Apresentação Filtros iir ou filtros de resposta ao impulso infinito

Prévia do material em texto

Apresentação Filtros iir ou filtros de resposta ao impulso infinito. 
Introdução. 
Os filtros IIR têm respostas de impulso de duração infinita, portanto podem ser 
combinados com filtros analógicos, todos os quais geralmente têm respostas de impulso 
infinitamente longas. Portanto, a técnica básica de projeto de filtro IIR transforma filtros 
analógicos bem conhecidos em filtros digitais usando valores complexos mapeamentos. 
A vantagem desta técnica reside no fato de que tanto tabelas de design de filtro 
analógico (AFD) e os mapeamentos estão amplamente disponíveis na literatura. Esta 
técnica básica é chamada de transformação de filtro A/D (analógico para digital). No 
entanto, as tabelas AFD estão disponíveis apenas para filtros passa-baixos. Também 
queremos projetar outros sistemas seletivos de freqüência filtros (passa - alta, passa-
banda, parada de banda, etc.). Para fazer isso, precisamos aplicar transformações de 
banda de frequência em filtros passa-baixos. Essas transformações também são 
mapeamentos de valores complexos e também estão disponíveis na literatura. Existem 
duas abordagens para esta técnica básica de projeto de filtro IIR. 
Abordagem 1 Abordagem 2 
Projeto analógico 
Filtro passa-baixa 
 
Aplicar frequência. 
Banda transformação 
 
Aplicar filtro 
Transformação 
 
IIR desejado 
 
 
 
 
 
 
 
Projeto analógico 
Filtro passa-baixa 
Aplicar filtro de 
transformação 
Aplicar frequência 
Banda transformação 
IIR desejado 
Discutimos duas questões preliminares nesta seção. Primeiro, consideramos o 
especificações de resposta de magnitude quadrada, que são mais típicas de filtros 
analógicas (e, portanto, de IIR). Estas especificações são fornecidas no relativo escala 
linear. Em segundo lugar, estudamos as propriedades da magnitude ao quadrado 
resposta. 
8.1.1 ESCALA LINEAR RELATIVA 
Seja Hα(jΩ) a resposta em frequência de um filtro analógico. Então o passa – baixa as 
especificações do filtro na resposta de magnitude quadrada são dadas por: 
 
Figura 1.1: Especificação do filtro passa - baixa analógica. 
 
Onde ε é um parâmetro de ondulação da banda passante, Ωp é a frequência de corte da 
banda passante em rad/sec, A é um parâmetro de atenuação da banda passante e Ωs é o 
corte da faixa de parada em rad/sec. Essas especificações são mostradas na Figura 1.1, a 
partir do qual observamos que |Hα (jΩ)|
2
 deve satisfazer: 
 
Os parâmetros ε e A estão relacionados aos parâmetros Rp e As, respectivamente, da 
escala de dB. Essas relações são dadas por 
 
E 
 
As ondulações, δ1 e δ2, da escala absoluta estão relacionadas ε e A por 
 
E 
 
8.1.2 PROPRIEDADES DE |Hα (jΩ)|
2
 
Especificações do filtro analógico (1.1), que são fornecidas em termos deresposta de 
magnitude quadrada, não contém informações de fase. Agora, para avaliar a função do 
sistema s-domínio Hα(s), considere 
 
Então nós temos 
 
Ou 
 
Portanto, os pólos e zeros da função magnitude quadrada são distribuídos em uma 
simetria de imagem espelhada em relação ao eixo jΩ. Também para filtros reais, pólos e 
zeros ocorrem em pares conjugados complexos (ou simetria de imagem espelhada em 
relação ao eixo real). 
 
 
 
 
 
Figura 1.2: Padrão típico de pólo zero de Ha(s)Ha(−s) 
 
Um padrão típico de pólo zero de Hα(s)Hα(−s) é mostrado na Figura 1.2. A partir deste 
padrão podemos construir Hα(s), que é a função do sistema do nosso filtro analógico. 
2.2 Características dos protótipos de filtros analógicos 
As técnicas de projeto de filtros IIR dependem de filtros analógicos existentes para 
obter filtros. Designamos esses filtros analógicos como filtros protótipo. Três protótipos 
são amplamente utilizados na prática. Nesta seção resumimos brevemente as 
características das versões lowpass desses protótipos: Butterworth lowpass, Chebyshev 
lowpass (Tipo I e II) e Elliptic lowpass. 
8.3.1 FILTROS PASSA-BAIXa BUTTERWORTH 
Este filtro é caracterizado pela propriedade de que sua resposta de magnitude é plana 
tanto na banda passante quanto na banda de parada. A resposta de magnitude quadrada 
de um filtro passa-baixa de N-ésima ordem é dado por 
 
onde N é a ordem do filtro e Ωc é a frequência de corte em rad/s. O gráfico da resposta 
de magnitude quadrada é o seguinte. 
 
Um filtro Hα(s)estável e causal agora pode ser especificado selecionando pólos no 
semiplano esquerdo, e Hα(s)pode ser escrito na forma 
 
8.3.5 FILTROS PASSA BAIXO CHEBYSHEV 
Existem dois tipos de filtros Chebyshev. Os filtros Chebyshev-I têm resposta equiripple 
na banda passante, enquanto os filtros Chebyshev-II têm resposta equiripple na banda 
de parada. Os filtros Butterworth têm monotônicos resposta em ambas as bandas. 
Lembre-se de nossas discussões sobre equiripple FIR filtros. Observamos que ao 
escolher um filtro que tenha uma equiripple em vez do que um comportamento 
monotônico, pode obter um filtro de ordem inferior. Portanto Os filtros Chebyshev 
fornecem ordem inferior aos filtros Butterworth para as mesmas especificações. A 
resposta de magnitude quadrada de um filtro Chebyshev-I é 
 
onde N é a ordem do filtro, é o fator de ondulação da banda passante, que é relacionado 
a Rp, e TN (x) é o polinômio de Chebyshev de N-ésima ordem dado por 
 
A resposta equiripple dos filtros Chebyshev é devida a este polinômio Tn (x). Suas 
propriedades principais são (a) para 0 <x< 1, TN (x) oscila entre −1 e 1, e (b) para 1 <x< 
∞, TN (x) aumenta monotonicamente para ∞.Existem duas formas possíveis de Hα(jΩ)|
2
, 
um para N ímpar e outro para N mesmo como mostrado aqui. Observe que x = Ω/Ωc é a 
frequência normalizada 
 
Para determinar um Hα(s) causal e estável, devemos encontrar os pólos de Hα(s)Hα(−s) e 
selecione os pólos do meio plano esquerdo para Hα (s). Os pólos de Hα(s)Hα(−s) são 
obtidos encontrando as raízes de 
 
8.3.10 FILTROS LOWPASS ELÍPTICOS 
Esses filtros exibem comportamento equiripple na banda passante, bem como em a 
faixa de parada. Eles são semelhantes em características de resposta de magnitude a os 
filtros equiripple FIR. Portanto, os filtros elípticos são filtros ideais na medida em que 
atingem a ordem mínima N para as especificações fornecidas (ou alternativamente, 
alcançar a banda de transição mais nítida para a ordem dada N). Estes filtros, por razões 
óbvias, são muito difíceis de analisar e, portanto, projetar. Não é possível projetá-los 
utilizando ferramentas simples, e muitas vezes são necessários programas ou tabelas 
para projetá-los. A resposta de magnitude quadrada de filtros elípticos é dada por 
 
onde N é a ordem, é a ondulação da banda passante (que está relacionada a Rp), e UN (·) 
é a função elíptica Jacobiana de N-ésima ordem. 
 
3.3 Transformações de filtro analógico para digital 
Depois de discutir diferentes abordagens para o projeto de filtros analógicos, estamos 
agora prontos para transformá-los em filtros digitais. Essas transformações são 
mapeamentos de valores complexos amplamente estudados na literatura. Essas 
transformações são derivadas da preservação de diferentes aspectos de filtros analógicos 
e digitais. Se quisermos preservar a forma da resposta ao impulso do filtro analógico 
para o digital, então obtemos um técnica chamada transformação de invariância de 
impulso. Se quisermos converter uma representação de equação diferencial em uma 
representação de diferença correspondente representação da equação, então obtemos 
uma aproximação de diferenças finitas técnica. Inúmeras outras técnicas também são 
possíveis. Uma técnica, chamada de invariância ao degrau, preserva a forma da resposta 
ao degrau; isso é explorado no Problema P8.24. Outra técnica semelhante à invariância 
de impulso é a transformação z combinada, que corresponde ao representação do pólo 
zero. Ele é descrito no final desta seção e é explorado no Problema P8.26. A técnica 
mais popular usada na prática é chamada de transformação bilinear, que preservaa 
função do sistema representação do domínio analógico para o digital. Nesta seção 
estudaremos em detalhes invariância de impulso e transformações bilineares, ambas 
pode ser facilmente implementado no MATLAB. 
8.4.1 TRANSFORMAÇÃO DE INVARIÂNCIA DE IMPULSO 
Neste método de projeto, queremos que a resposta ao impulso do filtro digital pareça 
“semelhante” ao de um filtro analógico seletivo de frequência. Portanto, amostramos 
hα(t) em algum intervalo de amostragem T para obter h(n). 
1.3 Mapeamento de plano complexo na transformação de invariância de impulso 
 
PROCEDIMENTO DE PROJETO 
Dadas as especificações do filtro passa-baixa digital ωp, ωs, Rp e As, queremos 
determinar H(z) projetando primeiro um filtro analógico equivalente e depois 
mapeando-o no filtro digital desejado. As etapas necessárias para este procedimento são 
1. Escolha T e determine as frequências analógicas 
2. Projete um filtro analógico hα (s) usando as especificações Ωp, Ωs, Rp e 
3. Como. Isso pode ser feito usando qualquer um dos três protótipos (Butterworth, 
Cheby shev ou elíptico) da seção anterior. Usando a expansão em frações 
parciais, expanda hα (s) em 
 
4. Agora transforme pólos analógicos {pk} em pólos digitais {epkT } para obter o 
filtro digital: 
 
8.4.3 TRANSFORMAÇÃO BILINEAR 
Este mapeamento é o melhor método de transformação; envolve um conhecido 
função dada por 
 
onde T é um parâmetro. Outro nome para esta transformação é linear 
transformação fracionária porque quando eliminadas as frações, obtemos 
 
PROCEDIMENTO DE PROJETO 
Dadas as especificações do filtro digital ωp, ωs, Rp e As, queremos determinar H(z). As 
etapas de design neste procedimento são as seguintes: 
1. Escolha um valor para T. Isso é arbitrário e podemos definir T = 1. 
2. Pré-warp as frequências de corte ωp e ωs; isto é, calcule Ωp e Ωs usando 
 
3. Projete um filtro analógico Ha(s) para atender às especificações Ωp, Ωs, Rp, e como. 
Já descrevemos como fazer isso no anterior seção. 
4. Finalmente, defina 
 
e simplifique para obter H(z) como uma função racional em z
−1
. Nos próximos 
exemplos demonstramos este procedimento de design em nossos filtros protótipo 
analógicos. 
TRANSFORMAÇÃO COMBINADA-z 
Neste método de transformação de filtro, zeros e pólos de Hα(s) são diretamente 
mapeados em zeros e pólos no plano z usando uma função exponencial.Dada uma raiz 
(zero ou pólo) na localização s = a no plano s, nós o mapeamos no plano z em z = e
aT
 
onde T é um intervalo de amostragem. Por isso, a função do sistema Ha(s) com zeros 
{zk} e pólos {pι} é mapeada em a função do sistema de filtro digital H(z) como 
 
Claramente, a função do sistema de transformação z é “combinada” com o domínio s 
função do sistema. Observe que esta técnica parece ser semelhante ao mapeamento de 
invariância de impulso, pois as localizações dos pólos são idênticas e o aliasing é 
inevitável. No entanto, essas duas técnicas diferem em zero locais. Além disso, a 
transformação z combinada não preserva a resposta ao impulso ou as características de 
resposta de frequência. Portanto, é adequado ao projetar usando posicionamento de pólo 
zero, mas geralmente é inadequado quando o especificações no domínio da frequência 
são fornecidas.