Estatística: Amostra de Conveniência e Tipos de Dados

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ESTATISTICA
AMOSTRA DE CONVENIENCIA - É formada por elementos que o pesquisador reuniu simplesmente porque dispunha deles. Os estatísticos têm restrições ao uso de amostras de conveniência, uma vez que são comuns apenas a uma área ou população. Ex.: Pesquisa com pacientes de uma só clínica ou hospital.
 
A2 - TIPOS DE DADOS
CONCEITOS BÁSICOS SOBRE FREQUENCIAS 
DADOS BRUTOS – São os dados originais de uma série estatística que não se encontram prontos para análise ou estão desorganizados.
ROL - É a lista ordenada dos dados de uma série estatística. Essa ordenação pode ser crescente ou descrente.
ELEMENTOS DE UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQUENCIAS
PONTO MÉDIO DE CLASSE (Xi) – É o valor representativo de uma classe. Para obtê-lo basta somar os limites superior e inferior da classe e dividir por 2.
INTERVALO DE CLASSE (h) - É a diferença entre o limite superior e o limite inferior da classe (h=A/n - QUANTIDADE DE CLASSES).
X - MAIOR VALOR OBSERVADO DA VARIÁVEL DE FREQUÊNCIAS (MÁX).
x - MENOS VALOR OBSERVADO DA VARIÁVEL DE FREQUÊNCIAS (MIN).
*AMPLITUDE (A) - É A DIFERENÇA ENTRE O MAIOR E MENOR VALOR OBSERVADO DA VARIÁVEL (A= X - X)
* LIMITE DE CLASSE - OS LIMITES DE UMA CLASSE SÃO OS VALORES EXTREMOS. O LIMITE MÍNIMO DE UMA CLASSE É DENOMINADO LIMITE INFERIOR , E O LIMITE MÁXIMO É DENOMINADO LIMITE SUPERIOR.
- DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS - VARIÁVEL CONTÍNUA
* FREQUENCIA RELATIVA - fri - É OBTIDA PELA DIVISÃO DA FREQUENCIA SIMPLES DA CLASSE PELO NÚMERO TOTAL DOS ELEMENTOS (fri = fi / n)
* FREQUENCIA ACUMULADA - Fi - RESULTA DA SOMA DA FREQUENCIA SIMPLES DA CLASSE COM AS FREQUENCIAS SIMPLES DAS CLASSES ANTECEDENTES (Fi - f1 + f2 + f3 ... + fi)
* FREQUENCIA ACUMULADA RELATIVA - Fri - É OBTIDA PELA DIVISÃO DA FREQUENCIA ACUMULADA DA CLASSE PELO NÚMERO TOTAL DOS ELEMENTOS (Fri = Fi / n) 
OBS.: ACRESCENTADOS ESSES VALORES à TABELA ORIGINAL, ELA PASSA A SE CHAMAR DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS.
--- ROTEIRO PARA ELABORAÇÃO DA TABELA DE FREQUENCIA PARA DADOS AGRUPADOS ---
* TRANSFORMAR OS DADOS BRUTOS EM ROL;
* ENCONTRAR A AMPLITUDE TOTAL DOS DADOS;
* DETERMINAR O NÚMERO DE CLASSES DE ACORDO COM O TOTAL DE OBSERVAÇÕES.
** GERALMENTE ESCOLHE-SE ARBITRARIAMENTE ENTRE UM MÍNIMO DE 5 E UM MÁXIMO DE 20 CLASSES OU USA-SE A FÓRMULA:
n = Vqtde (RAIZ QUADRADA DA QUANTIDADE). 
OBS.: TOMEMOS POR EXEMPLO 18 OBSERVAÇÕES, n = V18 = 4,24. RECOMENDA-SE ADOTAR UM NÚMERO INTEIRO, NESSE CASO 5 CLASSES.
-- AULA 3 - MEDIDAS DE POSIÇÃO CENTRAL ---
- MEDIA ARITIMETICA - PODE SER:
* SIMPLES - É MÉDIA ARITIMÉTICA, OU MÉDIA DE UM CONJUNTO DE N NÚMEROS X1,X2,...Xn É DEFINIDO POR:
X = (X1+X2+...Xn) / n
EX.: X = (1+1+3+4+4) / 5 = 13/5 = 2,6
* PONDERADA - SE OS VALORES X1,X2...Xn OCORREREM COM FREQUENCIAS f1,f2....fn, ENTÃO:
 X = X1 f1 + X2 f2 + .... Xn fn = EXi fi
_________________________________
 f1 + f2+ .... fn Efi
* SEJA Xi, O PONTO MÉDIA DA I-ÉSIMA CLASSE, ENTÃO:
X = E Xi fi / E fi
----- MODA --- PODE -SE DEFINIR COMO MODA O VALOR MAIS FREQUENTE, QUANDO COMPARADA SUA FREQUENCIA COM A DOS VALORES CONTIGUOS DE UM CONJUNTO ORDENADO. A MODA PODE NÃO EXISTIR, E MESMO QUE EXISTA, PODE NÃO SER ÚNICA:
* UNIMODAL - X = 4,5,5,6,6,6,7,7,8,8 - MODA = 6 (VALOR MAIS FREQUENTE) - UNIMODAL
*AMODAL - Y + 2,3,4,5,6 
NÃO TEM MODA - AMODAL
* BIMODAL - Z= 2,4,4,4,6,7,8,8,8,9
TEM DUAS MODAS 4 E 8 - BIMODAL
---- FORMULA PARA DADOS AGRUPADOS ---
Mo = Xo + h (Fm - Fa)
_____________________
 2Fm - (Fa + Fp)
* Xo - É O PONTO INICIAL DO INTERVALO DE CLASSE A QUE PERTENCE Fm.
* h É O INTERVALO DE CLASSE
*Fm É A FREQUENCIA MAXIMA
*Fa E A FREQUENCIA ANTERIOR à Fm
*F`É A FREQUENCIA POSTERIOR À Fm
------MEDIANA ---- É O VALOR QUE DIVIDE A DISTRIBUIÇAO EM DUAS PARTES IGUAIS. SUA FÓRMULA É:
Me = Xe + h (Xm - Fiaa)
______________________
 Fi
*Xe - É O PONTO INICIAL DA CLASSE A QUAL PERTENCE Xm, NA FREQUENCIA ACUMULADA
*h - É O INTERVALO DE CLASSE
*Xm - É O VALOR MEDIANO, OU SEJA, METADE DA FREQUENCIA TOTAL
-----------AULA 4 - MEDIDAS DE ORDENAMENTO E FORMA - 
- NA ANALISE DA DISTRIBUIÇÃO DE UMA VARIAVEL, HÁ INTERESSE EM DETERMINAR QUAL O VALOR QUE DIVIDE A DISTRIBUIÇÃO EM DUAS PARTES IGUAIS, QUATRO PARTES IGUAIS, DEZ OU CEM PARTES IGUAIS. A ESTES VALORES (SEPARATRIZES), CHAMAREMOS DE:
* QUARTIS - DIVIDEM A DISTRIBUIÇÃO EM QUATRO PARTES IGUAIS. SUA FORMULA É: Qnq = X (nqn / 4 + 1/2) 
*qnq - SÃO O PRIMEIRO, SEGUNDO E TERCEIRO QUARTIL (i = 1,2 E 3)
**nq É O NÚMERO DO QUARTIL QUE SE DESEJA OBTER
***n É O TAMANHO DA AMOSTRA
**** X É O ELEMENTO DA SÉRIA ORDENADA
* DECIS - DIVIDEM A DISTRIBUIÇAO ORDENADA EM DEZ PARTES IGUAIS. SUA FORMULA É:
Qnq = X (nqn / 10 + 1/2)
* PERCENTIS - DIVIDEM A DISTRIBUIÇÃO ORDENADA EM CEM PARTES IGUAIS. ELES PODEM SER OBTIDOS POR MEIO DE UMA EQUAÇÃO SIMILAR À USADA PARA A OBTENÇÃO DOS QUARTIS E DECIS.
Pnp = X [np x n + 1]
 ___________ _____
 [ 100 2]
*np - NÚMERO DO PERCENTIL QUE SE DESEJA OBTER (1,2....99)
 
----AULA 5 - MEDIDAS DE DISPERSÃO - NEM SEMPRE QUANDO SE ESTÁ ESTUDANDO UM GRUPO DE DADOS, O CONHECIMENTO DE UM PROMÉDIO É SUFICIENTE PARA SE TIRAR CONCUSÃO A RESPEITO DESSES DADOS. É NECESSÁRIO TAMBÉM O CONHECIMENTO DA VARIABILIDADE DOS DADOS. ASSIM, É QUE NÃO SE JUSTIFICA CALCULAR A MÉDIA DE UM CONJUNTO DE DADOS ONDE NÃO HAJA NENHUMA VARIAÇÃO DESSES ELEMENTOS.
DA MESMO FORMA, NÃO AJUDA O CONHECIMENTO DA MÉDIA QUANDO O CONJUNTO DE DADOS TIVER UMA VARIAÇÃO MUITO GRANDE. A TOMADA DE DECISÕES APENAS COM A MÉDIA, 	DE UM CONJUNTO DE DADOS É INADEQUADA, UMA VEZ QUE OS DADOS DIFEREM ENTRE SI, EM MAIOR OU MENOR GRAU.
EX.: COMPARAR AS NOTAS DE 2 ALUNOS
ALUNO A - 10,10,10 E 2
ALUNO B - 9,7,9,7
SE LEVARMOS EM CONSIDERAÇÃO AS MÉDIAS, AMBOS TERIAM O MESMO RESULTADO, CONTUDO, A VARIAÇÃO NAS NOTAS DO ALUNO B É MENOR, LOGO, ELE É UM ALUNO "MELHOR" QUE O "A".
* DESVIO PADRÃO - É DEFINIDO POR:
S  =  (E (Xi  -  X)² Fi )/ E Fi )  ^ (1/ 2) 
Somando-se ou subtraindo-se uma constante a cada elemento de um conjunto de números, o desvio padrão não se altera.
Multiplicando-se ou dividindo-se cada elemento de um conjunto de números por uma constante, o desvio padrão fica multiplicado ou dividido pela constante.
Para as distribuições simétricas (normais), tem-se:
68,72% das observações estão contidas entre X +OU- S
95,45% das observações estão contidas entre  X +OU- 2S
99,73% das observações estão contidas entre  X +OU- 3S
----- VARIANCIA E COEFICIENTE DE VARIAÇÃO---
A variância pode ser 
definida como uma 
medida de dispersão que é 
o quadrado do desvio 
padrão, ou se preferir, o 
desvio padrão é a raiz 
quadrada da variância.
 2 2
S = E (Xi - X) Fi
 _______________
 EFi
COEFICIENTE DE VARIAÇÃO
Corresponde à relação entre o 
desvio padrão sobre a média.   
Cv = 100 . S
 ---
 X
Cv - É O COEFICIENTE DA VARIAÇÃO
S - É O DESVIO PADRÃO
X - É A MEDIDA DOS DADOS
O coeficiente de variação é dado em %, 
por isso a fórmula é multiplicada por 100.
-------------------- AULA 6 -------------------
GRAFICOS
- PARA A ELABORAÇÃO DE UM GRÁFICO DEVEM SER CONSIDERADOS OS SEGUINTES ITENS:
A - UM TÍTULO GERAL, INDICANDO A SITUAÇÃO ESTUDADA, ÉPOCA E LOCAL;
B - ESCALAS E AS RESPECTIVAS UNIDADES DE MEDIDA;
C - CONVENÇÕES ADOTADAS;
D - FONTE DE INFORMAÇÃO ASSINALANDO DE ONDE FORAM RETIRADOS OS VALORES.
--- OS GRÁFICOS PODEM SER CLASSIFICADOS DE VÁRIAS MANEIRAS:
1 - QUANTO A FORMA
A - DIAGRAMAS: GRÁFICOS GEOMÉTRICOS DISPOSTOS EM DUAS DIMENSÕES;
B - CARTOGRAMAS: ILUSTRAÇÕES RELATIVAS A CARTAS GEOMÉTRICAS
C - ESTEREOGRAMAS: GRÁFICOS VOLUMÉTRICOS COM TRÊS DIMENSÕES
2 - QUANTO AO USO
A - GRAFICOS DE INFORMAÇÃO - DESTINADOS AO PÚBLICO EM GERAL, SENDO APRESENTADOS DE FORMA COMPLETA E CLARA.
B - GRÁFICOS DE ANÁLISE - TABELAS DE INFORMAÇÃO TÉCNICA E QUALITATIVA. 
---TIPOS DE GRÁFICOS ---
- OS GRÁFICOS PODEM SE APRESENTAREM DIVERSOS TIPOS:
1 HISTOGRAMA - É FORMADO POR UM CONJUNTO DE RETâNGULOS, JUSTAPOSTOS DE TAL FORMA QUE A ÁREA DE CADA RETÂNGULO SEJA PROPORCIONAL À FREQUêNCIA DA CLASSE QUE ELE REPRESENTA. OS RETANGULOS TERÃO COMO BASE O EIXO DAS ABSCISSAS CUJA LARGURA SERÁ IGUAL A AMPLITUDE DO INTERVALO DE CLASSE
2 - DIAGRAMA - APRESENTA AS FREQUENCIAS SOB A FORMA DE COLUNAS VERTICAIS OU DE BARRAS. SÃO EMPREGADOS PARA REPRESENTAR FREQUENCIA DE DADOS CATEGORICOS OU NOMINAIS.
3 - GRÁFICO DE PARETO - REPRESENTA AS FREQUêNCIAS SIMPLES OU RELATIVAS DAS CLASSES OU DOS VALORES ANALISADOS, DE FORMA ORDENADA, GERALMENTE DA CLASSE DE MAIOR FREQUENCIA PARA A DE MENOR FREQUENCIA. É CONSIDERADO UMA FERRAMENTA PARA A QUALIDADE TOTAL, NO CAMPO DA GESTÃO DE EMPRESAS
4 - GRÁFICO DE OGIVA - REPRESENTA AS FREQUENCIAS GERALMENTE MOSTRADAS NO HISTOGRAMA
5 - GRAFICO BOXPLOT - REPRESENTA A DISPERSÃO DOS DADOS, REVELANDO A MEDIANA E OS QUARTIS (QUE SÃO MEDIDAS DE POSIÇÃO). ASSIM, É POSSÍVEL VERIFICAR A POSIÇÃO CENTRAL DO CONJUNTO ORDENADO DOS DADOS, DENOMINADO MEDIANA, E AS SUBDIVISÕES DAS SÉRIES ORDENADAS, DENOMINADAS QUARTIS.
6 - GRÁFICO DE SETORES - REPRESENTA AS FREQUENCIAS RELATIVAS OU SIMPLES SOBRE A FORMA DE SETORES DE CÍRCULO. TAMBÉM É DENOMINADO "GRÁFICO DE PIZZA".
7 - GRAFICO DE DISPERSÃO - MOSTRA A RELAÇÃO GRÁFICA EXISTENTE ENTRE DUAS VARIÁVEIS NUMÉRICAS, COMO CUSTOS E VENDAS
8 - PICTOGRAMA - CONSTRUÍDO A PARTIR DE FIGURAS OU CONJUNTOS DE FIGURAS REPRESENTATIVAS DA INTENSIDADE OU DAS MODALIDADES DO FENOMENO.
**** FLAHAS NA ELABORAÇÃO DE GRÁFICOS
A - GRÁFICO SUCATA
B - AUSÊNCIA DE BASE RELATIVA
C - EIXO VERTICAL COMPRIMIDO
D - AUSêNCIA DO PONTO ZERO
----------------- AULA 7 ----- 
- DISTRIBUIÇÕES DE AMOSTRAGEM
- ZENTGRAF (2007) APONTA QUE OS MÉTODOS DE AMOSTRAGEM PODEM APRESENTAR ALGUNS PROBLEMAS EM SUA APLICAÇÃO QUANDO:
1 - A POPULAÇÃO FOR MUITO PEQUENA
2 - OS DADOS DA POPULAÇÃO APRESENTAREM VOLATILIDADE ALTA
3 - HOUVER CASOS DE NECESSIDADE DE PREVISÃO ABSOLUTA
4 - OS DADOS DA POPULAÇÃO JÁ ESTIVEREM DISPONÍVEIS
- A DISTRBUIÇÃO AMOSTRAL DE MÉDIAS, DE ACORDO COM LEVIN & FOX, POSSUEM ALGUMAS CARACTERÍSTICAS:
" A MEDIDA QUE O TAMANHO DAS AMOSTRAS CRESCE, AS MÉDIAS DESSAS AMOSTRAS VÃO SE APROXIMANDO A UMA DISTRIBUÇÃO LIMITE QUE É A DISTRIBUIÇÃO NORMAL. ESTE É O TEREMA DO LIMITE CENTRAL. A MÉDICA DE UMA DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DE MÉDIAS (ÉDIA DAS MÉDIAS) É IGUAL A UMA VERDADEIRA MÉDIA POPULACIONAL. O DESVIO-PADRÃO DE UMA DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DE MÉDIAS É MENOR DO QUE A DA POPULAÇÃO.
* NA PRÁTICA, UMA PESQUISA DIFICILMENTE É REALIZADA COM MAIS DE UMA OU DUAS AMOSTRAS. SERIA DIFÍCIL, DESSA FORMA, CHEGAR À CHAMADA MÉDICA DAS MÉDIAS. O ERRO PADRÃO DA MÉDIA E CALCULADA PELA DIVISÃO DO DESVIO PADRÃO DA POPULAÇÃO PELA RAIZ QUADRADA DO TAMAANHO DA AMOSTRA. 
--------------- AULA 8 ------------
- INTERVALOS DE CONFIANÇA
- PARA COMPREENDERMOS A APLICAÇÃO DO INTERVALO DE CONFIANÇA, PRECISAMOS TER NOÇOES SOBRE A DISTRIBUIÇÃO DA CURVA NORMAL.
CARACTERÍSTICAS DA DISTRIBUIÇÃO NORMAL:
A - A VARIÁVEL PODE ASSUMIR QUALQUER VALOR REAL;
B - O GRÁFICO DA DISTRIBUIÇÃO NORMAL É UMA CURVA EM FORMA DE SINO, SIMÉTRICA EM TORNO DA MÉDIA;
C - A ÁREA TOTAL SOB A CURVA VALE 1, PORQUE CORRESPONDE A PROBABILIDADE DE A VARIÁVEL ALEATÓRIA ASSUMIR QUALQUER VALOR REAL;
D - COMO A CURVA É SIMÉTRICA EM TORNO DA MÉDIA, OS VALORES MAIORES E OS MENORES DO QUE A MÉDICA OCORREM COM IGUAL PROBABILIDADE;
E - A CONFIGURAÇÃO DA CURVA É DADA POR DOIS PARÂMETROS:A MÉDICA E A VARIÂNCIA. MUDANDO A MÉDIA, MUDA A POSIÇÃO DA DISTRIBUIÇÃO, MUDANDO A VARIÂNCIA, MUDA A DISPERSÃO DA DISTRIBUIÇÃO.
* OS INTERVALOS DE CONFIANÇA MAIS UTILIZADOS SÃO OS DE 90%, 95% E 99%, SEGUINDO A TABELA:
OS MODELOS DE APLICAÇÃO DO INTEVALO DE CONFIANÇA SÃO BASEADOS NA PREMISSA DE QUE A DISTRIBIÇÃO NORMAL PODE SER USADA COM OS SEGUINTES DADOS SEMPRE A AMOSTRA DEVE SER IGUAL\SUPERIOR A 30; QUANDO FOR MENOR DO QUE 30, O DESVIO PADRÃO É CONHECIDO.
NUMERO DE UNIDADES DE DESVIO PROPORÇÃO VERIFICADA
PADRÃO A PARTIR DA MÉDIA
1,645 90%
1,96 95%
2,58 99%
* PARA CALCULAR UMA INTERVALO DE CONFIANÇA, UTILIZA-SE A SEGUINTE FORMULA:
Xm+-Z o X
Xm = MÉDIA
Z = É O NÚMERO DE UNIDADES DE DESVIO PADRÃO A PARTIR DA MÉDIA
o X = É O ERRO AMOSTRAL
---------------------- AULA 9 -------------
- DISTRIBUIÇÃO NORMAL 
DENOMINA-SE DISTRIBUIÇÃO NORMAL REDUZIDA A DISTRIBUIÇÃO NORMAL DE MÉDIA ZERO E VARIÂNCIA. 
AS PROBABILIDADES ASSOCIADAS À DISTRIBUIÇÃO NORMAL REDUZIDA, SÃO FACILMENTE OBTIDAS EM TABELAS (ÁREA SOB A CURVA NORMAL PADRONIZADA COMPREENDIDA ENTRE OS VALORES 0 E Z). DAÍ O INTERESSE EM ESTUDAR ESSE TIPO PARTICULAR DE DISTRBIUIÇÃO.
----------------- AULA 10 ------------------
TESTE DE HIPÓTESES 
TESTE DE HIPÓTESES É UM MÉTODO UTILIZADO PARA OBSERVARMOS SE DETERMINADOS DADOS SÃO COMPATÍVEIS OU NÃO COM ALGUMA HIPÓTESE LEVANTADA. ESTE PROCEDIMENTO ESTATÍSTICO TEM COMO BASE A OBSERVAÇÃO DE UMA AMOSTRA, SENDO A TEORIA DE PROBALBILIDADES UTILIZADA PARA VERIFICAR O COMPORTAMENTO DE PARAMETROS DESCONHECIDOS NUMA POPULAÇÃO. 
TESTE DE IPÓTESE PODE SER FEITO ATRAVÉS DE DUAS FORMAS:
TESTES PARAMÉTRICOS
TESTES NÃO PARAMêTRICOS
* O USO TANTO DOS TESTES PARAMÉTRICOS COMO DOS NÃO PARAMÉTRICOS ESTÁ CONDICIONADO À DIMENSÃO DA AMOSTRA E À RESPECTIVA DISTRIBIIÇÃO DA VARIÁVEL EM ESTUDO.
TESTES PARAMÉTRCOS SÃO BASEADOS.
** OS TESTES DE HIPÓTESES SÃO SEMPRE CONSTITUÍDOS POR 2 HIPÓTESES, A HIPÓTESE NULA H) E A HIPÓTESE ALTERNATIVA H1.
- HIPÓTESE EXISTENTE, OU HIPÓTESE A SER TESTADA - H0, QUE SEMPRE ALEGA A IGUALDADE DE UM DETERMINADO PARAMETRO.
- HIPOTESE ALTERNATIVA - H1, QUE SEMPRE ALEGA A DESIGULADADE DE UM DETERMINADO PARâMETRO.
*** PARA A REALIZAÇÃO DOS TESTES DE HIPÓTESES, TEMOS QUE OBEDECER àS SEGUINTES ETAPAS:
1 - FORMULAÇÃO DO TESTE DE HIPÓTESES: HIPÓTESE NULA (H0) E ALTERNATIVA (H1)
2 - ESCOLHA DE DISTRIBUIÇÃO NORMAL ADEQUADA
3 - SELECIONAR O NÍVEL DE SIGNIFICâNCIA E REGIÃO CRÍTICA DO TESTE
4 - ESTABELECER REGRA DE DECISÃO
5 - SELECIONAR A AMOSTRA, CALCULAR A ESTATÍSTICA DE TESTE E INTERPRETAR SEUS RESULTADOS.
* OS TESTES NÃO PARAMÉTRICOS ENVOLVEM CASOS EM QUE NÃO PODEMOS SUPOR CARACTERÍSTICAS DA POPULAÇÃO DE ONDE A AMOSTRA FOI EXTRAÍDA, COMO POR EXEMPLO, COMPORTAMENTO DE DISTRIBUIÇÃO NORMAL. SÃO OS PRINCIPAIS TESTES NÃO PARAMÊTRICOS.
1 - TESTE DO QUI-QUADRADO - UTILIZADO NA ANÁLISE DE FREQUêNCIAS, NO CASO DE ANÁLISE DE UMA CARACTERÍSTICA DA AMOSTRA.
2 - Teste do Qui-Quadrado para Independência ou Associação – utilizado na análise de frequências, no caso de análise de duas características da amostra. 
3 - Teste dos Sinais – utilizado em casos emparelhados, ou seja, submetido a duas medidas.
4 - Teste de Wilcoxon – Analisa os dados emparelhados considerando também  as magnitudes encontradas.
5 - Teste de Mann Whitney – Analisa se dois grupos originam-se de populações com médias diferentes.
6 -Teste da Mediana – Análise de grupos que originam-se de populações com medianas diferentes.
7 - Teste de Kruskal-Wallis - Análise de grupos que originam-se de populações com médias diferentes.