4 Radier

Prévia do material em texto

RADIER 
 
Entre os elementos que fazem parte das fundações superficiais tem-se: as vigas sobre 
apoios elásticos, vigas sobre base elástica e finalmente lajes sobre uma base elástica, 
também chamadas de radiers. Todos estes são elementos estruturais de concreto armado 
apoiados sobre o solo que em um primeiro momento é considerado um elemento 
elástico. Na Figura 1 são mostrados esquematicamente cada um destes elementos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1. 
 
 A viga sobre apoios elásticos é um problema clássico enfrentado pelos 
construtores de estradas de ferro que precisam apoiar os trilhos em dormentes que por 
sua vez se apóiam no solo deformável. Curiosamente quando se usa a solução do meio 
contínuo pode-se calcular a viga sobre apoios elásticos como se fosse uma viga sobre 
base elástica e ao contrário quando se usa o meio discreto pode-se calcular a viga sobre 
base elástica como se fosse uma viga sobre apoios elásticos com espaçamento pequeno 
entre um apoio e outro. 
 
VIGA SOBRE BASE ELÁTICA – TEORIA DO MEIO CONTINUO 
 A equação da linha elástica de uma viga é dada pela expressão (encontrada em 
qualquer livro de resistência dos materiais): 
 
EI
M
dx
yd

2
2 (1) 
 
com 
 y- o deslocamento vertical dos diversos pontos da estrutura 
 M- Momento fletor em uma seção genérica 
 EI- A rigidez da seção do elemento (produto do módulo de elasticidade e inércia 
da seção transversal). 
 
Derivando duas vezes a expressão (1) e levando em conta a relação entre momento e a 
taxa de carregamento (q) obtêm-se: 
 
EI
q
dx
yd

4
4 (2) 
 
para um trecho de viga apoiada no solo ocorrendo um deslocamento y surge no solo 
uma reação dada por : 
 
Ky = q (3) 
 
Com 
 K – Coeficiente de recalque do solo 
 
Substituindo na equação 1 chega-se a: 
 
KyEI
dx
yd

4
4 (4) 
 
a equação diferencial (4) apresenta como solução: 
 
considerando 
4
4EI
K

 (5) 
 
   xsenDxCexsenBxAey xx     coscos (6) 
 
Na solução geral dada em 6 os valores de A, B, C e D são constantes de integração que 
pode ser calculadas a partir das condições de contorno. 
 
 
VIGA COM COMPRIMENTO INFINITO E CARGA CONCENTRADA 
Ao considerar que a viga tenha um comprimento muito grande que pode ser 
considerado infinito como o indicado na figura 2. com os valores de 
x
 muito grande o 
termo 
xe 
 se anula ficando apenas o primeiro termo em que o deslocamento vertical (y) 
e a rotação (dy/dx) devem ser nulos. 
 
 xsenBxAe x   cos0 (deslocamento) 
 
 xxBxsenxAex x   cos0  (rotação) 
 
Da primeira expressão 
 xsenBxA   cos0 







x
xsen
BA


cos
 
substituindo na segunda 






 x
x
xsen
B 


cos
cos
0
2 B =0 A=0 
Resultando portanto em 
 xsenDxCey x    cos 
 
 
 
figura 2 
 
 Finalmente pode-se dizer que no ponto de aplicação da carga o cortante a 
esquerda, ou a direita é igual a P/2 e a rotação no ponto é nula. 
A segunda condição resulta em: 
 
 xDxCsenxsenDxCe
dx
dy x   coscos   =0 
 DC
dx
dy
x






0
=0 
C=D 
 
 xsenxCey x    cos 
 xsenCe
dx
dy x    2 
 xxsenCe
dx
yd x   cos2 2
2
2
 
 
 xCe
dx
yd x   cos4 3
3
3
 
 
 
2
0
3
3 P
dx
yd
EI
x








 
 
EI
P
C
2
4 3  
 
38 

EI
P
C
 
 
 xsenx
EI
P
ey x 
 

  cos
8 3
 
com o momento dado por 
 
EI
M
dx
yd

2
2 
 
 xxsenePM x 
 cos
4
 
 
 
Uma das maneiras de calcular um radier é dividir o mesmo em faixas (de um m, por 
exemplo) e associar o seu funcionamento ao de uma viga apoiada em base elástica. A 
resolução de uma viga sobre uma base elástica é dada na folha 2 do PDF. Faz-se uso da 
equação diferencial de deformação de uma viga e iguala-se a taxa de carregamento em 
um ponto ao coeficiente de recalque do solo multipicado pelo deslocamento na vertical 
do ponto em questão. A resolução desta equação resulta em uma função de “e” 
(logaritmo neperiano) elevado a certo valor. Diversos autores e livros trazem a solução 
desta equação para alguns casos de carga e tabelam os resultados obtidos (como 
mostrado nas folhas 4 e 5 do PDF). Assim é possível resolver uma faixa de u metro de 
um radier, por superposição de carregamentos e com uso de tabelas apropriadas. No 
PDF dado mostra=se na folha 1 uma planta de casa popular onde se avalia a ação em 
paredes laterais e centrais. Embaixo da página 1 indica-se como seriam os baldrames a 
serem usados para a solução com fundação profunda. Na página 2 monta-se um 
esquema do radier e como ode ser calculado usando as tabelas de HAHN J. Vigas 
continuas, pórticos, placas y vigas flotantes sobre lecho elástico Editorial Gustavo Gili 
Barcelona 1972. 
Alguns comentários iniciais: 
As ações a considerar são apenas as pontuais pois cargas distribuídas (na direção do 
cálculo) não causam esforço interno (apenas entram no cálculo da tensão admissível).. 
O cálculo sempre é feito por carga e superpondo os vários valores. Assim para o 
momento fletor em S deve-se calcular o efeito da carga em i, depois da carga em j etc. 
Por isso surgem coeficientes na tabela do tipo ηis ou ηjs. 
No segundo PDf tentei scanear o capítulo do Livro em questão mas não ficou grandes 
coisas. 
Finalmente o método mais simples (tendo-se um programa de grelha) é resolver o radier 
como um todo e colocar embaixo de cada nõda grelha equivalente que representa o 
radier uma mola. Este processo soda certo se o espaçamento da grelha for pequeno. Os 
arquivos dats enviados devem ser de um programa de grelha (GPLAN) gratuito que uso 
e com o qual fiz alguns testes. Na minha próxima ida em Camboriú podemos conversar 
mais. 
 
WINTERKON H. F.; FANG F. Foundation Engineering Handbook 1975 Toronto 
VELLOSO D. A.;LOPES F. R. Fundações Volume 1 Oficina de textos 2004 São Paulo 
HAHN J. Vigas continuas, pórticos y placas Editorial Gustavo Gili Barcelona 1972 
 
 
 
 
Prezados Colegas da Comunidade TQS, 
Segue roteiro para o lançamento de base elástica nos sistemas TQS. 
 Radier – Lançamento e Processamento 
 
Roteiro: 
 1. Criar um edifício com 2 
pavimentos.,
 
2. Apagar os casos de vento. 
 
 
3. Acessar o modelador estrutural e lançar os elementos (lajes, vigas e pilares) do 
pavimento que contém a base elástica. Utilizar linhas de fechamento de bordo para 
delimitar as lajes/placas quando necessário. Dê preferência as coordenadas 0,0 no 
eixo de simetria. 
4. Nos dados atuais de laje para a próxima inserção, ative a opção ‘Base elástica’ e 
configure o coeficiente de mola do solo na aba ‘Grelha’, conforme mostra figura 
abaixo. É importante salientar que o coeficiente de mola depende do espaçamento da 
grelha. 
Em seguida insira a laje, no contorno definido. 
 
 
5. Nos dados do pilar, para a aba ‘Grelha’ defina um coeficiente de mola coerente 
com a área do pilar e o espaçamento da grelha. Isto fará com que o pilar se apóie na 
laje. 
 
 
6. Lance todas as cargas (lineares, por área, etc.) nas lajes e vigas. Nos pilares, 
lance cargas concentradas com as reações de apoio. 
7. Saia salvando. 
8. De volta à tela do gerenciador, ative o ‘Grelha/TQS’ e execute os comandos 
‘Editar’– ‘Critérios’ – ‘Lajes Planas’ – ‘ok’. 
9. Na janela de critérios, clique em ‘Malha’ – ‘Discretização da malha’ e ajuste o 
espaçamento entre barras, levando em conta o coeficiente de molas definido nos 
dados de lajes, definidos no modelador estrutural. 
 
 
10. Saia salvando. 
11. De volta a tela do gerenciador, ative o ‘CAD/Formas’ e realize a extração gráfica 
de formas através dos comandos ‘Processar’ – ‘Extração gráfica de formas’. 
12. Terminada a extração gráfica, ative o ‘Grelha/TQS’ e realize ‘Processar’ – 
‘Geração do modelo’, conforme mostra a figura a seguir: 
 
 
13. Terminado o processamento, realize os comandos ‘Grelha/TQS’ – ‘Visualizar’ – 
‘Visualizador de grelha espacial’. 
14. Na janela do visualizador espacial, verifique o comportamento da estrutura através 
da visualização dos deslocamentos e esforços. 
 
Deslocamentos: 
 
Esforços: 
 
15. Se os esforços e deslocamentos estiverem de acordo com o esperado, utilize o 
‘editor de esforços e armaduras’ de lajes para homogeneizar e calcular a armadura. 
 Gostaria de salientar que os coeficientes de mola devem ser adquiridos com o pessoal 
de Geotecnia. 
Caso o engenheiro esteja de posse do perfil do terreno, os dados podem ser lançados 
no SISES-full - Sistema de Integração Solo-Estrutura (módulo adicional TQS). 
 
 
Atenciosamente, 
Monica Firmino Bolli 
Suporte TQS 
monica@tqs.com.br