Material de Estatística e probabilidade

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Estatística e Probabilidade (Prof: Passos) 
 
MEDIDAS DE DISPERSÃO 
Nesta unidade estudaremos as medidas de dispersão que tem um papel 
importantíssimo na análise dos dados, pois avaliam a variabilidade em torno da 
Média. Verificaremos também que as medidas de dispersão avaliam a 
representatividade das medidas de posição. 
DESVIO MÉDIO 
É a medida de dispersão ou o grau de concentração dos valores em torno da 
Média. Quando estamos calculando o Desvio Médio estamos medindo a dispersão 
entre cada xi e a Média. Temos dois tipos de Desvio Médio: x 
 
1 Desvio Médio para dados brutos 
 
n
Xx
DM
n
i
i


 1
||
 
onde: 
 – é a Média Aritmética; 
 
ix
 – são os valores das observações; 
|| Xxi 
 – é o valor absoluto do desvio de 
ix
 em relação à 
X
. 
n – número de observações. 
Exemplo: Calcular o Desvio Médio para os dados abaixo: 
3 – 5 – 7 – 4 – 6. 
 
 
X
 
 
 
 
 
 
 
Estatística e Probabilidade (Prof: Passos) 
 
Desvio Médio para dados tabelados 
 
n
fXx
DM
n
i
ii


 1
||
 
 
 – é a Média Aritmética; 
 
ix
 – são os valores das observações; 
if
 – frequência simples 
|| xxi 
 – é o valor absoluto do desvio de 
ix
 em relação à 
x
. 
n – número de observações. 
Exemplo: Calcular o Desvio Médio da distribuição de frequências abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
X
Notas fi xi 
0|–2 3 1 
2|–4 3 3 
4|–6 8 5 
6|–8 3 7 
 8|–10 8 9 
 Total 25 
Estatística e Probabilidade (Prof: Passos) 
 
VARIÂNCIA 
Na teoria da probabilidade e na estatística, a variância de uma variável 
aleatória é uma medida da sua dispersão estatística, indicando "o quão longe" em 
geral os seus valores se encontram do valor esperado. 
É a média quadrática das somas dos desvios em relação à média aritmética. 
É uma medida de dispersão bastante estudada no meio cientifico. 
Quando o estudo for feito na amostra a Variância é simbolizada por: S2. E 
quando estudamos a Variância de uma população, o símbolo usado é σ2. 
Nas ciências biológicas, a quantidade sendo medida é raramente estável e 
imutável, e a variação observada pode ser intrínseca ao fenômeno: pode ser devido 
ao fato da variabilidade inter-individuo, isto é, membros distintos de uma 
população diferem um dos outros. Além disso, pode ser devido à variabilidade 
intra-individuo, isto é, um mesmo individuo submetido à testes realizados em 
diferentes horas ou diferentes condições poder fornecer diferentes resultados. 
Variância para dados brutos 
 
Processo longo 
1
1
)(
2
2





n
n
i
X
i
x
S 
 
Processo breve ou 
simplificado 
 
1
2
1
2
2



n
Xn
n
i
i
x
S 
 
Observação: Quando se tratar de população, dividi-se apenas por “n” 
 
 
Estatística e Probabilidade (Prof: Passos) 
 
Exemplo: Calcular a variância para os dados abaixo: 
3 – 5 – 7 – 4 – 6. 
 
 
 
 
 
Variância para dados tabelados: 
Processo longo 
2( ) .
2 1
1
n
x X f
i i
iS
n


 
Processo breve ou simplificado 
1
2
1
2
2



n
Xn
i
f
n
i
i
x
S 
 
Observação: Quando se trata de população dividimos apenas por “n”. 
Exemplo: Calcular a Variância da distribuição de frequências abaixo: 
 
 
 
 
 
iX
 
X
 (
iX
-
X
) (
iX
-
X
)2 
3 
5 
7 
4 
6 
Total - 10 
Notas fi xi 
0|–2 3 1 
2|–4 3 3 
4|–6 8 5 
6|–8 3 7 
 8|–10 8 9 
 Total 25 
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DESVIO PADRÃO 
Em Probabilidade e Estatística, o desvio padrão é a medida mais comum da 
dispersão estatística (representado pelo símbolo sigma, σ). Ele mostra o quanto de 
variação ou "dispersão" existe em relação à média (ou valor esperado). Um baixo 
desvio padrão indica que os dados tendem a estar próximos da média; um desvio 
padrão alto indica que os dados estão espalhados por uma gama de valores. 
 
O Desvio Padrão amostral é dado por: 
2SS  
O Desvio Padrão populacional é dado por: 
2  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Estatística e Probabilidade (Prof: Passos) 
 
Exercícios 
1) São apresentados abaixo o diâmetro (em polegadas), a altura (em pés) e o 
volume (em pés cúbicos) de uma amostra de 10 cerejeiras: 
Diâmetro 8,3 10,5 10,8 11,1 12,0 13,3 14,5 16,3 17,5 18,0 
Altura 70,0 72,0 83,0 80,0 75,0 86,0 74,0 77,0 82,0 80,0 
Volume 10,3 16,4 19,7 22,6 19,1 27,4 38,3 42,6 55,7 51,5 
 
Qual das três variáveis tem maior variabilidade? 
2) Um experimento é conduzido para comparar dois regimes alimentares no que diz 
respeito ao aumento de peso. Vinte indivíduos são distribuídos ao acaso entre 
dois grupos em que ao primeiro deles foi dada a dieta A e ao segundo a dieta B. 
Decorrido certo período verifica-se que o ganho de peso em Kg para os 
indivíduos da amostra foram os seguintes 
 
A -1,0 0,0 2,1 3,1 3,3 4,3 5,0 5,2 5,5 6,8 
B 2,5 3,0 4,0 5,7 6,0 6,9 7,0 7,2 7,3 8,1 
 
a) Calcule a Média, Mediana e Desvio Padrão da variável ganho de peso para 
cada dieta. 
b) Obtenha o Coeficiente de Variação e comente o resultado. 
 
3) Como parte de uma avaliação médica numa certa universidade, foi medida a 
frequência cardíaca dos alunos do primeiro ano. Os dados serão apresentados 
em seguida. 
a) Obtenha a Amplitude Total. 
b) Obtenha a Média. 
c) Qual o Desvio Médio? 
d) Encontre a Variância? 
e) Qual o valor do Desvio Padrão? 
 
Estatística e Probabilidade (Prof: Passos) 
 
Frequência 
cardíaca 
Frequência 
 60|-- 65 11 
65|-- 70 35 
70|-- 75 68 
75|-- 80 20 
80|-- 85 12 
85|-- 90 10 
90|-- 95 1 
 95|-- 100 3 
 
 
4) Alunos da Escola de Educação Física foram submetidos a um treinamento de 
resistência por um período de 2 meses. Antes de iniciarem o treinamento, 
foram submetidos a um teste de resistência quanto ao número de quilômetros 
que conseguiram correr sem parar. Depois de 4 meses de treinamento, foram 
novamente submetidos ao mesmo teste. Os dados estão apresentados a 
seguir. 
 
Faixas 
Frequências 
Antes do 
treinamento 
Depois do 
treinamento 
0|-- 2 442 80 
2|-- 4 211 205 
4|-- 8 128 297 
 8|--12 25 184 
 12|--16 11 45 
16|-- 22 3 9 
 
Estatística e Probabilidade (Prof: Passos) 
 
a) Calcule o Desvio Médio para ambos os grupos. 
b) Obtenha a Variância para ambos os grupos. 
c) Obtenha o Desvio Padrão Para ambos os grupos 
d) Qual o grupo mais homogêneo? 
 
5) Um laboratório clínico precisa escolher, dentre três aparelhos (A, B, C) para 
dosagem de sangue, qual deverá comprar. Para isto o responsável pelas análises 
preparou uma substância de concentração conhecida (10 mg/ml) e extraiu várias 
amostras para serem dosadas pelos três aparelhos. Os resultados obtidos em 
cada um deles foram os seguintes: 
 
A 5 10 7 15 16 12 4 8 10 13 
B 10 9 20 9 11 8 9 7 8 9 
C 10 11 9 10 10 9 11 12 8 10 
Qual instrumento lhe parece recomendável? Justifique sua resposta.