PROCESSOS ESTOCÁSTICOS - VARIÁVEIS ALEATÓRIAS

Prévia do material em texto

Introduc¸a˜o aos Processos Estoca´sticos -
Varia´veis Aleato´rias
Eduardo M. A. M. Mendes
DELT - UFMG
Programa de Po´s-Graduac¸a˜o em Engenharia Ele´trica
Universidade Federal de Minas Gerais
emmendes@cpdee.ufmg.br
Eduardo Mendes (DELT - UFMG Programa de Po´s-Graduac¸a˜o em Engenharia Ele´trica Universidade Federal de Minas Gerais emmendes@cpdee.ufmg.br)MACSIN 1 / 84
Varia´veis Aleato´rias
Ide´ia: Uma varia´vel aleato´ria e´ uma func¸a˜o definida no espac¸o amostral.
Fenoˆmeno aleato´rio numericamente va´lidos. Exemplo: Dados
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Normalmente e´ necessa´rio algum tipo de mapa.
Figura 1: Exemplo de Mapa - Varia´vel Aleato´ria
Eduardo Mendes (DELT - UFMG Programa de Po´s-Graduac¸a˜o em Engenharia Ele´trica Universidade Federal de Minas Gerais emmendes@cpdee.ufmg.br)MACSIN 2 / 84
Varia´vel Aleato´ria
Na sucessa˜o de M lanc¸amentos da moeda, o interesse e´ saber, por
exemplo, o nu´mero total de caras observadas:
X (si ) =
{
0 si = cara
1 si = coroa
e o nu´mero total de caras
M∑
i=1
X (si )
A func¸a˜o que mapeia Ω em Ωx e´ chamada varia´vel aleato´ria.
Importante: O mapeamento X (•) na˜o e´ aleato´rio, pelo contra´rio e´
normalmente conhecido e escolhido. O que e´ aleato´rio e´ si .
Eduardo Mendes (DELT - UFMG Programa de Po´s-Graduac¸a˜o em Engenharia Ele´trica Universidade Federal de Minas Gerais emmendes@cpdee.ufmg.br)MACSIN 3 / 84
Varia´vel Aleato´ria (cont.)
Figura 2: Tipos de Mapas
Eduardo Mendes (DELT - UFMG Programa de Po´s-Graduac¸a˜o em Engenharia Ele´trica Universidade Federal de Minas Gerais emmendes@cpdee.ufmg.br)MACSIN 4 / 84
Varia´vel Aleato´ria
Em geral uma varia´vel aleato´ria e´ uma func¸a˜o que mapeia o espac¸o
amostral Ω em um subconjunto em R.
Para uma varia´vel discreta, esse subconjunto e´ um conjunto finito ou
enumera´vel de pontos.
O subconjunto forma um novo espac¸o amostral Ωx
Exemplo 6.1 - Morettin, pa´gina 129
Empresa´rio - firma - produto
produto
{
esfera
cilindro
Eduardo Mendes (DELT - UFMG Programa de Po´s-Graduac¸a˜o em Engenharia Ele´trica Universidade Federal de Minas Gerais emmendes@cpdee.ufmg.br)MACSIN 5 / 84
Varia´vel Aleato´ria (cont.)
Esfera - adquirida na fa´brica A
Cilindro - adquirido na fa´brica B
Produto - comprimento definido pelo cilindro e espessura pela esfera -
Verificado apo´s montagem.
Objetivo: Viabilidade - distribuic¸a˜o de lucro por pec¸a montada
Cada componente (R$5, 00)

B − Bom
L − Longo
C − Curto
Se o produto final tem um C - sucata por R$5, 00
Cada componente longo pode ser recuperado por R$5, 00
Eduardo Mendes (DELT - UFMG Programa de Po´s-Graduac¸a˜o em Engenharia Ele´trica Universidade Federal de Minas Gerais emmendes@cpdee.ufmg.br)MACSIN 6 / 84
Varia´vel Aleato´ria (cont.)
Produto Fa´b. A (Cilindro) Fa´b. B (Esfera)
Dentro das especificac¸o˜es - B 0, 80 0, 70
Maior - L 0, 10 0, 20
Menor - C 0, 10 0, 10
Prec¸o de venda R$25, 00 - distribuic¸a˜o de frequeˆncias da varia´vel X .
Lucro por conjunto montado?
Soluc¸a˜o
Espac¸o amostral - considerando que a classificac¸a˜o dos cilindros e da
esfera sa˜o eventos independentes e usando o princ´ıpio multiplicativo,
temos o seguinte diagrama representativo das probabilidades
envolvidas
Eduardo Mendes (DELT - UFMG Programa de Po´s-Graduac¸a˜o em Engenharia Ele´trica Universidade Federal de Minas Gerais emmendes@cpdee.ufmg.br)MACSIN 7 / 84
Varia´vel Aleato´ria (cont.)
Figura 3: Eventos e Probabilidades
Eduardo Mendes (DELT - UFMG Programa de Po´s-Graduac¸a˜o em Engenharia Ele´trica Universidade Federal de Minas Gerais emmendes@cpdee.ufmg.br)MACSIN 8 / 84
Varia´veis Aleato´rias
Produto Probabilidade Lucro por Montagem (X )
BB 0, 56 15 (25− 5− 5)
BL 0, 16 10 (25− 5− 5− 5)
BC 0, 08 −5
LB 0, 07 10 (25− 5− 5− 5)
LL 0, 02 5 (25− 5− 5− 5− 5)
LC 0, 01 −5
CB 0, 07 −5
CL 0, 02 −5
CC 0, 01 −5
Vamos associar os valores:
15 → A1 = {BB} → P(A1) = 0, 56
10 → A2 = {BL, LB} → P(A2) = 0, 16 + 0, 07 = 0, 23
5 → A3 = {LL} → P(A3) = 0, 02
−5 → A4 = {BC , LC ,CB,CL,CC} → P(A4) = 0, 08 + 0, 01 + 0, 07+
0, 02 + 0, 01 = 0, 19
Eduardo Mendes (DELT - UFMG Programa de Po´s-Graduac¸a˜o em Engenharia Ele´trica Universidade Federal de Minas Gerais emmendes@cpdee.ufmg.br)MACSIN 9 / 84
Varia´veis Aleato´rias (cont.)
Podemos, enta˜o, escrever um modelo teo´rico para distribuic¸a˜o X
x p(x)
15 0,56
10 0,23
5 0,02
-5 0,19
1,00
A func¸a˜o (x , p(x)) e´ chamada func¸a˜o de probabilidade da varia´vel X .
Eduardo Mendes (DELT - UFMG Programa de Po´s-Graduac¸a˜o em Engenharia Ele´trica Universidade Federal de Minas Gerais emmendes@cpdee.ufmg.br)MACSIN 10 / 84
Varia´veis Aleato´rias (cont.)
Figura 4: Mapa - Varia´vel Aleato´ria X - Cilindro e Esfera
Se considerarmos Y como sendo a varia´vel “custo de recuperac¸a˜o de cada
produto produzido”, teremos
0 → B1 = {BB,BC , LC ,CB,CL,CL,CC}
5 → B2 = {BL, LB}
10 → B3 = {LL}
Eduardo Mendes (DELT - UFMG Programa de Po´s-Graduac¸a˜o em Engenharia Ele´trica Universidade Federal de Minas Gerais emmendes@cpdee.ufmg.br)MACSIN 11 / 84
Varia´veis Aleato´rias (cont.)
Figura 5: Mapa - Varia´vel Aleato´ria Y - Cilindro e Esfera
x p(x)
0 0,75
5 0,23
10 0,12
1,00
Eduardo Mendes (DELT - UFMG Programa de Po´s-Graduac¸a˜o em Engenharia Ele´trica Universidade Federal de Minas Gerais emmendes@cpdee.ufmg.br)MACSIN 12 / 84
Varia´veis Aleato´rias
Definic¸a˜o
Uma func¸a˜o X definida no espac¸o amostral Ω e com valores em um conjunto
enumera´vel de pontos da reta e´ dita varia´vel aleato´ria discreta.
Figura 6: Ilustrac¸a˜o da definic¸a˜o de varia´vel aleato´ria
Probabilidade - P[X (Si ) = xi ] = P[{s)i}]
Func¸a˜o Massa de Probabilidade (PMF) - pX [xi ] = P[X (si ) = xi ]
Eduardo Mendes (DELT - UFMG Programa de Po´s-Graduac¸a˜o em Engenharia Ele´trica Universidade Federal de Minas Gerais emmendes@cpdee.ufmg.br)MACSIN 13 / 84
Propriedades
Propriedade 1
0 ≤ pX [xi ] ≤ 1
Propriedade 2
M∑
i=1
pX [xi ] = 1 se ΩX consiste de M resultados
∞∑
i=1
pX [xi ] = 1 se ΩX enumera´vel
Para um evento A definido em ΩX , a probabilidade e´ dada por
P[X ∈ A] =
∑
{i=xi∈A}
pX [xi ]
Eduardo Mendes (DELT - UFMG Programa de Po´s-Graduac¸a˜o em Engenharia Ele´trica Universidade Federal de Minas Gerais emmendes@cpdee.ufmg.br)MACSIN 14 / 84
Func¸a˜o Massa de Probabilidade
Bernoulli
Experimentos cujos resultados apresentam ou na˜o uma caracter´ıstica
pX [k] =
{
1− p, k = 0
p, k = 1
Notac¸a˜o: Ber(p)
X ∼ Ber(p)
Figura 7: PMF Bernoulli.
Eduardo Mendes (DELT - UFMG Programa de Po´s-Graduac¸a˜o em Engenharia Ele´trica Universidade Federal de Minas Gerais emmendes@cpdee.ufmg.br)MACSIN 15 / 84
Func¸a˜o Massa de Probabilidade
Binomial
n ensaios de Bernoulli
ensaios independentes
probabilidade de sucesso em cada ensaio e´ p.
pX [k] =
(
M
k
)
pk(1− p)M−k , k = 0, 1, . . . ,M
Figura 8: PMF Binomial. O ma´ximo e´ localizado em [(M + 1)p]
Eduardo Mendes (DELT - UFMG Programa de Po´s-Graduac¸a˜o em Engenharia Ele´trica Universidade Federal de Minas Gerais emmendes@cpdee.ufmg.br)MACSIN 16 / 84
Func¸a˜o Massa de Probabilidade
Geome´trica
pX [k] = (1− p)k−1p, k = 1, 2, . . .
Figura 9: PMF Geome´trica
Eduardo Mendes (DELT - UFMG Programa de Po´s-Graduac¸a˜o em Engenharia Ele´trica Universidade Federal de Minas Gerais emmendes@cpdee.ufmg.br)MACSIN 17 / 84
Func¸a˜o Massa de Probabilidade
Poisson
pX [k] = e
−k λk
k!
, k = 0, 1, 2, 3 . . .
Pois(λ)
{
Quando se deseja contar o nu´mero de eventos de um certo
tipo em um intervalo de tempo, superf´ıcie ou volume
Figura 10: PMF Poisson
Eduardo Mendes (DELT - UFMG Programa de Po´s-Graduac¸a˜o em Engenharia Ele´trica Universidade Federal de Minas Gerais emmendes@cpdee.ufmg.br)MACSIN 18 / 84
Func¸a˜oMassa de Probabilidade
Uniforme Discreta
pX [k] = p, k = 1, . . . ,N
onde p = 1N .
Figura 11: PMF Uniforme Discreta
Eduardo Mendes (DELT - UFMG Programa de Po´s-Graduac¸a˜o em Engenharia Ele´trica Universidade Federal de Minas Gerais emmendes@cpdee.ufmg.br)MACSIN 19 / 84
Func¸a˜o Massa de Probabilidade
Hipergeome´trica
pX [k] =
(r
k
)(N−r
n−k
)(N
n
)
com 0 ≤ k ≤ min(r , n)
Sem reposic¸a˜o dividida em dois atributos

N objetivos
r tem atributo A
N − r tem atributo B
n retirada
Eduardo Mendes (DELT - UFMG Programa de Po´s-Graduac¸a˜o em Engenharia Ele´trica Universidade Federal de Minas Gerais emmendes@cpdee.ufmg.br)MACSIN 20 / 84
Transformac¸a˜o de Varia´veis Aleato´rias Discretos
Objetivo: Determinar a PMF de Y = g(X ), onde X e´ uma varia´vel
aleato´ria discreta.
Exemplo kay pa´gina 115
Dados com faces
0, 0, 1, 1, 2, 2
Achar a PMF do nu´mero observado quando o dado e´ lanc¸ado, assumindo
que todos os lados tem probabilidade igual de ocorrer.
Eduardo Mendes (DELT - UFMG Programa de Po´s-Graduac¸a˜o em Engenharia Ele´trica Universidade Federal de Minas Gerais emmendes@cpdee.ufmg.br)MACSIN 21 / 84
Transformac¸a˜o de Varia´veis Aleato´rias Discretos (cont.)
Figura 12: Exemplo Kay
y =

y1 = 0, se x = x1 = 1 ou x = x2 = 2
y2 = 1, se x = x3 = 3 ou x = x4 = 4
y3 = 2, se x = x5 = 5 ou x = x6 = 6
Eduardo Mendes (DELT - UFMG Programa de Po´s-Graduac¸a˜o em Engenharia Ele´trica Universidade Federal de Minas Gerais emmendes@cpdee.ufmg.br)MACSIN 22 / 84
Transformac¸a˜o de Varia´veis Aleato´rias Discretos (cont.)
pY [yi ] =

pX [1] = pX [2] =
1
3 , i = 1
pX [3] = pX [4] =
1
3 , i = 2
pX [5] = pX [6] =
1
3 , i = 3
Em geral, temos
pY [yi ] =
∑
{j=g(xj )=yi}
pX [xj ]
Eduardo Mendes (DELT - UFMG Programa de Po´s-Graduac¸a˜o em Engenharia Ele´trica Universidade Federal de Minas Gerais emmendes@cpdee.ufmg.br)MACSIN 23 / 84
Transformac¸a˜o VAs - Exemplo 1
X ∼ Ber(p)
Y = 2X − 1?
Soluc¸a˜o:
Ωx = {0, 1}
↓
Ωy = {−1, 1}
x1 = 0 → y1 = −1
x2 = 1 → y2 = 1
Eduardo Mendes (DELT - UFMG Programa de Po´s-Graduac¸a˜o em Engenharia Ele´trica Universidade Federal de Minas Gerais emmendes@cpdee.ufmg.br)MACSIN 24 / 84
Transformac¸a˜o VAs - Exemplo 1 (cont.)
pY [−1] = pX [0] = 1− p
pY [1] = pX [1] = p
Eduardo Mendes (DELT - UFMG Programa de Po´s-Graduac¸a˜o em Engenharia Ele´trica Universidade Federal de Minas Gerais emmendes@cpdee.ufmg.br)MACSIN 25 / 84
Transformac¸a˜o VAs - Exemplo 2
Y = g(X ) = X 2
Ω = {−1, 0, 1}
Soluc¸a˜o: 
x1 = −1 → y1 = 1
x2 = 0 → y2 = 0
x3 = 1 → y3 = 1
As probabilidades sa˜o:
pY [1] = pX [−1] + pX [1]
pY [0] = pX [0]
onde ΩX → ΩY = {0, 1}
Eduardo Mendes (DELT - UFMG Programa de Po´s-Graduac¸a˜o em Engenharia Ele´trica Universidade Federal de Minas Gerais emmendes@cpdee.ufmg.br)MACSIN 26 / 84
Func¸a˜o de Distribuic¸a˜o Acumulada (CDF)
Definic¸a˜o
Dada uma varia´vel aleato´ria X , a func¸a˜o de distribuic¸a˜o de acumulada (ou
simplesmente func¸a˜o de distribuic¸a˜o) e´ a func¸a˜o
FX (x) = p[X ≤ x ], −∞ < x < +∞
Eduardo Mendes (DELT - UFMG Programa de Po´s-Graduac¸a˜o em Engenharia Ele´trica Universidade Federal de Minas Gerais emmendes@cpdee.ufmg.br)MACSIN 27 / 84
Func¸a˜o de Distribuic¸a˜o Acumulada (CDF)
Exemplo Binomial
Figura 13: Exemplo CDF Binomial
Eduardo Mendes (DELT - UFMG Programa de Po´s-Graduac¸a˜o em Engenharia Ele´trica Universidade Federal de Minas Gerais emmendes@cpdee.ufmg.br)MACSIN 28 / 84
Func¸a˜o de Distribuic¸a˜o Acumulada (CDF)
Exemplo Geome´trica
Figura 14: Exemplo CDF Geome´trica
E´ poss´ıvel recuperar a pX [x ] da FX [x ]
pX [x ] = FX [x
+]− FX [x−]
onde x+ e´ um ponto um pouco acima de x e x− e´ um ponto um
pouco abaixo de x .
Eduardo Mendes (DELT - UFMG Programa de Po´s-Graduac¸a˜o em Engenharia Ele´trica Universidade Federal de Minas Gerais emmendes@cpdee.ufmg.br)MACSIN 29 / 84
CDF
Propriedade 1
A CDF e´ um nu´mero entre 0 e 1.
0 ≤ FX [x ] ≤ 1
Prova: Usando a definic¸a˜o
FX [x ] = P[X ≤ x ]
O segundo lado da igualdade e´ uma probabilidade e, portanto, entre 0 e
1. �
Eduardo Mendes (DELT - UFMG Programa de Po´s-Graduac¸a˜o em Engenharia Ele´trica Universidade Federal de Minas Gerais emmendes@cpdee.ufmg.br)MACSIN 30 / 84
CDF
Propriedade 2
Os Limites da CDF quando x → −∞ e x → +∞ sa˜o:
lim
x→−∞FX [x ] = 0
lim
x→+∞FX [x ] = 1
Prova:
limx→−∞ FX [x ] = P[{s : X (s) < −∞}] = P[∅] = 0
limx→−∞ FX [x ] = P[{s : X (s) < +∞}] = P[Ω] = 1
Eduardo Mendes (DELT - UFMG Programa de Po´s-Graduac¸a˜o em Engenharia Ele´trica Universidade Federal de Minas Gerais emmendes@cpdee.ufmg.br)MACSIN 31 / 84
CDF
Propriedade 3
A CDF e´ uma func¸a˜o monotonicamente crescente.
Prova:
FX [x2] = P([X ≤ x2]
= P[(X ≤ x1) ∪ (x1 < X ≤ x2)] disjuntos
= P[X ≤ x1] + P[x1 < X < x2] Axioma 3
= FX [x1]︸ ︷︷ ︸
Definic¸a˜o
+ P[x1 < X ≤ x2]︸ ︷︷ ︸
nu´mero positivo
Logo
Fx [x2] ≥ FX [x1]
Eduardo Mendes (DELT - UFMG Programa de Po´s-Graduac¸a˜o em Engenharia Ele´trica Universidade Federal de Minas Gerais emmendes@cpdee.ufmg.br)MACSIN 32 / 84
CDF
Propriedade 4
A CDF e´ uma func¸a˜o cont´ınua a` direita
lim
x→x+o
FX [x ] = FX [xo ]
Eduardo Mendes (DELT - UFMG Programa de Po´s-Graduac¸a˜o em Engenharia Ele´trica Universidade Federal de Minas Gerais emmendes@cpdee.ufmg.br)MACSIN 33 / 84
CDF
Propriedade 5
A probabilidade de um intervalo e´
P[a < X ≤ b] = FX [b]− FX [a]
Prova: Supondo a < b, temos
{−∞ < X ≤ b} = {−∞ < X ≤ a} ∪ {a < X ≤ b}
Repare que os intervalos sa˜o disjuntos, ou seja,
P[−∞ < X ≤ b] = P[−∞ < X ≤ a] + P[a < X ≤ b]
Logo
P[a < X ≤ b] = FX [b]− FX [a]
Eduardo Mendes (DELT - UFMG Programa de Po´s-Graduac¸a˜o em Engenharia Ele´trica Universidade Federal de Minas Gerais emmendes@cpdee.ufmg.br)MACSIN 34 / 84
Valor Esperado
Definic¸a˜o
Seja X uma varia´vel discreta aleato´ria com os seguintes valores a1, . . . , aN .
O valor esperado ou me´dia de X e´ o nu´mero E (X ) dado pela seguinte
fo´rmula
E [X ] =
N∑
i=1
aiP[x = ai ]
Se os valores sa˜o igualmente va´lidos, ou seja, P[x = ai ] =
1
N , enta˜o
E [X ] =
(a1 + a2 + . . .+ an)
N
Se a varia´vel X toma infinitos valores enta˜o E [X ] =
∑∞
i=1 aiP[x = ai ]. Aqui
temos que nos preocupar se a se´rie converge (Ana´lise Matema´tica).
Eduardo Mendes (DELT - UFMG Programa de Po´s-Graduac¸a˜o em Engenharia Ele´trica Universidade Federal de Minas Gerais emmendes@cpdee.ufmg.br)MACSIN 35 / 84
Variaˆncia
Definic¸a˜o
var [X ] = E [X 2]︸ ︷︷ ︸∑N
i=1 a
2
i P[x=ai ]
−E 2[X ]
A variaˆncia mostra o qua˜o espalhados esta˜o os valores em torno da me´dia.
Eduardo Mendes (DELT - UFMG Programa de Po´s-Graduac¸a˜o em Engenharia Ele´trica Universidade Federal de Minas Gerais emmendes@cpdee.ufmg.br)MACSIN 36 / 84
Proposic¸a˜o 3.1
Seja X uma varia´vel aleato´ria discreta com E [X ] = µ, enta˜o
Var [X ] = E [(X − µ)2] =
N∑
i=1
(ai − µ)2P[X = ai ]
Prova:
N∑
i=1
(ai − µ)2P[X = ai ] =
N∑
i=1
(a2i + µ
2 − 2aiµ)P[X = ai ]
=
N∑
i=1
a2i P[x = ai ]︸ ︷︷ ︸
E [X 2]
−2µ
N∑
i=1
aiP[x = ai ]︸ ︷︷ ︸
E [X ]
+
µ2
N∑
i=1
P[X = ai ]︸ ︷︷ ︸
1
Eduardo Mendes (DELT - UFMG Programa de Po´s-Graduac¸a˜o em Engenharia Ele´trica Universidade Federal de Minas Gerais emmendes@cpdee.ufmg.br)MACSIN 37 / 84
Proposic¸a˜o 3.1 (cont.)
Mas µ = E [X ], logo
N∑
i=1
(ai−µ)2P[X = ai ] = E [X 2]−2E [X ]E [X ]+E [X ]2 = E [X 2]−E 2[X ] �
Eduardo Mendes (DELT - UFMG Programa de Po´s-Graduac¸a˜o em Engenharia Ele´trica Universidade Federal de Minas Gerais emmendes@cpdee.ufmg.br)MACSIN 38 / 84
Exemplo
Um moeda equilibrada e´ lanc¸ada 3 vezes. X e´ o nu´mero de caras. Qual e´
o valor esperado e a variaˆncia?
Soluc¸a˜o:
Ω = {HHH︸ ︷︷ ︸
3
,HHT︸ ︷︷︸
2
,HTH︸ ︷︷ ︸
2
,HTT︸ ︷︷ ︸
1
,THH︸ ︷︷ ︸
2
,THT︸ ︷︷ ︸
1
,TTH︸ ︷︷ ︸
1
,TTT︸ ︷︷ ︸
0
}
X =

0 → p = 18
1 → p = 38
2 → p = 38
3 → p = 18
O valor esperado e´:
E [X ] = 0× 1
8
+ 1× 3
8
+ 2× 3
8
+ 3× 1
8
=
3
2
Eduardo Mendes (DELT - UFMG Programa de Po´s-Graduac¸a˜o em Engenharia Ele´trica Universidade Federal de Minas Gerais emmendes@cpdee.ufmg.br)MACSIN 39 / 84
Exemplo (cont.)
A variaˆncia e´:
Var [X ] = 02 × 1
8
+ 12 × 3
8
+ 22 × 3
8
+ 32 × 1
8
−
(
3
2
)2
=
3
4
Eduardo Mendes (DELT - UFMG Programa de Po´s-Graduac¸a˜o em Engenharia Ele´trica Universidade Federal de Minas Gerais emmendes@cpdee.ufmg.br)MACSIN 40 / 84
Varia´vel Indicadora
Definic¸a˜o
Seja A um evento no espac¸o de probabilidades Ω. Com A no´s associamos
uma varia´vel aleato´ria IA (apenas uma func¸a˜o em Ω) tal que:
IA(s) =
{
1, se s ∈ A
0, se s /∈ A
onde s e´ um elemento em Ω.
A varia´vel aleato´ria IA e´ varia´vel indicadora de A.
Eduardo Mendes (DELT - UFMG Programa de Po´s-Graduac¸a˜o em Engenharia Ele´trica Universidade Federal de Minas Gerais emmendes@cpdee.ufmg.br)MACSIN 41 / 84
Exemplo
Se x ∼ Geo (12), determine E [I(2,6)(X )]
Soluc¸a˜o: Sabemos que para a Geome´trica pX [k] = (1− p)k−1p para
k = 1, 2, . . .. Como a func¸a˜o indicadora reduz o espac¸o de k para
k = 3, 4, 5, temos:
E [I(2,6)(X )] =
5∑
k=3
1× P(X = k)
=
(
(1− p)2 + (1− p)3 + (1− p)4) p
Para p = 12 , E [X ] =
7
32 .
Eduardo Mendes (DELT - UFMG Programa de Po´s-Graduac¸a˜o em Engenharia Ele´trica Universidade Federal de Minas Gerais emmendes@cpdee.ufmg.br)MACSIN 42 / 84
Valor Esperado e Variaˆncia
Bernoulli
X ∼ Ber(p)
x 0 1
P[X = x ] q p
mas q = 1− p.
O valor esperado e´ dado por
E [X ] = 0× q + 1× p = p
E a variaˆncia por
Var [X ] = 02 × q + 12 × p−p2 = p − p2 = pq
Eduardo Mendes (DELT - UFMG Programa de Po´s-Graduac¸a˜o em Engenharia Ele´trica Universidade Federal de Minas Gerais emmendes@cpdee.ufmg.br)MACSIN 43 / 84
Valor Esperado - Binomial
Lembrando que a varia´vel aleato´ria binomial conta o nu´mero de sucessos
em M tentativas independentes com a varia´vel Bernoulli (p).
A varia´vel aleato´ria X ∼ Bin(M, p) toma os valores 0, 1, 2, . . . ,M. A PMF
de X e´ dada por
P[X = k] =
(
M
k
)
qM−kpk
para k = 0, 1, 2, . . . ,M, onde q = 1− p.
Por exemplo para Bin(4, p), temos:
k 0 1 2 3 4
P[X = k] q4 4q3p 6q2p2 4qp3 p4
Eduardo Mendes (DELT - UFMG Programa de Po´s-Graduac¸a˜o em Engenharia Ele´trica Universidade Federal de Minas Gerais emmendes@cpdee.ufmg.br)MACSIN 44 / 84
Valor Esperado - Binomial (cont.)
Note tambe´m que se somarmos todas as probabilidades
M∑
k=0
(
M
k
)
qM−kpk = (q + p)M = 1
Finalmente, se X ∼ Bin(M, p) enta˜o
E [X ] = Mp
Var [X ] = Mpq
Prova:
1o Me´todo: Suponha uma moeda com probabilidade p de sair cara. A
mesma e´ lanc¸ada M vezes e o nu´mero de caras e´ contado.
Eduardo Mendes (DELT - UFMG Programa de Po´s-Graduac¸a˜o em Engenharia Ele´trica Universidade Federal de Minas Gerais emmendes@cpdee.ufmg.br)MACSIN 45 / 84
Valor Esperado - Binomial (cont.)
X ∼ Bin(M, p)
Seja Xk uma varia´vel aleato´ria definida por
Xk =
{
1 se for cara no k-e´simo lanc¸amento
0 se for coroa no k-e´simo lanc¸amento
Podemos, enta˜o, escrever
X = X1 + X2 + . . .+ XM︸ ︷︷ ︸
Independentes Ber(p)
Sabemos que para cada um deles temos:
E [Xi ] = p
Var [Xi ] = pq
Eduardo Mendes (DELT - UFMG Programa de Po´s-Graduac¸a˜o em Engenharia Ele´trica Universidade Federal de Minas Gerais emmendes@cpdee.ufmg.br)MACSIN 46 / 84
Valor Esperado - Binomial (cont.)
Podemos escrever (e depois precisamos provar):
E [X ] = E [Xi ] + . . .+ E [XM ]
Var [X ] = Var [Xi ] + . . .+ Var [Xn]
Logo:
E [X ] = Mp
Var [X ] = Mpq
2o Me´todo: Livro do Kay, pa´gina 138
Eduardo Mendes (DELT - UFMG Programa de Po´s-Graduac¸a˜o em Engenharia Ele´trica Universidade Federal de Minas Gerais emmendes@cpdee.ufmg.br)MACSIN 47 / 84
Valor Esperado - Binomial (cont.)
E [X ] =
M∑
k=0
kP[X = k]
=
M∑
k=0
k
(
M
k
)
pk(1− p)M−k
=
M∑
k=0
k
M!
(M − k)!k(k − 1)!p
k(1− p)M−k
=
M∑
k=0
M!
(M − k)!(k − 1)!p
k(1− p)M−k
=
M∑
k=0
M!
(M − k)!(k − 1)!pp
k−1(1− p)M−1−(k−1)
Eduardo Mendes (DELT - UFMG Programa de Po´s-Graduac¸a˜o em Engenharia Ele´trica Universidade Federal de Minas Gerais emmendes@cpdee.ufmg.br)MACSIN 48 / 84
Valor Esperado - Binomial (cont.)
Logo
E [X ] = Mp
M∑
k=0
M!
(M − 1− (k − 1))!(k − 1)!p
k−1(1− p)M−1−(k−1)
Fazendo N = m1 e l = k − 1, temos
E [X ] = Mp
N∑
l=−1
l=0
N!
(N − l)!p!p
l(1− p)N−l
︸ ︷︷ ︸
1
E [X ] = Mp
Var [X ] - complicado! Vamos usar a func¸a˜o caracter´ıstica.
Eduardo Mendes (DELT - UFMG Programa de Po´s-Graduac¸a˜o em Engenharia Ele´trica Universidade Federal de Minas Gerais emmendes@cpdee.ufmg.br)MACSIN 49 / 84
Hipergeome´trica
Hg(n,M,N)
Suponha que tenhamos N bolas numa caixas, das quais M sa˜o vermelhas
(sa˜o amostradas m bolas sem reposic¸a˜o). Seja a varia´vel aleato´ria X o
nu´mero de bolas vermelhas na amostra. Tal X e´ chamado de varia´vel
aleato´ria hipergeome´trica.
A varia´vel X pode tomar qualquer dos valores em 0, 1, 2, 3 . . . , n.
P[X = k] =
(M
k
)(N−M
n−k
)(N
n
)
Sem provar, podemos escrever
Eduardo Mendes (DELT - UFMG Programa de Po´s-Graduac¸a˜o em Engenharia Ele´trica Universidade Federal de Minas Gerais emmendes@cpdee.ufmg.br)MACSIN 50 / 84
Hipergeome´trica (cont.)
E [X ] = n
(
M
N
)
Var [X ] = n
(
M
N
)(
N −M
N
)(
N − n
N − 1
)
Se p = MN com M < N e consequentemente q = 1− p = N−MN , logo
E [X ] = np
Var [X ] = npq
(
N − n
N − 1
)
︸ ︷︷ ︸
fator de correc¸a˜o
Se n e´ pequeno comparado com N, enta˜o
Eduardo Mendes (DELT - UFMG Programa de Po´s-Graduac¸a˜o em Engenharia Ele´trica Universidade Federal de Minas Gerais emmendes@cpdee.ufmg.br)MACSIN 51 / 84
Hipergeome´trica (cont.)
N − n
N − 1 ≈ 1→ Bin(n,
M
N )
Eduardo Mendes (DELT - UFMG Programa de Po´s-Graduac¸a˜o em Engenharia Ele´trica Universidade Federal de Minas Gerais emmendes@cpdee.ufmg.br)MACSIN 52 / 84
Geome´trica
Parecida com a Binomial.
Suponha, novamente, que uma moeda e´ lanc¸ada e que a
probabilidade de sair cara e´ p.
Ao inve´s de um nu´mero fixo de lanc¸amentos, o experimento acaba
quando, por exemplo, cara aparece pela primeira vez. Contamos,
enta˜o, o nu´mero de vezes que a moeda foi lanc¸ada. Os valores da
varia´vel sa˜o
1, 2, . . .
Pode ser que nunca consigamos uma cara, mas esta possibilidade e´
“infinitamente imposs´ıvel”.
O nu´mero de tentativas de Bernoulli ate´ o primero sucesso e´ uma
varia´vel aleato´ria geome´trica.
P[X = k] = qk−1p
Eduardo Mendes (DELT - UFMG Programa de Po´s-Graduac¸a˜o em Engenharia Ele´trica Universidade Federal de Minas Gerais emmendes@cpdee.ufmg.br)MACSIN 53 / 84
Geome´trica (cont.)
Verificando se a soma das probabilidades e´ 1
∞∑
k=1
qk−1p = p + pq + q2p + . . . =
p
q − 1 = 1
Se X ∼ Geom(p), enta˜o
E [X ] =
1
p
Var [X ] =
q
p2
Prova para E [X ] - Kay, pa´gina 139
Eduardo Mendes (DELT - UFMG Programa de Po´s-Graduac¸a˜o em Engenharia Ele´trica Universidade Federal de Minas Gerais emmendes@cpdee.ufmg.br)MACSIN 54 / 84
Geome´trica (cont.)
E [X ] =
∞∑
k=1
kqk−1p
= p
∞∑
k=1
kqk−1︸ ︷︷ ︸
dqk
dq
= p
d
∑∞
k=1 q
k
dq
= p
d q1−q
dq
= p
(1− q)− q(−1)
(1− q)2 = p
1
(1− q)2
=
1
p
�
Eduardo Mendes (DELT - UFMG Programa de Po´s-Graduac¸a˜o em Engenharia Ele´trica Universidade Federal de Minas Gerais emmendes@cpdee.ufmg.br)MACSIN 55 / 84
Varia´veis Aleato´rias
Poisson
X ∼ Pois(λ)
Para Poisson, o valor esperado e a variaˆncia sa˜o:E [X ] = λ
Var [X ] = λ
Figura 15: PMF Poisson
Eduardo Mendes (DELT - UFMG Programa de Po´s-Graduac¸a˜o em Engenharia Ele´trica Universidade Federal de Minas Gerais emmendes@cpdee.ufmg.br)MACSIN 56 / 84
Valor Esperado
Propriedades do Valor Esperado
Nem todas as PMFs com uma infinidade de valores possuem valor esperado.
Para ter e´ preciso que:
a) Soma - absolutamente soma´vel
b) Soma dos valores absolutos dos termos e´ finito.
E [|X |] =
k=∞∑
k=−∞
|k|pX [k] <∞
Propriedades do Valor Esperado
PMF sime´trica - valor esperado localizado no centro da PMF.
O valor esperado geralmente na˜o indica o valor mais prova´vel
Mais de uma PMF apresenta o mesmo valor esperado
Eduardo Mendes (DELT - UFMG Programa de Po´s-Graduac¸a˜o em Engenharia Ele´trica Universidade Federal de Minas Gerais emmendes@cpdee.ufmg.br)MACSIN 57 / 84
Exemplo de Valor Esperado na˜o-finito
Considere a varia´vel aleato´ria com distribuic¸a˜o zipf usada para a ana´lise
da popularidade de web sites e web caching. Suponha que
P(X = k) = C
−1
k2
com k = 1, 2, . . ., onde
C =
∞∑
n=1
1
n2
Calcular o valor esperado E [X ].
Soluc¸a˜o: Vamos aproveitar e verificar se P(X = k) e´ mesmo uma PMF.
Para isto, devemos lembrar que:∑∞
n=1
1
n2
nada mais e´ do que uma se´rie do tipo
∑∞
n=1
1
nr onde para
r > 1 a se´rie converge.
O resultado da soma da se´rie e´ a func¸a˜o zeta de Riemann.∑∞
n=1
1
n2
= pi
2
6 cuja a prova foi dada por Euler (Basel problem).
Eduardo Mendes (DELT - UFMG Programa de Po´s-Graduac¸a˜o em Engenharia Ele´trica Universidade Federal de Minas Gerais emmendes@cpdee.ufmg.br)MACSIN 58 / 84
Exemplo de Valor Esperado na˜o-finito (cont.)
Para mostrar que a soma de P(X = k) para k = 1, 2, . . . e´ 1, vamos usar o
resultado de Euler duas vezes:
∞∑
k=1
C−1
k2
= C−1
∞∑
k=1
1
k2
, lembrando que C e´ uma constante
=
6
pi2
∞∑
k=1
1
k2
, o somato´rio e´ a mesma se´rie
=
6
pi2
× pi
2
6
= 1
No caso do valor esperado, temos:
Eduardo Mendes (DELT - UFMG Programa de Po´s-Graduac¸a˜o em Engenharia Ele´trica Universidade Federal de Minas Gerais emmendes@cpdee.ufmg.br)MACSIN 59 / 84
Exemplo de Valor Esperado na˜o-finito (cont.)
E [X ] =
∞∑
k=1
k × P(X = k) (definic¸a˜o)
=
∞∑
k=1
k
C−1
k2
= C−1
∞∑
k=1
k
1
k2
= C−1
∞∑
k=1
1
k
, se´rie geome´trica - diverge
Como consequeˆncia, E [X r ] para r ≥ 1 e´ infinito.
Eduardo Mendes (DELT - UFMG Programa de Po´s-Graduac¸a˜o em Engenharia Ele´trica Universidade Federal de Minas Gerais emmendes@cpdee.ufmg.br)MACSIN 60 / 84
Exemplo de Valor Esperado Indeterminado
Considere neste exemplo o mesmo C do caso anterior, mas
P(X = k) = P(X = −k) = 1
2
× C
−1
k2
para k = 1, 2, . . . ,
claramente
∑∞
k=1 P(X = k) e´ 1.
No caso do valor esperado, temos
E [X ] =
∞∑
k=1
kP(X = k) +
−1∑
k=−∞
kP(X = k)
=
1
2C
∞∑
k=1
1
k
+
1
2C
−1∑
k=−∞
1
k
=
∞
2C
+
−∞
2C
= indefinido
Eduardo Mendes (DELT - UFMG Programa de Po´s-Graduac¸a˜o em Engenharia Ele´trica Universidade Federal de Minas Gerais emmendes@cpdee.ufmg.br)MACSIN 61 / 84
Valor Esperado para uma func¸a˜o de uma varia´vel aleato´ria
Considere
Y = g(X )
enta˜o
E [X ] =
∑
i yipY [yi ] Definic¸a˜o
E [g(X )] =
∑
i g(xi )pX [xi ]
Exemplo 1
Dado
g(X ) = aX + b
deseja-se saber E [g(X )] = E [aX + b]
Soluc¸a˜o: aplicando a definic¸a˜o
Eduardo Mendes (DELT - UFMG Programa de Po´s-Graduac¸a˜o em Engenharia Ele´trica Universidade Federal de Minas Gerais emmendes@cpdee.ufmg.br)MACSIN 62 / 84
Valor Esperado para uma func¸a˜o de uma varia´vel aleato´ria
(cont.)
E [g(X )] =
∑
i (axi + b) pX [xi ]
= a
∑
i xipX [xi ] + b
∑
i
pX [xi ]︸ ︷︷ ︸
1
= aE [X ] + b
Exemplo 2 Dado
g(X ) = αg1(X ) + βg2(X )
deseja-se saber E [g(X )] = E [αg1(X ) + βg2(X )]
Soluc¸a˜o: Aplicando a definic¸a˜o
Eduardo Mendes (DELT - UFMG Programa de Po´s-Graduac¸a˜o em Engenharia Ele´trica Universidade Federal de Minas Gerais emmendes@cpdee.ufmg.br)MACSIN 63 / 84
Valor Esperado para uma func¸a˜o de uma varia´vel aleato´ria
(cont.)
E [g(X )] = E [αg1(X ) + βg2(X )]
= α
∑
i g1(xi )pX [xi ] + β
∑
i g2(xi )pX [xi ]
=
∑
i [αg1(xi ) + βg2(xi )] pX [xi ]
=
∑
i g(xi )pX [xi ]
= E [g(x)]
Conclusa˜o: O valor esperado e´ um operador linear.
Exemplo 2
Dado
pX [k] =
1
5
k = 0, 1, 2, 3, 4
achar E [Y ] onde Y = g(X ) =
√
X
Eduardo Mendes (DELT - UFMG Programa de Po´s-Graduac¸a˜o em Engenharia Ele´trica Universidade Federal de Minas Gerais emmendes@cpdee.ufmg.br)MACSIN 64 / 84
Valor Esperado para uma func¸a˜o de uma varia´vel aleato´ria
(cont.)
Soluc¸a˜o: Usando a definic¸a˜o
E [
√
X ] =
∑4
k=0
√
kpX [k]
=
∑4
k=0
√
K × 15
= 15
∑4
k=0
√
k
= 3+
√
2+
√
3
5
Considere o seguinte
E [X ] =
∑4
k=0 kpX [k]
=
∑4
k=0 k
1
5
= 15
∑4
k=0 k =
10
5 = 2
Usando o resultado acima, podemos escrever√
E [X ] =
√
2
Eduardo Mendes (DELT - UFMG Programa de Po´s-Graduac¸a˜o em Engenharia Ele´trica Universidade Federal de Minas Gerais emmendes@cpdee.ufmg.br)MACSIN 65 / 84
Valor Esperado para uma func¸a˜o de uma varia´vel aleato´ria
(cont.)
Repare que √
E [X ] 6= E [
√
X ]
ou seja, o valor esperado na˜o e´ um operador comutativo.
Exemplo 4
Considere {
b → valor a ser predito
X → varia´vel aleato´ria
Objetivo: Achar um valor que em me´dia seja pro´ximo do verdadeiro valor
da varia´vel X .
Soluc¸a˜o
Eduardo Mendes (DELT - UFMG Programa de Po´s-Graduac¸a˜o em Engenharia Ele´trica Universidade Federal de Minas Gerais emmendes@cpdee.ufmg.br)MACSIN 66 / 84
Valor Esperado para uma func¸a˜o de uma varia´vel aleato´ria
(cont.)
Vamos definir a func¸a˜o erro como
erro = X − b
Uma boa medida e´
(X − b)2
O que queremos e´ que
E [(X − b)2] ou seja, o MSE (Mean Square Error)
seja o menor poss´ıvel.
Eduardo Mendes (DELT - UFMG Programa de Po´s-Graduac¸a˜o em Engenharia Ele´trica Universidade Federal de Minas Gerais emmendes@cpdee.ufmg.br)MACSIN 67 / 84
Valor Esperado para uma func¸a˜o de uma varia´vel aleato´ria
(cont.)
Calculando o MSE
MSE (b) = E [(X − b)2]
= E [X 2 − 2Xb + b2]
= E [X 2]− 2E [Xb] + E [b2]
= E [X 2]− 2bE [X ] + b2
Precisamos achar o valor que minimiza o MSE
dMSE(b)
db = −2E [X ] + 2b = 0
↓
E [X ] = b
Eduardo Mendes (DELT - UFMG Programa de Po´s-Graduac¸a˜o em Engenharia Ele´trica Universidade Federal de Minas Gerais emmendes@cpdee.ufmg.br)MACSIN 68 / 84
Valor Esperado para uma func¸a˜o de uma varia´vel aleato´ria
(cont.)
logo
MSE (b) = E [(X − b)2]
= E [(X − E [X ])2]
= Var [X ]
Eduardo Mendes (DELT - UFMG Programa de Po´s-Graduac¸a˜o em Engenharia Ele´trica Universidade Federal de Minas Gerais emmendes@cpdee.ufmg.br)MACSIN 69 / 84
Variaˆncia
Propriedades da Variaˆncia
Var [c] = 0
Var [X = C ] = Var [X ]
Var [cX ] = c2Var [X ]
E [X ] e E [X 2] sa˜o o primeiro e segundo momentos, respectivamente.
E [X n] → n-e´simo momento
E [X n − En[X ]] → momentos centrais
A variaˆncia e´ um operador na˜o-linear.
Eduardo Mendes (DELT - UFMG Programa de Po´s-Graduac¸a˜o em Engenharia Ele´trica Universidade Federal de Minas Gerais emmendes@cpdee.ufmg.br)MACSIN 70 / 84
Func¸a˜o Caracter´ıstica
Definic¸a˜o: A func¸a˜o caracter´ıstica da varia´vel X e´ definida como
φX (ω) = E [e
ωX ]
Repare que o argumento de E [•] e´ uma transformac¸a˜o de uma varia´vel
aleato´ria, ou seja,
g(X ) = eωX
Podemos definir o seguinte
φX (ω) = E [e
ωX ]
=
∑
i e
ωxipX [xi ]
=
∑
i pX [xi ]e
ωxi
repare que nada mais e´ do que a Transformada Discreta de Fourier
Eduardo Mendes (DELT - UFMG Programa de Po´s-Graduac¸a˜o em Engenharia Ele´trica UniversidadeFederal de Minas Gerais emmendes@cpdee.ufmg.br)MACSIN 71 / 84
Func¸a˜o Caracter´ıstica (cont.)
A ide´ia e´ usar a func¸a˜o caracter´ıstica para calcular E [X ]. Para isso
considere
dφX (ω)
dω =
d
dω
∑∞
k=−∞ pX [k]e
ωk
=
∑∞
k=−∞ pX [k]
deωk
dω
=
∑∞
k=−∞ pX [k]ke
ωk
Podemos substituir um valor determinado. Para os nossos propo´sitos,
vamos usar ω = 0
1

dφX (ω)
dω
∣∣∣
ω=0
=
∑∞
k=−∞ kpX [k] e
ωk︸︷︷︸
1
= E [X ]
Logo
E [X n] =
1
n
dnφX (ω)
dωn
∣∣∣∣
ω=0
Eduardo Mendes (DELT - UFMG Programa de Po´s-Graduac¸a˜o em Engenharia Ele´trica Universidade Federal de Minas Gerais emmendes@cpdee.ufmg.br)MACSIN 72 / 84
Variaˆncia - Geome´trica
Lembrando que a PMF da VA Geome´trica e´ dada por:
pX [k] = (1− p)k−1p
e´ poss´ıvel determinar a func¸a˜o carater´ıstica para a mesma. Para isso,
considere
Eduardo Mendes (DELT - UFMG Programa de Po´s-Graduac¸a˜o em Engenharia Ele´trica Universidade Federal de Minas Gerais emmendes@cpdee.ufmg.br)MACSIN 73 / 84
Variaˆncia - Geome´trica (cont.)
φX (ω) =
∞∑
k=1
pX [k]e
ωk
=
∞∑
k=1
(1− p)k−1peωk
= p
∞∑
k=1
(1− p)k−1eω(k−1+1)
= peω
∞∑
k=1
[(1− p)eω]k−1
= peω
∞∑
k′=0
[(1− p)eω]k′ Isso e´ uma PG
=
peω
1− (1− p)eω
Eduardo Mendes (DELT - UFMG Programa de Po´s-Graduac¸a˜o em Engenharia Ele´trica Universidade Federal de Minas Gerais emmendes@cpdee.ufmg.br)MACSIN 74 / 84
Variaˆncia - Geome´trica (cont.)
Dado que a func¸a˜o caracter´ıstica foi determinada, podemos calcular os
momentos e com eles a variaˆncia.
E [X 2] =
1
2
d2φX (ω)
dω2
∣∣∣∣
ω=0
=
2
p2
− 1
p
Logo
Var [X ] = E [X 2]− E 2[X ]
=
2
p2
− 1
p
− 1
p2
=
1− p
p2
=
q
p2
Eduardo Mendes (DELT - UFMG Programa de Po´s-Graduac¸a˜o em Engenharia Ele´trica Universidade Federal de Minas Gerais emmendes@cpdee.ufmg.br)MACSIN 75 / 84
Propriedades da Func¸a˜o Caracter´ıstica
A func¸a˜o caracter´ıstica sempre existe pois |φX (ω)| <∞
Prova:
Eduardo Mendes (DELT - UFMG Programa de Po´s-Graduac¸a˜o em Engenharia Ele´trica Universidade Federal de Minas Gerais emmendes@cpdee.ufmg.br)MACSIN 76 / 84
Propriedades da Func¸a˜o Caracter´ıstica (cont.)
|φX (ω)| =
∣∣∣∣∣
∞∑
k=−∞
pX [k]e
ωk
∣∣∣∣∣
≤
∞∑
k=−∞
∣∣pX [k]eωk ∣∣
≤
∞∑
k=−∞
|pX [k]|
∣∣eωk ∣∣︸ ︷︷ ︸
1
≤
∞∑
k=−∞
|pX [k]|
≤ 1
Eduardo Mendes (DELT - UFMG Programa de Po´s-Graduac¸a˜o em Engenharia Ele´trica Universidade Federal de Minas Gerais emmendes@cpdee.ufmg.br)MACSIN 77 / 84
Propriedades da Func¸a˜o Caracter´ıstica (cont.)
A PMF pode ser recuperada da func¸a˜o caracter´ıstica
pX [k] =
1
2pi
∫ pi
−pi
φX (ω)e
−ωkdω
isso nada mais e´ do que a Transformada de Fourier Inversa da func¸a˜o
caracter´ıstica.
Eduardo Mendes (DELT - UFMG Programa de Po´s-Graduac¸a˜o em Engenharia Ele´trica Universidade Federal de Minas Gerais emmendes@cpdee.ufmg.br)MACSIN 78 / 84
Uma Outra Maneira de ver a Func¸a˜o Caracter´ıstica
Sabemos que a func¸a˜o caracter´ısitca esta´ relacionada com a Transformada
Discreta de Fourier, logo porque na˜o pensar em Transformada Z?
φX (z) = E [z
X ]
Exemplo: Func¸a˜o caracter´ıstica de X com distribuic¸a˜o de Poisson com
paraˆmetro λ.
Soluc¸a˜o
Eduardo Mendes (DELT - UFMG Programa de Po´s-Graduac¸a˜o em Engenharia Ele´trica Universidade Federal de Minas Gerais emmendes@cpdee.ufmg.br)MACSIN 79 / 84
Uma Outra Maneira de ver a Func¸a˜o Caracter´ıstica (cont.)
φX (z) = E [z
X ]
=
∞∑
k=0
zkP(X = k)
=
∞∑
k=0
zk
λke−λ
k!
= e−λ
∞∑
k=0
(zλ)k
k!
= e−λezλ
= eλ(z−1)
Exemplo: Func¸a˜o caracter´ıstica de uma soma de varia´veis aleato´rias
independentes.
Eduardo Mendes (DELT - UFMG Programa de Po´s-Graduac¸a˜o em Engenharia Ele´trica Universidade Federal de Minas Gerais emmendes@cpdee.ufmg.br)MACSIN 80 / 84
Uma Outra Maneira de ver a Func¸a˜o Caracter´ıstica (cont.)
Soluc¸a˜o
φX1+...+Xn(z) = E [z
X1+X2+...+Xn ]
= E [zX1 . . . zXn ]
= E [zX1 ] . . .E [zXn ] usando independeˆncia
= φX1(z) . . . φXn(z)
Exemplo: Utilizac¸a˜o da func¸a˜o caracter´ıstica para o ca´lculo de
probabilidades.
Soluc¸a˜o: Considere a seguinte definic¸a˜o da func¸a˜o caracter´ıstica em
termos da Transformada Z
φX (z) = E [z
X ] =
∞∑
k=0
zkP(X = k)
Eduardo Mendes (DELT - UFMG Programa de Po´s-Graduac¸a˜o em Engenharia Ele´trica Universidade Federal de Minas Gerais emmendes@cpdee.ufmg.br)MACSIN 81 / 84
Uma Outra Maneira de ver a Func¸a˜o Caracter´ıstica (cont.)
Expandindo a se´rie temos:
φX (z) = P(X = 0) + zP(X = 1) + z
2P(X = 2) + . . .
Quando z = 0
φX (0) = P(X = 0)
Derivando φX (z) uma vez, temos
φ′X (z) = P(X = 1) + 2zP(X = 2 + . . .
Neste caso, quando z = 0, a func¸a˜o caracter´ıstica e´
φ′X (0) = P(X = 1)
Estendendo para derivadas de ordem superior, temos
Eduardo Mendes (DELT - UFMG Programa de Po´s-Graduac¸a˜o em Engenharia Ele´trica Universidade Federal de Minas Gerais emmendes@cpdee.ufmg.br)MACSIN 82 / 84
Uma Outra Maneira de ver a Func¸a˜o Caracter´ıstica (cont.)
φ
(n)
X (z)
∣∣∣
z=0
n!
= P(X = n)
Exemplo: Se φX (z) =
(
1+z+z2
3
)2
, encontre P(X = 2).
Soluc¸a˜o: Derivando duas vezes, temos
φ′X (z) = 2
(
1 + z + z2
3
)(
1 + 2z
3
)
φ′′X (z) = 2
(
1 + z + z2
3
)(
2
3
)
+ 2
(
1 + 2z
3
)(
1 + 2z
3
)
Usando φ′′X (z) podemos facilmente achar que
Eduardo Mendes (DELT - UFMG Programa de Po´s-Graduac¸a˜o em Engenharia Ele´trica Universidade Federal de Minas Gerais emmendes@cpdee.ufmg.br)MACSIN 83 / 84
Uma Outra Maneira de ver a Func¸a˜o Caracter´ıstica (cont.)
P(X = 2) =
φ′′X (0)
2!
=
1
2!
(
4
9
+
2
9
)
=
1
3
Eduardo Mendes (DELT - UFMG Programa de Po´s-Graduac¸a˜o em Engenharia Ele´trica Universidade Federal de Minas Gerais emmendes@cpdee.ufmg.br)MACSIN 84 / 84
	Definição
	Transformação de Variáveis Aleatórias Discretos
	Função de Distribuição Acumulada (CDF)
	Valor Esperado
	Exemplo de Valor Esperado Infinito
	Valor Esperado para uma função de uma variável aleatória
	Propriedades da Variância
	Função Característica
	Função Característica - Transformada Z