AULA 05

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FERRAMENTAS MATEMÁTICAS 
APLICADAS 
AULA 5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Ricardo Alexandre Deckmann Zanardini 
 
 
CONVERSA INICIAL 
Nesta aula, estudaremos importantes temas, muito úteis para a 
engenharia. Inicialmente, estudaremos vetores e matrizes. Aprenderemos a 
utilizar o Python para a realização de operações vetoriais e matriciais. Em 
seguida, abordaremos a resolução de sistemas lineares. Para abordarmos 
sistemas lineares relacionados a números complexos, estudaremos algumas 
funções trigonométricas e os números complexos. 
TEMA 1 – VETORES E MATRIZES 
Do ponto de vista matemático, uma matriz é um conjunto retangular de 
números reais ou complexos, formado por linhas e por colunas, representado 
entre colchetes ou entre parênteses. 
Por exemplo, temos a seguinte matriz: 





 −
=
2005
123
A 
Esta é uma matriz denominada de A que contém 2 linhas e 3 colunas. 
Podemos dizer então que A é uma matriz 2X3. 
As matrizes são utilizadas em diversas aplicações. Podemos armazenar 
preços de mercadorias, coeficientes de um sistema linear, valores associados 
aos pixels1 de uma imagem e muito mais. 
Um vetor é um caso particular de uma matriz, pois corresponde a apenas 
uma linha ou apenas uma coluna da matriz. Por exemplo: 
v=(3, 7, -9) 
Esta é um vetor que contém 3 componentes. Observe que também pode 
ser interpretado como sendo uma matriz que tem 1 linha e 3 colunas. 
Em Python, podemos utilizar a biblioteca “NumPy” para trabalharmos com 
matrizes e com vetores. 
Observe a seguinte matriz: 
 
1 Do inglês “picture elements”. Cada pixel corresponde a um ponto da imagem. Em imagens em 
escala de cinza, cada ponto da imagem está associado a um elemento da matriz, e em imagens 
coloridas do tipo RGB, cada ponto está associado a 3 elementos correspondentes armazenados 
em 3 matrizes diferentes. 
 
 
3 





 −
=
2005
123
A 
Para a representarmos por meio da biblioteca “NumPy”, utilizaremos o 
comando “array()”. 
A sintaxe é: 
import numpy as np 
A=np.array([[3, 2, -1],[5, 0, 20]]) 
print(A) 
 
Observe que cada linha está entre colchetes e as duas linhas da matriz 
também estão entre colchetes, além dos parênteses que delimitam o comando. 
Observe o vetor: 
v=(3, 7,-9) 
A representação de sua sequência de comandos é: 
import numpy as np 
v=np.array([[3, 7, -9]]) 
print(v) 
 
É possível realizar operações relacionadas a matrizes e vetores de uma 
forma bastante simples por meio do Python. 
 
 
4 
Para compreendermos melhor essas operações, vamos acompanhar 
alguns exemplos. 
1.1 Exemplo 1 
Suponha que o vetor v armazena os preços de venda, em dólares, de 
algumas mercadorias: 
v=(35,00; 16,40; 8,49; 15,56) 
 E, além disso, que cada dólar corresponde a 4 reais. Obtenha um vetor 
w que armazena os preços em reais dessas mercadorias. 
1.1.1 Resolução 
Inicialmente, precisamos escrever o vetor v com os respectivos preços em 
dólar e, em seguida, multiplicar esse vetor por 4. Essa operação é conhecida 
como multiplicação de um vetor por um escalar. 
import numpy as np 
v=np.array([[35.00, 16.40, 8.49, 15.56]]) 
w=4*v 
print(w) 
 
Os preços são R$ 140,00, R$ 65,60, R$ 33,96 e R$ 62,24. 
1.2 Exemplo 2 
Considere o seguinte vetor: 
v=(35,00; 16,40; 8,49; 15,56) 
Ele armazena os preços de venda, em dólares, de algumas mercadorias, 
e o vetor u armazena os respectivos preços de custo, também em dólares: 
 
 
5 
u=(17,80; 10,20; 5,60; 9,99) 
Sabendo-se que a margem de contribuição corresponde ao preço de 
venda menos o preço de custo, obtenha o vetor m que contém as respectivas 
margens de contribuição, em dólares, dessas mercadorias. 
1.2.1 Resolução 
Para obtermos as margens de contribuição, basta subtrairmos os vetores 
v e u. 
import numpy as np 
v=np.array([[35.00, 16.40, 8.49, 15.56]]) 
u=np.array([[17.80, 10.20, 5.60, 9.99]]) 
m=v-u 
print(m) 
 
As margens de contribuição, em dólares, são $ 17,20, $ 6,20, $ 2,89 e $ 
5,57. 
1.3 Exemplo 3 
Em uma instituição de ensino superior, na disciplina de Geometria 
Analítica, os alunos matriculados realizaram quatro avaliações. O vetor “notas” 
contém as notas obtidas por um dos estudantes e o vetor “pesos” armazena as 
porcentagens referentes a cada avaliação, apresentadas na forma decimal. Os 
vetores são: 
notas=(80, 95, 100, 70) 
e 
 
 
6 
pesos=(0,2; 0,2; 0,3; 0,3) 
Sabendo-se que a média do estudante corresponde à soma das 
multiplicações de cada nota pelos respectivos pesos e que essa média, 
matematicamente, é fornecida pelo produto escalar dos vetores “notas” e 
“pesos”, determine a referida média. 
1.3.1 Resolução 
O produto interno é obtido pela função “inner()” da biblioteca “NumPy”. 
import numpy as np 
notas=np.array([[80, 95, 100, 70]]) 
pesos=np.array([[0.2, 0.2, 0.3, 0.3]]) 
media=np.inner(notas,pesos) 
print(media) 
 
 
A média é 86. 
1.4 Exemplo 4 
Considerando os vetores u=(2, 2, -2) e v=(1, 5, 1), obtenha um vetor w 
ortogonal aos vetores u e v, ou seja, um vetor w que forma um ângulo de 90° 
com o vetor u e um ângulo de 90° com o vetor v. 
1.3.1 Resolução 
Para obtermos um vetor ortogonal a outros dois vetores dados, todos com 
três componentes cada, precisamos calcular o produto vetorial, também 
 
 
7 
conhecido como produto externo. O comando da biblioteca “NumPy” destinado 
a esse cálculo é “cross()”. 
import numpy as np 
u=np.array([[2, 2, -2]]) 
v=np.array([[1, 5, 1]]) 
w=np.cross(u,v) 
print(w) 
 
O vetor w é dado por w=(12, -4, 8). 
Em relação às matrizes, também temos operações que podem ser feitas 
por meio do Python. Para entendermos melhor como podemos realizar 
operações com matrizes, vamos considerar mais alguns exemplos. 
1.5 Exemplo 5 
Uma indústria de motocicletas possui três modelos, A, B e C, e tem duas 
fábricas, F1 e F2. A fábrica F1 produz as peças e a fábrica F2 faz a montagem 
das motocicletas. 
Os custos de produção e de transporte referentes à fábrica F1 
correspondem a 
 Custo de produção 
das peças (R$) Custo de transporte (R$) 
A 3.000,00 110,00 
B 5.000,00 112,00 
C 6.500,00 125,00 
Os custos de montagem e de transporte referentes à fábrica F2 são: 
 Custo de montagem (R$) Custo de transporte (R$) 
A 300,00 130,00 
B 350,00 130,00 
C 420,00 130,00 
 
 
8 
Essas tabelas podem ser escritas como matrizes: 










=
1256500
1205000
1103000
1F e 










=
130420
130350
130300
1F 
Com base nessas informações, determine os custos totais de produção e 
de transporte referentes a cada modelo de motocicleta. 
1.5.1 Resolução 
Para obtermos esses custos, precisamos efetuar a soma das matrizes. 
import numpy as np 
F1=np.array([[3000, 110],[5000, 120],[6500, 125]]) 
F2=np.array([[300, 130],[350, 130],[420, 130]]) 
CustoTotal=F1+F2 
print(CustoTotal) 
 
O custo total é: 










=+
2556920
2505350
2403300
21 FF 
1.6 Exemplo 6 
Considerando o exemplo 5 e supondo que houve um aumento de 10% 
sobre os custos de fabricação das peças e sobre os custos de transporte, quais 
serão os valores após o aumento? 
 
 
9 
1.6.1 Resolução 
O fator referente a um aumento de 10% corresponde a 1,1, pois 
100%+10%=110%=1,1. Para que tenhamos a matriz F1 com os valores 
atualizados, basta multiplicarmos F1 por 1,1. Podemos armazenar esses valores 
na própria matriz F1, por isso a expressão “F1=1.1*F1”. 
import numpy as np 
F1=np.array([[3000, 110],[5000, 120],[6500, 125]]) 
F1=1.1*F1 
print(F1) 
 
Com o aumento de 10%, os custos da fábrica 1 são: 










=
5,1377150
1325500
1213300
1F 
1.7 Exemplo 7 
Na confecção de três tamanhos de camisetas de futebol (P, M e G), são 
usados distintivos dos clubes nas cores verde e vermelha. O número de 
distintivos usados, por tamanho, é dado pela tabela a seguir. 
 Camiseta P Camiseta M Camiseta G 
Verde 3 1 3 
Vermelha 6 5 5 
O númerode camisetas fabricadas, de cada tamanho, nos meses de maio 
e junho, é dado pela seguinte tabela. 
 
 
 
 
10 
 Maio Junho 
Camiseta P 100 50 
Camiseta M 50 100 
Camiseta G 50 50 
Nessas condições, obtenha, por meio do uso de matrizes, a tabela que dá 
o total de distintivos de cada cor usados em cada um dos meses de maio e junho. 
1.7.1 Resolução 
A solução do problema se resume na multiplicação das matrizes 
associadas a cada uma das tabelas. Na biblioteca “NumPy”, o comando é 
“matmul()”. 
distintivos 





=
556
313
 
camisetas 










=
5050
10050
50100
 
import numpy as np 
distintivos=np.array([[3, 1, 3],[6, 5, 5]]) 
camisetas=np.array([[100, 50],[50, 100],[50, 50]]) 
TotalDeDistintivos=np.matmul(distintivos,camisetas) 
print(TotalDeDistintivos) 
 
Logo, a tabela obtida foi: 
 Maio Junho 
Verde 500 400 
Vermelha 1100 1050 
 
 
11 
TEMA 2 – SISTEMAS LINEARES 
Sistemas lineares são importantes e aparecem em diversas aplicações da 
engenharia. Desde exemplos simples, em que o objetivo é determinarmos 
quantidades de itens, até problemas mais avançados, tais como processamento 
digital de sinais e de imagens, tomografia computadorizada, entre outros. 
A forma geral de um sistema linear de m equações e n incógnitas é: 







=+++
=+++
=+++
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa




2211
22222121
11212111
 
Nesse sistema, os termos a11, a12, ..., amn são os coeficientes, b1, b2, bm 
são os termos independentes e x1, x2, ..., xn são as variáveis. 
Um sistema linear pode ser escrito na forma matricial: 
Ax=b 
Na forma matricial, os coeficientes são armazenados na matriz A, os 
termos independentes no vetor b e as variáveis no vetor x. 
A biblioteca “NumPy” tem uma função que torna bastante simples a 
resolução de sistemas lineares. Essa função é “solve()” e utiliza a forma matricial 
de um sistema. 
Veremos a seguir diversos exemplos ilustrando o uso do comando “solve”. 
2.1 Exemplo 1 
Um casal foi a uma lanchonete. Marina consumiu um sanduíche e um 
refrigerante e pagou R$ 22,00. Leandro consumiu dois sanduíches e um 
refrigerante, totalizando R$ 34,00. Com base nessas informações, determine o 
preço de cada sanduíche e o preço de cada refrigerante. 
2.1.1 Resolução 
 O sistema linear associado ao problema corresponde a: 



=+
=+
342
22
rs
rs
 
 
 
12 
A variável s representa o preço de cada sanduíche e a variável r 
representa o preço de cada refrigerante. 
Na forma matricial, o sistema corresponde a: 






=











34
22
12
11
r
s
 
Ou seja: 






=
12
11
A , 





=
34
22
b e 





=
r
s
x . 
import numpy as np 
A=np.array([[1, 1],[2, 1]]) 
b=np.array([[22],[34]]) 
x=np.linalg.solve(A,b) 
print(x) 
 
Cada sanduíche custou R$ 12,00 e cada refrigerante custou R$ 10,00. 
2.2 Exemplo 2 
Uma indústria produz dois modelos de tapetes de pele. O primeiro modelo 
tem 3 m2 e o segundo modelo tem 4 m2. O total de pele que a indústria possui 
corresponde a 1.900 m2. A produção total de tapetes precisa ser de 550 
unidades. Quantas unidades de cada modelo devem ser produzidas para que 
toda a matéria-prima seja utilizada e a produção total seja atendida? 
2.2.1 Resolução 
Para esse problema, o sistema linear corresponde a: 
 
 
13 



=+
=+
550
190043
ba
ba
 
Na forma matricial, temos: 






=











550
1900
11
43
b
a
 
Representamos a quantidade de tapetes do primeiro modelo por a e a 
quantidade de tapetes do segundo modelo por b. 
import numpy as np 
A=np.array([[3, 4],[1, 1]]) 
b=np.array([[1900],[550]]) 
x=np.linalg.solve(A,b) 
print(x) 
 
Serão produzidos 300 tapetes do primeiro modelo e 250 tapetes do 
segundo modelo. 
2.3 Exemplo 3 
Resolva o sistema linear 





=++−
=+−
=−+
04
194
8243
zyx
zyx
zyx
. 
2.3.1 Resolução 
import numpy as np 
A=np.array([[3, 4, -2],[1, -1, 4],[-4, 1, 1]]) 
 
 
14 
b=np.array([[8],[19],[0]]) 
X=np.linalg.solve(A,b) 
print(X) 
 
A solução é x=2, y=3 e z=5. 
Em muitas aplicações, podemos ter sistemas lineares em que os 
coeficientes ou os termos independentes são números complexos. Mas o que 
são números complexos e como podemos resolver sistemas assim? É o que 
veremos a seguir. Inicialmente, abordaremos as funções trigonométricas, em 
seguida, os números complexos e, finalmente, os sistemas lineares com 
números complexos. 
TEMA 3 – FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
A trigonometria está presente em uma grande quantidade de problemas 
relacionados à engenharia. As principais funções trigonométricas são seno, 
cosseno e tangente, mas temos muitas outras funções trigonométricas, entre as 
quais abordaremos também o arco seno, arco cosseno e arco tangente. 
Mas o que são essas funções? 
São funções angulares relacionadas a fenômenos que se repetem, ou 
seja, fenômenos periódicos. 
A função sen(θ) é obtida, em um triângulo retângulo, por meio da divisão 
do cateto oposto ao ângulo θ pela hipotenusa. 
 
 
15 
 
Podemos escrever HIP
COsen =)(θ
. 
O cosseno do ângulo é a divisão do cateto oposto pela hipotenusa e a 
tangente do ângulo é a divisão do cateto oposto pelo adjacente. Sendo assim, 
HIP
CA
=)cos(θ e 
CA
COtg =)(θ . 
Como exemplo, podemos pensar em um triângulo retângulo de lados 
iguais a 3, 4 e 5. 
 
Com base nessas informações, temos 5
3)( =θsen
, 5
4)cos( =θ
 e 4
3)( =θtg
. 
E se quisermos saber o valor do ângulo θ? Precisaremos das funções 
inversas arco seno, arco cosseno ou arco tangente. 
O quadro a seguir apresenta algumas funções trigonométricas da 
biblioteca “NumPy”. 
 
 
 
16 
 
Função Sintaxe 
Seno np.sin() 
Cosseno np.cos() 
Tangente np.tan() 
Arco seno np.arcsin() 
Arco cosseno np.arccos() 
Arco tangente np.arctan() 
Os arcos são calculados em radianos. Sabemos que 180° corresponde a 
π radiano. São unidades diferentes de medidas de arcos, mas que podem ser 
convertidas por meio dos comandos “deg2rad()” e “rad2deg()”. 
A função “deg2rad()” converte grau em radiano e a função “rad2deg()” 
converte radiano em grau. 
Veremos alguns exemplos. 
3.1 Exemplo 1 
Obtenha o seno de 30°. 
3.1.1 Resolução 
import numpy as np 
arco=np.deg2rad(30) 
np.sin(arco) 
 
3.2 Exemplo 2 
Qual é a inclinação, em graus, de uma rampa que tem 40 cm de altura e 
150 cm de comprimento da base? 
 
 
17 
 
3.2.1 Resolução 
Como temos a base e a altura da rampa, para obtermos a respectiva 
inclinação, vamos utilizar o arco tangente e, no final, converter a solução para 
grau. 
import numpy as np 
inclinacao=np.arctan(40/150) 
np.rad2deg(inclinacao) 
 
A inclinação da rampa é de 14,93°. 
3.3 Exemplo 3 
Qual é o arco, em graus, referente a um arco de π/4 radianos? 
3.3.1 Resolução 
import numpy as np 
np.rad2deg(np.pi/4) 
 
 
18 
 
O arco corresponde a 45°. 
TEMA 4 – NÚMEROS COMPLEXOS 
Um número complexo é um número da forma “z=a+bi” em que a e b são 
números reais e i é a unidade imaginária. 
Os números complexos estão associados ao cálculo de raízes de índice 
par de números negativos e possuem muitas aplicações, tais como em 
problemas de engenharia elétrica, de aerodinâmica, processamento digital de 
sinais e de imagens. 
Podemos calcular facilmente a raiz quadrada de 16, o que resulta em 4, 
mas e raiz quadrada de -16? Sabemos que 42=16 e que (-4)2=16, ou seja, dentro 
do conjunto dos números reais não há um número que elevado ao quadrado 
resulte em -16. 
No entanto, com o uso dos números complexos, a resolução desse 
problema fica bem simples. Basta fazermos 1.1616 −=− . Como a raiz 
quadrada de 16 corresponde a 4, temos 1416 −=− . Finalmente, podemos 
representar a raiz quadrada de -1 pela letra i e escrever i416 =− . Como o 
número 4i tem apenas a parte imaginária, dizemos que 4i é um número 
imaginário puro. 
Um número complexo “a+bi” pode ser representado em um sistemade 
eixos coordenados. 
 
 
19 
 
 
Além da forma “a+bi”, números complexos podem ser representados na 
forma trigonométrica, também conhecida como forma polar. 
 
Dessa forma, temos um vetor associado ao número complexo z. A 
inclinação é representada por θ. Temos também: 
)cos(.)cos( θθ ra
r
a
=⇒= 
e 
)(sen.)(sen θθ rb
r
b
=⇒= 
Logo, podemos escrever: 
 
 
20 
))(sen.)(c(
)(sen..)(c.
θθ
θθ
iosrz
riosrz
biaz
+=
+=
+=
 
Essa é a forma polar, ou seja, ))(sen.)(c( θθ iosrbiaz +=+= . 
O número z=2+2i, por exemplo, pode ser escrito na forma polar como: 





 +=
4
sen.
4
cos2 ππ iz
 
Em Python, a unidade imaginária i é representada pela letra j e o número 
complexo “z=a+bi” é escrito como “complex(a,b)”. O número complexo “z=2+4j” 
corresponde a “z=complex(2, 4)”. 
 
 
O módulo de um número complexo é dado por “abs()”. Para obtermos o 
módulo de “z=2+4j”, podemos escrever “abs(z)”, em que “z=complex(2, 4)”. 
 
 
Também podemos obter o ângulo formado pelo número complexo. A 
função é “angle()”. Para obtermos o ângulo de “z=2+4j”, dado por “z=complex(2, 
4)”, basta fazermos “np.angle(z,deg=True)”. O parâmetro “deg=True” é utilizado 
quando queremos o ângulo em graus. 
 
 
21 
 
 
Para obtermos o ângulo em radianos, vamos escrever apenas 
“np.angle(z)”. 
 
A soma de números complexos é feita mediante o operador “+”. 
Para somarmos z1=2+4j e z2=5+6j, temos a figura 24. 
 
A multiplicação de números complexos também é facilmente obtida 
utilizando o operador “*”. 
A multiplicação entre z1=2+4j e z2=5+6j resulta em z1*z2=-14+32j. 
 
Já a divisão entre z1=2+4j e z2=5+6j resulta em z1/z2=0,557+0,131j. 
 
 
22 
 
Agora que vimos como trabalhar com funções trigonométricas e com 
números complexos, podemos abordar a resolução de sistemas envolvendo 
números complexos. 
TEMA 5 – SISTEMAS LINEARES COM NÚMEROS COMPLEXOS 
Em diversas aplicações da engenharia elétrica, é muito comum a 
resolução de sistemas lineares com coeficientes ou termos independentes 
complexos. 
É importante sabermos como resolver esses sistemas de um modo 
simples e eficiente. Com base na biblioteca “NumPy” e nos conhecimentos 
adquiridos até aqui, temos condições de resolvermos facilmente esses sistemas. 
Vamos considerar um exemplo no qual o objetivo é resolver um sistema 
de equações com coeficientes e com termos independentes complexos. 
5.1 Exemplo 1 
Resolva o seguinte sistema linear: 



−=++−
+=++
jbjaj
jbjaj
76)33()5(
73)5()32(
 
5.1.1 Resolução 
Na forma matricial, o sistema pode ser escrito como: 






−
+
=











+−
+
j
j
b
a
jj
jj
76
73
335
532
 
import numpy as np 
A=np.array([[complex(2,3), complex(0,5)],[complex(5,-1), complex(3,3)]]) 
b=np.array([[complex(3,7)],[complex(6,-7)]]) 
 
 
23 
np.linalg.solve(A,b) 
 
A solução do sistema é a=2,29-2,87j e b=1,17+2,04j. 
Agora veremos um sistema em que os coeficientes estão na forma 
retangular “z=a+bj” e os termos independentes estão na forma polar. 
5.2 Exemplo 2 
Resolva o seguinte sistema linear: 



°−<=−+−−
°<=−−++
15050)8()43(
0100)43()48(
21
21
IjIj
IjIj
 
Nesse sistema, na primeira equação, a notação “100<0°” corresponde a 
um ângulo de 0° e a um raio igual a 100; a notação “50<-150°” corresponde a 
um ângulo de -150° e um raio igual a 50. 
5.2.1 Resolução 
Na forma matricial, temos: 






°−<
°<
=











−−−
−−+
15050
0100
843
4348
2
1
I
I
jj
jj
 
Para a resolução do sistema, precisaremos converter a forma polar para 
a forma retangular. Como ))(sen.)(c( θθ iosrbia +=+ , temos: 
import numpy as np 
A=np.array([[complex(8,4), complex(-3,-4)],[complex(-3,-4), complex(8,-1)]]) 
x1=np.cos(np.deg2rad(0)) 
y1=np.sin(np.deg2rad(0)) 
x2=np.cos(np.deg2rad(-150)) 
 
 
24 
y2=np.sin(np.deg2rad(-150)) 
b=np.array([[100*complex(x1,y1)],[50*complex(x2,y2)]]) 
np.linalg.solve(A,b) 
 
A solução do sistema é I1=10,27-4,64j e I2=0,71+0,36j. 
FINALIZANDO 
Nesta aula, estudamos vetores e matrizes e aplicações relacionadas a 
esses importantes temas. Vimos sistemas lineares com coeficientes reais e com 
coeficientes complexos. Também aprendemos a trabalhar com funções 
trigonométricas e com números complexos utilizando o Python. 
 
 
 
25 
REFERÊNCIAS 
CASTANHERIA, N. P. Matemática aplicada. 3. ed. Curitiba: IBPEX, 2010. 
DEMANA, F. D.; WAITS, B. K.; FOLEY, G. D.; KENNEDY, D. Pré-cálculo. 2. ed. 
São Paulo: Pearson, 2013. 
FLEMING, D. M.; GONÇALVES, M. B. Cálculo A: função de uma variável. 2. ed. 
São Paulo: Pearson, 2007. 
PERKOVIC, L. Introdução à computação usando Python: um foco no 
desenvolvimento de aplicações. Rio de Janeiro: LTC, 2016.