Apostila-USP

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Introdução à Medições em 
Física Experimental 
Edson Giuliani R. Fernandes 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Este texto foi escrito visando aos alunos de nossos cursos de física 
experimental, tanto físicos como engenheiros, servindo como complemento a usual 
apostila: Laboratório de Física Geral 1. A presente apostila visa satisfazer tanto a 
necessidade de material textual, em nosso idioma, quanto uma atualização da 
terminologia e do cálculo de incertezas. Trata-se de uma introdução à Teoria dos Erros e 
à experimentação em física. Deve, portanto, ser utilizada como manual de consulta 
prévia para a realização das práticas de física (medições e construção de modelos). 
Nesta primeira versão, atentou-se aos fundamentos da teoria e às concepções 
envolvidas. Preferiu-se, sempre que possível, a análise sintética dos tópicos aqui 
abordados. Tem-se uma introdução sobre a metodologia científica e o lugar da 
experimentação na epistemologia, ou seja, uma das interpretações dadas ao conceito de 
“verdade científica”. No Capítulo 1, se discute a questão da percepção humana na 
quantificação de grandezas, o conceito de medição e a utilização de algarismos 
significativos em sua representação. A questão das incertezas, Tipo A e Tipo B; os 
tipos de erros experimentais; alguns aspectos estatísticos e propriedades das incertezas 
são discutidos no Capítulo 2. Também é visto a propagação de incertezas em medidas 
indiretas. A construção de modelos e a utilização de gráficos são vistos no Capítulo 3. É 
dado ênfase à linearização de curvas e ao método dos mínimos quadrados (este, 
demonstrado segundo o método da máxima verossimilhança, recorrendo à estatística). 
Ao final, é dada bibliografia para quem queira aprofundar um pouco mais no assunto. 
Espera-se que este material seja de grande proveito aos alunos, fazendo-os entender que 
a experimentação requer tanta conceituação quanto às disciplinas teóricas. Mais que 
isso: em alguns aspectos, trata-se de uma arte! 
Agradeço ao meu irmão, Luciano R. S. Fernandes, pela fotografia da capa. 
Também agradeço ao meu antigo professor de laboratório de Física Geral, Prof. Dr. 
Piotr Trzesniak, e aos colegas: Dr. Marcelo Gonçalves Vivas e Dr. Nirton Cristi S. 
Vieira, por terem revisto a versão inicial. Também agradeço aos coordenadores dos 
cursos de física experimental do Instituto de Física de São Carlos (IFSC/USP): Prof. 
Dr. Tito José Bonagamba e Prof. Dr. Valmor R. Mastelaro. 
Qualquer erro encontrado aqui se deve unicamente ao autor. 
 São Carlos, 23 de maio de 2013 
 Edson G. R. Fernandes 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Índice 
Introdução 1 
Metodologia científica e experimentação 2 
Capítulo 1 – Algarismos significativos 7 
1.1 Medição e padrão de medição 7 
1.2. A codificação das percepções 9 
1.3. Operações com algarismos significativos 11 
1.4. Regras de arredondamento 13 
1.5. Notação científica 14 
1.6. Casos especiais 15 
Capítulo 2 – Incertezas 17 
2.1. A incerteza 17 
2.2. Tipos de erros 19 
 2.2.1. Erros experimentais grosseiros 20 
 2.2.2. Erros experimentais intrínsecos 20 
2.3. Avaliação de incertezas Tipo A 21 
 2.3.1. Valor médio 22 
 2.3.2. Distribuição normal 23 
 2.3.3. Rejeições 29 
 2.3.4. Incerteza padrão 30 
2.4. Exatidão e precisão de uma medição 35 
2.5. Propagação de incertezas 37 
2.6. Reprodutibilidade e repetitividade 43 
2.7. Instrumentação eletrônica 44 
Capítulo 3 – Modelos 47 
3.1. Modelos empíricos 47 
3.2. Gráficos 49 
3.3. Linearização e escalas logarítmicas 51 
3.3.1. Caso 1: Anamorfose 52 
3.3.2. Caso 2: Linearização da função potencial 53 
3.3.3. Caso 3: Linearização exponencial 53 
3.4. Método dos mínimos quadrados 54 
 3.4.1. Ajuste para uma reta que passa pela origem 58 
 3.4.2. Barras de incerteza 59 
 3.4.3. Coeficiente de correlação R 61 
Referências bibliográficas 62 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 
 
Introdução 
 "In physical science the first essential step in the direction of learning any 
subject is to find principles of numerical reckoning and practicable methods for 
measuring some quality connected with it. I often say that when you can measure what 
you are speaking about, and express it in numbers, you know something about it; but 
when you cannot measure it, when you cannot express it in numbers, your knowledge is of 
a meager and unsatisfactory kind; it may be the beginning of knowledge, but you have 
scarcely in your thoughts advanced to the state of Science, whatever the matter may be." 
[Lord Kelvin, PLA, vol. 1, "Electrical Units of Measurement", 1883-05-03] 
Por meio da experimentação, podemos extrair informações quantitativas (ou 
qualitativas) da natureza através das relações existentes entre os fenômenos observados, 
expressando-os como uma grandeza física descrita por: um número, uma incerteza e uma 
unidade. Experimentar, portanto, significa fazer medições as quais trarão respostas acerca 
da validade dos modelos físicos adotados e transcritos em linguagem matemática. 
As grandezas podem ser definidas como fundamentais e derivadas. Exemplos de 
grandezas fundamentais são: espaço, tempo, massa e carga elétrica -- apesar de poder 
existir outras grandezas fundamentais, estas são as principais. Já as grandezas derivadas 
são expressas em termos das grandezas fundamentais como, por exemplo, velocidade 
escalar (taxa de variação temporal do espaço percorrido por um móvel) e aceleração 
escalar (taxa de variação temporal da velocidade). 
Espaço e tempo são conceitos primitivos os quais não carecem de explicação 
uma vez que tais conceitos são intuitivos. Massa pode ser definida como resultado da 
interação entre os corpos, podendo ser expressa por meio de uma balança de braços iguais 
(massa padrão) ou dinamicamente (massa inercial) sendo que não há uma diferença entre 
as duas massas (gravitação e inércia representam um único fenômeno físico e depende do 
observador). Carga elétrica é o resultado da interação entre dois corpos carregados e pode 
ser expressa em termos de múltiplos da carga de um elétron (ou próton) cujo módulo é 
(1,602176565 ± 0,000000022) x 10
-19
 C (o menor valor de carga encontrado). 
 
Embora possamos definir grandezas com base em medições análogas como, por 
exemplo, o espaço percorrido expresso por meio de múltiplos de uma barra, feita de 
 
 
2 
 
material indeformável e não perecível de comprimento L, é usual redefinirmos essas 
grandezas em termos de outras mais precisas como, por exemplo, o espaço percorrido em 
termos do número de comprimentos de onda de um feixe de luz de certo λ (cuja incerteza 
na medição é muito menor!). Outros exemplos são os relógios atômicos: 9.192.631.770 
Hz é a frequência de irradiação do átomo de Césio e a incerteza em um relógio atômico é 
da ordem de 1,7 x 10
-15
, ou seja, uma exatidão de cerca de 1 segundo a cada 20 milhões 
de anos! Claro que, quanto maior a precisão, mais caro deve ser o instrumento de 
medição!! 
Ao expormos a física como uma ciência, devemos especificar ao certo o que vem 
a ser ciência e o que se costuma chamar método científico. 
 
Metodologia científica e experimentação 
Podemos dizer que a metodologia científica surge da dúvida e do 
questionamento das ideias primitivas sobre o mundo, as quais eram imersas em lendas e 
fábulas. Referenciando os gregos, três nomes merecem menção: Pitágoras, o qual 
demonstrou relações matemáticas bem definidas na natureza; Sócrates com suas 
discussões demonstrando a falta de certeza nas “verdades” aceitas na época; e Aristóteles,o qual foi o grande organizador das ciências e quem definiu os princípios primitivos do 
que seria a Lógica. 
Mais recentemente, sem dúvida muito da forma como atacamos um problema se 
deve ao “Discurso do Método”, proposto por Descartes. Este propôs, como método de 
conhecimento, a simplificação de certa ideia, e sua redução a ideias mais simples e 
inquestionáveis a partir das quais, aceitas sem dúvida nenhuma como axiomas, pudessem 
ser usadas como base na construção do nosso conhecimento. Daí, nossas reduções dos 
fenômenos a simplificações e aproximações em forma de modelos. 
Da Vinci propôs uma visão mecanicista do mundo abrindo várias 
reinterpretações sobre o corpo humano e a relação, deste, com a de outros corpos numa 
proposição mecanicista da própria natureza. 
Digna de nota é a busca de uma ordem universal, retomando de certa forma as 
ideias pitagóricas, feitas por Johannes Kepler. Kepler, cuja mãe foi queimada viva 
 
 
3 
 
acusada de bruxaria, deixou muito do misticismo em suas ideias ao perceber que seus 
modelos teóricos iniciais conflitavam com os dados experimentais extraídos por Tycho 
Brahe, um dos maiores experimentadores da história. 
Mais tarde, cai a ideia da autoridade como verdade científica assumida pelos 
Aristotélicos com a experimentação. A experimentação passa a assumir um papel 
fundamental na questão da verdadeira explicação de um fenômeno físico. Galileu Galilei 
foi quem propôs a experimentação como juiz na explicação dos fenômenos do mundo. 
Logo após a morte de Galileu, nasce uma das maiores mentes que o mundo já 
viu: Isaac Newton. Newton “subindo sobre os ombros dos gigantes” que o precederam, 
propõe uma síntese de todo pensamento até ele sobre a “Mecânica Universal” a qual pode 
ser explicada, testada e prevista a partir da invenção do cálculo de “fluxões” – O cálculo 
diferencial! 
Assim, sem adentrarmos muito em questões epistemológicas, podemos propor 
um diagrama para o método utilizado em ciências: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1: Diagrama do método científico. Em síntese, a partir das observações e 
questionamentos sobre a natureza, delimitamos os fenômenos físicos de interesse, conceituamos, 
definimos as condições iniciais e medimos e coletamos dados para o próximo passo: a 
construção de um modelo. Este modelo é revestido de linguagem matemática que, por ser um 
constructo do intelecto humano, nos leva ao que é verdadeiro matematicamente. A partir daí, 
 
Universo
Parcela do universo
- Conceitualização
- Debate
- Consenso
Delimitação
Condições de contorno
Axiomática (princípios)
Hipóteses
Formalização
+
Linguagem Matemática
Modelo
Há outros modelos
NãoSim
Generalização
Teoria
Lei
Experimentação
CoerênciaNão
*Retorno
*Retorno: Parcela acrescida ao universo
Consenso 
Sim
 Busca por evidências
 Ceticismo
(Critérios de aceitação do 
conhecimento científico)
(observação, curiosidade, dúvida)
 
 
4 
 
confirmamos nosso modelo pelo conflito, deste, com valores obtidos da própria natureza. Se tudo 
estiver bem, testamos nosso modelo a fim de fazermos previsões e, se essas previsões são 
satisfeitas, podemos generalizar nosso modelo na criação de leis e teorias. 
 
Como filosofia natural a física se propõe a uma reflexão sobre o todo e as partes 
desse todo. E como ciência, tenta gerar leis universais que possam ser comprovadas 
matematicamente. Ou seja, restringe no universo de coisas que acontecem ao mesmo 
tempo, os fatos relevantes na explicação de um determinado fenômeno. Já na escolha 
desse fenômeno, o “observador” terá de restringir o que é importante do que não possui 
relevância na análise. Assim, ao mesmo tempo em que se limita ao fato sob estudo, 
também se faz aproximações para tirar as irrelevâncias. A esta abstração, primeira ação 
do pensamento, cria-se um modelo que deve se basear em certas leis a que os fenômenos 
devem se ajustar perfeitamente. Este teste de ajuste só é possível (e daí o termo ciência) 
quando relacionamos, por indução, os fatos relevantes que implicam no fenômeno como 
passamos a ter certa ideia de como e porque este fenômeno ocorre. Somente com uma 
roupagem matemática essa ideia pode ser testada. Sendo a matemática, um constructo do 
intelecto humano e “habitando” somente no “mundo das ideias”, só pode resultar 
verdadeira. O teste último de uma lei ou teoria é a experimentação, gerando valores que 
podem ser comparados, medidos e reavaliados realimentando assim o sistema. 
A questão, após a obtenção de um modelo físico para certo fenômeno cai na 
experimentação, ou seja, na medição de grandezas físicas. A medição se dá por meio de 
uma comparação entre grandezas de mesma espécie onde uma delas é padronizada. Por 
exemplo, podemos medir o comprimento da aresta de um paralelepípedo por meio de uma 
régua graduada. É importante observar que um instrumento de medição se compõe de 
uma escala graduada e, para certificarmos que essa escala é válida, calibramos nosso 
instrumento por meio de uma escala absoluta (antigamente uma barra feita de um aliga de 
irídio e platina, atualmente, por meio de certo comprimento de onda de um laser). 
Há dois tipos de medição: Medição direta e Medição indireta de uma grandeza 
física. 
A medição direta de uma grandeza física se dá pela comparação direta entre a 
grandeza e a escala do instrumento utilizado para medi-la. Contudo, há grandezas as quais 
não temos acesso diretamente a fim de medi-las. A obtenção do valor dessas grandezas se 
 
 
5 
 
faz por meio de medidas indiretas de outras grandezas, das quais a grandeza de interesse é 
função. Por exemplo, podemos obter a velocidade de um automóvel por meio de uma 
medição direta, usando um velocímetro, ou através da medição indireta do espaço 
percorrido e do tempo transcorrido. A relação destas duas variáveis, espaço e tempo, nos 
dá a grandeza de interesse velocidade. 
Assim, devemos levar em consideração operações matemáticas sobre as 
incertezas das grandezas medidas diretamente para o cálculo da incerteza numa medição 
indireta (veremos isso com a ideia de propagação de incertezas). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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7 
 
Capítulo 1 – Algarismos significativos 
1.1. Medição e padrão de medição 
Para iniciarmos nossos estudos sobre as leis que regem o universo (no intuito de 
extrairmos dados quantitativos) devemos ir além de nossos sentidos imperfeitos, uma vez 
que são subjetivos. Por meio de nossas percepções podemos destacar aquelas mais 
relevantes, para uma dada situação, e expressá-las em termos de grandezas. Abaixo, 
seguem duas pinturas realizadas pelo mestre do impressionismo francês, Claude Monet, 
em dois momentos diferentes de sua vida (ao fim da vida, Monet passou a sofrer de 
catarata, começando a usar cores mais fortes)-- a catarata funciona como um filtro 
amarelo que também escurece a imagem, tendo grande peso na acuidade visual e na 
percepção das cores. [1]. Outro impressionista que também apresentava problemas de 
visão foi Edgar Degas. Nós mesmos podemos experimentar a subjetividade das nossas 
sensações quando observamos que corpos em equilíbrio térmico parecem ter temperaturas 
diferentes, p. ex., uma barra metálica e outra de um material isolante elétrico em 
equilíbrio térmico aparentam ter temperaturas diferentes. 
 
 
 
 
 
Figura 2: Duas obras de Claude Monet em momentos distintos de sua vida: a primeira foi a que 
deu origem ao movimento impressionista: “Impressão, nascer do Sol” (1872); a segunda, 
“Ninféias” (1916-1926), pintada já ao fim da vida, após a operação de catarata- a pintura seapresenta diluída e desfocada, com cores mais fortes. 
 
Assim, as percepções de um indivíduo não podem dizer nada. Não podem 
comunicar, uma vez que são próprias de cada um. Quem nunca assistiu ao filme “Festim 
Diabólico” (Rope, 1948), de Hitchcock, e não teve a noção de o tempo passar mais 
devagar, embora a duração do filme não passasse de 1h20min? (aqui temos os efeito do 
chamado “tempo psicológico”). Muitas das vezes, quando essas percepções são 
 
 
 
8 
 
expressas, estão sujeitas às interpretações de quem as descreve: ver caso dos quadros de 
Monet [1]. A noção subjetiva de tempo (nosso tempo psicológico) está diretamente 
relacionada com nosso relógio biológico: uma percepção pode ser comunicada, porém 
está sujeita a reinterpretações uma vez que conceitos como “maior”, “menor”, “mais”, 
“menos”, etc. podem ter significados diferentes para cada um: Uma percepção desse tipo 
é a comunicação de certa quantidade de água expressa em termos do volume de um 
objeto. Para uma comunicação efetiva e objetiva, são necessárias duas percepções de 
mesma espécie sendo natural a padronização de uma delas: unidade de medição. 
A padronização envolve a comparação de percepções que, num primeiro 
momento, são definidas por meio de comparações de igualdade, utilizando os sentidos e, 
após, por interpolação. Por exemplo, verificar se a grandeza r é igual ou não a um padrão 
p: 
Padrão visivelmente diferente: 
 r 
 p 
Não são iguais! (objetivo) 
E para o caso abaixo, onde r parece ser igual a p? 
 r 
 p 
Sim, são iguais! (subjetivo). Neste caso, a percepção pode coincidir com o 
padrão e as grandezas serão iguais. 
Quando os sentidos se tornam insuficientes, necessita-se de instrumentos de 
medição. O instrumento permite tomar o padrão p e dividi-lo em N partes iguais às quais 
serão a menor divisão de nossa escala (ou menor incremento digital ε). Mediçaõ, 
portanto, é a codificação simbólica de uma percepção sensorial a qual pode ser obtida 
diretamente por meio de uma comparação direta com uma escala ou, indiretamente por 
meio de alguma relação entre o que se quer medir e outras grandezas (de mesma natureza 
ou não) as quais deverão ser medidas diretamente. 
 
 
9 
 
A medição de uma grandeza física se faz, portanto, por meio de um número 
acompanhado de uma unidade ou padrão. Ou seja, quantas vezes a unidade ou padrão foi 
tomado na medição. Por exemplo, se dissemos que um pote possui 3,4 metros isto quer 
dizer que o poste possui um tamanho 3,4 vezes maior que o padrão adotado: o metro. 
Assim, a unidade é definida pelo padrão adotado. Uma vez que certa unidade é tomada 
como padrão, devemos certificar que este padrão não se altere com o tempo, para que as 
medidas sejam confiáveis e precisas. 
 
1.2. A codificação das percepções 
Na codificação de uma percepção se deve ater somente ao que se é capaz de 
perceber e nada além dessa informação. Uma vez que os símbolos são mais facilmente 
transportados que as percepções, eles devem ser sempre adotados. Para codificar é 
necessária uma comparação, e há duas maneiras de se comparar: 
Por contagem: Quando a percepção é maior que o padrão, podemos contar o 
número de divisões de escala (menor incremento digital ε) do padrão: 
 
 
AB = 7 ε (seguramente nem 6, nem 8) 
 
Por interpolação: Quando a percepção é menor que o padrão (ou o menor 
incremento digital ε) e é expressa por um número único de algarismo não nulo: 
 
 
A’B’ = 0,8 do padrão 
Ou seja, o menor incremento digital ε foi dividido mentalmente em N partes 
iguais e uma nova contagem foi realizada, agora, mentalmente (geralmente N vale 2, em 
nosso exemplo N é igual a 10!). 
A B 
ε 
P O 
A’
@” 
’ 
B’ 
P O 
ε 
 
 
10 
 
Assim, numa medição, devemos incluir: 
i) Todos os algarismos resultantes de comparação por contagem. 
ii) Um único dígito adicional decorrente de uma interpolação, ainda que resulte 
em valor nulo (zeros à direita são informações válidas e não podem ser suprimidos ou 
acrescentados aleatoriamente. Ex: 0,0001 possui um único algarismo; já 1,000 Possui 4 
algarismos ditos significativos). A interpolação é um pouco subjetiva, ao se repetir uma 
observação várias vezes, o resultado poderá variar (aleatoriamente). 
iii) O nome do padrão utilizado (m, cm, mm, g, kg, ºC, K, etc.). 
No caso anterior, temos: 
AB = 7,8 ε (unidades de medida) 
O algarismo 7, foi obtido por contagem. 
O algarismo 8, foi obtido por interpolação. 
Zeros à esquerda não carregam informação- não há erros em adiciona-los ou 
suprimi-los (neste caso, notação científica é sempre bem vinda!): 
0,012 Km é o mesmo que 12 m. 
0,0120 Km não é o mesmo que 12 m (neste caso, teríamos 12,0 m!). 
Aos algarismos encontrados por contagem mais a interpolação são ditos 
algarismos significativos (A.S.). Em uma medição, quando expressamos um número por 
7 ou 7,00, dissemos que a medição pode variar de 6 a 8 ou 6,99 a 7,99, respectivamente. 
O que implica maior ou menor precisão em nossa medição. Portanto, A.S. são os 
algarismos necessários para nos referirmos a um valor medido com a mesma precisão da 
instrumentação utilizada para medi-lo (obviamente, quanto mais preciso o instrumento 
mais caro ele provavelmente será!). 
O processo de interpolação é um pouco subjetivo e pode flutuar de pessoa para 
pessoa, ou mesmo para a mesma pessoa, ao se repetir o processo. Assim, será adotado um 
divisor apropriado e que expressa a divisão mental, da menor divisão do padrão, em N 
partes iguais (como dito anteriormente, geralmente se adota o valor 2, para os casos em 
que as menores divisões do padrão possuem um comprimento de 1 mm. Para 
 
 
11 
 
comprimentos de escala maiores, por exemplo 2 mm, adotam-se outros valores, por 
exemplo, 4). 
Portanto, a medição é um processo de conversão analógico/digital (A/D), 
baseando-se em: i) um menor incremento digital (ε), que é a mínima variação que o 
instrumento detecta, ou seja, a menor divisão da escala. ii) um contador que registra (em 
números inteiros M) a quantos ε corresponde a grandeza S a ser medida. iii) uma 
interpolação, µ. iv) o padrão utilizado expresso pela unidade. Logo, a medição S é dada 
por: 
 S=M ε + µ (unidade) (M é um número inteiro, e µ dará o número de casas 
decimais) 
Medições realizadas por um mesmo instrumento, numa mesma escala, poderão 
ter quantidades diferentes de algarismos, contudo, sempre terão a mesma ordem decimal 
final fixada por µ. 
Tabela 1: Alguns exemplos de grandezas físicas expressas em termos do número de A.S. 
Grandeza Número de A.S. 
6,67259 6 
1,60217730 9 
0,0224
 
3 
6,626075 7 
- 273,16 5 
 
1.3. Operações com algarismos significativos 
Vimos, na sessão anterior, como se procede em casos de medições diretas de 
grandezas físicas. Quando se medem diversas grandezas indiretamente devemos adotar 
certas regras para melhor expressarmos o resultado final em termos de A.S. uma vez que, 
as mesmas, resultam da aplicação de ao menos um operador matemático. Vejamos 
algumas dessas regras: 
 
 
 
 
 
12 
 
Tabela 2: Algumas regras para obtenção de A.S. para alguns operadores matemáticos. 
Operadores Não é significativo o que estiver além de: 
+ ou - Ordem decimal final mais elevada que houver entre 
os participantes. 
x, /, Sen, Cos, etc. Quantidade de algarismos do participante do 
cálculo mais pobre em algarismos.* 
Potenciação e radiciação Manter o número de casas decimais da base ou 
radicando.* 
Logaritmo Contar o número de A.S. do argumento. Oresultado 
deve possuir o número de casas decimais iguais ao 
número de A.S. do argumento.* 
*Caso o resultado termine em dígito 1, aumenta-se um algarismo. 
 
A subtração é a única operação em que se pode perder grande quantidade de 
informação (em termos de algarismos significativos) em relação ao participante mais 
pobre do cálculo. Por isso, adie sempre as operações de subtração. 
Caso o resultado comece com o dígito 1, ele terá um A.S. a mais: perceba que 
passar de 11 a 12, ou de 12 a 13, nos fornece uma variação de 1 e, portanto, de cerca de 
10%. Já, uma variação de 11,0 a 12,0 nos fornece passos de 0,1, ou seja, de cerca de 1%. 
Portanto, com o acréscimo de um dígito diminuímos a incerteza gerada pelo dígito 1 que 
inicia o resultado. 
 
Exemplos: 
A1 = 1,5146 + 0,12 + 451,4 = 453,0 
A2 = 28,5383 – 28,520 = 0,018 
B1 = 5,3 x 7,817 = 41 
B2 = 3,0 x 50,02 = 150 = 1,50 x10
2
 (acréscimo de um dígito) 
B3 = 3,14 x sen(1,993) = 2,8643 = 2,86 
C1 = 2,145
2
 = 4,601 
 
 
13 
 
D1 = Ln(31,5) = 3,44998 = 3,450 (3 A.S., 3 casas decimais) 
 
Obs.: Quando o erro em uma medição não é mencionado, assumimos que a incerteza esteja 
no último dígito (A.S.). Por exemplo: para uma medição resultando 10,94 s, a incerteza assumida é de 
0,01 s. 
Quando interpolamos o resultado final, truncamos o valor e o arredondamos de 
acordo com o valor do próximo dígito encontrado. 
 
1.4. Regras de arredondamento 
Quando interpolamos certo valor, teremos de interromper a série de números 
neste valor. Porém, desconsiderar todo restante da série pode resultar em um erro 
substancial. Assim, interpolamos a grandeza e realizamos um arredondamento, para 
minimizarmos os demais números perdidos, de acordo com o valor do próximo dígito na 
interpolação aplicando as regras: 
- Desprezando-se algo que é > 5  aumenta-se 1 na última casa do número que 
se conservou. 
- Desprezando algo < 5  Deixe como está. 
- Para algo = 5, número precedente sempre é par segundo as regras: 
i) Mantenha o dígito precedente inalterado se ele for um número par. 
ii) Aumente 1 ao dígito precedente se o mesmo for ímpar. 
 
Exemplos: 
P1 = 8,768 x 13,1 = 114,8(6)08 = 114,9 (acréscimo de um dígito) 
P2 = 3, 483 + 1,23 = 4,71(3) = 4,71 
P3 = 3,12 x 0,98 = 3,0(5)76 = 3,0 
P4 = 0,32278 x 11 = 3,5(5)058 = 3,6 
 
 
14 
 
P5 = (2,4664 ± 0,0027) m = (2,466 ± 0,003) m 
P6 = (45,1324 ± 1,984) m
2
 = (45,1 ± 2,0) m
2
 = (45 ± 2) m
2
 
P7 = (0,033445 ± 0,000488) C = (0,03344 ± 0,00049) C = (3,344 ± 0,049)x10
2
 C 
 
1.5. Notação científica 
Uma vez que zeros à esquerda não são significativos é conveniente expressar a 
grandeza com o menor número possível de zeros por meio de um submúltiplo de sua 
unidade ou utilizando a notação científica. Ainda, por vezes, é inconveniente e, até 
mesmo, imprópria a representação de uma grandeza por um número elevado de zeros (a 
questão das casas decimais foi vista em operações com A.S.). Neste caso, a notação 
científica se mostra bastante adequada e seu uso se baseia nas potências de dez do valor 
apresentado (exemplos B2 e P7 das sessões 1.3 e 1.4, respectivamente). Por exemplo: 
1.000.000 pode ser convenientemente escrito como 1,0 x 10
6
 conforme o número 
de A.S. adequados, neste caso, 2. 
Também empregamos notação científica sempre que queiramos exprimir os 
resultados em que a parte significativa não chega à casa das unidades: 47,283 s com 3 AS 
resulta: 4,73 x 10
4
 s. 
Note que há apenas um algarismo (não nulo) antes da vírgula. 
 
Exemplo: 
(0,005329875 ± 0,000015489) m 
A representação mais correta seria: 
(5,323 ± 0,015) mm - por mudança de unidade 
(5,323 ± 0,015)x10
-3
 m – usando notação científica 
Revendo a Tabela 1: 
 
 
15 
 
Tabela 3: Alguns exemplos de grandezas físicas expressas em termos do número de A.S. e com uso de 
notação científica. 
Grandeza e unidade Descrição 
6,67259 (x10
-11
 m
3
s
-2
kg
-1
) Constante gravitacional G 
1,60217730 (x10
-19
 C) Carga do elétron 
22,4 L
 
Volume molar de um gás 
6,626075 (x10
-34
 Js) Constante h de Planck 
- 273,16 ºC Zero absoluto 
 
Obs.: um dos órgãos responsáveis pela análise e utilização das constantes físicas é o 
CODAT: Commitee on Data for Science and Technology). 
 
1.6. Casos especiais 
i) Constantes aritméticas em fórmulas possuem infinitos algarismos 
significativos. 
P. ex.: c=
1
 
mv 
 
ii) Constantes físicas ou irracionais 
Devem, em cálculos, serem tomadas com pelo menos 1 A.S. a mais do que a 
medida mais pobre. 
P. ex.: Cálculo do período de um pêndulo 
 = √
l
g
 l = 1,216 m (4 AS) 
 = 3,14159265... 
 g = 9,80667 m.s
-2
 
.: T = 2,2125 s 
Obviamente, quando se usa máquinas eletrônicas, a utilização de todas as casas 
decimais disponíveis não causa nenhum problema! 
2,000000... 
2,000000... 
 
 
16 
 
Obs.: As constantes físicas definidas como, p. exe. a velocidade da luz no vácuo (29979458 
ms
-1
), são expressas por números exatos. Já, as demais constantes físicas são seguidas por suas 
incertezas. Por exemplo: Constante de Faraday: (96.485,3365 ± 0,0021) Cmol
-1
 (para maiores 
informações acessar: http://physics.nist.gov/cuu/Constants/). 
Um exemplo de número exato é dizer que você tem uma nota de R$ 10,00 reais na carteira 
ou, que possui 12 colegas de trabalho. 
 
iii) Comparando dois valores A e B: 
Podemos comparar dois valores A e B por meio da variação absoluta de um em 
relação ao outro, ou por meio da sua variação relativa, conforme tabela abaixo: 
Tabela 4: Comparação entre dois valores A e B. 
 Variação Absoluta Valor relativo Variação relativa 
Com respeito a A B-A B/A B 
 
=
B
 
 1 
Com respeito a B A-B A/B B
B
=
 
B
 1 
 (com unidade) (sem unidade) (sem unidade) 
Surge a questão de como se considerar duas medições de uma mesma grandeza, 
com diferentes incertezas, como equivalentes. Suponhamos as medições da grandeza : 
 e . Podemos verificar a equivalência dos dois valores pela 
comparação entre a diferença dos valores medidos e as incertezas da seguinte forma: 
Se | | ( ), as medições são equivalentes. 
Se | | ( ), as medições não são equivalentes. 
Se ( ) | | ( ), os resultados do experimento são 
inconclusivos e não podemos afirmar se há ou não equivalência entre as duas medições e, 
portanto, o experimento deve ser repetido cuidadosamente a fim de se eliminar possíveis 
erros sistemáticos. 
 
 
 
 
17 
 
Capítulo 2 – Incertezas 
 
As generalizações feitas em ciência permitem que os resultados de experimentos 
similares feitos em lugares distintos sejam semelhantes. Contudo, tais resultados nunca 
serão iguais devido às variáveis que fogem ao controle do experimentador e, portanto, 
não são levadas em consideração durante o experimento. Assim, resultados obtidos em 
um experimento por diferentes experimentadores e em diferentes lugares deverão ser, 
embora muito próximos, diferentes. A impossibilidade de se repetir as mesma condições 
iniciais de fato (como dizia Heráclito de Éfeso: “Não se pode banhar no mesmo rio duas 
vezes”), leva a um desvio do valor “verdadeiro” denominado erro experimental o qual 
pode ser expresso por . Esse desvio se deve às incertezas inerentes à própria 
experimentação e serão discutidas nesta sessão. Além dessas incertezas, também 
chamados de erros estatísticos, também serão discutidos os erros grosseiros e erros 
sistemáticos devidos, respectivamente,ao experimentador “novato” e ao instrumento de 
medição ou técnica utilizada para a medição. 
 
2.1. A incerteza 
Incerteza aqui tem o mesmo sentido de dúvida e pode ser explicada pelo fato de 
que: i) o resultado de uma medição é uma informação limitada ao que se consegue 
observar. ii) o valor “verdadeiro” de qualquer grandeza é inatingível, ou seja, as medições 
são sempre aproximadas. Ambas têm a ver com a menor divisão da escala do 
equipamento utilizado na medição e, portanto, não existe medição “exata”. Podemos 
representar o desvio de uma medição, , do seu valor “verdadeiro”, , como a subtração 
 e, portanto, o erro da medição pode ser dado por: 
 ( ) 
Assim, o valor “verdadeiro” de uma medição deve estar no intervalo: 
 
Como os algarismos significativos não podem dizer nada a respeito de 
aproximações (± 0,1?; ± 0,2?; ± 0,5?), para o conhecimento dessas aproximações, 
 
 
18 
 
estabelece-se uma incerteza de medição que, somada e subtraída do valor obtido, 
estabelece um intervalo o qual, com máxima segurança, contém o valor verdadeiro (como 
visto acima). Portanto, a incerteza caracteriza a dispersão dos valores que podem ser 
atribuídos ao mensurando, ou seja, a incerteza delimita o valor do erro. 
Uma mesma medida tomada mais de uma vez (mesmo pelo próprio observador) 
pode resultar em valores diferentes. Para encontrar a incerteza, repete-se n vezes o 
procedimento de medição nas mesmas condições iniciais, obtendo-se n leituras da 
grandeza de interesse. Supondo valores estatisticamente independentes (ou seja, a matriz 
de covariância para as n medições é diagonal: ver [2]), essas leituras devem flutuar em 
torno do valor “verdadeiro”. É com base nessas medidas, que se define um valor central, 
ou representativo, e a incerteza (veremos adiante que uma boa estimativa para o valor 
“verdadeiro” é a média aritmética das n leituras). A figura abaixo mostra uma escala onde 
foram feitas n leituras (medições), a seta indica o valor central (valor esperado da 
medição “verdadeira”, ou seja, o valor médio) e a incerteza expressa por Δ. 
 
 
 
 
Figura 3: A figura mostra uma série de medições de certa grandeza destacando o 
valor médio e a distribuição dos valores em relação ao valor médio. A incerta é 
dada por Δ. 
 
Mais uma vez, Δ é a incerteza (± Δ fornece o intervalo de medida que, com 
máxima segurança (e certo grau de confiança), contém o valor verdadeiro). 
A incerteza é sempre positiva e pode ser expressa por um valor absoluto (com 
unidades) ou relativo (em %). Deve possuir, no máximo, dois algarismos além de zeros à 
esquerda; e a incerteza e o valor representativo devem ter a mesma ordem decimal final. 
Não existe incerteza nula! 
 
1 2 3 4 5 6 6
0 
5 3 2 1 0 4 
 
Δ Δ 
 
 
19 
 
Para expressarmos a incerteza, podemos recorrer as seguintes regras [2] (ABNT-
INMETRO (2004)): 
Se o primeiro dígito for menor que 3, escrever a incerteza com 1 ou 2 A.S. 
Se o primeiro dígito for maior ou igual a 3, escrever a incerteza com 2 A.S. 
Quando a incerteza é fruto de uma estimativa ou apenas indicativa (metade do 
menor incremento digital da escala do instrumento) usar 1 A.S. 
Salvo contrário, achamos por bem expressar sempre a incerteza com 2 A.S. 
Duas observações importantes: 
i) Usar a mesma potência de dez tanto para o mensurando quanto para 
sua incerteza. 
ii) Ambos, mensurando e incerteza, devem possuir o mesmo número de 
casas decimais (aqui não devemos nos preocupar com os A.S. finais, 
pois o valor dependerá da incerteza). 
 
Exemplos: 
A Tabela 5 mostra a representação final de uma medição, com sua respectiva 
incerteza. 
Tabela 5: Representação de grandezas físicas com respectiva incerteza. 
Valor representado Incerteza Medida – Intervalo 
7,453 Kg 0,012 Kg (7,453 ± 0,012) Kg 
4,35 x 10
-2
 N 12 x 10
-4
 N (4,35 ± 0,12) x 10
-2
 N 
15300 g = 1,5300 x 10
4
 g 100 g = 0,010 x 10
4
 g (1,530 ± 0,010) x 10
4
 g 
3,795 V 10% = 0,38 V (3,80 ± 0,38) V 
 
2.2. Tipos de erros 
Vimos as incertezas envolvidas numa medição e como representa-las 
corretamente. Veremos, agora, os tipos de erros existentes em uma medição. 
 
 
 
 
20 
 
2.2.1. Erros experimentais grosseiros 
São erros decorrentes de falta de cuidado e atenção, e nunca podem ocorrer. 
Como não geram incerteza, são erros considerados graves: ainda não há ciência para o 
cômputo de tais erros! 
Surgem de: Instrumentação visivelmente danificada, falta de ajuste de zero, 
leitura equivocada de escala, erros de transcrição de dados, paralaxe: Binóculo e de 
movimento (evita-se observando as escalas sempre perpendicularmente e com apenas um 
dos olhos), valores indevidamente lidos ou incorretamente anotados, etc. 
 
2.2.2. Erros experimentais intrínsecos 
São inerentes ao processo de medição, e são eles que definem a incerteza. São 
classificados em: 
a) Erros sistemáticos: Tais erros afetam uma ou todas as leituras, para mais ou 
para menos. (Ex.: Trena calibrada a 20 °C e empregada a 40 °C, assim, os resultados são 
todos menores do que deveriam ser; tempo de reação ao se apertar um cronômetro (em 
torno de 0,1 s); considerar o seno de um ângulo como o próprio ângulo (experimento do 
pêndulo simples); etc.). Na avaliação de incertezas, são chamados de incertezas do Tipo 
B. 
Em princípio podem ser (parcialmente) identificados e compensados, mas 
sempre fica um limite de erro sistemático (ou erro sistemático residual), S, que não 
mais se sabe se é para mais ou para menos (é uma das parcelas da incerteza). O piso 
(mínimo) do S é metade (ou outro valor dependendo da interpolação) do menor 
incremento digital da escala empregada (Ex.: para uma régua cujo menor incremento 
digital é 1 mm, resultará em S = 0,5 mm; uma balança digital em que o fabricante 
garante incerteza de 0,1 g, resultará S = 0,1 g). 
b) Erros estatísticos: São os erros casuais, aleatórios, fortuitos: os valores 
variam de medição a medição devido a fatores aleatórios os quais estarão sempre 
presentes. Na avaliação de incertezas, são também chamados de incertezas do Tipo A e se 
 
 
21 
 
necessita de métodos estatísticos para descrevê-las. Afetam as leituras indistintamente 
para mais ou para menos, fazendo-as flutuar em torno de um valor médio. 
Incertezas do Tipo A são caracterizadas pelo limite de erro estatístico, E, sendo 
a segunda parcela da incerteza. 
A incerteza total, , é, pois: 
 = S + E 
Obs.: Claro que, para estimarmos as incertezas referentes à instrumentação utilizada, 
devemos levar em consideração que as medições sucessivas são similares e independentes. Aqui não 
mostraremos os valores de covariância das grandezas medidas [2]. 
 
 2.3. Avaliação de incerteza Tipo A 
As n observações de certa grandeza g fornecem uma distribuição com n leituras 
gi. Tal distribuição nos dá a informação de quem foi encontrado e quantas vezes. Por 
exemplo, tomemos duas séries de medições (Série A e Série B) da espessura de um fio de 
cobre: 
Tabela 6: Duas séries, A e B, para medições da espessura de um fio de cobre. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Por meio de histogramas podemos visualizar a distribuição dos dados. Primeiro, 
estabelecemos um intervalo de valores (chamado, em estatística, de intervalo de classes) e 
Série A Série B 
Medição 
± 0,05 (mm) 
Ocorrência 
Medição 
± 0,05 (mm) 
Ocorrência 
2,13 1 2,13 1 
2,14 2 2,14 1 
2,15 3 2,15 3 
2,16 5 2,16 5 
2,17 6 2,17 8 
2,18 8 2,18 12 
2,19 7 2,19 10 
2,20 5 2,20 7 
2,21 4 2,21 4 
2,22 3 2,22 2 
2,23 2 2,23 1 
2,24 1 2,24 1 
 
 
22 
 
contamos o número de ocorrências em cadaintervalo, neste caso, nosso intervalo vale 
0,01 mm: 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4: Histogramas referentes às duas séries de medições mostradas na Tabela 5. 
 
Se dividirmos o número de ocorrências pelo número total de medidas (50) 
obtemos uma ideia da probabilidade do valor do diâmetro do fio em cada intervalo 
escolhido. 
 
2.3.1. Valor médio 
O melhor valor representativo de uma distribuição é sua média aritmética (mais 
tarde, usando o método dos mínimos quadrados, chegaremos a este mesmo resultado). 
Como podemos notar pelos histogramas, há uma tendência de a maioria das medidas 
estarem próximos a um valor central dado pela média de todos os valores 
(estatisticamente, ̅ quando , ou seja, não só é uma boa estimativa como é a 
melhor estimativa para o valor real de ): 
 ̅ 
 
 
∑ 
 
 
 
 
 
 
2,14 2,16 2,18 2,20 2,22 2,24
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
 
F
re
q
u
ê
n
c
ia
Diâmetro (mm)
Série A
2,142,162,182,202,222,24
 
 
Diâmetro (mm)
Série B
 
 
23 
 
2.3.2. Distribuição normal 
Quando os valores mais prováveis caem mais próximos do valor médio que os 
valores menos prováveis e, ainda, tais valores são independentes podemos expressar seu 
comportamento por meio de uma função de distribuição chamada normal ou gaussiana. 
Se prosseguíssemos com um grande número de medições muito maiores que 50 
(matematicamente é dizer que ) observaríamos uma curva contínua ao 
desenharmos um gráfico do número de ocorrências das medições tomadas em função dos 
valores medidos. Ou seja, para um número suficientemente grande de medições, nosso 
histograma tenderia a uma curva dada pela chamada distribuição normal, descrita por 
Gauss. A Figura 5 mostra essa curva, também conhecida como “curva em forma de 
sino”: 
 
 
 
 
 
 
Figura 5: As curvas gaussianas representativas das distribuições para as séries de 
medições A e B. 
 
Percebemos um valor máximo nas curvas da Figura 5 referente ao ponto médio 
e um comportamento assintótico em relação à abcissa. A área sob a curva representa o 
número de medições que recaem dentro de um intervalo adotado. Comumente, a 
distribuição normal é redefinida em termos de probabilidade (na verdade, densidade de 
probabilidade), ou seja, a área total sob a curva é normalizada (unitária) e, para certo 
intervalo tomado, corresponde à probabilidade dos pontos caírem dentro do intervalo. 
Supondo o intervalo entre x e (x + dx) e, usando a função densidade de probabilidade 
obtida por Gauss para descrever a curva normal, a probabilidade de é dada por: 
 
2,12 2,14 2,16 2,18 2,20 2,22 2,24
0
2
4
6
8
10
12
 
 
 Série A
 Série B
F
re
qu
ên
ci
a
Diâmetro (mm)
 
 
24 
 
 ( ) 
 
 ( ) ⁄
 [ 
( ̅ )
 
 
] 
A função acima não possui solução analítica. Assim, para o cálculo da 
probabilidade de certo intervalo, se recorre a valores tabelados da normalização da função 
densidade de probabilidade (a referência [3] fornece uma boa leitura sobre o tema). 
O desvio padrão s dá uma ideia de como os dados se distribuem ao redor da 
média. Assim, um desvio de 1s equivale a uma certeza de 68%; 2s equivale a 95% de 
certeza; 3s, 99,7% e 4s equivalem a 99,994%. E isto responde ao quão provável é a 
estimativa do valor medido acrescido de um intervalo expresso por s. 
Para o caso da Série A, obtemos uma curva “baixa” e “gorda”, ou seja, uma 
maior dispersão dos pontos medidos em relação ao valor médio e, portanto, um resultado 
não muito bom, possivelmente, devido à presença de erros residuais significativos 
somados aos erros estatísticos. Para a Série B, reduzimos os erros residuais presentes e 
obtemos uma curva melhorada-- “alta” e “magra”-- com menor dispersão dos valores 
medidos (menor desvio em relação ao valor médio) e, portanto, menor incerteza. 
As gaussianas podem se diferir, para um mesmo valor médio (como vimos na 
Figura 5), e caracterizamos matematicamente essas diferenciações através do desvio da 
média: 
 ̅ 
Uma vez que o somatório de tais desvios pode resultar nulo, podemos tomar sua 
média em valor absoluto: 
 ̅̅ ̅ 
 
 
∑| |
 
 
 
Uma melhor representação dessa distribuição é o desvio padrão: 
 
 
( )
∑( )
 
 
 
 
Obs.: O valor N-1 foi utilizado, ao invés de N, pois os dados já foram utilizados uma vez 
para o cálculo da média havendo, portanto, N-1 valores independentes (ou N-1 graus de liberdade: 
houve a perda de um grau ao se calcular o valor médio). 
 
 
25 
 
O limite de erro estatístico ou incerteza do Tipo A, , é definido como o desvio 
padrão da média, , (se uma população-- todos os valores possíveis para a grandeza 
medida-- se distribui normalmente, não importa o conjunto de dados tomados, todos os 
dados se distribuirão também normalmente e pode ser visto como o desvio padrão dos 
valores médios ̅). O limite de erro estatístico é dado por: 
 
 
√ 
 
(o valor 3 indica uma certeza, ou intervalo de confiabilidade, de 99,7%. Aliás, 
 deve ser sempre dado em termos de 99,7% de certeza!) 
Ou seja, a probabilidade do valor “verdadeiro”, , pertencer ao intervalo 
é de 99,7% (intervalo de confiabilidade de 99,7%). Matematicamente: 
 ( ) 
Claro que o intervalo de confiaabilidade apresentado até aqui vale somente para 
um número grande de medidas para que as dispersões, no mesmo intervalo, estejam 
dentro do valor probabilístico esperado. Assim, o fator multiplicativo de , para certa 
probabilidade, p. exe. 68%, deve variar conforme o número de medições (tais fatores são 
reajustados e apresentados na Tabela 7, a seguir). 
Obs.: Notar que s não depende do valor n e somente dos erros residuais! 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
26 
 
Tabela 7: Fatores multiplicativos para diferentes probabilidades (P) para vários graus de 
liberdade (GL) – Distribuição t-Student. 
 GL | P 50,00% 68,27% 90,00% 95,00% 95,45% 99,00% 99,80% 
1 1,00 1,84 6,31 12,71 13,97 63,66 318,31 
2 0,82 1,32 2,92 4,30 4,53 9,92 22,33 
3 0,76 1,20 2,35 3,18 3,31 5,84 10,21 
4 0,74 1,14 2,13 2,78 2,87 4,60 7,17 
5 0,73 1,11 2,02 2,57 2,65 4,03 5,89 
6 0,72 1,09 1,94 2,45 2,52 3,71 5,21 
7 0,71 1,08 1,89 2,36 2,43 3,50 4,79 
8 0,71 1,07 1,86 2,31 2,37 3,36 4,50 
9 0,70 1,06 1,83 2,26 2,32 3,25 4,30 
10 0,70 1,05 1,81 2,23 2,28 3,17 4,14 
20 0,69 1,03 1,72 2,09 2,13 2,85 3,55 
30 0,68 1,02 1,70 2,04 2,09 2,75 3,39 
40 0,68 1,01 1,68 2,02 2,06 2,70 3,31 
50 0,68 1,01 1,68 2,01 2,05 2,68 3,26 
60 0,68 1,01 1,67 2,00 2,04 2,66 3,23 
80 0,68 1,01 1,66 1,99 2,03 2,64 3,20 
120 0,68 1,00 1,66 1,98 2,02 2,62 3,16 
150 0,68 1,00 1,66 1,98 2,02 2,61 3,15 
250 0,68 1,00 1,65 1,97 2,01 2,60 3,12 
500 0,67 1,00 1,65 1,96 2,01 2,59 3,11 
1000 0,67 1,00 1,65 1,96 2,00 2,58 3,10 
 
Obs.: Na verdade, a Distribuição t de Student é a mais apropriada para a estimação do 
intervalo de confiança para pequenas amostras. 
 
A contribuição da estatística para o cálculo da incerteza não se esgota com a 
fixação dos percentuais de inclusão. Um pouco de raciocínio leva facilmente à conclusão 
 
 
27 
 
de que esses percentuais representam um compromisso entre a altura e a largura da 
distribuição (normal) das medições. Então surge a questão: caso se aumente o número de 
leituras de um valor n até um valor infinito o que acontecerá? Haverá um aumento 
proporcional em toda a curva, ou uma diminuição, ou uma de suas dimensões (altura ou 
largura) crescerá mais do que a outra? O que equivale a perguntar: as faixas̅ ̅ 
 alargam-se ou ficam mais estreitas quando se passa de um número finito n para 
infinitas leituras? E o valor médio, muda significativamente? As respostas fornecerão a 
expressão final para o valor representativo e para a incerteza da medição desejada, e são 
as seguintes: 
i) O valor médio muda muito pouco, podendo adotar a correspondente a 
apenas n leituras como uma boa representação de infinitas medições. 
ii) O desvio, para infinitas leituras, corresponde ao de n dividido por √ . 
Daí a necessidade de um ajuste para pequenos valores de n. 
 
 inda: Pode haver um limite de erro estatístico, ΛE, inferior à metade do menor 
incremento digital µ? Resposta: em termos práticos (necessita-se de recalibração da 
instrumentação a cada nova medição, para obtenção de medições independentes e 
prevalência de erros puramente estatísticos[4]), ΛE nunca pode ser inferior à metade do 
menor incremento digital µ do sistema de medição que se está empregando. Fica, 
portanto, em definitivo: 
 
 
 ⁄ 
 
√ 
⁄ 
Em termos de algarismos significativos, geralmente o valor médio é 
representado com uma casa decimal a mais que o mensurando e, o desvio padrão e desvio 
padrão da média, com duas casas decimais a mais. 
 
Obs: Seja uma série de medições e seus respectivos erros sistemáticos: 
 , o valor médio é dado por: ̅ ∑
 
 
 
 ∑
 
 
 ∑
 
 
. Assim, ̅ ̅ ∑
 
 
. 
Logo, para , ̅ (o valor médio tende para o valor verdadeiro!). 
 
 
28 
 
É um erro muito comum pensar que a conversão de uma unidade em outra tornará a 
incerteza menor ou maior. Note que o valor da incerteza em relação ao valor da grandeza 
continuará igual! P. exe.: (1,000 ± 0,001) L = (1000 ± 1) mL, e a relação entre a incerteza e o 
valor da grandeza permanece a mesma. 
 
Exemplo: 
Seja a série de medições: 
Tabela 8: Medições para intervalos de tempo com os termos utilizados para cálculo do desvio 
padrão. 
Medição (t ± 0,001) ms ̅(ms) ( )̅ (ms)2 
1 26,802 0,0303 9,1809E-4 
2 26,987 0,2153 0,04635 
3 26,680 -0,0917 0,00841 
4 26,128 -0,6437 0,41435 
5 26,808 0,0363 0,00132 
6 27,400 0,6283 0,39476 
7 26,743 -0,0287 8,2369E-4 
8 27,005 0,2333 0,05443 
9 26,686 -0,0857 0,00734 
10 26,478 -0,2937 0,08626 
 
 ̅ 
 
 
∑ 
 
 ms 
∑ ( 
 
 ) ms (perceba que o somatório resultou 
nulo) 
 √
∑ ( ̅)
 
 
( )
 √
 
 
 ms (intervalo de confiabilidade de 68%) 
 
 
√ 
 
 
√ 
 ms (intervalo de confiabilidade de 99,7%) 
Resposta final: (26,77 ± 0,32) ms (com confiabilidade de 99,7%) 
 
 
 
 
29 
 
Questão interessante: 
Temos dois conjuntos de medições: uma série de 10 medições do tempo 
transcorrido para a queda de uma esfera metálica, e outra série de 10 medições do espaço 
percorrido correspondente a cada tempo medido. Desejamos calcular o valor da 
velocidade máxima da queda e, após, seu valor médio. Para tal, surge a dúvida: Tomar os 
valores médios do espaço e do tempo, para o cálculo da velocidade máxima ou tomarmos 
cada valor, de espaço e tempo, e calcularmos as respectivas velocidades e, após, sua 
média? Bom, descartamos a última e ficamos com a primeira opção! Por quê? Pois, para 
que tomemos a média e, para tal, recorremos à estatística é necessário que cada valor seja 
estatisticamente independente! (coisa que já não ocorre quando calculamos 
primeiramente as distintas velocidades e, após, os seus valores médio e desvio padrão. 
 
2.3.3. Rejeições 
O significado dos percentuais associados ao desvio padrão s é que, em termos 
gerais, somente três em cada 1000 medições extrapola o intervalo de 3s em torno do valor 
médio ̅. Assim, embora seja possível encontrar-se um valor desse tipo, que extrapole o 
intervalo 3s, em uma distribuição de, digamos, 50 ou 100 leituras, sua presença a 
desequilibra, distorcendo a média e levando a um desvio excessivamente elevado. O 
intervalo de ±3s em torno do valor médio é, por isso, denominado de intervalo de 
inclusão e, se alguma leitura se encontrar fora dele, será excluída do conjunto, devendo-
se calcular uma nova média e um novo desvio (para o qual a inclusão será novamente 
analisada, podendo levar a um novo cálculo e assim por diante, até se terem somente 
valores aceitáveis). Em suma, se podem rejeitar certos dados experimentais ditos ruins! 
 
Obs.: Este é o caso em que há a presença de erro grosseiro, ou erro residual superestimado, 
na medição que divergiu do comportamento esperado para o conjunto de medições. 
Um critério bastante utilizado para rejeições é o Critério de Chauvenet [3] onde, para um 
intervalo de confiança ±3s espera-se que 1 em cada 400 valores caiam fora da faixa confiável, ou seja, 
0,3% dos valores encontrados. O critério diz que: “um valor pode ser rejeitado da amostra se o 
número de eventos que esperamos estar mais distantes da média que o valor suspeito, para os valores 
calculados da média e desvio padrão, for menor que 0,5”. Um pouco complicado! 
 
 
30 
 
2.3.4. Incerteza padrão 
 incerteza final ou incerteza padrão, σp (nosso Δ anterior), é dada pela fórmula: 
 √ 
 fim de seguir uma notação mais atual, ΛE foi rebatizado de incerteza do Tipo 
A: σm, e Λr foi rebatizado de incerteza do Tipo B: σr. 
 
Obs.: Mantive as duas notações devido à alguns autores que ainda utilizam o conceito de 
“limite de erro” ou aos bons textos antigos sobre Teoria dos Erros. 
Pela regra ortodoxa: 
 
Exemplos: 
1) Cálculo do diâmetro de um fio de cobre. Valores por equipe: 
Equipe 1: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Valor: ̅ = ,188, σ = 0,01 3, ΛE = σm = 3,25x(0,00389) (99,7%), ΛS = σr = 0,01 
(incerteza sistemática residual adotada: menor divisão do nônio) 
Tabela 9: Medições da Equipe 1. 
Medida Valor: ± 0,01 mm 
1 2,17 
2 2,20 
3 2,20 
4 2,21 
5 2,19 
6 2,18 
7 2,18 
8 2,18 
9 2,18 
10 2,19 
 
 
 
31 
 
Incerteza padrão: 
 √ 
 p = 0,01612 
Resposta final: (2,19 ± 0,02) mm 
 
Equipe 2: 
 Tabela 10: Medições da Equipe 2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Valor: ̅ = ,18 , σ = 0,01619, ΛE = σm = 3,25x(0,00512), ΛS = σr = 0,01 
Incerteza padrão: 
 √ 
 p = 0,01941 
Resposta final: (2,18 ± 0,02) mm 
 
 
 
Medida Valor: ± 0,01 mm 
1 2,17 
2 2,18 
3 2,22 
4 2,17 
5 2,17 
6 2,20 
7 2,17 
8 2,18 
9 2,18 
10 2,18 
 
 
 
32 
 
Equipe 3: 
 Tabela 11: Medições da Equipe 3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Valor: ̅ = , 0 , σ = 0,01135, ΛE = σm = 3,25x(0,00359), ΛS = σr = 0,01 
Incerteza padrão: 
 √ 
 p = 0,01537 
Resposta final: (2,20 ± 0,02) mm 
 
 
 
 
 
 
 
 
Medida Valor: ± 0,01 mm 
1 2,21 
2 2,20 
3 2,22 
4 2,18 
5 2,21 
6 2,20 
7 2,21 
8 2,20 
9 2,19 
10 2,20 
 
 
 
33 
 
Equipe 4: 
 Tabela 12: Medições da Equipe 4. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Valor: ̅ = ,193, σ = 0,0 869, ΛE = σm = 3,25x(0,00907), ΛS = σr = 0,01 
Incerteza padrão: 
 √ 
 p = 0,03113 
Resposta final: (2,193 ± 0,031) mm 
 
 
 
 
 
 
 
 
Medida Valor: ± 0,01 mm 
1 2,20 
2 2,18 
3 2,18 
4 2,23 
5 2,24 
6 2,16 
7 2,17 
8 2,22 
9 2,16 
10 2,19 
 
 
 
34 
 
Equipe 5: 
 Tabela 13: Medições da Equipe 5. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Valor: ̅ = ,183, σ = 0,00949, ΛE = σm = 3,25x(0,00300), ΛS = σr = 0,01 
Incertezapadrão: 
 √ 
 p = 0,01397 
Resposta final: (2,18 ± 0,01) mm 
 
Observações: 
a) Considerou-se como erro residual o menor incremento digital do instrumento 
de medida (nônio). 
b) A média, geralmente, é escrita com uma casa decimal a mais. 
c) O desvio padrão e o desvio padrão da média são escritos com mais duas casas 
decimais. 
d) O nível de confiança adotado foi de 99,7%. 
 
2) Paquímetro: 
Seja um paquímetro de 20 divisões. Logo: 
 
 
 . 
Medida Valor: ± 0,01 mm 
1 2,17 
2 2,19 
3 2,20 
4 2,19 
5 2,18 
6 2,18 
7 2,18 
8 2,17 
9 2,18 
10 2,19 
 
 
 
35 
 
 
 
 
 e 
 
 
 (99,7%), então: √ (não há 
muito sentido se trabalhar com paquímetros de divisão maior que 20!). 
Às vezes também se adota, como limite de erro sistemático, o próprio valor 
de ε (no caso, 0,05 mm). 
 
2.4. Exatidão e precisão de uma medição 
Supondo o valor verdadeiro como o centro de um alvo, e representando as 
medições realizadas como tiros disparados sobre ele, podemos representar a acurácia (ou 
exatidão) e a precisão numa medição conforme a figura abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 6: Alvos representando a exatidão e precisão em uma medição. 
 
A Precisão se associa ao número de casas decimais que se pode ter e a exatidão 
se quantifica pela comparação com um padrão (calibração): o número de casas decimais 
se relaciona com a precisão do instrumento, p. ex., um paquímetro com vernier dividido 
em 20 partes iguais deve possuir uma precisão até a segunda casa decimal de 0,05 mm. Já 
a exatidão está relacionada com a aferição de nosso instrumento de medida com um 
padrão: podemos “errar o alvo” com boa precisão se, p. ex., utilizamos uma boa régua 
metálica aferida em 20 
ο
C, num ambiente de 40 
ο
C. Neste caso, nossa exatidão seria 
exatamente como o da figura do alvo de cima, à direita. 
Baixa exatidão 
Alta precisão 
Alta exatidão 
Alta precisão 
Alta exatidão 
Baixa precisão 
Baixa exatidão 
Baixa precisão 
•• 
 
•• 
 
•• 
 
•• 
 
•• 
 
•• 
 
• 
• • • 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
 
 
36 
 
Quando o erro estatístico é pequeno, as flutuações entre uma medida e outra 
também são pequenas e os resultados tendem a um valor médio, apresentando boa 
repetitividade. Contudo, tais valores podem divergir do valor real (o “alvo”) quando não 
se tem uma boa exatidão nas medições. Além de uma boa precisão e exatidão, os valores 
de uma medição podem diferir conforme uma melhor aproximação do valor médio real 
conforme o número de medições realizadas. Isto pode ser verificado por meio de uma 
curva de distribuição “gorda” e “baixa” contra uma mais “alta” e “magra” (como vimos 
na Figura 5). Obviamente, uma situação ideal seria a de uma distribuição com baixa 
dispersão e desvio padrão, com o maior número de pontos próximos ao valor médio real 
(aproximado sempre pelo valor médio amostral). 
Supondo leituras de distâncias sobre uma régua representadas por pontos sobre a 
mesma, podemos visualizar as distribuições relativas a cada série de medidas e as 
respectivas, precisão e exatidão. Vamos supor três casos: dois com altas precisão e 
exatidão, porém distintas dispersões dos valores em relação à média (ou seja, um mais 
preciso que o outro), e outro com boa precisão e baixa exatidão: 
 
 
 
Figura 7: Série de medições para três casos distintos: Caso 1- alta dispersão dos valores em 
relação à média e presença de erro estatístico, Caso 2- alta dispersão dos valores e presença de 
erro estatístico e sistemático, Caso 3- baixa dispersão dos valores em relação à média e erro 
estatístico. 
 
Para os casos (1) e (3), temos somente a presença de erros aleatórios, ou seja, 
devido a flutuações estatísticas das medições. No caso (1), há uma maior flutuação e, 
portanto, uma maior distribuição dos pontos em relação ao valor mais provável Ᾱ1 (uma 
curva normal mais “baixa” e “gorda” se comparada com a do caso (3)). A distância entre 
Ᾱ1 e Ᾱ2 equivale aos erros sistemáticos (ou erro residual) e nos fornece um valor para a 
exatidão da medição (o caso ̅ possui, portanto, baixa exatidão). 
 
 
 
 
 
 
 
 • • • •••• • • • 
Ᾱ2 
• • •••• • • • 
Ᾱ3 
•
3 
• • •• ••• • • • 
Ᾱ1 Caso 1: 
Caso 2: 
Caso 3: 
 
 
37 
 
Obs.: Para um instrumento utilizado para medir 100,0 unidades e se mede 99,6, sua 
exatidão está limitada ao erro de 0,4%. 
 A precisão pode ser estimada, portanto, por meio da distribuição dos valores obtidos 
em torno do valor médio, ou seja, pela largura do histograma. 
 
2.5. Propagação de incertezas 
Não se pode ter acesso a um grande número de grandezas físicas as quais, por 
definição, são dadas em termos de grandezas físicas mais fundamentais e mensuráveis. 
Por exemplo, podemos definir velocidade escalar como a razão entre o espaço percorrido 
e o tempo transcorrido. Medindo-se ambos, espaço e tempo, chegamos à velocidade 
escalar. Podemos também construir um instrumento de medida que nos dê 
automaticamente o valor da velocidade (velocímetro) desde que calibremos esse 
instrumento para uma velocidade conhecida (padrão). Na primeira, temos o caso de uma 
mediçaõ indireta da velocidade. No segundo caso, trata-se de uma medição direta. 
Para o caso de medições indiretas, podemos expressar nossa grandeza de 
interesse G como uma função das grandezas diretas: 
G = G(x1, x2, x3, x4, ..., xn) 
Sendo que há, para cada uma dessas grandezas uma incerteza associada. Como 
calculamos, pois, a incerteza em nossa grandeza de interesse G? Primeiramente, devemos 
supor que as grandezas x1, x2, x3, x4, ..., xn sejam independentes entre si e G(x1, x2, x3, x4, 
..., xn) seja lentamente variável [2]. Então, uma variação em G é dada por: 
 ∑(
 
 
)
 
 
 
Incertezas nas grandezas xi, representados por , devem resultar em erro na 
medição da grandeza G, : 
 ∑(
 
 
)
 
 
 
 
 
 
38 
 
Uma vez que tais erros podem variar em termos de sinais negativos e positivos e, 
em algum caso, resultar nulo, calcularmos a incerteza em G tomando o quadrado da 
derivada parcial de G em relação a cada variável independente e multiplicando pelas 
respectivas incertezas elevadas ao quadrado. Feito isso, obteremos o quadrado da 
incerteza em G, 
 , dada por: 
 
 ∑(
 
 
) 
 
 
 
 (
 
 
) 
 (
 
 
) 
 (
 
 
) 
 (
 
 
) 
 
Obs.: Para o caso de as medições das grandezas xi serem dependentes, um fator deve ser 
acrescido à equação. Uma visualização importante desse conceito é dada por [5]: 
Para o caso de as incertezas serem distintas, devemos ter: 
 
 ∑(
 
 
) 
 
 
 
 ∑ (
 
 
) (
 
 
)
 
 
 
 
E a segunda parcela da equação é chamada de covariância. 
 
A seguir, é mostrado um resumo das fórmulas que podem ser utilizadas para o 
cálculo da propagação de incertezas: 
 
Seja: a = ( ̅ ± Δx) e b = ( ̅ ± Δy) 
1 - Adição: 
a + b = ( ̅ ± Δx) + ( ̅ ± Δy) = ( ̅ + ̅) ± (Δx +Δy) 
2 - Subtração: 
a - b = ( ̅ ± Δx) - ( ̅ ± Δy) = ( ̅ - ̅) ± (Δx +Δy) 
3 - Multiplicação: 
a . b = ( ̅ ± Δx) . ( ̅ ± Δy) = ( ̅. ̅) ± ( ̅.Δy + ̅.Δx) 
4 - Multiplicação por uma constante, c: 
 
 
39 
 
c . a = c ( ̅ ± Δx) = c. ̅ ± c.Δx 
5 - Divisão: 
 
 
 = 
 ̅
 ̅
 
 ̅ ̅ 
 
 
6 – Potência 
a
m
 = ̅ ± ̅( ) 
7 - Coseno: 
cos (a) = cos ( ̅ ± Δx) = cos( ̅) ± sen( ̅).Δx 
8 - Seno: 
sen (a) =sen ( ̅ ± Δx) = sen( ̅) ± cos( ̅).Δx 
9 – Logaritmo: 
log (a) = log ( ̅ ± Δx) = log ( ̅) ± 
 
 ̅
 , e = 2,7182... 
10 – Raiz quadrada: 
a
1/2
 = √( ̅ ) √ ̅ 
 
 √ ̅
 
 
Exemplos: 
1) (9,750 ± 0,070) /(4,800 ± 0,030) = 2,301 ± 
 
 
 = 2,031 ± 
0,027 
2) (3,72 ± 0,04)
3
 + (2,11 ± 0,04) = (51,5 ± 1,7) + (2,11 ± 0,04) = 54 ± 2 
3) (3,35 ± 0,04) x (2,33 ± 0,07) = 7,8055 ± (3,35x0,07 + 2,33x0,04) = 0,3277 = 
7,8 ± 0,33 
4) (7,500 ± 0,040)
3
 = 421,875 ± 3(7,500)
2
x0,040 = 421,88 ± 6,75 = 421,9 ± 6,8 
 
 
40 
 
As incertezas podem ser interpretadas em termos do cálculo diferencial. 
Geometricamente podemos representar a incerteza como o gradiente da curva 
representativa da função: 
 
 
 
 
 
 
Figura 8: Propagação de incertezas: aproximação da incerteza para uma função de uma 
única variável baseada no cálculo diferencial. 
 
Ou seja, temos a aproximação da série de Taylor, com os primeiros dois termos, 
no ponto x0: 
 ( ) |
 
 
|
 
 ( ) 
 |
 
 
|
 
 
Para mais de uma variável: 
 √∑[(
 
 
)
 
 ]
 
 
 
 
Assim, a melhor estimativa da grandeza indireta, G, é aquele em que G é função: 
 ( ̅ ̅ ̅ ) e a incerteza em G, , é dada pela seguinte função: 
 ( ̅ ̅ ̅ ). 
 
G 
G 
G 
 
 
 
 
 
41 
 
Obs.: O método proposto, obviamente, vale somente quando o erro Δx é suficientemente 
pequeno! Para o caso de multivariáveis, assumimos que as variáveis xi sejam independentes e não se 
correlacionem! 
 
Exemplos: 
1) Seja ̅ ∑
 
 
 
 , cálculo de ̅
 , ou seja, cálculo da incerteza da média: 
Cada xi ± σ, então: 
 ̅
 ∑ (
 ̅
 
) 
 (
 
 
)
 
∑ 
 , assim: ̅ √
 
 
 
 
√ 
 
Ou seja, o desvio padrão médio! 
 ) 
 
 
 para: m = (15,432 ± 0,096) kg e v = (40,91 ± 0,12) m.s-1 
 √⌈
 
 
 ⌉
 
 ⌈
 
 
 ⌉
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 √⌈
 
 
⌉
 
 ⌈
 
 
⌉
 
 
Logo: E = (12914 ± 89) J 
Obs.: Se calculássemos os intervalos diretamente: 
E = 0,5.15,432.40,91
2
 = 12914 
+ΔE = 0,5.(15,432 + 0,096).(40,91 + 0,12)2 – 12914 = 156 
-ΔE = 12914 - 0,5.(15,432 – 0,096).(40,91 – 0,12)2 = 156 
Logo: , então: ( ) J. 
 
 3) Seja a equação de Van der Waals para um gás ideal [6]: 
( 
 
 
 )( ) 
Calcular: i) a pressão do nitrogênio com volume molar: ( 
 ) a uma temperatura de ( ) , dados os coeficientes de 
Van der Waals: , e . ii) A incerteza no 
valor da pressão. Dado: . 
i) Da expressão dada podemos explicitar a função em P: 
 
 
42 
 
 ( ) 
 
( )
 
 
 
 
Logo, fazendo 1J = 1 m
3
Pa, obtemos uma estimativa para o valor da pressão como 
(usando o método funcional): 
 ( ̅ ̅) 
ii) calculo das incertezas devidas a Vm e T: 
 ( ̅ ̅) 
 ̅
( ̅ )
 
 
( ̅ ) 
 
E 
 ( ̅ ̅ ) 
 ( ̅ )
( ̅ )
 
 
( ̅ ) 
 
A contribuição do erro na pressão devido à T é: ( ̅ ̅ ) 
 ( ̅ ̅), e o mesmo pode ser feito em relação a Vm. Resultando em: 
 
A incerteza total em P é então dada por: 
 √( ) ( ) 
Resultando em: P = (11,89 ± 0,02) MPa. 
Compare este método com o método baseado no cálculo diferencial! 
 
4) Cálculo da densidade, ρ, de uma esfera de raio r e massa m: 
 
 
 
 
 √ (
 
 
)
 
 (
 
 
)
 
 
Supondo os valores: r = (0,830 ± 0,005) mm e m = (26,76 ± 0,10) g 
ρ = (11,178 ± 0,206) g.mm-3 = (11,18 ± 0,21) g.mm-3 
 
 
 
 
 
 
43 
 
2.6. Reprodutibilidade e repetitividade 
Quando se reproduz várias medidas sujeitas às mesmas condições iniciais, 
mesmo observador, mesmo instrumento de medição e mesmo mensurando, se diz, acerca 
do grau de concordância dos resultados, ter uma condição de repetitividade. Já, quando 
várias medidas de um mesmo mensurando são tomadas sob condições distintas de 
medição, como diferentes: observadores, instrumentos de medição, locais, dias, padrões 
de referência, etc. dizemos ter uma condição de reprodutibilidade, quanto ao grau de 
concordância dos resultados. A figura abaixo mostra a reprodutibilidade de um 
mensurando medido por dois observadores e a respectiva repetitividade obtida por cada 
um deles: 
 
 
 
Figura 9: Duas séries de medições, A1 e A2, com dispersões aproximadamente iguais e presença 
de erro sistemático para uma delas (série A2). A repetitividade é dada em termos da distribuição 
dos valores em torno do valor médio. E a reprodutibilidade, em termos da presença de erro 
residual (incerteza Tipo B), o que faz uma série divergir da outra. 
 
Obs.: A respeito das definições dos termos adotados em metrologia, o INMETRO lançou a 
portaria N
o
 29, em 10 de março de 1995, intitulada “Vocabulário de termos fundamentais e gerais de 
metrologia” (VIM). Esta portaria esta em conformidade com os órgãos internacionais: ISO, BIPM, 
IEC, IFCC, ILAC, IUPAC, IUPAP, e OIML. 
 
Segundo a VIM: 
Exatidão “é o grau de concordância entre o resultado de uma medição e o valor 
verdadeiro do mensurando”. 
Repetitividade é o “grau de concordância entre resultados de sucessivas 
medições de um mesmo mensurando, efetuadas sob as mesmas condições de medição”. 
 
 
 
 
• • •• ••• • • • 
Ᾱ1 
• • • •••• • • • 
Ᾱ2 
reprodutibilidade 
 
 
44 
 
Reprodutibilidade é o “grau de concordância entre resultados de medições de 
um mesmo mensurando, efetuadas sob condições variadas de medições”. 
Obs.: Para o caso de reprodutibilidade, a média ponderada é a melhor aproximação para n 
resultados experimentais. [4,7] 
 
2.7. Instrumentação eletrônica. 
Em se tratando de instrumentação eletrônica, não faz sentido tomarmos a metade 
do último dígito da escala do equipamento. O que usualmente pode ser feito é adotar-se, 
como incerteza Tipo B, o último dígito da escala do aparelho. Por exemplo, para uma 
balança digital, temos: (25,45 ± 0,01) g (a incerteza recai sobre o último dígito que ela 
pode fornecer, ou seja, 0,01 g). 
Na eletrônica, os instrumentos são classificados por classes. Classe é o limite de 
afastamento, ou máximo desvio, da indicação do aparelho em relação ao valor da 
grandeza, expressa como um percentual do fundo de escala do instrumento. 
 
 
 
 
 
 
Podemos indicar o instrumento de medição eletrônico segundo as classes de 
precisão: 
 
Tabela 14: Instrumento de medição eletrônico segundo as classes de precisão. 
Instrumentação de: Precisão Serviço 
Classe 0,1 0,2 0,5 1,0 1,5 2,5 5,0 
Percentual de erro de fundo de escala ±0,1% ±0,2% ±0,5% ±1,0% ±1,5% ±2,5% ±5,0% 
 
Assim, um instrumento que possui fundo de escala de 400 V de Classe 5, quando 
se tem a indicação de um valor medido 324 V quer dizer: Erro de medição de 0,005 x 400 
V = 20 V, o valor real está entre: 304 e 344 V. 
 
 
45 
 
Toda leitura deve é feita múltiplos inteiros de D (desvio) e escrita até a mesma 
ordem decimal de D. Então, a forma de leitura pode ser vista pela Tabela 15: 
 
Tabela 15: Forma de leitura do instrumento de medição eletrônico de acordo com seu máximo desvio. 
Forma de leitura x10
n 
De 1 em 1 De 2 em 2 De 5 em 5 
Máximo desvio (D) x10
n 
0,75 D1,5 1,5 D 3,5 3,5 D 7,5 
 
Exemplos: 
Tabela 16: Exemplos de medições e leituras em instrumentação eletrônica. 
Classe Fund. de Esc. D F. de Leitura Leitura Medição 
5 100 V 5 5 em 5 V 13,8 V 15 V 
 79,2 V 80 V 
 38,7 V 40 V 
 97,4 V 95 V 
0,5 12 mV 0,06 mV 5 em 5 x10
-2
 mV 1,1 mV 1,1 mV 
 7,8 mV 7,8 mV 
3 300 Hz 9 Hz 1 em 1 x10
1
 Hz 204 Hz 20 x10
1
 Hz 
 4 Hz 0 x10
1
 Hz 
1 30 A 0,3 A 2 em 2 x10
-1
 A 17,43 A 17,4 A 
 27,70 A 27,6 A 
 2,12 A 2,2 A 
 22,48 A 22,4 A 
Obs.: Verifique sempre se seu equipamento está adequadamente calibrado! 
 
Em instrumentação digital, sua incerteza pode ser calculada de várias maneiras. 
Vimos o caso de se adotar o valor da incerteza do último dígito, ou segunda a classe do 
instrumento. Porém, a maioria dos fabricantes segue a norma IEC 485 que diz que a 
incerteza é dada por: 
 ( ) 
Sendo p% o percentual do valor medido especificado pelo fabricante, G a 
grandeza medida, e m é a quantidade de dígitos menos significativos na escala 
selecionada (LSD). 
 
 
46 
 
Exemplo: 
 Em uma medição de tensão obteve-se, em um multímetro digital na escala 
19,999, o valor de 25,770 V. O fabricante especifica, para o multímetro adotado, que p% 
= 0,1% e m = 1. A incerteza é dada, portanto, por ±(0,001x25,770 V + 1x0,001) = 
0,02577, e a medição resulta: (25,770 ± 0,026) V. 
 
 
 
47 
 
Capítulo 3 – Modelos 
O objetivo da ciência é descrever a natureza através do estabelecimento de 
modelos. O modelo de um fenômeno físico permite conhecer o resultado obtido, caso ele 
ocorra, sem que ele de fato ocorra. 
 
3.1. Modelos empíricos 
Como ciência, a física deve propor resultados não somente qualitativos como 
também, e principalmente, quantitativos sobre o mundo. Muitos dos mais interessantes 
problemas físicos são modelados por equações diferenciais parciais as quais não podem 
ser resolvidas analiticamente. Assim, uma saída é lançar mão do cálculo numérico. Outra 
tentativa é expor qualitativamente as propriedades e ideias fundamentais desses 
problemas. 
Modelos relacionam dois ou mais conjuntos de medições, e podem ter forma de 
funções, gráficos ou tabelas sendo, os gráficos, os mais intuitivos por serem pictóricos. 
Os modelos frequentemente possuem validade restrita a certos valores das variáveis 
envolvidas: por isso, deve-se sempre dar o domínio de validade de um modelo. 
Experimentos físicos levam à obtenção de tabelas de valores correspondentes às 
grandezas medidas. Cabe ao observador responder se existe alguma relação entre as 
grandezas tabeladas, ou seja, se há algum modelo para o fenômeno em estudo e, caso 
exista, como podemos expressar tal relação matematicamente. Para tal, primeiramente 
construímos um gráfico exploratório e observamos se há alguma relação matemática entre 
as grandezas. O resultado final será uma curva que, para o caso de uma relação entre 
somente duas grandezas, podemos desenha-la em um plano cartesiano. 
 
 
 
 
 
 
 
48 
 
 
Por exemplo: 
 
 
 
 
 
Figura 10: Verificação de alguma relação existente entre duas grandezas físicas: em (A) não obtemos 
nenhuma relação por inspeção visual já, em (B), visivelmente há uma relação, possivelmente, 
parabólica entre as grandezas Espaço percorrido e Tempo. 
 
As tabelas, primeiro passo na construção de gráficos, devem ser claras e 
concisas. Os nomes adotados para as grandezas, bem como suas respectivas unidades, 
devem ser colocados em um cabeçalho, separado do corpo da tabela onde serão colocados 
os dados experimentais, como podemos ver nos exemplos de tabelas desenhadas aqui, 
incluindo um comentário a respeito do que se está tratando na tabela. Como pôde ser 
visto, nas tabelas modernas evitam-se as linhas horizontais e transversais separando os 
dados para que a mesma seja mais “limpa”. Uma regra geral, tanto para as tabelas quanto 
para os gráficos, é que os mesmos devem ser construídos para quem os lê e não por 
quem os faz, portanto, devem ser concisos e claros! 
As normas brasileiras para a construção de tabelas e gráficos são: NBR 6029 e 
NBR 6822. Não confundir tabelas com quadros: a tabela é a apresentação, em forma de 
colunas e linhas, dos dados experimentais resultantes de uma medição. As tabelas devem 
ser acompanhadas dos seguintes itens: 
a) Nome das grandezas com seus respectivos valores, incertezas e unidades. 
b) Os valores devem ser expressos com o número adequado de algarismos 
significativos. 
c) Na parte superior, deve estar um comentário seguido do cabeçalho da tabela. 
 
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0
0
10
20
30
40
50
60
70
 
 
E
sp
aç
o
 p
er
co
rr
id
o
 (
cm
)
Tempo (s)
 
1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
 
 
A
m
p
lit
u
d
e 
(c
m
)
Tempo (s)
A) B) 
 
 
49 
 
d) Evitam-se as linhas horizontes e verticais deixando-as somente para a 
separação do cabeçalho e do corpo da tabela do restante do texto. 
e) O comentário deve ser conciso e autoexplicativo. 
f) Qualquer observação extra deve ser marcada na tabela e explicada na parte 
abaixo da mesma. 
 
3.2. Gráficos 
Estamos acostumados a visualizar figuras representativas de muitos aspectos de 
nossa vida. Diariamente recebemos informações em forma de gráficos como, por 
exemplo, gráficos em forma de: Histogramas, Diagramas, barras divididas por cores, 
pizza, etc. 
Estudaremos o tipo mais simples de gráfico que é a relação entre duas grandezas 
sendo, uma delas, independente e, a outra, dependente. Lidaremos, portanto, com 
coordenadas cartesianas onde y = f(x) e cada par ordenado (xi, yi) corresponde a um ponto 
no plano cartesiano. Chamamos de curva ao conjunto de pontos Pi dados por (xi, yi) tal 
que yi = f(xi). 
Para a construção de bons gráficos, valem as seguintes regras: 
a) Escolha do formulário gráfico mais adequado (milimetrado, semilog, dilog, 
polar, etc.). 
b) É comum as pessoas darem uma folheada nas figuras antes de ler o texto. 
Assim, alguma informação a respeito do que se tratam ajudará na 
visualização da ideia geral do texto. Portanto, coloque título e comentário 
nos gráficos, os quais devem ser apresentados na parte inferior da figura 
(como pode ser visto nos exemplo aqui apresentados). 
c) Os eixos devem ser escolhidos apropriadamente (formato retrato ou formato 
paisagem, de acordo com as dimensões de cada eixo) e devem conter apenas 
os números necessários para a leitura das divisões de escala. Não deve ser 
colocado nenhum valor experimental sobre o eixo: as escalas já possibilitam 
a leitura dos dados experimentais expressos por pontos no plano da folha. 
d) Mantenha a variável dependente na vertical, sempre que possível (às vezes 
isso não é possível em papéis com escala logarítmica). 
 
 
50 
 
e) Devem ser colocadas as grandezas e suas respectivas unidades próximas aos 
eixos. Identifique os eixos com nome, símbolo e unidades das variáveis: 
 
 
f) Na escolha das escalas, as mesmas devem ser limpas e de fácil visualização. 
As divisões de escala devem ser múltiplos de: 1, 2, 5 ou 10 (evitam-se 
valores quebrados ou números primos como 7, 11 ou 13, os quais podem 
resultar em dízimas periódicas). Os valores devem ser expressos 
adequadamente conforme o número de algarismos significativos. Geralmente 
se podem escrever as grandezas como: Nome da grandeza/unidade 
(Exemplo: Tempo/s) ou Nome da grandeza (unidade) (Exemplo: Tempo (s)), 
o primeiro caso é o mais adotado atualmente. 
g) Escolha as escalas de modo a obter um dimensionamento