Lista 01 - Matrizes e Sistemas Lineares

Prévia do material em texto

Ministe´rio da Educac¸a˜o
Universidade Tecnolo´gica Federal do Parana´
Departamento Acadeˆmico de Matema´tica
MA71B - Geometria Anal´ıtica e A´lgebra Linear
Professora Aura R. Belzarez Guedez
Lista de Exerc´ıcios 01 - Matrizes e Sistemas Lineares
1. Construa as matrizes:
(a) A1×3, tal que aij = 2i− j
(b) B2×2, tal que bij = 2i+ 3j − 1
(c) C3×3, tal que cij =
2i+j, se i > ji2 − j, se i ≤ j
(d) D3×3, tal que dij =

0, se i = j
2, se i > j
−1, se i < j
2. Dadas as matrizes
A =
(
4 1
−2 −1
)
B =
(
−1 2
5 0
)
C =
(
0 7 −1
−3 6 2
)
e D =
 9 2−8 5
0 −2

Determine (se poss´ıvel):
(a) B2 + 2A (b) A−B (c) 2A+ C (d) D − 3C> (e) (A+B)>
3. Considere as matrizes
A =
(
2 1
3 −1
)
B =
(
−1 2
1 0
)
e C =
(
4 −1
2 1
)
calcule a matriz X de modo que 3(X − A) = 2(B +X) + 6C.
4. A matriz A =
1 2 3x y z
2 1 z
 admite a transposta A> =
 1 x 2x− 2 y 1
3y 6− y z
. Nestas
condic¸o˜es, calcule x, y e z.
5. Determine os valores de a e b para que a matriz M =
 3 8 xa3 1 b2
x 121 0
 seja sime´trica.
6. Considere as matrizes
M =
 2 0−1 1
3 4
 e A = (−1 2 3
0 1 0
)
.
Calcule (M + A>)(M> − A).
7. Considere as matrizes
A =
(
a b 1
−1 1 a
)
e B =
(
1 −1 0
0 1 0
)
.
Determine a e b para que
AB> =
(
3 4
−2 1
)
.
8. Calcule os valores de x e y para que as matrizes A =
(
1 3
−1 0
)
e B =
(
x y
0 2
)
comutem
na multiplicac¸a˜o.
9. Mostre que a matriz B =
1 1 00 −1 2
1 0 1
 e´ a inversa de A =
−1 −1 22 1 −2
1 1 −1
.
10. Dadas as matrizes A =
(
9 5
7 4
)
e B =
(
4 n
m 9
)
, calcular m e n para que B seja a matriz
inversa de A.
11. Considere as matrizes
A =
1 2 31 1 2
0 1 2
 B =
1 2 21 3 1
1 3 2
 C =
1 2 30 2 3
1 2 4

Calcule, se poss´ıvel, suas inversas.
12. Considere as matrizes
A =

0 0 0 −3
1 2 3 4
−1 3 2 5
2 1 −2 0
 B =

1 −2 3 1
5 −9 6 3
−1 2 −6 −2
2 8 6 1
 C =

2 1 3 1
1 0 1 1
0 2 1 0
0 1 1 3

Calcule, se poss´ıvel, suas inversas.
13. Calcule o determinante das matrizes
(a)
(
−1 2
−4 1
)
(b)
−2 0 −53 −3 −1
0 3 −4

(c)
(
−5 4
0 6
)
(d)
2 −2 40 −1 3
4 −2 0

14. Considere as matrizes:
A =

0 0 0 −3
1 2 3 4
−1 3 2 5
2 1 −2 0
 B =

1 −2 3 1
5 −9 6 3
−1 2 −6 −2
2 8 6 1
 C =

2 1 3 1
1 0 1 1
0 2 1 0
0 1 1 3

Calcule os determinantes:
(a) Por uma das linhas. (b) Por uma das colunas.
15. Calcule det(A) onde
(a) A =

3 −1 5 0
0 2 0 1
2 0 −1 3
1 1 2 0
 (b) A =

3 0 0 0 0
19 18 0 0 0
−6 pi −5 0 0
4
√
2
√
3 0 0
8 3 5 6 −1

16. Se det(A) = −3, encontre
(a) det(A3) (b) det(A2) (c) det(A−1) (d) det(A>)
17. Se A e B sa˜o matrizes n× n tais que det(A) = −2 e det(B) = 3, calcule det(A>B−1).
18. Sejam A =
1 0 51 1 1
0 1 −4
, I =
1 0 00 1 0
0 0 1
, X =
xy
z
 e O =
00
0
.
(a) Encontre a soluc¸a˜o geral do sistema de equac¸o˜es lineares (A+ 4I)X = O.
(b) Encontre a soluc¸a˜o geral do sistema de equac¸o˜es lineares (A− 2I)X = O.
19. Resolva os sistemas de equac¸o˜es lineares.
(a)

x1 + x2 + 2x3 = 8
−x1 − 2x2 + 3x3 = 1
3x1 − 7x2 + 4x3 = 10
(b)

2x1 + 2x2 + 2x3 = 0
−2x1 + 5x2 + 2x3 = 1
8x1 + x2 + 4x3 = −1
(c)

−2x2 + 2x3 = 1
3x1 + 6x2 − 3x3 = −2
6x1 + 6x2 + 3x3 = 5
(d)

2x1 − 2x2 + 2x3 = 5
3x1 + 5x2 − 3x3 = −1
6x1 + 6x2 + 2x3 = 6
20. Para cada sistema de equac¸o˜es lineares dado, encontre todos os valores de a para os quais
o sistema na˜o tenha soluc¸a˜o, tenha uma soluc¸a˜o u´nica e tenha infinitas soluc¸o˜es.
(a)

x+ 2y − 3z = 4
3x− y + 5z = 2
4x+ y + (a2 − 14)z = a+ 2
(b)

x+ y + z = 2
2x+ 3y + 2z = 5
2x+ 3y + (a2 − 1)z = a+ 1
21. Resolva, usando o me´todo de Gauss-Jordan, o seguinte sistema de equac¸o˜es lineares.
x1 + 2x2 − 3x4 + x5 = 2
x1 + 2x2 + x3 − 3x4 + x5 + 2x6 = 3
x1 + 2x2 − 3x4 + 2x5 + x6 = 4
3x1 + 6x2 + x3 − 9x4 + 4x5 + 3x6 = 9
22. Uma industria produz treˆs produtos, X, Y e Z, utilizando dois tipos de insumo, A e B.
Para a manufatura de cada kg de X sa˜o utilizados 2 gramas do insumo A e 1 grama do
insumo B; para cada kg de Y , 1 grama de insumo A e 3 gramas de insumo B e, para
cada kg de Z, 3 gramas de A e 5 gramas de B. O prec¸o de venda do kg de cada um dos
produtos X, Y e Z e´ R$3,00, R$2,00 e R$4,00, respectivamente. Com a venda de toda
a produc¸a˜o de X, Y e Z manufaturada com 1, 9 kg de A e 2, 4 kg de B, essa indu´stria
arrecadou R$ 2900,00. Determine quantos kg de cada um dos produtos X, Y e Z foram
vendidos.
23. O bronze e´ uma liga de cobre e zinco, na qual a porcentagem de cobre varia geralmente
entre 60% e 70%. Usando dois tipos de bronze, um com 62% e outro com 70% de cobre,
deseja-se obter uma tonelada de bronze com exatamente 65% de cobre. Quantos quilos
do primeiro tipo de bronze e quantos quilos do segundo devem ser usados?
24. Um negociante trabalha com as mercadorias A, B e C. Se vender cada unidade de A por
R$ 2, 00, cada unidade de B por R$ 3, 00 e cada unidade de C por R$ 4, 00, obte´m uma
receita de R$ 50, 00. Mas, se vender cada unidade respectivamente por R$ 2, 00, R$ 6, 00
e R$ 3, 00 a receita sera´ de R$ 60, 00. Monte o sistema de equac¸o˜es lineares que modela o
problema do negociante, resolva-o e diga quantas unidades de cada uma das mercadorias
ele possui.
Respostas
3. X =
(
28 −1
23 3
)
4. x = 4, y = 1, z = 5
5. a = 2, b = ±11
7. a = 7, b = 4
8. x = 2, y = 0
10. m = −7, n = −5
13. (b) −75 (d) 4
15. (a) 12 (b) 0
16. (a) −27 (b) 9 (c) −1/3 (d) −3
17. −2/3
20. (b) Na˜o existe a para que o sistema tenha infinitas soluc¸o˜es. Para a 6= ±√3 o sistema tem
soluc¸a˜o u´nica. Para a = ±√3 o sistema na˜o tem soluc¸a˜o.
22. Foram vendidos 500 kg do produto X, 300 kg do produto Y e 200 kg do produto Z.