Teoria dos erros e Práticas em laboratório

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Física Geral e Experimental
Práticas em Laboratório
Versão 1.1
Copyright © Outubro de 2017
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RECÔNCAVO DA BAHIA
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA
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Conceitos Básicos: http://texon-ing.com.ar/en/img/content/unidades/metrologia2.jpg;
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MRU & MRUV: Barcelona. Three Looks/ CC-BY-2.0;
Lançamento de Projeteis: https://www.wonderwhizkids.com/conceptmaps/Projectile_motion.html;
Lei de Hooke: https://ebybliotheca.files.wordpress.com/2016/04/maxresdefault-1.jpg?w=960&h=720&
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Quadro de Forças: goo.gl/s2bnGC
Queda Livre: goo.gl/wQnTu7
Vantagem Mecânica: goo.gl/j1Z2y4
Medidas: https://ipemsp.files.wordpress.com/2013/04/tira-papel-rev.jpg;
Dilatação térmica: http://i.imgur.com/LHSHc.gif MHS:https://sites.google.com/site/
klamphysicsproject/;
Principio de Arquimedes: http://hookedoneverything.com/wp-content/uploads/2015/05/hot-air-main-
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Lei de Boyle-Mariotte: http://www.thisiscolossal.com/wp-content/uploads/2016/07/hox-2.jpg
Versão 1.1 desenvolvida por Profª Karina Kodel, Prof. Pablo Pedra e Profª Sânzia Alves
Primeira versão, Dezembro de 2016
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Sumário
Apresentação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
I Teoria
1 Conceitos Básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.1 Grandezas Físicas 12
1.1.1 Padrões adotados - S.I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2 Medidas de uma grandeza e suas Incertezas 14
1.2.1 Medidas de uma grandeza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3 Ordem de Grandeza e Algarismos Significativos 15
1.3.1 Ordem de Grandeza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3.2 Algarismos Significativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3.3 Operações com Algarismos Significativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3.4 Regras de Arredondamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2 Erros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.1 Incertezas durante a leitura de escalas 20
2.2 Incertezas em Medições Repetidas 22
2.3 Como relatar uma medida 23
2.4 Algarismos significativos 24
2.5 Alguns conceitos importantes 25
2.5.1 Discrepância . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.5.2 Precisão e Exatidão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.6 Tipos de Erros 29
2.6.1 Erro absoluto, relativo e percentual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.7 Medida direta de uma grandeza física 31
2.8 Propagação de erros 32
2.8.1 Incertezas independentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.8.2 Funções arbitrárias de uma variável . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.8.3 Regra geral para propagação de erros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.9 O desvio padrão 35
2.10 Desvio padrão da média 36
3 Representações gráficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.1 A construção e interpretação de gráficos 38
3.1.1 Escolha do Papel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.1.2 Título e Legenda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.1.3 Eixos das variáveis com seus respectivos nomes, escalas e unidades . . 39
3.1.4 Dados experimentais e incertezas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.1.5 Funções teóricas ou curvas médias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.2 Informações a partir de gráfico 47
3.2.1 Determinação dos coeficientes de uma reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.2.2 Papel gráfico em diferentes escalas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.2.3 Papel di-log . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
II Física Experimental 1
4 Medidas Direta e Indiretas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.1 Objetivos 59
4.2 Materiais utilizados 59
4.3 Procedimentos experimentais 60
4.3.1 Aprendendo a utilizar os instrumentos que estão sobre a bancada. . . 60
4.3.2 Medindo as dimensões dos tubo cilíndrico e do bloco de madeira com o
paquímetro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.3.3 Medida do perímetro e altura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.4 Tratamento e apresentação dos dados experimentais 60
4.4.1 Valores médios e erros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5 Estudo do MRU & MRUV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.1 Objetivos 61
5.2 Materiais utilizados 61
5.3 Procedimentos experimentais 62
5.3.1 Estudo do MRU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5.3.2 Estudo do MRUV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5.4 Tratamento e análise gráfica dos dados experimentais 63
5.4.1 MRU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5.4.2 MRUV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
6 Lançamento de Projéteis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
6.1 Objetivos 66
6.2 Materiais utilizados 66
6.3 Procedimentos experimentais 67
6.4 Tratamento e análise gráfica dos dados experimentais 68
7 Lei de Hooke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
7.1 Objetivos 70
7.2 Materiais utilizados 70
7.3 Procedimentos experimentais 71
7.4 Associação de Molas 72
7.4.1 Em série . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
7.4.2 Em paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
7.5 Tratamento e análise gráfica dos dados experimentais 72
8 Quadro de Forças . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
8.1 Objetivos 75
8.2 Materiais utilizados 75
8.3 Procedimentos experimentais 76
8.3.1 Equilíbrio entre duas forças . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
8.3.2 Equilíbrio entre três forças. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
8.4 Procedimentos experimentais 77
8.4.1 Equilíbrio entre duas forças . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
8.4.2 Equilíbrio entre três forças . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
9 Queda Livre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
9.1 Objetivos 79
9.2 Materiais utilizados 79
9.3 Procedimentos experimentais 80
9.4 Tratamento e análise gráfica dos dados experimentais 80
10 Forças Coplanares e Vantagem Mecânica . . . . . . . . . . . . 82
10.1 Objetivos 82
10.2 Materiais utilizados 82
10.3 Procedimentos experimentais 83
10.3.1 Roldanas Fixas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
10.3.2 Roldana Móvel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
10.3.3 Talha Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
10.3.4 Cadernal Paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
10.4 Tratamento dos dados experimentais 84
III Física Experimental 2
11 Dilatação Térmica de Sólidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
11.1 Objetivos 88
11.2 Materiais utilizados 88
11.3 Procedimentos experimentais 89
11.4 Tratamento e análise gráfica dos dados experimentais 89
12 Movimento Harmônico Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
12.1 Objetivos 91
12.2 Materiais utilizados 91
12.3 Procedimentos experimentais 92
12.3.1 Sistema Massa-Mola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
12.3.2 Pêndulo Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
12.3.3 Pêndulo Físico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
13 Princípio de Arquimedes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
13.1 Objetivos 100
13.2 Materiais utilizados 100
13.3 Procedimentos experimentais 100
13.3.1 Comprovação Experimental da Força de Empuxo . . . . . . . . . . . . . . . . 100
13.3.2 Verificação experimental do Princípio de Arquimedes . . . . . . . . . . . . . 102
13.3.3 A influência da densidade do fluido no valor do empuxo . . . . . . . . . . 102
13.3.4 Determinando a densidade de um sólido através do empuxo. . . . . . . 102
14 Transformação Isotérmica e a Lei de Boyle-Mariotte 104
14.1 Objetivos 104
14.2 Materiais utilizados 104
14.3 Procedimentos experimentais 105
Apresentação
Este será, provavelmente, seu primeiro contato com a ciência experimental. Assim, para
contextualizar este curso, relembremos um pouco sobre o que é ciência e o que é a ciência
experimental. Derivada do latim, scientia (de scire ), a palavra ciência significa saber e já
se referiu a todo o saber e conhecimento. Nos dias atuais, quando usamos a palavra ciência,
em geral, estamos nos referindo a um subconjunto desse significado original. De fato, hoje
podemos dividir o conhecimento em quatro categorias:
• ciências experimentais;
• ciências observacionais;
• quasi-ciências;
• não-ciências.
Qual seria então a característica que distingue a ciência experimental das demais categorias
do conhecimento acima referidos? Podemos dizer com segurança que é o controle que
se possui sobre as condições em que as observações são realizadas. A física é uma das
principais ciências em que as variáveis experimentais podem ser reguladas. Por exemplo,
podemos controlar a temperatura e a pressão em que uma experiência é feita. Por outro lado,
se tomarmos o exemplo da astronomia vamos ter uma ciência na qual podemos realizar
medidas, mas sem grande controle sobre a fonte das observações. Tomemos, por exemplo,
a observação e o estudo da radiação solar: apesar de haver inúmeras e detalhadas medições,
nos mais diversos comprimentos de onda, resultando em informações sobre a estrutura e a
química do Sol, temos que aceitar estas medições tais quais. O desenvolvimento de teorias
neste caso, para serem cientificas, devem ser de caráter quantitativo e comparável com as
observações realizadas.
Assuntos como a psiquiatria ou a sociologia, nos quais as experiências controladas
praticamente inexistem, e, embora se possa efetuar observações não é possível testá-las
com teorias quantitativas são representações do que podemos chamar quasi-ciência. O que
lhes falta é a objetividade necessária para serem classificados como ciência, embora possam
apresentar modelos que reproduzem o comportamento do individuo ou da sociedade. Já
8
as não ciências são os campos do conhecimento tais como a música, a literatura ou a
arte, que de fato não possuem a pretensão de serem atividades cientificas. Obviamente,
poderão valer-se do fazer cientifico e tecnológico para desenvolver instrumento úteis para
sua prática.
A física é uma das Ciências Naturais1. Ela busca compreender e prever os fenômenos
da natureza de carácter mais elementar. Tal abordagem ao invés de fazer com que esta
ciência se ocupe de fenômenos muito simples e elementares, a leva a tal complexidade e
vastidão de conhecimento que não é raro encontrar dois físicos que desconhecem os campos
de atuação um do outro quase que completamente. De fato, os fenômenos estudados na
física vão desde as partículas elementares até ao Universo como um todo.
Em física, se queremos compreender um dado fenômeno natural o modo pelo qual
procedemos é selecionando as características que julgamos essenciais. Em qualquer ramos
da ciência o método empregado para obter/produzir conhecimento e sistematizá-lo visando
não somente sua compreensão como também utilização futura em sistemas similares é o
que chamamos de Método Experimental: dado um sistema que será estudado, realizamos
experiências controladas sobre o mesmo, medindo e registrando as grandezas que, sendo
observáveis, supomos determinam o comportamento do sistema em questão; posterior
ao experimento, tentamos encontrar as relações matemáticas às quais nossos resultados
obedecem, sistematizando e formalizando nossos achados de tal forma que seja possível
prever o comportamento de sistemas similares àquele sobre o qual foi feito o estudo (sempre
e quando nas mesmas condições); finalmente, comunicamos à comunidade cientifica sobre
este resultado, apresentando também o modo pelo qual o mesmo foi encontrado, de tal
forma que um outro cientista seja capaz de duplicar nossos resultados, verificando-os
através de sua aplicação a outros sistemas.
Um algoritmo que resume o funcionamento do método experimental (MENDES,
1998)
Repetir
Anotações
Projetar experiência
Medir variáveis experimentais
Analisar os dados
Fazer modelo da experiência
Comparar o modelo com os dados
Até comparação satisfatória
Escrever artigo científico
Uma das partes mais importantes da atividade cientifica de um físico é a reali-
zação de experiências com os sistemas que se pretende estudar. Dada a experiência
adquirida ao longo dos séculos, hoje em dia dispomos de um conjunto de regras, meto-
dologias e comportamentos que se devem adotar quando se realizam experiências em
laboratório.
O curso de Física Geral e Experimental I está voltado para o aprendizado dos conceitos
fundamentais da mecânica newtoniana. Em sua parte prática, alguns dos fenômenos físicos
1O grande desenvolvimento cientifico dos séculos XVII, XVIII e XIX levou à divisão das ciências
naturais nos grandes ramos que conhecemos hoje: Física, Química, Biologia (Botânica e Zoologia), Medicina
e Engenharias.
9
cuja fundamentação teórica foi aprendida em sala de aula serão estudados experimen-
talmente em laboratório visando ao entendimento e à compreensão desses fenômenos
através de seu estudo quantitativo. Além disto, este curso aborda o básico do trabalhar em
laboratório, desde conduzir e documentar os experimentosa apresentar seus resultados
através de gráficos e tabelas, finalizando-se com a discussão de sua conexão com a física
teórica. Este curso é, portanto, o passo inicial para a formação de um profissional que
lidará, eventualmente, com atividades experimentais uma vez que atuará na área de ciências
exatas e tecnologia. Imprescindível para o trabalho em laboratório são a organização, a
iniciativa, a dedicação e a clareza ao apresentar os resultados, de tal forma que se re-
comenda que o estudante tenha um caderno específico para uso no laboratório, no qual
deverá anotar metodicamente o que está fazendo durante o experimento, bem como suas
dúvidas e questionamentos que eventualmente surgirá durante a prática. Neste caderno,
recomenda-se também, que o aluno detalhe o procedimento experimental adotado, seus
resultados e anotações prévias ou póstumas que fundamenta tal experimento. O uso de tal
caderno ficará facultado ao estudante, salvo casos em que o professor o exigir. Mas note-se
que, com tal instrumento, a tarefa posterior de confeccionar os relatórios será facilitada
enormemente.
Finalmente, lembre-se que os trabalhos de laboratório são realizados com um dos
seguintes objetivos (MENDES, 1998)
• demonstrar ideias teóricas em física,
• criar familiaridade com um aparelho,
• treinar como se fazem experiências.
– ter consciência, e providenciar para eliminar, os erros sistemáticos nos métodos
e nos instrumentos,
– analisar os resultados de modo a tirar conclusões corretas,
– fazer uma estimativa da precisão do resultado final,
– registar as medidas e os cálculos com precisão, clareza e concisamente.
Vamos, portanto, iniciar nosso curso e observar como funciona a física na prática!
Se você ainda tem dúvidas sobre o que é a Física e o método científico procure se
informar sobre o assunto em bons livros e boas referências online, como por exemplo
artigos e documentários.
TeoriaI
1 Conceitos Básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.1 Grandezas Físicas
1.2 Medidas de uma grandeza e suas Incertezas
1.3 Ordem de Grandeza e Al-
garismos Significativos
2 Erros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.1 Incertezas durante a leitura de escalas
2.2 Incertezas em Medições Repetidas
2.3 Como relatar uma medida
2.4 Algarismos significativos
2.5 Alguns conceitos importantes
2.6 Tipos de Erros
2.7 Medida direta de uma grandeza física
2.8 Propagação de erros
2.9 O desvio padrão
2.10 Desvio padrão da média
3 Representações gráficas . . . . . . . . . . 37
3.1 A construção e interpretação de gráficos
3.2 Informações a partir de gráfico
Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
1. Conceitos Básicos
Antes dos procedimentos de medir e calcular vem sempre o momento de fazer uma
estimativa daquilo que queremos medir e calcular, oportunidade esta na qual podemos
exercitar nossa engenhosidade. Para fazer uma estimativa, devemos nos valer de nosso
conhecimento prévio (mesmo que aproximado ou superficial) e de nossa experiência
anterior com resultados quantitativos (SCHOLBERG; DOURMASHKIN, 2002). Muitas
vezes podemos fazer modelos simplificados para estimar a resposta de uma pergunta
que envolve números, como por exemplo: quantos cabelos há em sua cabeça? quantos
galões de gasolina são usados anualmente na cidade em que você vive? qual a ordem de
grandeza do número de voltas dadas pela roda de um automóvel ao percorrer uma estrada
de 200 km?1 etc. Problemas deste tipo, que tratam de estimar um número sem exatidão
nem com precisão extrema são chamados de Problemas de Fermi, devido ao físico italiano
Enrico Fermi, prêmio Nobel de Física em 1938.
Você deve se está perguntando para que queremos uma estimativa tão grosseira, que
muitas vezes chegará a uma ordem de magnitude somente. Primeiramente, uma estimativa
grosseira é muito melhor que nada, caso em que você não tem à disposição instrumentos
adequados para fazer sua medida, ou seu cálculo. Ter em mãos uma boa estimativa,
mesmo que de uma ordem de magnitude somente, nos permite ter uma ideia se um dado
experimento (ou quem sabe um negócio) é, ou não, factível. Observe que o sentimento
intuitivo das dimensões ou magnitudes das grandezas físicas pode ser útil. Por exemplo, (a)
quando falamos na grandeza peso, cuja unidade é o Newton, podemos associar o peso de
1 N ao que pesa uma maça de dimensões médias, (b) se você é uma pessoa comum você
caminha 1 km em aproximadamente 12 min, (c) O volume de uma cabeça humana típica
é de aproximadamente 0,005 m3, (d) uma maça que cai de uma altura de 1 m armazena,
aproximadamente, 1 J de energia (cinética) etc. (KESTEN; TAUCK, 2015).
Em mecânica clássica, as grandezas físicas fundamentais massa, comprimento e tempo
1Questão Fuvest-SP
12 Capítulo 1. Conceitos Básicos
podem ser estimadas através de noções de quantidade, tamanho e duração, que muitas vezes
tomam como padrões objetos comuns. Ter uma estimativa antes de fazer um experimento
é um bom modo de sabermos se estamos indo no caminho certo. Lembre-se, entretanto,
que uma medida ou cálculo bem realizados serão muito mais confiáveis que qualquer
estimativa grosseira realizada com base em nosso senso comum.
1.1 Grandezas Físicas
Chamamos de grandeza física aquilo que pode ser quantizado, isto é, aquilo a que
pode ser atribuído um valor numérico e uma unidade de medida que o caracteriza. Medir
uma grandeza física significa compará-la com um padrão de medida cuja escala é pré-
determinada. Em outras palavras, compará-la com outra grandeza física, de mesma espécie,
que é a unidade de medida e verificar quantas vezes essa unidade esta contida na grandeza
a ser medida. Lembre-se que um número isolado não representa uma grandeza física: a
unidade de medida é imprescindível para identificá-la. Evidentemente podemos medir uma
grandeza de diversas formas, conforme os instrumentos disponíveis para a medida e o local
onde será efetuada a medida, dentre outros fatores. Num certo momento, foi necessário
padronizar algumas unidades para facilitar a comunicação científica e o comércio de
produtos industriais e manufaturados. Um conjunto de unidades padrões forma o que
chamamos de Sistema de Unidades (LURDES MACHADO, 2014).
1.1.1 Padrões adotados - S.I.
Praticamente todos os processos, características e fenômenos físicos podem ser ex-
pressos em termos função de umas poucas grandezas fundamentais independentes. São
grandezas fundamentais comprimento, tempo, temperatura e massa pois elas não podem
ser expressas em termos de outras grandezas físicas. Para expressar os valores de qualquer
grandeza, adota-se o Sistema Internacional de Unidades (S.I). Observe que embora a
escolha das unidades do S.I. seja arbitrária, já que foram feitas por seres humanos ao invés
de estabelecidas pela natureza, elas são amplamente usadas em todo o mundo. Assim, a
escolher por adotar as unidades do S.I. permitem a conversão de valores de grandezas
fundamentais e de outras grandezas delas derivadas de forma que todos possam entender.
As grandezas físicas podem portanto serem classificadas em duas categorias:
• Grandezas fundamentais: aquelas que são independentes das outras, sendo originárias
de um padrão pré-estabelecido. Exemplos: tempo, comprimento, massa, temperatura
termodinâmica, carga elétrica, quantidade de substância, intensidade luminosa etc.
• Grandezas derivadas: todas as que não são fundamentais, sendo normalmente com-
postas por mais de uma unidade fundamental. Exemplos incluem a velocidade,
aceleração, momento de inércia etc.
A Tab. 1.1 apresenta as grandezas fundamentais e suas unidades no S.I.; observe que a
maioria das unidades mostradas nesta tabela foi definida com base em fenômenos naturais.
Leia mais sobre este assunto no livro de Kesten e Tauck (2015).
Em física lidamos tanto com números muito pequenos quanto com números muito gran-
des, já que vamos desde o subatômico ao extragaláctico. Quando necessitamos expressar
números em tais dimensões é conveniente usar o que chamamos notação científica. Nesta
notação os númerossão expressos como um coeficiente multiplicado por uma potência de
10.
1.1 Grandezas Físicas 13
Tabela 1.1: Grandezas fundamentais e suas unidades do S.I.
Grandeza Unidade Abre-
viação
Definição
compri-
mento
metro m "... comprimento do percurso percorrido pela luz no
vácuo durante um intervalo de tempo de 1/299792458
de um segundo. (NIST, 2001, p. 5).
tempo segundo s A definição refere-se a um átomo de césio em repouso
a uma temperatura de 0 K. "... baseia-se em um átomo
césio imperturbável por radiação de corpo negro, isto é,
num ambiente cuja temperatura é de 0 K:"... a duração
de 9 192 631 770 vibrações da transição entre dois
níveis hiperfinos do estado fundamental do átomo de
césio 133". (1967). (NIST, 2001, p. 5).
massa quilo-
grama
kg O protótipo internacional do quilograma, de platina-
irídio, é mantido no Escritório Internacional de Pesos
e Medidas (BIPM) sob condições especificadas pela
1a CGPM em 1889 (CR, 34-38): "... este protótipo
passará a ser considerado a unidade de massa". A 3a
CGPM (1901; CR, 70), para acabar com a ambigui-
dade em relação ao uso popular da palavra "peso", con-
firmou: "O quilograma é a unidade de massa, é igual
à massa do protótipo internacional do quilograma".
(NIST, 2001, p. 4-5).
tempera-
tura
kelvin K "... a fração 1/273,16 da temperatura termodinâmica
do ponto triplo da água". (NIST, 2001, p. 7).
corrente
elétrica
ampère A "...a corrente constante que, mantida em dois conduto-
res paralelos retilíneos, de comprimento infinito, de se-
ção circular desprezível, separados por uma distância
de um metro no vácuo, provoca entre estes, condutores
uma força igual a 2×10−7N/m”. (1946). (NIST„2001,
p. 7).
quanti-
dade
de uma
substân-
cia
mol mol "... a quantidade de matéria de um sistema que con-
tém tantas entidades elementares quanto o número de
átomos que existem em 0,012Kg de carbono 12, o seu
símbolo é o mol". (1971) (NIST, 2001, p. 8). "(...),
as entidades elementares devem ser especificadas e
podem ser átomos, moléculas, íons, elétrons,outras
partículas, ou grupos específicos de tais partículas".
Idem.
intensi-
dade da
luz
candela cd "(...) é a intensidade luminosa, em uma determinada di-
reção, de uma fonte que emite uma radiação monocro-
mática, de frequência 540×1012 Hz, cuja intensidade
de radiação naquela direção é 1/683 watt/rad.(1979)
(NIST, 2001, p. 9).
Adaptado do The International System of Unit (SI), National Bureau of Standards Special Publication, 330, edição de 2001
e reproduzido de Lurdes Machado (2014).
14 Capítulo 1. Conceitos Básicos
Um aspecto importante ao qual você deve prestar atenção é a presença de prefixos
na declaração das unidades de sua medição. Por exemplo, ao lidar com um comprimento
de nm não se esqueça que o n junto ao m significa nano, ou seja, o número deve ser
multiplicado por 10−9. Ao esquecer de adequar as unidades e seus prefixos ao seu cálculo,
suas respostas além de erradas parecerão absurdas.
Exercício 1.1 Quais as vantagens e desvantagens de se adotar o comprimento de seu
braço como padrão de comprimento? �
Exercício 1.2 Considere dois corpos A e B, de massas mA = 500µg mB = 0,5kg. Qual
a diferença de massa entre eles? �
Exercício 1.3 Coloque as seguintes dimensões em ordem crescente:
0,1 mm 7µm 6380 km 165 cm 200 nm
�
Exercício 1.4 Para cada um dos pares de valores de grandezas, determine qual é o
maior de quanto.
(a) 1 mg, 1 kg
(b) 1 mm, 1 cm
(c) 1 MW, 1kW
(d) 10−10 m, 10−14 m
(e) 1010 m, 1014 m
�
1.2 Medidas de uma grandeza e suas Incertezas
Tanto na física como em todas as outras ciências experimentais e trabalhos de aplicação
técnica estamos constantemente envolvidos com resultados de medidas. Uma medida
nada mais é que a realização de uma observação experimental, que nos permite conhecer
e descrever determinado fenômeno ou sistema (a natureza, de modo geral). A seguir
vamos estudar mais sobre este conceito, aprendendo como podemos expressar com clareza
os resultados obtidos. Por clareza entenda-se que queremos que tais resultados sejam
compreensíveis e reprodutíveis por quaisquer experimentadores. Para mensurar o valor
de uma dada grandeza devemos I) estabelecer o método de medida, II) o sistema de
medidas com a respectiva unidade e, finalmente, III) que instrumentos serão necessários.
Imagine que queremos medir a largura da porta de nosso laboratório. Neste exemplo,
vamos necessitar de uma régua como instrumento, a unidade será em metros, caso em que
escolhemos o sistema internacional (SI).
1.3 Ordem de Grandeza e Algarismos Significativos 15
Exercício 1.5 Para refletir: Em que unidade apresentaríamos esta medida se houvés-
semos escolhido o sistema imperial britânico? �
O método de medição será determinar quantas vezes a unidade escolhida e suas frações
estão contidas na largura da porta (valor que estamos medindo). Normalmente, as medidas
se apresentam sob a forma numérica. Tais números, que expressam o valor de determinadas
grandezas, irão confirmar ou refutar uma teoria ou contribuir para o desenvolvimento de
um dado trabalho tecnológico. Portanto, realizar uma experiência científica nada mais
é que fazer medições as quais trarão respostas acerca da validade dos modelos físicos
adotados e transcritos em linguagem matemática (FERNANDES, 2013).
É importante notar que toda medida efetuada é afetada por incertezas provenientes
tanto das limitações e exatidão instrumentais, quanto da própria interação entre o método
de medida e o mesurando, além da definição do objeto a ser medido e da influência do
observador sobre a medição. De fato, as informações (quantitativas e/ou qualitativas)
obtidas da natureza através das relações existentes entre os fenômenos observados serão
expressas como grandezas físicas descritas sempre por um número, uma incerteza e
uma unidade. Isto quer dizer que a medição de uma dada grandeza física se faz através de
um número acompanhado de uma unidade ou padrão: em outras palavras, quantas vezes
a unidade (ou padrão) foi tomado na medição. Observe que a unidade é definida pelo
padrão adotado. De fato, uma vez que certa unidade é tomada como padrão, devemos
nos certificar que este padrão não se altere com o tempo, de modo que vamos dispor de
medidas confiáveis e precisas.
Recordemos que existem duas maneiras de se comparar:
1. por contagem
Quando percebemos que o mensurado é maior que o padrão, podemos contar o
número de divisões de escala (menor incremento digital ε) do padrão.
2. por interpolação
Quando percebemos que o mensurado é menor que o padrão (ou o menor incremento
digital ε) ele será expresso por um número único de algarismo não nulo.
Voltaremos a este tópico mais tarde, após revisarmos alguns conceitos importantes para
a total compreensão deste tema.
1.2.1 Medidas de uma grandeza
Quando medimos uma grandeza física através da leitura de sua magnitude em um dado
instrumento de medida dizemos que realizamos uma medida direta desta grandeza. Por
exemplo, quando medimos um comprimento usando uma régua graduada ou cronome-
tramos um dado intervalo de tempo. Por outro lado, quando, para encontrar a magnitude
de uma grandeza física, aplicamos uma relação matemática que a vincula com outras
grandezas que são diretamente mensuráveis estamos realizando uma medida indireta. Um
exemplo disto é a medida da velocidade média, da área, densidade, frequência etc.
1.3 Ordem de Grandeza e Algarismos Significativos
1.3.1 Ordem de Grandeza
Chamamos de ordem de grandeza a potência de 10 com expoente inteiro que mais
16 Capítulo 1. Conceitos Básicos
se aproxima do valor medido de uma determinada grandeza a ser analisada. Qualquer
que seja o número q que corresponde a essa medida em módulo, está compreendida entre
duas potências de 10, inteiras e consecutivas, 10n ≤ |q| ≤ 10n+1. Para obter a ordem de
grandeza de um número, devem os inicialmente colocá-la em notação científica, q = a10n,
com 1≤ a < 10. Para saber se a ordem de grandeza é n ou n+1 comparamos o módulo de
a com o valor de 101/2 já que a variação do expoente é igual a 1. Assim,
• Se |a|≤ 3,16 a ordem de grandeza é n
• Se |a|> 3,16 a ordem de grandeza é n+1
Exercício 1.6 Qual a ordem de grandeza de 2,7×106 e 5,9×106? �
1.3.2 Algarismos Significativos
O texto a seguir sobre algarismos significativos foi baseado em reproduções na íntegra de
Cotta (2013), Kesten e Tauck (2015) e Fernandes (2013).
Um número é constituído de algarismos. Aos algarismos encontrados por contagem
mais a interpolação são ditos algarismos significativos (A.S.). Em uma medição, quando
expressamos um número por 7 ou 7,00, dizemos que a medição pode variar de 6 a 8 ou
6,99 a 7,99, respectivamente. O que implica maior ou menor precisão em nossa medição.
Portanto, A.S. são os algarismos necessários para nos referirmos a um valor medido com
a mesma precisão da instrumentação utilizada para medi-lo (obviamente, quanto mais
preciso o instrumento mais caro ele provavelmente será!). Portanto, os A.S. caracterizam a
exatidão, ou nível de clareza, do valor de uma medida ou de um valor calculado.
Em toda medição é importante se expressar o resultado com o número correto de A.S.
Existe regras que são utilizadas para se determinar a quantidade de A.S. de um valor
numérico.
• Cada dígito não nulo de um número é considerado um A.S.;
• Os A.S. de uma medida são todos os considerados corretos até aquele considerado o
duvidoso;
• O algarismo duvidoso é o que é afetado pela incerteza da medição;
• Os zeros, à esquerda do primeiro algarismo não nulo (antes ou depois da vírgula),
não são significativos. Eles expressam apenas a ordem de magnitude da unidade.
Por exemplo, o número 0,00519 possui três A.S. Isto torna-se mais evidente ao
reescrevê-lo em notação científica: 5,19×10−3;
• Qualquer zero, à direita do primeiro número não nulo, é significativo.
– Um zero não é significativo quando está no final de um número sem vírgula
decimal. Por exemplo, 300 é considerado tendo um A.S., enquanto 300, possui
três e 300,00 possui cinco A.S.
• A potência de dez em uma medida não altera o número de algarismos significativos.
• Os valores exatos possuem uma quantidade infinita de A.S.
As normas da ABNT recomendam que a incerteza da medição seja fornecida com, no
máximo, dois algarismos significativos.
É importante observar que o número de algarismos significativos no resultado é deter-
minado apenas pela incerteza, e não pelo instrumento utilizado. A incerteza, por sua vez,
é inerente ao processo de medição. Por exemplo, se a régua milimetrada for utilizada na
medição do diâmetro de uma moeda, facilmente obtém-se uma incerteza de décimos de
milímetros. No entanto, se a mesma régua, ou uma trena, milimetrada for utilizada para
1.3 Ordem de Grandeza e Algarismos Significativos 17
determinar o comprimento de um longo corredor, dificilmente será obtida uma incerteza
menor que um centímetro.
O resultado final de uma medição de ser sempre indicado com os algarismos signifi-
cativos consistentes com a incerteza. No entanto, para se evitar erros de arredondamento,
todos os cálculos intermediários devem ser feitos com todos os algarismos disponíveis.
Isto significa, por exemplo, que todas as medidas intermediárias realizadas com uma régua
milimetrada devem ser escritas com todos os algarismos disponíveis, ou seja, até décimos
de milímetro (a ser estimado pelo utilizador).
1.3.3 Operações com Algarismos Significativos
Quando se medem diversas grandezas indiretamente devemos adotar certas regras
para melhor expressarmos o resultado final em termos de A.S. uma vez que, as mesmas,
resultam da aplicação de ao menos um operador matemático. No quadro abaixo estão
listadas algumas regras que você deverá seguir ao realizar operações com algarismos
significativos:
Operadores Não é significativo o que estiver além de:
+ ou - Ordem decimal final mais elevada que houver entre os
participantes.
×, /, Sen, Cos, etc. Quantidade de algarismos do participante do cálculo
mais pobre em algarismos.*
Potenciação e radiciação Manter o número de casas decimais da base ou radi-
cando.*
Logaritmo Contar o número de A.S. do argumento. O resultado
deve possuir o número de casas decimais iguais ao
número de A.S. do argumento.*
*Caso o resultado termine em dígito 1, aumenta-se um algarismo.
A subtração é a única operação em que se pode perder grande quantidade de informação
(em termos de algarismos significativos) em relação ao participante mais pobre do cálculo.
Por isso, adie sempre as operações de subtração. Caso o resultado comece com o dígito 1,
ele terá um A.S. a mais: perceba que passar de 11 a 12, ou de 12 a 13, nos fornece uma
variação de 1 e, portanto, de cerca de 10%. Já, uma variação de 11,0 a 12,0 nos fornece
passos de 0,1, ou seja, de cerca de 1%. Portanto, com o acréscimo de um dígito diminuímos
a incerteza gerada pelo dígito 1 que inicia o resultado.
1.3.4 Regras de Arredondamento
Quando interpolamos certo valor, teremos de interromper a série de números neste
valor. Porém, desconsiderar todo restante da série pode resultar em um erro substancial.
Assim, interpolamos a grandeza e realizamos um arredondamento, para minimizarmos
os demais números perdidos, de acordo com o valor do próximo dígito na interpolação
aplicando as regras:
• Desprezando-se algo que é maior que 5: aumenta-se 1 na última casa do número
que se conservou.
• Desprezando algo menor que 5: Deixe como está.
• Para algo igual a 5, número precedente sempre é par segundo as regras:
18 Capítulo 1. Conceitos Básicos
– Mantenha o dígito precedente inalterado se ele for um número par.
– Aumente 1 ao dígito precedente se o mesmo for ímpar.
Exercício 1.7 As medidas indicadas abaixo estão expressas corretamente em
algarismos significativos. Indique os algarismos corretos e o primeiro duvidoso, em
cada medida.
algarismos corretos primeiro duvidoso
a. 473 m
b. 0,0705 cm
c. 37 mm
d. 37,0 mm
�
Exercício 1.8b) Efetue as seguintes operações:
a) 2,3462 cm + 1,4 mm + 0,05 m;
b) 0,052 cm/1,112 s;
c) 10,56 m × 36 cm.
�
2. Erros
Uma grandeza física experimental pode ser entendida como qualquer grandeza física
cujo valor é determinado a partir de um conjunto de dados experimentais(VUOLO, 1996).
Tal grandeza deve, portanto, ser determinada a partir de medição e seu resultado é sempre
uma aproximação para o valor verdadeiro da grandeza. Entretanto, nenhuma grandeza
física pode ser medida com certeza perfeita; sempre haverá erros em qualquer medição.
Isto significa que se medirmos uma dada grandeza e, então, repetir a mesma medição
sob as mesmas condições, iremos certamente medir um valor diferente. Como então
podemos saber qual o "verdadeiro valor "de uma grandeza? A resposta curta é: "Não
podemos!"Podemos contudo realizar nossas medidas com muito cuidado e aplicar métodos
experimentais cada vez mais refinados e sofisticados, para assim diminuir os erros e ganhar
maior confiança de que nossas medidas se aproximam cada vez mais do "verdadeiro valor".
Análise de Erros é o estudo das incertezas em medidas físicas. Observe que uma
descrição completa deste tema iria requerer muito mais tempo do que dispomos neste
curso, sendo assim vamos nos ater aos princípios mais básicos e fundamentais:
• Compreender como medir o erro de uma medida experimental
• Compreender os tipos e fontes de erros experimentais
• De forma clara e correta, saber como reportar as medidas, levando em consideração
suas incertezas
Os objetivos da teoria dos erros podem ser resumidos em dois aspectos: a) obter o
melhor valor para o mensurando1 a partir dos dados experimentais disponíveis; b) Obter a
incerteza no melhor valor obtido.
Com respeito ao uso da palavra erro, Taylor (2012) esclarece que:
1O termo mensurando refere-se a grandeza a ser determinada em um processo de medição.
20 Capítulo 2. Erros
“Em ciências, a palavra erro não tem a mesma conotação comum dostermos equívoco ou engano. Erro em uma medida científica significa ainevitável incerteza que acompanha todas as medições. Desta forma,erros não são equívocos; você não pode eliminá-los mesmo sendo muito
cuidadoso. O melhor que você pode fazeré assegurar que os erros
sejam tão pequenos quanto possível e ter uma estimativa confiável de
quão grande eles podem ser. A maioria dos livros-texto introduz outras
definições de erro [...] Por enquanto, erro será usado exclusivamente no
sentido de incerteza e as duas palavras serão utilizadas indistintamente.”A Fig. 2.1, extraída do livro do (TAYLOR, 2012), ilustra claramente a importânciacrucial de se conhecer quão grande são as incertezas associadas a uma medida. Esta
figura ilustra o resultado das medidas de densidade, realizadas por dois especialistas, para
verificar se uma coroa é feita de ouro 18-quilates ou por uma liga mais barata. Seguindo o
princípio de Arquimedes, a densidade ρ da coroa foi testa, tendo presente que a densidade
do ouro é ρouro = 15,5 g/cm3 e a densidade da liga que suspeitamos a coroa pode ser
feita é de ρliga = 13,8 g/cm3. O especialista Jorge fez uma medida rápida e relatou sua
estimativa para a densidade da coroa como sendo 15 g/cm3, estando quase que certamente
entre 13,5 e 16,5 g/cm3. Enquanto isto, a especialista Marta levou mais tempo realizando
suas medidas, e informou que a melhor estimativa é de 13,9g/cm3, estando dentro de um
provável intervalo de 13,7 e 14,1 g/cm3.
Com respeito a estes resultados, é importante notar que embora a medida de Marta
seja muito mais acurada (???), a medida de Jorge também está provavelmente correta.
Entretanto, a incerteza na medida de Jorge é tão grande que seu resultado não tem utilidade,
pois tanto a densidade do ouro quanto da liga estão dentro do seu intervalo de incerteza:
isto impossibilita chegar a uma conclusão sobre o material do qual é feito a coroa! Já o
resultado de Marta mostra claramente que a cora é feita da liga, e não de ouro. Isto nos leva
a concluir que se as incertezas nos resultados vão servir para tomarmos uma decisão, elas
não podem ser tão amplas. Por outro lado, elas tampouco necessitam ser extremamente
pequenas. Este é um exemplo típico no qual não necessitamos de uma acurácia extrema.
Outro ponto importante é lembrar que precisamos sempre justificar o intervalo de
valores dentro do qual está contido nosso resultado. Não podemos simplesmente declarar
nossas incertezas esperando que o outro confie no que estamos dizendo. Lembre-se: sem
uma explicação de como a incerteza foi estimada, a declaração é quase inútil (TAYLOR,
2012).
Observe que o mais importante sobre as medidas apresentadas por Jorge e Marta foi a
inclusão da declaração confiável de suas incertezas. Se não tivéssemos esta informação, não
somente seríamos incapazes de chegar a uma conclusão válida, como também poderíamos
ser levados ao engano, dado que o resultado de Jorge (ρcoroa = 15 g/cm3) sugere que a
coroa é feita de ouro 18-quilate, ou seja, genuína.
2.1 Incertezas durante a leitura de escalas
Avaliar a magnitude de uma incerteza pode ser algo bem complicado de ser feito,
entretanto podemos fazer estimativas razoáveis da incerteza de algumas medições simples
2.1 Incertezas durante a leitura de escalas 21
Figura 2.1: A importância do conhecimento das incertezas da Duas medições da den-
sidade de uma coroa supostamente de ouro. Os dois pontos pretos indicam as melhores
estimativas de Jorge e Marta para a densidade; as duas barras verticais mostram as suas
margens de erro, os intervalos dentro dos quais eles acreditam que a densidade provavel-
mente está. A incerteza de Jorge é tão grande que ambos, o ouro e a liga suspeita, residem
dentro de suas margens de erro; portanto, a sua medida não determina que metal foi usado.
A incerteza de Marta é consideravelmente menor e sua medida mostra claramente que a
coroa não é feita de ouro. Fonte: Taylor (2012)
22 Capítulo 2. Erros
(a) Medindo comprimento com uma régua. (b) Leitura de um voltímetro.
Figura 2.2: Reprodução das Figuras 1.2 (painel a) e 1.3 (painel b) do livro de Taylor
(2012).
através de procedimentos muito fáceis. Vamos ilustrar tais situações através do seguinte
exemplo.
� Exemplo 2.1 — Medição usando uma escala com marcações. Realizar uma
medida usando uma escala com marcações (confiáveis), como por exemplo a régua ou o
voltímetro da Fig. 2.2, apresenta como problema principal decidir onde um certo ponto
recai em relação às marcas da escala usada. No caso da régua por exemplo as marcas estão
separadas por 1 mm; olhando para a mesma podemos afirmar com razoável certeza que o
comprimento do lápis é mais próximo de 36 mm do que de 35 mm ou 37 mm. Podemos
ainda estar seguros de que nenhuma outra leitura é possível de ser feita, isto quer dizer que:
(a) melhor estimativa = 36 mm (b) intervalo possível: 35,5 a 36,5 mm. (O comprimento do
lápis foi medido com referência ao milímetro mais próximo da régua.)
Observe que existe uma convenção de que a declaração "l = 36 mm", sem qualquer
incerteza explícita, significa de fato que l está mais próximo de 36 do que de 35 ou de 37, ou
seja, 35,5 mm6 l 6 36,5 mm. É sempre recomendado indicar as incertezas explicitamente.
Além disto, é preciso ter cuidado com o uso das calculadoras eletrônicas e planilhas de
computador (tipo Excel, por exemplo), que muitas vezes nos dão como resultados números
que possuem muitos algarismos significativos. Se expressarmos nosso resultado tal qual
nos foi entregue por estas máquinas, então estamos assumindo que nosso resultado/cálculo
está definitivamente correto até aquele número de algarismos significativos, o que é muito
improvável.
Com respeito a leitura da escala do voltímetro, observamos que está muito mais
espaçada que a régua, o que nos permite estimar realisticamente onde o ponteiro recai
entre as duas marcas. Neste caso, uma leitura razoável seria de (a) melhor estimativa da
voltagem = 5,3 volts, (b) intervalo possível: 5,2 e 5,4 volts. Ou seja, usamos para estimar
as posições um processo que chamamos interpolação. �
2.2 Incertezas em Medições Repetidas
Imagine que medimos um intervalo de tempo usando um cronômetro. A principal
fonte de incerteza nestas medições advém da reação de resposta do experimentador de
quando iniciar/parar o cronômetro. Este tipo de incerteza pode ser estimada com relativa
segurança se formos capazes de repetir as medidas uma quantidade suficiente de vezes.
Imagine, por exemplo, que estamos medindo o tempo do período de um pêndulo. Após
a primeira medida, obtemos o valor de 2,3 s. A partir desta única medida não temos
2.3 Como relatar uma medida 23
nenhuma informação a cerca do erro associada a tal medida. Se realizarmos a medida,
sob as mesmas condições, uma segunda vez e obtermos um valor de 2,4 s podemos
supor imediatamente a incerteza provável é da ordem de 0,1 s. Vamos então repetir o
processo numa sequencia de quatro medidas, dadas em segundos, que são: 2,3; 2,4; 2,5;
2,4. A partir daí podemos começar a fazer uma estimativa mais realística. Uma suposição
natural é dizer que a melhor estimativa do período é a média de todas as medidas, ou seja,
(2,3+2,4+2,5+2,4)/4 = 2,4 s. Outra suposição igualmente razoável é que o período
correto está entre o valor mínimo medido e o máximo, ou seja, 2,3 a 2,5 s.
Observe que aqui estamos usando somente o bom senso, mas existem tratamentos
estatísticos apropriados para lidar com este tipo de situação, como é descrito nos capítulos
4 e 5 do Taylor (2012).
2.3 Como relatar uma medida
Já aprendemos até aqui que por mais cuidadosos que sejamos na preparação e execução
de uma medida, e por mais preciso que seja o instrumento que usamos para tal, nunca será
possível realizar uma medida direta livre de imprecisões e incertezas. Tais imprecisões e
incertezas provem
• de limitações da aparelhagem (por exemplo, quanto a sua sensibilidade, precisão,
desvio do zero etc.);
• do experimentador (por exemplo, da estimativa que faz ao avaliar uma dada posição
em uma escala, dos seus reflexos ao ligar ou desligar um cronômetro etc.);
• do próprio método experimental que põe destaca certos aspectos e menospreza
outros.
Sendo assim, a cada medida que fazemos sempre estará associada uma incerteza, de tal
forma que podemos afirmar quenunca é possível conhecer o "verdadeiro valor M0"de uma
grandeza2. Entretanto,
“Do ponto de vista da teoria de erros, será admitido que existe umvalor verdadeiro bem definido para toda grandeza física experimental(VUOLO, 1996). ”Sempre que possível, devemos realizar várias medidas da mesma grandeza3 , conser-vando as mesmas condições experimentais. Normalmente, estes valores irão diferir entre
si, ou seja, haverá uma dispersão nos resultados das medidas. A partir deste conjunto de
medidas, devemos dispor de modos para obter a melhor estimativa para o "verdadeiro valor
"da grandeza que estamos medindo, ou seja, um M. Se o conjunto de medidas efetuadas
apresentarem uma baixa dispersão, ou seja, se os valores medidos não se afastarem muito
uns dos outros, é natural que M esteja muito próximo do "verdadeiro valor "M0. Quando
esta dispersão é alta, o grau de confiança com que adotamos a melhor estimativa é pequeno.
Portanto, sempre que apresentamos um valor para M devemos apresentar também o grau
de confiança que temos neste resultado. Considere o intervalo de valores ao redor de M
2Aqui se faz exceção às grandezas exatas, por definição.
3Observe que há situações em que apenas se pode realizar uma medida. Por exemplo, no caso de
acontecimentos astronômicos ou de experiências de elevado custo, complexidade ou duração.
24 Capítulo 2. Erros
dentro do qual confiamos que estar o "verdadeiro valor"da grandeza, M0. Em análise de
dados chamamos este intervalo é definido pela incerteza ou erro, δM, que atribuímos à
nossa estimativa, ou seja,
M0 ∈ [M−δM,M+δM]
Isto implica dizer que o resultado final da grandeza m, depois de efetuadas uma série de
medidas sob as mesmas condições experimentais, e após a devida análise de dados, deverá
ser expresso matematicamente como
m = (M±δM) unidade
.
Podemos definir esta incerteza no valor de M como uma indicação de quanto esta
melhor estimativa M pode diferir do valor verdadeiro do mensurando, em termos de
probabilidade. Observe que no formalismo de teoria de erros, o valor verdadeiro M0 é
desconhecido, de tal forma que o erro δM também é uma quantidade desconhecida, por
hipótese.
Definição 2.3.1 Em geral, o resultado de qualquer medição de uma dada grandeza x é
expresso como
(valor medido de x) = (xmelhor±δx) Unidades
A incerteza δx associada a x chamamos erro absoluto, incerteza ou margem de erro.
Por conveniência, tomamos sempre δx > 0 de modo que o valor mais alto do intervalo
será sempre xmelhor + δx. Isto é, o erro absoluto δx é o limite superior do erro ou
incerteza. Observe que a incerteza terá sempre as mesmas unidades da grandeza a qual
está associada.
Exercício 2.1 Um estudante após medir o comprimento de um pêndulo simples relatou
sua melhor estimativa como 110 mm e o intervalo em que o comprimento provavelmente
se encontra como 108 a 112 mm. Reescreva este resultado na forma padrão apresentada
na Def. 2.3.1. �
Exercício 2.2 Ao relatar sua medição da corrente elétrica como I = 3,05±0,03 ampè-
res, qual o intervalo dentro do qual I provavelmente se encontra? �
Exercício 2.3 Após medir os ângulos internos de um quadrilátero obteve-se o valor
de 361,3°. Considerando que erro é a diferença entre o valor obtido ao se medir uma
grandeza e o valor real ou correto da mesma, qual o erro relacionado a esta medida? �
2.4 Algarismos significativos
As regras apresentadas a seguir foram baseadas na abordagem no livro Introdução à
Análise de Erros: O Estudo de Incertezas em Medições Físicas (TAYLOR, 2012).
Regra 2.4.1 — Declaração de Incertezas. Incertezas experimentais devem quase sem-
pre ser arredondadas para um dígito significativo.
2.5 Alguns conceitos importantes 25
Exceção: Se o dígito líder da incerteza δx for igual a 1, é melhor manter dois dígitos
significativos para δx. O mesmo pode ser aplicado para o caso em que o dígito líder é 2,
mas não maior que isto.
Esta regra é clara por si mesma. Considere a seguinte medida da aceleração da gravidade
g:
(g medido) = 9,82±0,02385 m/s2
Não se pode conceber que a incerteza seja conhecida com 4 dígitos significativos;
observe que em trabalhos de alta-precisão as incertezas são, algumas vezes, apresentadas
com 2 dígitos significativos. Portanto, uma representação realista desta medição deveria
ser dada como:
(g medido) = 9,82±0,02 m/s2
Agora considere a exceção feita à regra 2.4.1. Considere que encontrou-se δx = 0,14
após os cálculos apropriados para determinar a incerteza. Se a arredondarmos para δx= 0,1
estaremos proporcionando uma redução significativa, pelo que matemos o resultado da
incerteza com os dois dígitos já que a precisão será maior.
Regra 2.4.2 — Declaração de respostas. O último dígito significativo em uma resposta
deve geralmente ser da mesma ordem de magnitude (na mesma posição decimal) que a
incerteza.
Por exemplo, se temos uma medida cujo resultado é 92,81 com uma incerteza de 0,3
devemos então arredondar a mesma, e escrevê-la como 92,8±0,3. No mesmo caso, se
a incerteza for igual a 3, então devemos apresentar nosso resultado como 93± 3. Caso
tenhamos 30 de incerteza, então devemos escrever nossa medida como 90±30.
Aqui um observação importante é preocupar-se de reduzir as imprecisões decorrentes de
arredondamentos, portanto quaisquer números que serão usados em cálculos subsequentes
devem normalmente preservar, pelo menos, um dígito significativo a mais do que na sua
concepção final (TAYLOR, 2012). Ao final dos cálculos, o resultado deve ser arredondado
para remover estes algarismos extras. Obviamente, se o dígito líder na incerteza for pequeno
(1 ou talvez 2) podemos então manter o dígito extra na resposta final, já que neste caso isto
é apropriado pois arredondar a resposta pode levar a perda de informação. Por exemplo,
se temos como resposta 3,6±1, escrevê-la como 4±1 talvez não seja o mais adequado.
Conserve com seu professor sobre que abordagem ele prefere nestes casos.
Exercício 2.4 Reescreva as seguintes medidas na sua forma mais apropriada:
(a) v = 8,123456±0,0321 m/s
(b) x = 3,1234×104±2 m
(c) m = 5,6789×10−7±3×10−9 kg
�
2.5 Alguns conceitos importantes
A seguir vamos apresentar alguns conceitos que precisam ser distinguidos com clareza.
26 Capítulo 2. Erros
Observe que a nomenclatura sobre metrologia e as regras básicas sobre incerteza vem
sendo discutidas nos últimos anos por especialistas indicados por diversas organizações
internacionais (BIPM, ISO, IUPAC, IUPAP, IEC, OIML ) tendo sido inclusive publicadas
em dois textos de referência (GUM, 2012; VIM, 2012).
2.5.1 Discrepância
Discrepância é a diferença entre dois valores de medidas de uma mesma grandeza. A
discrepância entre duas medidas pode ser significativa ou não. Isto é ilustrado na Fig. 2.3.
A discrepância entre duas medidas de uma mesma grandeza deve ser avaliada por quão
grande ela é quando comparada com as incertezas das medidas.
Figura 2.3: (a) Duas medidas de uma mesma resistência. Cada medida inclui a melhor
estimativa, ilustrada por um ponto escuro, e um intervalo de valores prováveis, ilustrado por
uma barra vertical de erro. A discrepância (diferença entre as duas melhores estimativas) é
10 ohms e é significativa por que ela é muito maior do que a combinação das incertezas das
duas medidas. Quase certamente, pelo menos um dos experimentos cometeu um erro. (b)
Duas medidas diferentes da mesma resistência. A discrepância é novamente 10 ohms, mas,
neste caso, é insignificante por que as margens de erro declaradas se interceptam. Não há
razão para duvidar de qualquer uma das medidas (embora elas possam ser criticadas por
serem um tanto imprecisas). Fonte: Reprodução na íntegra da Figura 2.1 de Taylor (2012).
2.5.2 Precisão e Exatidão
Uma prática comum e corrente para caracterizar o grau de rigor com que uma dada
medição foi realizada é a utilização dos conceitos de exatidão e precisão. Exatidão4
4Também podemos encontrar o sentido de exatidão sendo referido como acurácia. Quando isto acontece,
o termo exatidão passa a designar a correção, perfeição ou ausência de erro em uma medida oucálculo.
Quando estiver lendo alguma referência em inglês, encontrará os termos precision e accuracy para designar
precisão e exatadião, respectivamente.
http://www.bipm.fr
http://www.iso.ch
http://www.iupac.org/
http://www.physics.umanitoba.ca/IUPAP/IUPAP.html
http://www.iec.org
http://www.oiml.org/index.html
2.5 Alguns conceitos importantes 27
refere-se a maior ou menor aproximação entre o resultado obtido e o valor verdadeiro da
grandeza, já precisão está associada à dispersão dos valores resultantes da repetição das
medições.
Fazendo uma analogia com o disparo de um projétil contra um alvo, a exatidão cor-
responde a acertar no (ou próximo ao) centro do alvo, enquanto a precisão ocorre quando
vários disparos conduzirem a acertar pontos próximos entre si. Observe que não necessa-
riamente para sermos precisos devemos acertar o centro do alvo. Podemos ser precisos
acertando várias vezes as proximidades de um ponto fora do alvo! Por isto além de precisos
necessitamos ser exatos em nossos tiros contra o alvo. Observe as diversas combinações
destes dois conceitos na Fig. 2.5
Figura 2.4: Ilustração dos conceitos de precisão e exatidão enquanto conceitos independen-
tes. Cada coluna (A, C e B, D) tem a mesma precisão e cada linha (A, B eC, D) tem a mesma
exatidão. Créditos da imagem: http://www.yorku.ca/psycho/en/postscript.asp
http://www.yorku.ca/psycho/en/postscript.asp
28 Capítulo 2. Erros
Fi
gu
ra
2.
5:
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http://www.cqeacademy.com/cqe-body-of-knowledge/product-process-control/measurement-systems/
2.6 Tipos de Erros 29
2.6 Tipos de Erros
Geralmente, os erros são classificados de acordo com a influência que possuem sobre as
medições em:
• Erros Grosseiros — Ocorrem por falta de atenção, pouco treino ou falta de perícia
do operador. Por exemplo, uma troca de algarismos ao registar um valor lido. São
geralmente fáceis de detectar e eliminar.
• Erros Sistemáticos — São chamados assim os erros que afetam o sistema sempre do
mesmo modo,
ou seja, ocorrem e conservam em medidas sucessivas o mesmo valor e sinal. Os erros
sistemáticos Por exemplo, o posicionamento do "zero"da escala incorreto vai afetar
todas as leituras feitas com este instrumento. Estes erros devem ser compensados ou
corrigidos convenientemente
, devendo ser estudados para cada caso particular.
– Erros sistemáticos instrumentais
(a) Calibração (temperatura e desgaste),
(b) Qualidade do instrumento de medida,
(c) Ajuste do zero.
– Erros sistemáticos teóricos
(a) Modelo teórico,
(b) Equações teóricas ou empíricas.
– Erros sistemáticos ambientais
(a) Temperatura,
(b) Pressão,
(c) Umidade,
(d) Aceleração da gravidade,
(e) Campo magnético terrestre.
– Erros sistemáticos devido a falhas de procedimento do observador
(a) Efeito de paralaxe (não alinhamento correto entre o olho do observador, o
ponteiro indicador e a escala do observador),
(b) Tempo de reação do ser humano (0,7 s).
• Erros Aleatórios ou acidentais — Este tipo de erro está associado à variabilidade
natural dos processos físicos, levando a flutuações nos valores medidos. São impre-
visíveis, devendo ser abordados com métodos estatísticos adequados.
Os erros acidentais ocorrem devido a causas diversas e incoerentes, assim como a
causas temporais que variam durante a observação (ou em observações sucessivas),
escapando assim a uma análise dado sua imprevisibilidade. Suas principais fontes
são:
– instrumentos de medidas
– variações das condições ambientais (pressão, temperatura, umidade, fontes de
ruídos)
– fatores relacionados com o próprio observador, flutuações de visão e audição,
paralaxe.
Observe que este tipo de erro tende a se neutralizar quando o número de medidas ou
30 Capítulo 2. Erros
observações é suficientemente grande5.
Aumentamos a exatidão de uma medida (diminuímos sua incerteza) buscando aumentar
a veracidade da medida6, ou seja, diminuindo os erros sistemáticos e aumentando a precisão,
ou seja, diminuindo os erros aleatórios. De fato, esta relação lógica entre os termos que
estamos aprendendo até o momento podem ser resumidos na Tab. 2.1.
Vamos considerar uma medida exata quando os erros sistemáticos são nulos ou despre-
zíveis. Já uma medida exata é aquela para a qual os erros acidentais são pequenos.
Tabela 2.1: Relação entre os conceitos de erros e o modo como eles são quantificados.
Conceito Medida Quantitativa
Exatidão Incerteza
Precisão Erro Aleatório
Veracidade Erro Sistemático
De fato, pode-se afirmar que a ilustração clássica que representa a exatidão e precisão
em termos de um padrão de dardos num alvo já não descreve corretamente a exatidão, uma
vez que esta refere-se a uma combinação de erros sistemáticos e aleatórios, não somente a
erros sistemáticos. Assim, uma análise cuidadosa da Fig. 2.6 lhe dará uma melhor ideia de
qual deve ser seu objetivo ao realizar uma medição.
Podemos falar em erros absolutos, relativos ou percentuais dependendo do modo como
eles são calculados.
2.6.1 Erro absoluto, relativo e percentual
Conforme vimos anteriormente neste texto, o erro absoluto corresponde á diferença
algébrica entre o melhor valor medido e o valor verdadeiro da grandeza para a qual estamos
efetuando a medição.
Muitas vezes é mais conveniente apresentar valores relativos para exprimir os erros de
nossas medições. Veja as definições a seguir.
Definição 2.6.1 — Erro relativo. Seja x a melhor estimativa de nossa grandeza e δx
seu erro absoluto, então
εr =
∣∣∣∣δxx
∣∣∣∣
Definição 2.6.2 — Erro percentual. Seja x a melhor estimativa de nossa grandeza e
δx seu erro absoluto, então
εr =
∣∣∣∣δxx
∣∣∣∣×100%
Em determinados domínios da ciência e da técnica7 os erros relativos são expressos
em partes por milhão (ppm), ou seja,
5Em suas aulas de estatística você verá que quando o tamanho de uma amostra é elevado, os erros
acidentais apresentam uma distribuição de frequência que se aproxima bastante da distribuição normal. Este
é o motivo pelo qual é ideal se trabalhar com um número de amostras significativas
6Define-se veracidade da medida (trueness em inglês) como a proximidade de concordância entre a
média de um número infinito de valores de medições repetidas e o valor de uma quantidade de referência.
7Usado na presença de valores muito pequenos, tipicamente em laboratórios onde se efetuam medições
de elevado grau de rigor, como por exemplo nos laboratórios de calibração. É interessante notar que esta
2.7 Medida direta de uma grandeza física 31
Figura 2.6: O significado e a inter-relação dos termos precisão e exatidão levando também
em consideração a veracidade da medida, usando a analogia dos dardos em um alvo.
Observe que aqui se pode ver também os conceitos de erro (distância de cada ponto ao
centro do alvo) e de viés (ou seja, uma componente do erro que varia de uma forma
predizível). Fonte: Royal Society of Chemistry (2003).
Definição 2.6.3 — Partes por milhão. Seja x a melhor estimativa de nossa grandeza
e δx seu erro absoluto, então
εr =
∣∣∣∣δxx
∣∣∣∣×106 ppm
2.7 Medida direta de uma grandeza física
Podemos realizar uma medida direta de uma grandeza x, com seu erro estimado, de
duas formas. A primeira é medir x apenas uma vez, caso em que o erro da medida será
dado por ∆x. A estimativa do erro ∆x é feita a partir doinstrumento utilizado para realizar
notação vem sendo desaconselhada pelos organismos internacionais ligados à metrologia e às normas técnicas
(CABRAL, 2004).
32 Capítulo 2. Erros
a medida. Expressamos o resultado como x±∆x (unidade). A segunda forma de realizar
uma medida direta de x é medindo-a N vezes, mantendo-se as mesmas condições físicas.
Neste caso, o valor mais provável da grandeza será obtido através do cálculo do valor
médio das medidas x̄ (soma de todos os valores dividido pela quantidade de valores),
x̄ =
1
N
N
∑
i=1
xi
Observe que a notação sigma foi introduzida aqui; supomos que você já a tenha
aprendido nas suas aulas de cálculo, mas relembrando ela nos diz que:
N
∑
i=1
xi = ∑
i
xi = ∑xi = x1 + x2 + · · ·+ xN .
Consideramos que todos vocês já estejam familiarizados com o conceito de média.
Chamamos de desvio δi a diferença entre cada valor obtido xi e a média das N medidas,
ou seja,
δi = xi− x̄
Observe que estes valores podem ser tanto positivos quanto negativos. Podemos definir
o desvio médio absoluto δ , que é dado pela média aritmética dos valores absolutos dos
desvios δi, isto é
δ =
1
N
N
∑
i=1
|δi|
Utilizamos o desvio médio absoluto quando há erros sistemáticos ou quando não temos
certeza da minimização dos mesmos. Neste caso, a medida da grandeza x será dada por
x̄±δ .
Assim na definição 2.3.1 o valor da incerteza δx pode ser tanto o desvio médio absoluto
δ quanto o desvio avaliado pelo próprio instrumento utilizado. O mais apropriado será o
maior dos dois ou a incerteza combinada de ambos. Converse com seu professor sobre isto.
Outra forma de representar o desvio é a utilização do desvio padrão ou desvio mé-
dio quadrático, uma medida da dispersão estatística dos valores da grandeza medida.
Voltaremos a este tema na Sec. 2.9.
Exercício 2.5 Durante uma experiência de laboratório, foram obtidos os seguintes
resultados da medida do comprimento L de um dado objeto, usando uma régua graduada
em centímetros:
Li (cm) 10,3 10,8 10,6 10,4 10,5
Expresse, de forma adequada, o resultado desta série de medidas. �
2.8 Propagação de erros
Quando calculamos uma grandeza q a partir de outras grandezas medidas é preciso
ter em mente que as incertezas nestas grandezas medidas se propagam para causar uma
incerteza em q. A seguir veremos algumas regras estabelecidas, provisoriamente, para lidar
2.8 Propagação de erros 33
com cálculos entre grandezas diferentes. São ditas provisórias porque existe regras mais
precisas para lidar com ambos os casos descritos.
Regra 2.8.1 — Incerteza em uma diferença. Seja x±δx e y±δy. Se queremos calcu-
lar a diferença q = x− y, então a incerteza em q é a soma das incertezas em x e y:
δq≈ δx+δy
Regra 2.8.2 — Incerteza em um produto. Seja x e y duas grandezas medidas com
incertezas fracionárias δx/|xmelhor| e δy/|ymelhor| pequenas (muito menores que 1). Se
queremos calcular o produto q = x× y, então a incerteza fracionária de q é a soma das
incertezas fracionárias de x e y:
δq
|qmelhor|
≈ δx
|xmelhor|
+
δy
|ymelhor|
Regra 2.8.3 — Incerteza nas somas e diferenças. Se várias grandezas x, · · · ,w são
medidas com incertezas δx, · · · ,δw e os valores medidos são utilizados para calcular
q = x+ · · ·+ z− (u+ · · ·+w)
então a incerteza no valor calculado de q é a soma de todas as incertezas originais, isto é,
δq≈ δx+ · · ·+δ z+δu+ · · ·+δw
Isto quer dizer que quando se adiciona ou subtrai qualquer quantidade de grandezas, as
incertezas dessas grandezas sempre se adicionam para gerar a incerteza do resultado da
adição ou subtração realizada.
Regra 2.8.4 — Incerteza em produtos e quocientes. Se várias grandezas x, · · · ,w são
medidas com pequenas incertezas δx, · · · ,δw e os valores medidos são utilizados para
calcular
q =
x×·· ·z
u×·· ·w
,
então a incerteza fracionária no valor calculado de q é a soma de todas as incertezas
fracionárias, isto é,
δq
|q|
≈ δx
|x|
+ · · ·+ δ z
|z|
+
δu
|u|
+ · · ·+ δw
|w|
Em outras palavras, quando grandezas que possuem incertezas pequenos são multipli-
cadas ou divididas, as incertezas fracionárias se somam.
Regra 2.8.5 — Caso Especial: Medida da grandeza vezes um número exato. Seja
x±δx a medida de uma dada grandeza. Seja B uma constante, portanto sem incerteza. Ao
calcularmos o produto
q = Bx
a incerteza em q é exatamente |B| vezes a incerteza em x,
δq = |B|δx.
34 Capítulo 2. Erros
Regra 2.8.6 — Caso Especial: Incerteza em uma potência. Seja x±δx a medida de
uma dada grandeza. Ao calcularmos a potência
q = xn
a incerteza fracionária de q é n vezes a incerteza em x,
δq
|q|
= n
δx
|x|
.
2.8.1 Incertezas independentes
Regra 2.8.7 — Incertezas nas somas e diferenças. Suponha que x, · · · ,w sejam me-
didas com incertezas δx, · · · ,δw e que os valores medidos sejam usados para calcular
q = x+ · · ·+ z− (u+ · · ·+w).
Se as incertezas em x, · · · ,w forem conhecidas como independentes e aleatórias, então a
incerteza em q é a soma quadrática das incertezas originais, isto é,
δq =
√
(δx)2 + · · ·+(δ z)2 +(δu)2 + · · ·+(δw)2.
Em qualquer situação, δq nunca será maior do que as somas originais, ou seja,
δq≤ δx+ · · ·+δ z+δu+ · · ·+δw
Regra 2.8.8 — Incertezas nos produtos e quocientes. Suponha que x, · · · ,w sejam
medidas com incertezas δx, · · · ,δw e que os valores medidos sejam usados para calcular
q =
x×·· ·z
u×·· ·w
.
Se as incertezas em x, · · · ,w forem conhecidas como independentes e aleatórias, então a
incerteza fracionária em q é a soma quadrática das incertezas fracionárias originais, isto é,
δq
|q|
=
√(
δx
|x|
)2
+ · · ·+
(
δ z
|z|
)2
+
(
δu
|u|
)2
+ · · ·+
(
δw
|w|
)2
.
Em qualquer situação,
δq
|q|
≤ δx
|x|
+ · · ·+ δ z
|z|
+
δu
|u|
+ · · ·+ δw
|w|
2.8.2 Funções arbitrárias de uma variável
Regra 2.8.9 — Incerteza em qualquer função de uma variável. Seja x±δx a medida
de uma dada grandeza que será usada para calcular a função q = q(x), então a incerteza
δq será
δq =
∣∣∣∣dqdx
∣∣∣∣δx
2.9 O desvio padrão 35
Observe que se q(x) for complicada e caso você tenha escrito um programa para
calcular q(x) muitas vezes será mais fácil utilizar a fórmula equivalente,
δq = |q(xmelhor +δx)−q(xmelhor)|
para encontrar a incerteza em q ao invés de derivar q(x).
Regra 2.8.10 — Incerteza em uma potência. Seja x± δx a medida de uma dada
grandeza que será usada para calcular a potência q = xn, em que n é um número fixo
conhecido, então a incerteza fracionária em q é |n| vezes aquela em x,
δq
|q|
= |n|δx
|x|
.
2.8.3 Regra geral para propagação de erros
Até agora estabelecemos três regras para a propagação dos erros: a) soma e diferença;
b) produtos e quocientes; c) funções arbitrárias de uma variável. Entretanto, podemos
encontrar uma fórmula geral única a partir da qual podemos deduzir as três regras anteriores.
Com esta regra qualquer problema de propagação de erro poderá ser resolvido.
Regra 2.8.11 — Incerteza em uma função de várias variáveis. Suponha que x, · · · ,z
são medidas com incertezas δx, · · · ,δ z e que os valores medidos são utilizados para
calcular q(x, · · · ,z). se as incertezas em x, · · · ,z são independentes e aleatórias, então a
incerteza em q é
δq =
√(
∂q
∂x
δx
)2
+ · · ·+
(
∂q
∂ z
δ z
)2
.
De qualquer forma, ela nunca será maior que a soma ordinária
δq≤
∣∣∣∣∂q∂x
∣∣∣∣δx+ · · ·+ ∣∣∣∣∂q∂ z
∣∣∣∣δ z.
2.9 O desvio padrão
Suponha que realizamos N medições de uma dada grandeza x, todas sob as mes-
mas condições (mesmo equipamento e procedimentos). Assim dispomos de N valores
x1,x2, · · · ,xN . A melhor estimativa para x é comumente a média desses valores, ou seja,
xmelhor = x̄≡
x1 + x2 + · · ·+ xN
N
=
∑xi
N
O desvio padrão de um conjunto de N medidas é uma estimativa da média da incerteza
nas medidas x1, · · · ,xN . Denotamos este número por σx. Ele é dado pela seguinte equação:
σx =
√
1
N
N
∑
i=1
(xi− x̄)2 (2.1)
36 Capítulo 2. Erros
Observando esta definição vemos que o desvio padrão é a raiz média quadrática (RMS –
do inglês, root mean square) dos desvios das medidas x1, · · · ,xN . O desvio padrão é uma
maneirade grande utilidade para caracterizar a confiabilidade das medidas. Em alguns
livro-texto você encontrará uma definição alternativa para o desvio padrão, que substitui
o fator N por (N−1). A argumentação teórica para tal substituição foge do escopo deste
texto.
Se realizarmos uma única medição a probabilidade de que o resultado esteja dentro de
σx é de 68 % do valor correto (veja TAYLOR, 2012). Portanto, podemos adotar que σx é a
incerteza associada a essa única medição de x; ou seja,
δx = σx.
Observe que quanto maior for a medida do desvio padrão, maior é a dispersão dos
valores da grandeza medida. Além disto somente podemos usar o desvio padrão como
incerteza de nossa medida se os erros sistemáticos forem minimizados ou eliminados.
2.10 Desvio padrão da média
A incerteza na resposta final xmelhor = x̄ é dada pelo desvio padrão σx dividido por√
N. A demonstração pode ser encontra em diversos livro-texto (TAYLOR, 2012, veja por
exemplo o capítulo 5).
Desta forma temos o desvio padrão da média (SDOM – do inglês, standard deviation
of the mean) dado por
σx̄ = σx/
√
N.
Esta fórmula é valida para amostras de até 20 medidas.
Se houver erros sistemáticos consideráveis, então σx̄ é a componente aleatória da
incerteza na melhor estimativa de x, que chamaremos δxale. Caso disponha de algum
procedimento para estimar a componente δxsis devido aos erros sistemáticos então a
incerteza total será dada pela soma quadrática
δxtot =
√
(δxale)2 +(δxsis)2
3. Representações gráficas
Em muitas das atividades experimentais objetivamos estudar a relação entre quantidades
diferentes (ou propriedades). Um exemplo disto é como o comprimento de um pêndulo
afeta seu período. Uma questão desta natureza pode ser muito melhor estudada através de
métodos gráficos, que evidenciam a dependência de uma grandeza em relação à outra. É
essencial, portanto, ao trabalho em laboratório que conheçamos as técnicas para confecção
de gráficos, sua interpretação, bem como seus diversos tipos e os métodos para análise
gráfica de dados.
De maneira geral, podemos dizer que existem cinco tipos básicos de gráficos:
1. Diagramas
(a) De linhas
i. Poligonais
ii. Curvas
(b) Superfícies
i. Colunas
ii. Barras
iii. Histogramas
iv. Setores
2. Cartogramas
3. Organogramas
4. Estereogramas (sólidos)
38 Capítulo 3. Representações gráficas
5. Harmogramas ou Fluxogramas
A opção por um dado tipo de gráfico vai depender da análise que iremos realizar com
nossos dados pois podemos ter situações em que um certo tipo é mais adequado que outro.
Em física experimental, os gráficos mais utilizados são do tipo diagrama ou linha, como
mostrado na Fig. 3.1.
Um gráfico é, portanto, a representação visual da relação entre duas variáveis x e y, em
que y = f (x). Usamos gráficos porque através deles é mais fácil identificar tendências nos
dados que coletamos em laboratório, bem como interpretá-las corretamente. Além disto,
em um gráfico podemos dispor de uma grande quantidade de informação em um pequeno
espaço.
Em física experimental, os gráficos têm três usos principais:
1. Ajudar na determinação do valor de uma quantidade qualquer. Observe que
este é um uso pouco relevante, pois na prática o que estamos utilizando são os valores
numéricos dos pontos indicados. A utilização do gráfico em si para determinar a
inclinação somente se dar quando desenhamos a melhor reta através dos pontos a
olho, que é um método muito grosseiro, embora não se deva desprezar, mas que deve
ser usado somente quando se quer fazer uma estimativa inicial, ou quando este valor
de inclinação não tem grande importância no resultado final.
2. Ajudar visualmente. Este uso é muito mais importante, pois muitas vezes olhando
somente para os números em uma tabela é muito difícil, senão impossível, observar
qualquer relação entre suas variáveis; quando entretanto os números são postos
em um gráfico, alguns resultados são imediatamente aparentes. Assim, mostrar os
resultados na forma gráfica é sempre grande ajuda para ver o que está acontecendo
com nossos dados.
3. Obtenção de relações empíricas entre duas quantidades.
3.1 A construção e interpretação de gráficos
Existe um conjunto de regras universais para confecção de um gráfico, facilitando
significantemente sua interpretação. A seguir falaremos um pouco sobre cada uma destas
regras. Para começar, lembre-se de selecionar o tamanho de suas figuras de tal forma que
elas caibam no seu texto, ocupando até no máximo metade da folha de papel. Seja na folha
de papel gráfico, no caderno, no relatório ou em um artigo, este critério deve ser sempre
atendido visto que não se trata de estética, mas de eficácia na apresentação: dificilmente o
leitor, posicionando-se a uns 30 cm de distância, conseguirá focalizar seus olhos em uma
área maior.
A seguir apresentamos os elementos essenciais que devem compor seu gráfico. Observe
que estes elementos estão presentes na Fig. 3.1.
3.1.1 Escolha do Papel
Quando seu gráfico é elaborado a mão, deve ser feito em um papel gráfico, conforme
veremos na Sec. 3.2.2. Quando se usa um programa de computador para desenhar o gráfico,
o mesmo deve ser feito evitando sempre apresentar as "linhas de grade"(em inglês, grid)
disponibilizadas pelo software. Apesar de essas linhas ajudarem na orientação no momento
3.1 A construção e interpretação de gráficos 39
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
∆t = 0,01s
Tempo [s]
V
el
oc
id
ad
e
[c
m
/s
]
Velocidade de queda de um corpo
Dados Experimentais
Incertezas em v
Curva média
Figura 3.1: Exemplo de uma gráfico científico padrão, com suas principais componentes
destacadas.
da leitura do gráfico, quando em demasia acabam atrapalhando o entendimento do mesmo.
Neste capítulo temos apresentado sempre as linhas de grade nos gráficos para remeter ao
fato de que neste curso será usado papel gráfico.
3.1.2 Título e Legenda
O título de um gráfico é colocado na parte superior, em destaque. É preciso ter cuidado
para evitar títulos redundantes, como por exemplo: "gráfico de distância vs. tempo", pois
não acrescentam informações. Quando o gráfico está inserido em um texto, devemos
colocar uma legenda, posicionada abaixo do gráfico, devidamente numerada, para que
tal número seja usada no corpo do texto ao fazer referência ao mesmo. A legenda deve
explicar de forma sucinta e eficaz o que o gráfico está mostrando: conteúdo e possível
explicação para o fenômeno observado, quando for o caso. Na presença de uma legenda, o
título torna-se desnecessário (opcional).
3.1.3 Eixos das variáveis com seus respectivos nomes, escalas e unidades
Os eixos de um gráfico devem ser sempre desenhados, contendo explicitamente o nome
da variável que representa (ou seu símbolo, caso em que deve ser explicado na legenda).
Também é obrigatória a presença da escala de leitura utilizada e a unidade correspondente.
40 Capítulo 3. Representações gráficas
Uma escala pode ser representada por qualquer trecho de curva, marcada por pequenos
traços que representam os valores ordenadas de uma dada grandeza. São exemplos de
escalas: o mostrador de um relógio, de um medidor de combustível, de um voltímetro e,
claro, os eixos de um gráfico.
Saber escolher a escala para os eixos é essencial para uma boa representação gráfica: a
regra prática consiste em dividir a faixa de variação da variável a ser colocada no gráfico
pelo número de divisões principais disponíveis; arredondando-se para um valor superior e
de fácil leitura, tais como 1, 2, 5 unidades e seus múltiplos e sub-múltiplos desses valores.
Observe que a escolha de blocos de divisões de valores 3,7,11,... e seus múltiplos são
de difícil leitura (apresentam dificuldade de interpolar os pontos, por exemplo) devendo,
portanto, ser evitados. Já as escalas com divisão 6,12,15, ... não são recomendadas por
serem também múltiplos de 3; o mesmo se aplica as escalas que são simultaneamente
múltiplas de 2 ou 5 ou de quaisquer outro valor não recomendado.
Para construção da escala, um procedimento a ser adotado é primeiramente