PC_2012-1_AP3-GABARITO

Prévia do material em texto

AP 03 – 2012-1 GABARITO Pré-Cálculo 
1 de 7 
CEDERJ 
Gabarito da Avaliação Presencial 3 
Pré-Cálculo 
 
1ª. Questão [3,0 pontos] 
Considere as funções e 
 
 
 
(a) [1,0 ponto] Diga quais são as possíveis raízes racionais do polinômio e fatore esse 
polinômio. 
(b) [1,5 ponto] Analise o sinal das funções e , isto é, para cada função dê o seu 
domínio, diga para que valores de ela é nula, para quais intervalos ela é positiva e para quais 
intervalos ela é negativa. 
(c) [0,5 ponto] Encontre o domínio da função 
 
 
. 
Resolução: 
(a) As possíveis raízes racionais são o quociente dos divisores do coeficiente do termo 
independente (nesse caso é igual a 2) pelos divisores do coeficiente do termo de maior grau (nesse 
caso é igual a 4). Logo as possíveis raízes racionais são: . 
Para fatorar, vamos verificar se há raízes racionais, começando pelas inteiras. 
 , temos que , logo não é raiz de . 
 , temos que , logo é raiz de . 
Assim, para fatorar, podemos dividir por . Usando Briot-Ruffini para fazer essa 
divisão, 
 
 
 
Então, podemos escrever 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Portanto, 
 
 
 
 
AP 03 – 2012-1 GABARITO Pré-Cálculo 
2 de 7 
(b) Como , podemos usar tabela de sinais. 
 
 
 
 
 
 
Portanto, 
 ; 
 : se ; 
 se ; 
 se 
Também podemos usar tabela de sinais para analisar o sinal de 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Portanto, 
 ; 
 : se ; 
 se ; 
 se 
 
(c) Temos duas restrições para o domínio: 
I) O radicando deve ser positivo ou nulo, ou seja 
II) o denominador deve ser diferente de zero, ou seja, . 
Logo, podemos juntar as duas restrições em uma única, ou seja, . 
No item (b) já concluímos que se . 
Portanto: . 
 
AP 03 – 2012-1 GABARITO Pré-Cálculo 
3 de 7 
2ª. Questão [2,0 pontos] 
Faça o que se pede em cada item. 
(a) [1,2 ponto] Resolva a equação para . 
Sugestão: faça a substituição . 
(b) [0,8 ponto] Dê os valores de que satisfazem . 
 Sugestão: desenhe o círculo trigonométrico para resolver o que foi pedido. 
Resolução: 
(a) fazendo a substituição , temos que: , resolvendo em 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 , . 
Encontramos os valores de observando o círculo 
trigonométrico do ângulo , ao lado. 
Voltando à variável original , temos que 
 
 
 
 
 
 
 , . 
Resolvendo cada uma na variável , 
 
 
 
 
 
 
 , . 
Ou 
 
 
 
 
 
 
 , 
 
 
(b) Observando no círculo trigonométrico ao lado, vemos que os ângulos estão no 1º. e no 3º. 
Quadrantes, 
No 1º Quadrante são os ângulos 
 
 
 
No 3º Quadrante são os ângulos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
AP 03 – 2012-1 GABARITO Pré-Cálculo 
4 de 7 
3ª. Questão [2,0 pontos] 
(a) [1,4 ponto] A partir do gráfico da função , use transformações em gráficos e esboce 
o gráfico de . Esboce a sequência de gráficos que você usou até encontrar o 
gráfico da função . Descreva em palavras as transformações ocorridas. 
(b) [0,6 ponto] Encontre os valores de reais tais que . 
Solução: 
(a) Uma possível sequência de transformações é a seguinte: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
AP 03 – 2012-1 GABARITO Pré-Cálculo 
5 de 7 
(b) Encontre os valores de reais tais que . 
 
 
 
 
 
 
 
Logo, 
 
 
Só para ilustrar, mostramos no gráfico da função a informação que 
 . Isso não foi pedido na questão. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4ª. Questão [3,0 pontos] 
A função cujo gráfico para valores de positivos ou nulo é dado abaixo e é uma função 
ímpar. A função positivos ou nulo é dado abaixo e é 
uma função par. Use essas informações para responder, sempre justificando, o que se pede: 
Atenção: Não é pedido para tentar encontrar as expressões ou lei de formação das funções, use apenas as 
informações dadas acima e as informações que podem ser extraídas dos gráficos. 
(a) [1,1 ponto] Domínio da função seu gráfico e sua imagem e os intervalos do 
domínio em que . 
(b) [1,1 ponto] Domínio da função seu gráfico e sua imagem e os intervalos do domínio 
em que a função é decrescente 
(c) [0,8 ponto] O valor de cada uma das expressões ou a explicação por que elas 
não estão definidas 
(i) (ii) 
(iii) (iv) 
AP 03 – 2012-1 GABARITO Pré-Cálculo 
6 de 7 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: 
(a) Como é uma função ímpar, então ela está definida num conjunto simétrico com 
relação a origem. Observando a parte do gráfico que é apresentada, concluímos que 
 e que que 
Seu gráfico é simétrico com relação à origem Como os pontos 
 
 
 
 , são pontos do gráfico da 
função , então os pontos 
 
 
 
 , também são pontos desse mesmo gráfico. 
 
 
Do gráfico, concluímos que para 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
(b) Como é uma função par, então ela está definida num conjunto simétrico 
com relação à origem. Observando a parte do gráfico que é apresentada, concluímos quee que 
Seu gráfico é simétrico com relação ao eixo . 
Como os pontos 
 , são pontos do gráfico da 
função , então os pontos 
 
 , também são pontos desse mesmo 
gráfico. 
A função é decrescente nos seguintes 
intervalos: . 
É decrescente nesses intervalos, pois se são pontos desses intervalos, tal que, 
 então . 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
AP 03 – 2012-1 GABARITO Pré-Cálculo 
7 de 7 
(c) 
(i) 
 
 
 
(ii) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(iii) Como não pertence ao então 
 não pode ser calculada. 
 
(iv)