História da Matemática

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HISTÓRIA DA MATEMÁTICA 
 
Tema 04 Gênese do Cálculo Diferencial 
 
Professora: Luciane 
 
 
Adriano dos Santos Silveira 
Ana Lucia Alvarenga 
Cristiano Cesar da Silva 
Jefferson Machado Borges 
Patrícia Giane Massara 
 
 
 
 
RESUMO 
 
O presente artigo trata de como se deu o desenvolvimento da 
história do cálculo diferencial, dando maior ênfase aos 
trabalhos de Newton e Leibniz que, como se afirma hoje, são 
os “inventores” do cálculo. O principal objetivo do trabalho é 
demonstrar como eram feitos os cálculos de derivadas de 
funções sem utilizar a noção de limites, com exemplos que 
podem ser comparados com as técnicas modernas empregadas 
hoje. 
 
Palavras-chave: indivisíveis, máximo, mínimo, tangente, 
derivada. 
INTRODUÇÃO 
 
É curioso que o desenvolvimento histórico do cálculo seguiu a ordem contrária 
à daquela dos textos e cursos básicos atuais sobre o assunto: primeiro surgiu o 
cálculo integral e só muito tempo depois o cálculo diferencial. A ideia de 
integração teve origem em processos somatórios ligados ao cálculo de certas 
áreas, volumes e comprimentos. A diferenciação, criada bem mais tarde, 
resultou de problemas sobre tangentes a curvas e de questões sobre máximos e 
mínimos. Mais tarde ainda verificou-se que, salvo algumas restrições, a 
integração e a diferenciação estão relacionadas entre si, sendo que cada uma 
delas é uma espécie de operação “inversa” da outra. 
O cálculo da derivada e o cálculo da integral são ambos baseados na noção de 
limite. A questão é: “se o limite foi criado por último, como então eram feitos 
esses cálculos sem essa noção de limite de funções?”. O interesse maior do 
trabalho é mostrar como se procedia para executar o cálculo de derivadas sem 
a noção de limite, ocupando-se em mais detalhes, com os trabalhos de Isaac 
Newton (1642-1727) e Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716). Newton 
estendeu e unificou os vários processos de cálculo e Leibniz ligou-os através 
de uma notação eficaz e de um novo cálculo operacional. 
HISTÓRICO 
 
O século XVII foi extremamente produtivo para o desenvolvimento da 
matemática, graças, em grande parte, às novas e vastas áreas de 
pesquisa que nela se abriram. Sem dúvida, porém a realização 
matemática mais notável do período foi a “invenção” do cálculo, perto 
do final do século, por Newton e Leibniz. Com essa invenção a 
matemática criativa passou a um plano superior e a história da 
matemática elementar essencialmente terminou. 
 
Antes de aprofundar nos escritos de Newton e Leibniz sobre o cálculo, 
é necessário fazer um breve relato sobre suas origens e 
desenvolvimento. Esses conceitos têm tanto alcance e tantas 
implicações no mundo moderno que talvez seja correto dizer que sem 
algum conhecimento deles dificilmente hoje uma pessoa poderia 
considerar-se culta. 
 
Embora a maior parte do trabalho se situe no século XVII é importante 
retornar à Grécia do século III a. C. 
O CÁLCULO NA GRÉCIA ANTIGA: NO COMEÇO FOI O 
CÁLCULO INTEGRAL 
Arquimedes de Siracusa (287-212 a. C.) 
Os primeiros rascunhos com base sólida para o cálculo iniciaram-se com 
Arquimedes. Dos tratados de Arquimedes que se ocupavam 
principalmente com o método de exaustão de Eudoxo de Cinido. O mais 
popular era a Quadratura da parábola. 
Apolônio de Perga (262 a 190 a.C.) 
Os teoremas de Apolônio sobre máximos e mínimos são na verdade 
teoremas sobre tangentes. 
 René Descartes (1596-1650) 
Filósofo e matemático francês, deu uma contribuição muito importante 
para a ideia de derivadas com a geometria analítica. 
Gilles Persone de Roberval (1602-1675) 
Gilles Persone de Roberval tornou-se bastante conhecido por seu 
método de traçar tangentes e por suas descobertas no campo das curvas 
planas superiores. Ele considerava uma curva como sendo gerada por 
um ponto cujo movimento se compõe de dois movimentos conhecidos. 
Então a resultante dos vetores velocidade dos dois movimentos 
conhecidos fornece a reta tangente à curva. 
Evangelista Torricelli (1608-1647) 
Evangelista Torricelli trabalhava com a mesma ideia de Roberval sobre 
tangente. Publicou a construção da tangente à ciclóide1 num ponto 
genérico da curva. Para determinar a tangente, tanto Roberval quanto 
Torricelli usavam o método da composição de movimentos, já 
descritos, quando do traçado de uma tangente à parábola. 
Pierre de Fermat (1601-1665) 
É possível que Pierre de Fermat desde 1629 estivesse de posse de sua 
geometria analítica, pois por essa época ele fez duas descobertas 
significativas. A mais importante dessas foi descrita alguns anos depois 
em um tratado, também não publicado durante sua vida, chamado 
Método para achar máximos e mínimos. Ao descrever o seu método, 
Fermat associou-o a um método que ele havia introduzido para 
determinar valores extremos (máximo ou mínimo) de quantidades 
conhecidas. 
John Wallis (1616-1703) 
John Wallis foi um dos primeiros a discutir as cônicas como curvas de 
segundo grau, em vez de considerá-las como secções de um cone. 
Enquanto as principais contribuições de Wallis ao cálculo se situam na 
teoria da integração, as mais importantes de Isaac Barrow talvez sejam 
aquelas ligadas à teoria da diferenciação. 
 
Isaac Barrow (1630-1677) 
Isaac Barrow explica um método de tangentes que é virtualmente 
idêntico ao usado no cálculo diferencial. É muito semelhante ao de 
Fermat, mas usa duas quantidades, em vez da letra E única de Fermat. 
Essas quantidades equivalem aos modernos Dx e Dy. 
Isaac Newton (1642-1727) 
Newton parece ter atingido as fronteiras do conhecimento matemático e 
estava pronto para fazer contribuições próprias. Suas primeiras 
descobertas, datando dos primeiros meses de 1665, resultaram de saber 
exprimir funções em termos de séries infinitas. Newton também 
começou a pensar, em 1665, na taxa de variação ou fluxo de quantidades 
variáveis continuamente ou fluentes, tais como comprimentos, áreas, 
volumes, distâncias, temperaturas. 
Newton ligou esses dois problemas, das séries infinitas e das taxas de 
variação como “meu método”. 
Newton fez uma descoberta muito importante, o método dos fluxos ou 
das fluxões, Para Newton, nesse trabalho, uma curva era gerada pelo 
movimento contínuo de um ponto no tempo. Feita essa suposição, a 
abscissa e a ordenada de um ponto gerador passa a ser, em geral, 
quantidades variáveis. 
 
Determinou máximos e mínimos, tangentes a curvas, curvaturas de 
curvas, pontos de inflexão e convexidade e concavidade de curvas; 
aplicou-o a muitas quadraturas e retificações de curvas. Também 
demonstrou habilidade extraordinária na integração de equações 
diferenciais. 
 
Seu trabalho inclui também um método (do qual uma variação é 
conhecida agora pelo nome de Newton) para aproximação dos valores 
das raízes de uma equação numérica, algébrica ou transcendente2. 
 
Ainda com Newton a ideia de que a diferenciação e a integração eram 
operações inversas foi firmemente estabelecida. 
 
Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) 
 Leibniz, por volta de 1676, tinha chegado à mesma conclusão a que 
Newton chegara vários anos antes: que ele possuía um método que era 
altamente importante por causa da sua generalidade. Quer uma função 
fosse racional ou irracional, algébrica ou transcendente (palavra que 
Leibniz inventou), suas operações de achar somas e diferenças podiam 
sempre ser aplicadas. Cabia, pois a ele desenvolver uma linguagem e 
notação adequada para o novo assunto. 
Método de Leibniz 
 
Desenvolvendo sem utilizar as regras (que é o método de hoje, embora 
seja de Leibniz). Assim, 
 
 
 d(2x3 + 3x -1) = 2(x + dx)3 + 3(x + dx)-1- (2x3 + 3x -1) 
 = 2(x3 + 3x2dx + 3x(dx)2 + (dx)3 )+ 3x + 3dx -1- 2x3 - 3x +1 
 6x dx 3x(dx) (dx) 3dx = 2 + 2 + 3 + 
 = 6x2dx + 3dx = (6x2 + 3)dx , 
ou,= 6x2 + 3 
 dx 
 df 
Método de Newton 
 
Faça f (x, y) = f (x) - y = 2x3 + 3x -1- y = 0 . 
Trocando x por x + x o e y por y + y o , teremos então 2(x + x o )3 + 3 
(x + x o ) -1- ( y + y o ) = 0 . 
 
Consequentemente, 
2x3 + 6x2 x o + 6x(x o )2 + 2(x o )3 + 3x + 3x o -1- y - y o = 0 . 
 
De 2x3 + 3x -1- y = 0 , desprezando os termos em que o figura com 
expoente igual ou superior a dois (ou então dividindo por o e desprezando 
os termos que ainda têm o ), chega-se a 
 6x2 x + 3x - y = 0 . 
Daí, 
 
 y / x = 6x2+3 
 
Método Moderno 
 
Pelo método moderno é possível calcular a derivada dessa função em 
apenas uma linha utilizando os teoremas sobre derivação, e obtemos: 
 
f (x) = 6x2 + 3. 
 
Claro que neste caso o método dito moderno é o de Leibniz quando se usa 
as regras de derivação apontadas por ele. 
 
CURIOSIDADES 
• O alemão Wilhelm Schickard em 1623, inventou a calculadora. 
• Ela era uma calculadora mecânica com polias e engrenagens de 
relógio. 
• A primeira calculadora que multiplicava foi inventada por Léon 
Bollée aos 19 anos de idade. 
A INTRODUÇÃO DO CÁLCULO NO CURRÍCULO DO 
ENSINO MÉDIO 
 
No Brasil, em dois momentos, houve a introdução do cálculo no currículo 
do Ensino Médio, especialmente na 3ª série. 
 
O primeiro momento ocorreu por volta de 1891, com a reforma proposta 
por Benjamim Constant (1767), e o segundo no início da República, 
ocorrido em 1943, aproximadamente, quando foi instituída uma reforma 
do ensino secundário que ficou conhecido como Sr. Gustavo Campanema 
que era o ministro da educação na época. 
 
Nas décadas de 60 e 70, o movimento denominado Matemática Moderna, 
mudou significativamente o ensino da matemática no Brasil, e em outros 
países, onde estudiosos da época defendiam que era preciso modernizá-lo. 
 
A tônica dessa modernização foi uma ênfase excessiva no rigor e no 
formalismo das apresentações, à custa inclusive, de retirar de antigos 
programas tópicos importantes no ensino, como geometria e cálculo. 
Nos Estados Unidos, por exemplo, o cálculo é ensinado nas escolas 
secundárias, e às vezes em quantidade substancial, possibilitando o 
aluno que ingressar na universidade dispensá-la no primeiro semestre 
ou completamente, cursando assim disciplinas mais avançadas. 
 
Com isso podemos ver a importância do aprendizado do cálculo no 
ensino médio, como auxílio de funções polinomiais do segundo grau e 
algumas aplicações permitiu identificar o quanto o estudo do Cálculo 
auxilia na compreensão do estudo de funções e suas aplicações, e que 
os alunos de ensino médio, conseguem acompanhar o raciocínio, sim, 
desde que seja apresentado de forma simples e adequado ao seu nível.