4 Capítulo 6 Filtros de Tempo Discreto

Prévia do material em texto

INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DA PARAÍBA 
CAMPUS CAMPINA GRANDE 
CURSO SUPERIOR DE TECNOLOGIA EM TELEMÁTICA 
 
 
 
 
RESUMO DO CAPÍTULO 6 DO LIVRO: 
DIGITAL SIGNAL PROCESSING USING MATLAB 
 
 
 
 
Aluno: 
Rodolfo Bolconte Donato 
 
 
 
Disciplina: 
Processamento Digital de Sinais 
 
 
 
 
 
Campina Grande, 18 de Julho de 2018 
2 
 
1. Capítulo 6 – Implementação de Filtros de Tempo Discreto 
1.1. Elementos Básicos 
Como nossos filtros são sistemas LTI, precisamos dos três elementos a seguir para descrever 
estruturas de filtros digitais. 
1. Somador: Este elemento possui duas entradas e uma. Observe que a adição de três ou 
mais sinais é implementada por somadores de duas entradas sucessivas; 
2. Multiplicador: Este é um elemento de entrada única e saída única. A multiplicação por 
1 é entendida e, portanto, não explicitamente mostrada; 
3. Elemento de atraso (shifter ou memória): este elemento atrasa o sinal que passa através 
dele por uma amostra. Ele é implementado usando um registrador de deslocamento. 
Usando esses elementos básicos, pode-se agora descrever várias estruturas dos filtros IIR e FIR. 
 
Figura 1: Os 3 Elementos Básicos. 
1.2. Estruturas de Filtros IIR 
A função do sistema de um filtro IIR é dada por 
 
onde bn e an são os coeficientes do filtro. Assumimos sem perda de generalidade que a0 = 1. A 
ordem de tal filtro IIR é chamada N se aN ≠ 0. A representação da equação de diferença de um 
filtro IIR é expressa por 
 
Três estruturas diferentes podem ser usadas para implementar um filtro IIR: 
1. Forma direta: Nesta forma, a equação da diferença é implementada diretamente como 
dada. Existem duas partes neste filtro, a parte média móvel e a parte recursiva (ou 
equivalentemente, as partes do numerador e denominador). Portanto, esta implementação 
leva a duas versões: forma direta I e estruturas de forma direta II; 
2. Forma Cascata: Nesta forma, a função do sistema H(z) na equação é fatorada em seções 
menores de 2ª ordem, chamadas biquads. A função do sistema é então representada como 
3 
 
um produto dessas biquads. Cada biquad é implementado de forma direta, e toda a função 
do sistema é implementada como uma cascata de seções biquad; 
3. Forma paralela: é semelhante à forma em cascata, mas após a fatoração, uma expansão 
parcial da fração é usada para representar H(z) como uma soma de seções menores de 
segunda ordem. Cada seção é novamente implementada de forma direta, e toda a função 
do sistema é implementada como uma rede paralela de seções. 
Os filtros IIR são geralmente descritos usando a versão de forma racional (ou a estrutura de forma 
direta) da função do sistema. 
1.2.1. Forma Direta 
Como o nome sugere, a equação de diferença é implementada como determinada usando atrasos, 
multiplicadores e somadores. Para fins de ilustração, seja M = N = 4. Então a equação da diferença 
é 
 
A estrutura da forma direta I implementa cada parte da função racional H(z) separadamente com 
uma conexão em cascata entre elas. A parte do numerador é uma linha de atraso seguida pela 
parte do denominador, que é uma linha de atraso de retorno. Portanto, há duas linhas de atraso 
separadas nessa estrutura e, portanto, requer oito elementos de atraso. Podemos reduzir essa 
contagem de elemento de atraso ou eliminar uma linha de atraso trocando a ordem na qual as duas 
partes estão conectadas na cascata. Agora as duas linhas de atraso estão próximas umas das outras, 
conectadas por um ramo de ganho unitário. Portanto, uma linha de atraso pode ser removida, e 
essa redução leva a uma estrutura canônica chamada estrutura de forma direta II. Deve-se notar 
que ambas as formas diretas são equivalentes do ponto de vista de entrada-saída. Internamente, 
no entanto, eles têm sinais diferentes. 
1.2.2. Estrutura Transposta 
Uma estrutura equivalente à forma direta pode ser obtida usando um procedimento chamado 
transposição. Nesta operação, três etapas são executadas: 
1. Todas as direções da seta do caminho estão invertidas; 
2. Todos os nós de ramificação são substituídos por nós somadores e todos os nós 
somadores são substituídos por nós de ramificação; 
3. Os nós de entrada e saída são trocados. 
A estrutura resultante é chamada estrutura de forma direta transposta. 
4 
 
 
Figura 2: Estruturas da Forma Direta Normal e Transposta. 
1.2.3. Forma em Cascata 
Nesta forma, a função do sistema H(z) é escrita como um produto de seções de 2ª ordem com 
coeficientes reais. Isso é feito fatorando os polinômios do numerador e do denominador em suas 
respectivas raízes e, em seguida, combinando um par complexo de raízes conjugadas ou quaisquer 
duas raízes reais em polinômios de 2ª ordem. No restante deste capítulo, assumimos que N é um 
inteiro par. Então, 
 
onde K é igual a N/2, e Bk,1, Bk,2, Ak,1 e Ak,2 são números reais representando os coeficientes das 
seções de 2ª ordem 
 
com Y1(z) = b0X(z); YK+1 (z) = Y(z) é chamado a seção kº biquad. A entrada para a seção do kº é 
a saída da seção (k - 1)º biquad, e a saída do kº biquad é a entrada para o (k +1)º biquad. Agora 
cada seção de biquad Hk(z) pode ser implementada na forma direta II. O filtro inteiro é então 
implementado como uma cascata de biquads. 
1.2.4. Forma Paralela 
Nesta forma, a função do sistema H(z) é escrita como uma soma de seções de 2ª ordem usando 
expansão de fração parcial. 
5 
 
 
onde K é igual a N/2, e Bk,0, Bk,1, Ak,1 e Ak,2 são números reais representando os coeficientes das 
seções de 2ª ordem. A seção de segunda ordem 
 
com 
 
é a kº racional própria da biquad. A entrada do filtro está disponível para todas as seções biquad, 
bem como para a seção polinomial, se M ≥ N (que é uma parte FIR). A saída dessas seções é 
somada para formar a saída do filtro. Agora cada seção de biquad Hk(z) pode ser implementada 
na forma direta II. Devido à soma das subseções, uma estrutura paralela pode ser construída para 
realizar H(z). 
1.3. Estruturas de Filtros FIR 
 Um filtro de resposta ao impulso de duração finita tem uma função de sistema da forma 
 
Consequentemente, a resposta do impulso h(n) é 
 
E a representação da equação de diferença é 
 
que é uma convolução linear de suporte finito. 
6 
 
A ordem do filtro é M - 1, e o comprimento do filtro (que é igual ao número de coeficientes) é M. 
As estruturas de filtro FIR são sempre estáveis e são relativamente simples comparadas às 
estruturas IIR. Além disso, os filtros FIR podem ser projetados para ter uma resposta de fase 
linear, o que é desejável em algumas aplicações. 
Vamos considerar as quatro estruturas a seguir: 
1. Forma direta: Nesta forma, a equação de diferença é implementada diretamente como 
dada; 
2. Forma Cascata: Nesta forma, a função do sistema H(z) é fatorada em fatores de 2ª 
ordem, que são então implementados em uma conexão em cascata; 
3. Forma da Fase Linear: Quando um filtro FIR tem uma resposta de fase linear, sua 
resposta ao impulso exibe certas condições de simetria. Nesta forma, exploramos essas 
relações de simetria para reduzir as multiplicações em cerca de metade; 
4. Formulário de Amostragem de Frequência: Esta estrutura é baseada na DFT da resposta 
ao impulso h(n) e leva a uma estrutura paralela. Também é adequado para uma técnica de 
projeto baseada na amostragem da resposta de frequência H(ejω). 
1.3.1. Forma Direta 
A equação de diferença é implementada como uma linha de atraso. Seja M = 5 (isto é, um filtro 
FIR de 4ª ordem); então 
 
1.3.2. Forma em Cascata 
Esta forma é semelhante à da forma IIR. A função do sistema H(z) é convertida em produtos de 
seções de 2ª ordem com coeficientes reais. Essas seções são implementadas de forma direta e o 
filtro inteiro como umacascata de seções de 2ª ordem. 
 
onde K é igual a M/2, e Bk,1 e Bk,2 são números reais representando os coeficientes das seções de 
2ª ordem. 
 
Figura 3: Forma em Cascata para M = 7. 
7 
 
1.3.3. Forma em Fase Linear 
Para filtros seletivos de frequência (por exemplo, filtros passa-baixa) é geralmente desejável ter 
uma resposta de fase que seja uma função linear de frequência; isto é, nós queremos 
 
onde β = 0 ou ± π/2 e α é uma constante. Para um filtro FIR causal com resposta ao impulso acima 
do intervalo [0, M −1], a condição de fase linear impõe as seguintes condições de simetria na 
resposta ao impulso h(n): 
 
Uma resposta ao impulso que satisfaz h(n) = h(...) é chamada de resposta impulsiva simétrica, e 
a h(n) = -h(...) é chamada de resposta impulsiva antisimétrica. Essas condições de simetria podem 
agora ser exploradas em uma estrutura chamada forma de fase linear. 
1.3.4. Forma de Amostragem de Frequência 
Nesta forma, usamos o fato de que a função do sistema H(z) de um filtro FIR pode ser reconstruída 
a partir de suas amostras no círculo unitário. As amostras são de fato os valores DFT do ponto M 
{H(k), 0 ≤ k ≤ M - 1} da resposta ao impulso do ponto M, h(n). Portanto nós temos H(z) = Z[h(n)] 
= Z[IDFT{H(k)}] 
Usando este procedimento, obtemos 
 
Isso mostra que o DFT H(k), em vez da resposta de impulso h(n) (ou a equação da diferença), é 
usado nessa estrutura. Observe também que o filtro FIR tem uma forma recursiva similar a um 
filtro IIR porque contém tanto pólos quanto zeros. O filtro resultante é um filtro FIR, uma vez que 
os pólos WM-k são cancelados pelas raízes 1 – z-M = 0 
Como um filtro FIR é quase sempre um filtro de valor real, é possível obter uma realização 
alternativa na qual apenas a aritmética real é usada. Essa realização é derivada usando as 
propriedades de simetria do DFT e do fator. 
1.4. Estruturas de Filtros Lattice 
O filtro de rede é amplamente utilizado no processamento de voz digital e na implementação de 
filtros adaptativos. É uma forma preferida de realização sobre outras estruturas de filtro FIR ou 
IIR, pois na análise de fala e na síntese de fala o pequeno número de coeficientes permite que um 
grande número de formantes seja modelado em tempo real. O Lattice All-Zero é a representação 
do filtro FIR do filtro de Lattice, enquanto que a escada de Lattice é a representação do filtro IIR. 
8 
 
1.4.1. Filtros de Lattice All-Zero 
Um filtro FIR de comprimento M (ou ordem M - 1) tem uma estrutura de Lattice com M − 1 
estágios. Cada estágio do filtro tem uma entrada e uma saída que são relacionadas pelas equações 
recursivas de ordem 
 
onde os parâmetros Km, m = 1,2, ..., M - 1, chamados de coeficientes de reflexão, são os 
coeficientes do filtro de rede. Se os valores iniciais de fm(n) e gm(m) forem ambos o valor escalado 
(escalado por K0) da entrada do filtro x(n), então a saída do filtro de rede do estágio (M - 1) 
corresponde à saída de um filtro FIR de ordem (M - 1); 
 
Figura 4: Filtro Lattice All-Zero. 
isso é, 
 
Se o filtro FIR é dado pela forma direta 
 
e se denotarmos o polinômio AM − 1(z) por 
 
então os coeficientes do filtro de rede {Km} podem ser obtidos pelo seguinte algoritmo recursivo 
9 
 
 
Observe que esse algoritmo falhará se |Km| = 1 para qualquer m = 1, ..., M - 1. Claramente, esta 
condição é satisfeita por filtros FIR de fase linear desde 
 
Portanto, os filtros FIR de fase linear não podem ser implementados usando estruturas de Lattice. 
1.4.2. Filtros de Lattice All-Pole 
Uma estrutura de Lattice para um filtro IIR é restrita a uma função de sistema multipolar. Pode 
ser desenvolvido a partir de uma estrutura de rede FIR. Uma função do sistema all-pole pode ser 
dada por 
 
Cada estágio do filtro tem uma entrada e uma saída que são relacionadas pelas equações recursivas 
de ordem: 
 
onde os parâmetros Km, m = 1,2, ..., M - 1, são os coeficientes de reflexão da rede de pólos inteiros, 
exceto para K0, que é igual a 1. 
1.4.3. Filtro de Lattice-Ladder 
Um filtro IIR geral contendo ambos os pólos e zeros pode ser realizado como uma estrutura do 
tipo Lattice usando uma rede de todos os pólos como o bloco de construção básico. Considere um 
filtro IIR com função do sistema 
10 
 
 
onde, sem perda de generalidade, assumimos que N ≥ M. Uma estrutura de tipo Lattice pode ser 
construída realizando primeiro uma rede de todos os pólos com coeficientes Km, 1 ≤ m ≤ N, e 
então adicionando uma parte Ladder tomando a saída como uma combinação linear ponderada de 
{gm(n)}, para M = N. O resultado é um filtro IIR de pólo-zero que tem a estrutura Lattice-Ladder. 
Sua saída é dada por 
 
onde {Cm} são chamados de coeficientes Ladder que determinam os zeros da função do sistema 
H(z). Pode ser mostrado que {Cm} são dados por 
 
1.5. Visão Geral dos Efeitos Numéricos de Precisão Finita 
Até agora, consideramos projetos e implementações de filtros digitais nos quais tanto os 
coeficientes de filtro quanto as operações de filtro, como adições e multiplicações, foram 
expressos usando números de precisão infinita. Quando sistemas de tempo discreto são 
implementados em hardware ou software, todos os parâmetros e operações aritméticas são 
implementados usando números de precisão finita e, portanto, seu efeito é inevitável. 
Considere um filtro digital típico implementado como uma estrutura de forma direta II. Quando 
a representação de precisão finita é usada em sua implementação, há três possíveis considerações 
que afetam a qualidade geral de sua saída. Nós temos que: 
1. quantize os coeficientes do filtro, {ak, bk}, para obter suas representações finitas de 
comprimento de palavra, {^ak, ^bk}; 
2. quantize a sequência de entrada, x(n) para obter ^x(n), e; 
3. considere toda a aritmética interna que deve ser convertida em suas próximas melhores 
representações. 
Assim, a saída, y(n), também é um valor quantizado ^y(n). Isso nos dá uma nova realização de 
filtro, ^ H(z). Esperamos que isso o novo filtro ^ H(z) e sua saída ^ y(n) são o mais próximo possível 
do filtro original H(z) e a saída original y(n). 
1.6. Representação dos Números 
Em computadores, os números (valores reais ou valores complexos, números inteiros ou frações) 
são representados usando dígitos binários (bits), que tomam o valor de um 0 ou um 1. A aritmética 
de tamanho de palavra finita necessária para processar esses números é implementada usando 
11 
 
duas abordagens diferentes, dependendo da facilidade de implementação e da precisão, bem como 
do intervalo dinâmico necessário no processamento. A aritmética de ponto fixo é fácil de 
implementar, mas tem apenas um alcance dinâmico fixo e precisão (ou seja, números muito 
grandes ou números muito pequenos). A aritmética de ponto flutuante, por outro lado, tem uma 
ampla faixa dinâmica e uma precisão variável (em relação à magnitude de um número), mas é 
mais complicada de implementar e analisar. 
Como um computador pode operar somente em uma variável binária (por exemplo, um 1 ou um 
0), números positivos podem ser representados diretamente usando números binários. Surge o 
problema de como representar os números negativos. Há três formatos diferentes usados em cada 
uma dessas aritméticas: formato de magnitude de sinal, formato de complemento de um e formato 
de dois complementos. Ao discutir e analisar essas representações, consideraremos 
principalmente um sistema de números binários contendo bits. No entanto, essa discussão e 
análise também são válidas para qualquer sistema de numeração de base - por exemplo, o sistema 
hexadecimal, octal ou decimal. 
Na discussão a seguir, primeiro começaremos com a aritmética inteira com sinal de ponto fixo. 
Uma representação binária de B bits de um inteiro x é dada por