainda um to´pico recente em matema´tica. E - no caso de curvas
planas - as varia´veis x e y eram coordenadas independentes. Na˜o se pensava
em uma delas como func¸a˜o de outra. E o me´todo de resolver euqac¸o˜es dife-
renciais era o de separac¸a˜o de varia´veis 1 O livro de L”Hoˆpital logo se tornou
uma refereˆncia padra˜o e assim permaneceria por um longo tempo.
A equac¸a˜o de Bernoulli foi apresentada como uma generalizac¸a˜o de uma
equac¸a˜o que Leibniz havia obtido para um problema sobre curvas, proposto
em 1638 pelo nobre franceˆs Florimond De Beaune a Descartes. Descartes
na˜o conseguiu traduzizr o problema por meio de uma equac¸a˜o. Ele deu pro-
cedimetos de construc¸a˜o geome´trica e ca´lculo nume´rico das coordenadas de
pontos particulares das curvas que resolviam o problema. Leibniz, em sua
primeira publicac¸a˜o sobre o Ca´lculo (1684) obteve uma equac¸a˜o (diferencial)
para um problema eqivalente ao de De Beaune, e apresentou sua soluc¸a˜o
2. Alguns anos depois, em 1695, Jakob Bernoulli propoˆs uma equac¸a˜o que
generalizava o problema resolvido por Leibniz, a equac¸a˜o de Bernoulli; e dei-
xou como desafio a questa˜o de obter suas soluc¸o˜es por separac¸a˜o de varia´veis.
No ano seguinte, na edic¸a˜o de julho da Acta Eruditorum, Bernoulli publicou
a soluc¸a˜o.
1a possibilidade de separar varia´veis numa equac¸a˜o diferencial, permitia que a soluc¸a˜o,
isto e´ a curva correspondente, fosse constru´ıda geometricamente.
2por separac¸a˜o de varia´veis - e´ claro.
1 CEDERJ