1 - Estatística Descritiva - Aula

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DISCIPLINA: Bioestatística 
CURSO: Biologia 
CRÉDITOS: 4 
BLOCO DE OFERTA: 7º CARGA HORÁRIA: 60 h 
PERÍODO LETIVO: 2015.2 
DOCENTE RESPONSÁVEL: Ewando José de Sousa 
email: ewandojose@gmail.com 
 
 
Os dados e a Estatística 
 Definiremos de maneira simples e concisa alguns 
elementos que usaremos no decorrer do curso. 
Dados: é um (ou mais) conjunto de valores, numéricos ou 
não. 
Estatística: é um conjunto de técnicas desenvolvidas com 
a finalidade de auxiliar a responder, de forma objetiva e 
segura, as situações que envolvem uma grande 
quantidade de informações. Pode ser usada para analisar 
situações complexas ou não. Permite, de forma 
sistemática, organizar, descrever, analisar e interpretar 
dados oriundos de estudo ou experimentos realizados em 
qualquer área do conhecimento. 
Por que a estatística é importante? 
 Os métodos estatísticos são usados hoje em quase todos os 
campos de investigação científica, já que eles nos capacitam a 
responder a um vasto número de questões, tais como as listadas 
abaixo: 
a) Como os cientistas avaliam a validade de novas teorias? 
b) Como os pesquisadores médicos testam a eficiência de novas 
drogas? 
c) Como os demógrafos preveem o tamanho da população do 
mundo em qualquer tempo futuro? 
d) Como pode um economista verificar se a mudança atual no Índice 
de Preços ao Consumidor é a continuação de uma tendência secular 
ou simplesmente um desvio aleatório? 
e) Como é possível para alguém predizer o resultado de uma eleição 
entrevistando apenas algumas centenas de eleitores? 
f) Como os pesquisadores na educação testam a eficiência de um 
novo método de ensino? 
 
 A grosso modo podemos dividir a Estatística 
em três áreas: 
 
 Estatística Descritiva 
 Probabilidade 
 Inferência Estatística 
 
Vamos caracterizar estas três áreas: 
1-Estatística Descritiva 
 A Estatística Descritiva pode ser definida como um conjunto 
de técnicas destinadas a descrever e resumir dados, a fim de que 
possamos tirar conclusões a respeito de características de interesse. 
Em geral utilizamos a Estatística Descritiva na etapa inicial da 
análise quando tomamos contato com os dados pela primeira vez. 
Objetivando tirar conclusões de modo informal e direto, a maneira 
mais simples seria a observação dos valores colhidos. Entretanto ao 
depararmos com uma grande massa de dados percebemos, 
imediatamente, que a tarefa pode não ser simples. Para tentar 
retirar dos dados informações a respeito do fenômeno sob estudo, 
é preciso aplicar algumas técnicas que nos permitam simplificar a 
informação daquele particular conjunto de valores. A finalidade da 
Estatística Descritiva é tornar as coisas mais fáceis de entender, de 
relatar e discutir. 
2-Probabilidade 
 A Probabilidade pode ser pensada como a teoria 
matemática utilizada para estudar a incerteza oriunda de 
fenômenos que envolvem o acaso. Jogos de dados e de 
cartas, ou o lançamento de uma moeda para o ar 
enquadram-se na categoria do acaso. A maioria dos jogos 
esportivos também é influenciada pelo acaso até certo 
ponto. A decisão de um fabricante de cola de empreender 
uma grande campanha de propaganda visando a aumentar 
sua participação no mercado, a decisão de parar de 
imunizar pessoas com menos de vinte anos contra 
determinada doença, a decisão de arriscar-se a atravessar 
uma rua no meio do quarteirão, todas utilizam a 
probabilidade consciente ou inconscientemente. 
3-Inferência Estatística 
 Inferência Estatística é o estudo de técnicas que 
possibilitam a extrapolação, a um grande conjunto de 
dados, das informações e conclusões obtidas a partir de 
subconjuntos de valores, usualmente de dimensões 
muito menores. Deve-se notar que se tivermos acesso a 
todos os elementos que desejamos estudar, não é 
necessário o uso das técnicas de inferência estatística; 
entretanto, elas são indispensáveis quando existe a 
impossibilidade de acesso a todo o conjunto de dados, 
por razões de natureza econômica, ética ou física. 
 Estudos complexos que envolvem o tratamento 
estatístico dos dados, usualmente incluem as três áreas 
citadas acima. 
Estatística 
Descritiva 
 
População 
 Um dos conceitos fundamentais na Estatística, é 
empregado para designar um conjunto de indivíduos que 
possuem pelo menos uma característica, ou atributo, em 
comum. Alguns autores empregam o termo universo para 
referir-se a uma população. Pode se finita ou infinita. 
 Denotaremos População de N. 
Exemplos: 
 Finita: 
Conjunto de alunos de uma determinada escola; 
Conjunto de pessoas da cidade de Picos-PI. 
 Infinita: 
Número de vezes que se pode jogar um dado ate sair a face 
6; 
Numero de lançamentos de uma moeda ate sair a face 
cara. 
 
 
Amostra 
 É um subconjunto não vazio ou parte da 
população. 
 Denotaremos Amostra de n. 
Exemplos: 
Classe de alunos do curso de Biologia da UFPI-
Picos; 
Grupo de alunos que estuda estatística. 
 
 
 As medidas estatísticas obtidas com base na 
população são denominadas parâmetros. As medidas 
obtidas com base em amostras são denominadas 
estimativas. Tanto parâmetros quanto estimativas são 
numéricos a única diferença é o fato de os parâmetros 
serem obtidos com base na população e as estimativas 
com base nas amostras. 
 Os parâmetros são em geral desconhecidos 
porque, na pratica, não é possível observar toda a 
população. Mas, como já disse alguém, não é preciso 
beber todo o vinho para saber que gosto ele tem. Então 
o pesquisador obtém uma amostra para “ter uma ideia” 
do valor do parâmetro. 
Amostragem 
 É uma técnica especial para recolher amostras, que 
garantam, tanto quanto possível, o caráter de 
representatividade do todo, que possam ser usadas para 
permitir fazer inferências acerca da população de que 
originou. 
 Os pesquisadores trabalham com amostras. 
Primeiro, porque as populações infinitas só podem ser 
estudadas através de amostras. As populações finitas 
muito grandes também só podem ser estudadas através 
de amostras. Finalmente, o estudo cuidadoso de uma 
amostra tem mais valor cientifico do que o estudo 
rápido de toda a população. 
 
1-Definição do problema 
 A primeira fase consiste em uma definição ou 
formulação correta do problema a ser estudado. 
 
2-Planejamento 
 Nele se determina o procedimento necessário para 
lidar com o problema. No planejamento temos que ter o 
cronograma das atividades, custos envolvidos, 
delineamento da amostra, etc. 
 
3-Coleta dos dados 
 Consiste na busca ou compilação dos dados. 
 
 
 
 
4-Apuração dos dados 
 Objetiva a eliminação de erros capazes de provocar 
futuros enganos. Faz-se uma revisão crítica dos dados. 
 
5-Apresentação dos dados 
 Sua apresentação pode ocorrer por meio de tabelas 
ou gráficos. 
 
6-Analise e interpretação dos dados 
 Esta fase consiste em tirar conclusões que auxiliem o 
pesquisador a resolver seu problema, descrevendo o 
fenômeno através do calculo de medidas estatísticas, 
especialmente as de posição e as de dispersão. 
 
 
 
Variável 
 
 É usada para atribuição dos valores 
correspondentes aos dados observados. É importante 
ressaltar que os dados em questão não são 
necessariamente numéricos, uma vez que podem dizer 
respeito a atributos qualitativos observados na 
população. Por esta razão costuma-se classificar as 
variáveis nas categorias definidas a seguir. 
Variável 
Quantitativas 
Discretas Contínuas 
Qualitativas 
Ordinais Nominais 
 
Quantitativas (numéricas): 
 São as variáveis cujos valores são expressos em 
números. Elas podem ser subdivididas em quantitativas 
discretas e quantitativas contínuas. 
Quantitativas Discretas: Podem ser vistas como 
resultantes de contagens, assumindo assim, valores 
inteiros. 
Exemplos: Número de irmãos, de alunos numa sala de 
aula, de defeitos num carro novo, número de porcos por 
sexo de uma fazenda, etc. 
 
Quantitativas Contínuas: Geralmente provêm de uma 
mensuração e podem assumir qualquer valor em 
intervalosdos números reais. 
Exemplos: Altura, peso (peso em Kg de porcos de uma 
fazenda), comprimento, espessura, velocidade, etc. 
 
Qualitativas (não numéricas): 
 São as variáveis cujos possíveis valores que 
assumem representam atributos e/ou quantidades. Elas 
podem ser subdivididas em qualitativas ordinais e 
qualitativas nominais. 
Qualitativas Ordinais: Possuem uma ordenação natural, 
indicando intensidades crescentes de realização. 
Exemplos: Tamanho (pequeno, médio ou grande), Classe 
social (baixa, média ou alta), etc. 
Qualitativas Nominais: quando não é possível 
estabelecer uma ordem natural entre seus valores 
definindo apenas uma categoria. 
Exemplos: Turma (A ou B), sexo (F ou M), cor dos olhos, 
campo de estudo, raça de bois de uma fazenda (Nelore, 
Gir, Holandes, etc.), etc. 
 
 Uma distribuição de frequência é 
um método de grupamento de dados 
em classes, ou intervalos, de tal forma 
que se possa determinar o número ou 
a percentagem de observações em 
cada classe. O número ou 
percentagem numa classe chama-se 
frequência de classe. Uma 
distribuição de frequência pode ser 
apresentada sob forma gráfica ou 
tabular. 
 
Dados brutos: 
São os dados apresentados desordenadamente, da 
forma como foram coletados. 
Exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Rol: 
São dados apresentados em ordem crescente ou 
decrescente. 
Exemplo: 
Peso (kg) de 80 mulheres: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tipos de frequências 
 Frequência simples ou absoluta (f): São os valores que 
realmente representam o número de dados de cada 
classe. 
 Frequência relativa (fr): São os valores das razões entre 
as frequências simples e a frequência total. 
Frequência acumulada (F): É o total das frequências de 
todos os valores inferiores ao limite superior do intervalo 
de uma dada classe (Para baixo). E o total das 
frequências de todos os valores superiores ao limite 
inferior de uma dada classe (Para cima). Normalmente 
utilizamos esse tipo de frequência quando tratamos de 
variáveis qualitativas ordinais ou quantitativas em geral. 
Frequência acumulada relativa (Fr): É o total das 
frequências relativas de todos os valores inferiores ao 
limite superior do intervalo de uma dada classe (Para 
baixo). E o total das frequências relativas de todos os 
valores superiores ao limite inferior do intervalo de uma 
dada classe (Para cima). Como no caso anterior 
utilizamos esse tipo de frequência quando tratamos de 
variáveis qualitativas ordinais ou quantitativas em geral. 
Para variável quantitativa discreta ou contínua: 
Amplitude total (At): É a diferença entre o maior 
e o menor valor observado da variável em estudo. 
Ou seja, 
 AT = Xmax - Xmin 
Numero de classes (c): Corresponde à quantidade 
de classes, nas quais serão agrupados os 
elementos do rol. 
a) c = 5, para n ≤ 25 e c ≈ 𝑛, para n > 25. Em que, 
n é o número de observações. 
b) Regra de Sturges: c ≈ 1 + 3,3 log10 𝑛, onde n é o 
numero de observações. 
Amplitude das classes (h): Distância entre o mínimo 
e o máximo das classes. Devemos, em geral, construir 
classes de mesma amplitude, a qual pode ser obtida 
através da expressão: 
 h = 
𝐴𝑇
𝑐
 
Limite de classes - LI e LS 
1) LI ⊢⊣ LS: considera valores entre LI e LS, incluindo LI e 
LS. 
2) LI ⊢ LS: considera valores entre LI e LS, incluindo LI e 
excluindo LS. 
3) LI ⊣ LS: considera valores entre LI e LS, excluindo LI e 
incluindo LS. 
4) LI − LS: não determina claramente se LI e LS devem ser 
considerados ou não. 
 
Ponto Médio de Classe (Xi): O ponto médio de 
uma classe é dado por: 
 Xi = 
𝐿𝐼𝑖:𝐿𝑆𝑖
2
 
onde LIi e LSi são os limites inferior e superior da 
classe, respectivamente. 
 
Roteiro para a elaboração de uma distribuição de 
frequências por classes: 
 Construção do Rol; 
 Determinação da Amplitude Total (AT); 
 Determinação do Numero de Classes (c); 
 Determinação da Amplitude das Classes (h); 
 Determinação dos limites das classes (LI e LS); 
 Construção da tabela de frequências ou a dist. de 
frequência. 
Representação 
Tabular 
 
Representação Tabular 
 Consiste em dispor os dados em linhas e colunas, 
distribuídas de modo ordenado, segundo algumas regras 
práticas. 
 As tabelas devem apresentar: 
 Título: o quê? onde? quando?; 
 Cabeçalho: especifica o conteúdo das colunas; 
 Coluna indicadora: especifica o conteúdo das linhas; 
 Corpo: onde são registrados os dados; 
 Rodapé: notas e identificação da fonte dos dados. 
Representação Gráfica 
 
Representação Gráfica: 
 Tem por finalidade uma melhor visualização do 
conteúdo das tabelas, expondo, sempre que possível, as 
mesmas informações nelas contidas. 
 Os tipos mais usados de gráficos são: 
 de linhas e de superfície simples e em faixa; 
 de colunas ou barras simples, remontadas ou 
superpostas; 
 de setores em círculo (pizza); 
 Box plot; 
 Histogramas. 
Exemplo Distribuição de Frequência para Variável 
Quantitativa Contínua: 
Considere os dados brutos que representam os pesos em 
kg de coelhos hídricos Norfolk, abatidos aos três meses 
de idade. 
 
 
 
 
 
 
 
Construção do Rol em ordem crescente 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo Distribuição de Frequência para Variáveis 
Quantitativas Discretas: 
Considere os seguintes dados relativos ao número 
de acidentes diários num grande estacionamento, 
durante um período de 50 dias. 
 
 
 
 
 
Podemos construir uma distribuição de frequência, sem 
perda dos valores originais, utilizando como classes os 
inteiros de 0 a 9: 
 
 
Gráfico de barras (sem perdas) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observação: 
 De modo geral, prefere-se uma distribuição de 
frequência sem perda de informações quando: 
 Os dados são constituídos de valores inteiros 
 Há menos de, digamos, 16 dados 
 Há suficientes observações para originar uma distribuição 
significativa. 
 Por outro lado, uma distribuição de frequência com 
perda de informações é útil quando: 
 Estão em jogo inteiros e não-inteiros (ou não inteiros 
somente) 
 Só existem inteiros, porém em número demasiadamente 
elevado para permitir uma distribuição útil. 
 A perda de informações é de importância secundária. 
EXERCÍCIO 
01) Uma indústria embala peças em caixas com 100 
unidades. O controle de qualidade selecionou 48 caixas 
na linha de produção e anotou em cada caixa o número 
de peças defeituosas. Obteve os seguintes dados: 
 
 
 
 
Agrupe em uma distribuição de frequência: 
 
 
 
 
Exercício: 
Os dados abaixo representam o valor da hora de 
trabalho de 30 profissionais de Administração na cidade 
de João Pessoa. 
 
 
 
 
 
 
 
Qual a classificação dessa variável? 
Organize os dados em uma tabela completa. 
 
 
 
 
 
Exemplo Distribuição de Frequência para 
Variáveis Qualitativas Nominais ou Ordinais: 
 
 Talvez as distribuições de frequência mais simples 
sejam as relativas as variáveis nominais ou ordinais. Tal 
simplicidade decorre do fato de que as classes são 
facilmente reconhecíveis, tornando mínimos os cálculos. 
 
Exemplo 1: Considere os dados nominais referentes à 
venda de bebidas leves em um dia no Mercado Peg-Pag, 
dispostos na tabela de frequência abaixo: 
 
 
 
 
 As categorias são os diversos tipos de 
bebidas. Pode haver diversos tipos de bebidas 
com vendas bastante baixas, tais como soda, 
cerveja e chocolate, que foram englobadas numa 
única categoria, que chamamos de “Outros”, para 
tornar os dados mais abrangentes. 
 Podemos optar pela construção de um 
gráfico de barras horizontais ou verticais usando 
as frequências simples ou destacar os percentuais 
de vendas de cada bebida construindo um gráfico 
de setores com as frequências relativas. 
 
Exemplo 2: Consideremos os dados relativos ao 
aproveitamento num curso de Matemática para o 1º 
período de Administração 2003/2 da FaculdadeUNIVILA, 
apresentados abaixo de forma ligeiramente diferente das 
tabelas de frequências anteriores, apenas para ilustrar 
outra maneira de preparar uma tabela de frequência. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Podemos representar esses dados em um gráfico de 
barras horizontais ou de setores usando os valores das 
frequências relativas: 
a) Gráfico de barras horizontais 
Classificação dos alunos de Matemática do 1º período de 
Administração 2003/2 da Faculdade 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Gráfico de setores 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Denominamos Série Estatística toda tabela 
que apresenta a distribuição de um conjunto de 
dados estatísticos em função da época, do tempo 
ou da espécie. 
 Daí podemos inferir que numa série 
estatística observamos a existência de três 
elementos ou fatores: 
 Tempo 
 Espaço 
 Espécie 
 Basicamente existem três tipos de séries 
estatísticas: Temporais ou Cronológicas, 
Geográficas e Categóricas. 
1- Séries Temporais 
 São constituídas por dados produzidos e 
monitorados ao longo do tempo. Também são chamadas 
de séries históricas ou cronológicas. 
Exemplos: São séries temporais: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2- Séries Geográficas 
 São constituídas por dados provenientes de 
diferentes regiões geográficas. Também são chamadas de 
séries espaciais, territoriais ou de localização. 
Exemplos: São séries geográficas: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 – Séries Categóricas 
 São constituídas por dados obtidos nas diferentes 
categorias de uma mesma variável. Também são 
chamadas de séries específicas. 
Exemplos: São séries categóricas: 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 – Séries Conjugadas 
 
 Muitas vezes temos necessidade de 
apresentar, em uma única tabela, a variação de 
valores de mais de uma variável, isto é, fazer uma 
conjugação de duas ou mais séries. 
 Conjugando duas séries em uma única tabela. 
Obtemos uma tabela de dupla entrada. Em uma 
tabela desse tipo ficam criadas duas ordens de 
classificação: uma horizontal e uma vertical. 
 
Exemplo: A série conjugada abaixo é uma série geográfico-
temporal. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Introdução 
 Para resumir a quantidade de informação contida 
em um conjunto de dados, os estatísticos definem 
medidas que descreve, através de um só número, 
características dos dados. Algumas dessas medidas 
descrevem a tendência central, isto é, a tendência que os 
dados têm de se agrupar em torno de certos valores. 
Dentre as medidas de tendência central, destacamos: 
 A média Aritmética 
 A Mediana 
 A Moda 
 
 
 
 
A Média Aritmética 
 A média aritmética é a ideia que ocorre à maioria das 
pessoas quando se fala em “média”. E como ela possui certas 
propriedades matemáticas convenientes, é a mais importante 
das três medidas que estudaremos. 
 Seja um conjunto de dados {x1 , x2 , ... , xn }. A média 
aritmética, ou simplesmente “média”, é dada por: 
𝒙 = 𝒙𝒊
𝒏
𝒊=𝟏
𝒏
 
Exemplo: Calcule a média dos dados: 0, 2, 4, 6, 8. 
 Basta somar todos os valores e dividir o resultado pelo 
número de parcelas que é 5. Assim temos: 
 𝒙 = 
0 + 2 + 4 + 6 + 8
5
 = 4 
 
 
 
 Quando alguém fala sobre um conjunto de dados, 
tanto pode estar se referindo a uma amostra como a uma 
população. Utilizamos o símbolo μ para a média de uma 
população e o símbolo x para representar a média de uma 
amostra. A média da população também é obtida 
dividindo a soma dos dados pelo número de elementos da 
população. Não calculamos μ porque, em geral, temos 
apenas uma amostra da população. Mas a média da 
amostra é uma estimativa da média da população. 
 Às vezes, a média pode ser um número diferente de 
todos os da série de dados que ela representa, por isso 
costumamos dizer que a média aritmética não tem 
existência concreta. 
 
Propriedades da média aritmética 
 A média aritmética tem certas propriedades 
interessantes e úteis, que explicam por que é ela a 
medida de tendência central mais usada: 
1 - A média aritmética de um conjunto de números pode 
sempre ser calculada. 
2 - Para um dado conjunto de números a média 
aritmética é única. 
3 - A média é sensível a (ou afetada por) todos os valores 
do conjunto. Assim, se um valor se modifica, a média 
também se modifica. 
4 – Somando-se (ou subtraindo-se) uma constante (c) de 
todos os valores de uma variável, a média do conjunto fica 
aumentada (ou diminuída) dessa constante. 
Exemplo: Sabendo-se que a produção leiteira diária da 
vaca Mimosa, durante uma semana, foi de 10, 14, 13, 15, 
16, 18, 12 litros, temos, para a produção média semanal: 
𝑥 = 10 + 14 + 13 + 15 + 16 + 18 + 12
7
 = 
98
7
= 14 
Somando-se 2 litros de leite a cada produção diária da 
Mimosa temos que: 
y1 = 12, y2 = 16, y3 = 15,y 4 = 17,y5 = 18,y6 = 20 e y7 = 14 
Daí: 𝑦 =
12 + 16 + 15 + 17 + 18 + 20 + 14
7
= 
112
7
 = 16 
Lembrando que a média anterior era 𝒙 = 14 , temos que: 
𝑦 = 16 = 14 + 2 = 𝑥 + 2. 
 
5 - Multiplicando-se (ou dividindo-se) uma constante (c) de 
todos os valores de uma variável, a média do conjunto fica 
multiplicada (ou dividida) dessa constante. 
Exemplo: Multiplicando-se por 3 cada produção diária da 
Mimosa temos que: 
y1 = 30, y2 = 42, y3 = 39,y 4 = 45,y5 = 48,y6 = 54 e y7 = 36 
Daí: 𝑦 = 30 + 42 + 39 + 45 + 48 + 54 + 36
7
= 
294
7
= 42 
Lembrando que a média anterior era 𝒙 = 14 , temos que: 
 𝑦 = 42 = 14 × 3 = 𝑥 × 3 . 
 
A Média Aritmética Ponderada 
 Para dados agrupados em distribuições de 
frequências calcula-se a média ponderada, sendo que a 
frequência observada para cada valor é o peso do mesmo. 
Então, se um conjunto de n valores foi agrupado em k 
classes, com pontos médios X1 , X2 , ... , Xk , e frequências 
simples f1 , f2 , ... , fk , respectivamente, então a média 
aritmética é dada por: 
𝑥 = 𝒙𝒊𝒇𝒊
𝒏
𝒊=𝟏
𝒏
 
 
 
A Mediana 
 Colocados em ordem crescente, mediana é o valor que 
divide a amostra, ou população, em duas partes iguais. Assim: 
 
 
 
 
 
Cálculo da mediana: Para dados brutos e distribuições de 
frequência sem intervalo de classe. 
 Se n for ímpar, a mediana será o elemento central (de 
ordem 
𝑛:1
2
). Caso n seja par, a mediana será a média entre os 
elementos centrais (de ordem 
𝑛
2
 e 
𝑛
2
 +1). 
 
 
 
 
0% 50% 100% 
Md 
Exemplo 1: Seja o conjunto {2 , 2 , 3 , 5 , 5 , 6 , 7 , 7 , 9 , 9 , 
10}. Neste caso a mediana é Md = 6. 
Exemplo 2: Seja o conjunto {0 , 1 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 5 , 6 , 6 , 
7 , 8}. Aqui a mediana é dada pela média dos dois valores 
centrais, isto é, Md = 
4:5
2
 = 4,5 
Exemplo 3: Dada a distribuição: 
 
 
 
 
 
 
 
xi fi F↓ 
1 1 1 
2 3 4 
3 5 9 
4 2 11 
T 11 
 
n = 11, n é ímpar , logo Md será o 
elemento de ordem 
𝑛:1
2
, ou seja, 
11:1
2
= 6º. 
Será, portanto o 6º elemento. Para 
identificá-lo, observa-se a Frequência 
Acumulada para baixo (F↓). 
Portanto: Md = 3 
Mediana para dados agrupados em distribuições 
de frequências com intervalos de classe: 
 Para dados agrupados em distribuições de frequências pode-
se utilizar para o cálculo da mediana a expressão: 
𝑴𝒅 = 𝑳𝑰𝑴𝒅 + 
𝒏
𝟐
 ;𝑭↓𝑨𝒏𝒕
𝒇𝑴𝒅
∗ h 
Onde: 
Classe Mediana é a classe correspondente à frequência acumulada 
para baixo imediatamente superior a 
𝒏
𝟐
; 
LI é o limite inferior da classe mediana; 
𝑭 ↓𝑨𝒏𝒕 é a frequência acumulada para baixo da classe anterior à 
classe mediana; 
𝒇𝑴𝒅 é a frequência simples da classe mediana; 
h é a amplitude da classe mediana. 
 
 
 
A Moda 
 A moda, ou valor modal, de um conjunto de dados 
é o valor com maior frequência individual. É importante 
ressaltar que o valor modal pode não existir, além disto, 
caso exista, pode não ser único. Neste último caso, diz-se 
que o conjunto é bimodal, trimodal, etc. 
Exemplo: Determine a moda dos dados: 
0, 0, 2, 5, 3, 7, 4, 7, 8, 7, 9, 6. 
A moda é 7, porque é o valor que ocorre o maiornúmero 
de vezes. 
 
 
 
 
 
 
Moda para dados agrupados em distribuições de 
frequências com intervalos de classe: 
 A classe que apresenta a maior frequência é denominada 
classe modal. Pela definição, podemos afirmar que a moda, neste 
caso, é o valor dominante que está compreendido entre os limites da 
classe modal. 
 Par determinação da moda, Czuber criou a seguinte 
expressão denominada fórmula de Czuber e, na qual: 
Mo = LI + h 
𝑫𝟏
𝑫𝟏: 𝑫𝟐
 → 𝑫𝟏= 𝒇𝑴𝒐 ; 𝒇𝑨𝒏𝒕 e 𝑫𝟐= 𝒇𝑴𝒐 ; 𝒇𝑷𝒐𝒔𝒕 
Onde: 
𝒇𝑴𝒐 é a frequência simples da classe modal; 
𝒇𝑨𝒏𝒕 é a frequência simples da classe anterior à classe modal; 
𝒇𝑷𝒐𝒔𝒕 é a frequência simples da classe posterior à classe modal. 
 
 
Exercício: De acordo com os dados abaixo, calcule a 
média, mediana e moda: 
Comprimento da sépala, observados em flores de três espécies 
 Comprimento (mm) f 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Relação entre Média, Mediana e Moda 
 A relação entre os valores encontrados para a média, para a mediana e 
para a moda indica o tipo de assimetria da distribuição de frequências. Aqui 
entende-se por assimetria o grau de desvio dos dados em relação ao centro da 
distribuição. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Assimetria positiva (Mo < Md < x) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Assimetria negativa (Mo > Md > 𝑥 ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Distribuição simétrica (normal) (Mo = Md = 𝑥 ) 
 
 
 
 
 
Quartis, Decis e 
Percentis 
Quartis 
 Os quartis dividem um conjunto de dados em quatro partes 
iguais. Assim: 
 
 
 
 
𝑄1 = 1º quartil, deixa 25% dos elementos. 
𝑄2 = 2º quartil coincide com a mediana, deixa 50% dos elementos. 
𝑄3 = 3º quartil, deixa 75% dos elementos. 
 
 
 
 
𝑄1 𝑄2 𝑄3 
 
0% 25% 50% 75% 100% 
 
 Para dados agrupados em distribuições de 
frequências pode-se utilizar a fórmula dada por: 
1 – Encontra-se a classe cuja frequência acumulada para 
baixo é igual ou imediatamente superior a 
𝑞𝑛
4
. 
2 - Q = 𝑳𝑰𝒒 + 
𝒒𝒏
𝟒
 ; 𝑭↓𝑨𝒏𝒕
𝒇𝒊
∗ 𝒉 
onde: 
𝑳𝑰𝒑 = limite inferior da classe quartil; 
𝑭 ↓𝑨𝒏𝒕 = frequência acumulada para baixo da classe anterior à classe 
quartil; 
fi = frequência simples da classe quartil; 
h = amplitude da classe quartil. 
 
 
Decis 
 São os valores que dividem a série em 10 
partes iguais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝐷1 𝐷2 𝐷3 𝐷4 𝐷5 𝐷6 𝐷7 𝐷8 𝐷9 
0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100% 
 
 
 Para dados agrupados em distribuições de 
frequências pode-se utilizar a fórmula dada por: 
 
1 –Encontra-se a classe cuja frequência acumulada para 
baixo é igual ou imediatamente superior a 
𝑑𝑛
10
; 
2 - D = 𝑳𝑰𝒅 + 
𝒅𝒏
𝟏𝟎
 ; 𝑭↓𝑨𝒏𝒕
𝒇𝒊
∗ 𝒉 
 
 
 
 
 
 
 
Percentis 
 São as medidas que dividem a amostra em 100 
partes iguais. Assim: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑃1 𝑃2 𝑃3 . . . 𝑃50 . . . 𝑃97 𝑃98 𝑃99 
0% 1% 2% 3% . . . 50% . . . 97% 98% 99% 100% 
 
 
 
 
 
 Para dados agrupados em distribuições de 
frequências pode-se utilizar a fórmula dada por: 
 
1 –Encontra-se a classe cuja frequência acumulada 
para baixo é igual ou imediatamente superior a 
𝑝𝑛
100
; 
2 - P = 𝐿𝐼𝑝 + 
𝑝𝑛
100
 ;𝑭↓𝑨𝒏𝒕
𝑓𝑖
∗ ℎ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: Calcular o 3º quartil, o 3º decil e o 90º percentil para os dados da 
distribuição de frequências dos dados mostrados no Quadro anterior: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício: 
São dados os valores (em reais) de alguns produtos de um 
supermercado. 
 
 
 
 
 
 
 
a) Calcule Média, Moda e Mediana. 
b) Calcule o 55º percentil, o 8º decil e o 3º quartil: 
 
 
 
Valor (R$) Nº de produtos 
5 ⊢ 10 1 
10 ⊢ 15 2 
15 ⊢ 20 5 
20 ⊢ 25 20 
25 ⊢ 30 15 
30 ⊢ 35 5 
35 ⊢ 40 2 
Total 50 
MEDIDAS DE DISPERSÃO 
 
 
 A principal utilidade das medidas de tendência central, 
quando calculadas para determinado conjunto de dados, é a 
determinação de valores característicos ou típicos deste conjunto. 
Entretanto, a informação fornecida por tais medidas é incompleta, 
se não for acompanhada de alguma informação sobre a 
variabilidade dos dados. Esta informação é obtida através do cálculo 
de medidas de dispersão, ou variabilidade. 
 
Desvio Médio: 
 O Desvio Médio Simples é uma medida da dispersão dos 
dados em relação à média de uma sequência, o “afastamento” em 
relação a essa média. Esta medida representa a média das distâncias 
entre cada elemento da amostra e seu valor médio. 
 O desvio médio para dados brutos pode ser obtido pela 
seguinte fórmula: 
DM = 
 |𝒙𝒊 ;𝒙 |𝒏𝒊=𝟏
𝒏
 
 
 O desvio médio para a distribuição de frequências pode ser 
obtido pela seguinte fórmula: 
DM = 
 |𝑿𝒊 ;𝒙 |𝒏𝒊=𝟏 ∗𝒇𝒊
𝒏
 
 
 
 
 
Variância 
 
 A variância tem o objetivo de analisar o grau de 
variabilidade de determinadas situações, através dela 
podemos perceber desempenhos iguais, muito 
próximos ou muito distantes. A média aritmética 
pode ser usada para avaliar situações de forma geral, 
já a variância determina de forma mais específica as 
possíveis variações, no intuito de não comprometer 
os resultados da análise. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para Dados brutos: 
 Quando o conjunto de dados {𝑥1 , 𝑥2 , ... , 𝑥𝑛 } 
representa uma amostra, calcula-se o estimador para a 
variância amostral, dado por: 
 
 
 
 Para dados populacionais, o estimador é dado 
por: (em que μ é a média). 
 
σ 𝟐 = 
 (𝑿𝒊;𝝁)𝟐𝒏𝒊=𝟏
𝑵
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para Distribuição de Frequência: 
 
 Para uma distribuição de frequências com k classes, 
com frequências simples 𝑓1 , ... , 𝑓𝑘 , e pontos médios 𝑋1 , ... , 
𝑋𝑘 , respectivamente, a variância amostral é dada por: 
 
𝒔𝟐 = 
 (𝑿𝒊;𝒙 )𝟐𝒇𝒊𝒏𝒊=𝟏
𝒏;𝟏
 
 
 Para dados populacionais, o estimador é dado por: (em 
que μ é a média). 
 
σ 𝟐 = 
 (𝑿𝒊;𝝁)𝟐𝒇𝒊𝒏𝒊=𝟏
𝑵
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Desvio Padrão 
 
 É dado pela raiz quadrada da variância. Deste modo, 
para o cálculo do desvio padrão, deve-se levar em 
consideração a natureza dos dados. É a medida de dispersão 
mais utilizada para a descrição de dados, juntamente com a 
média aritmética. 
 Se o conjunto representa uma amostra, o estimador 
corrigido é dado por: 
 s = 𝒔𝟐 
 Se o conjunto representa uma população, o estimador 
corrigido é dado por: 
σ = σ𝟐 
 
 
 
 
 
Coeficiente de Variação (CV) 
 Por vezes é conveniente exprimir a variabilidade em 
termos relativos, isto porque, por exemplo, um desvio 
padrão de 10 pode ser insignificante se a observação 
típica é 10.000, mas altamente significativo para uma 
observação típica de 100. 
 Toma-se então uma medida relativa da 
variabilidade, comparando o desvio padrão com a média. 
Esta medida é o Coeficiente de Variação. 
 
 
 
 
 Já vimos que o desvio padrão tem a mesma 
unidade de medida que os dados, de modo que o 
coeficiente de variação é adimensional. 
 A grande utilidade do coeficiente de variação 
é permitir a comparação da variabilidade de 
diferentes conjuntos de dados. 
 
Se: CV ≤ 15% → Baixa dispersão – Homogênea, 
estável, regular. 
 15% < CV < 30% → Média dispersão. 
 CV ˃ 30% → Alta dispersão – Heterogênea. 
Exemplo: 
 Calcular o Desvio Médio, a Variância amostral, o Desvio Padrão e o 
Coeficiente de Variação para os dados da distribuição de frequências do Quadro 
abaixo: