Aula 02 Matemática Aplicada (TI) Equações de 1 grau com uma incógnita e Razão e proporção

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Matemática Aplicada
GTI
Aula 02
2016
Prof.ª Larissa
Sumário
2.A Equações de primeiro grau com uma incógnita
• Introdução
• Exemplos
• Exercícios
2.B Razão e proporção
• Introdução
• Grandezas diretamente proporcionais e inversamente proporcionais
• Regra de três simples
• Regra de três composta
• Exercícios
Equações de 1º grau - Introdução
As equações representam uma igualdade matemática envolvendo 
uma ou mais incógnitas. 
As incógnitas, por sua vez, são valores desconhecidos e que se deseja 
descobrir. São designadas por letras, já que seus valores numéricos 
são inicialmente desconhecidos.
Equação do 1º grau na incógnita 𝒙𝒙 é toda equação que pode ser 
escrita na forma 𝒂𝒂𝒙𝒙+ 𝒃𝒃 = 𝟎𝟎, sendo 𝒂𝒂 e 𝒃𝒃 números racionais, com 
𝒂𝒂 diferente de zero. 
Resolver uma equação é encontrar todos os valores possíveis para a 
incógnita que tornem a igualdade verdadeira.
Equações de 1º grau - Introdução
A resolução de uma equação de 1º grau consiste em isolar 
adequadamente a incógnita dos valores numéricos que compõem a 
expressão, determinando assim o valor da incógnita. 
• Exemplos:
𝟐𝟐𝒙𝒙 − 𝟒𝟒 = 𝟎𝟎 𝟓𝟓𝒙𝒙 − 𝟑𝟑 = 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟒𝟒𝒙𝒙 − 𝟏𝟏𝟐𝟐 = 𝟐𝟐
2𝑥𝑥 = 4
𝑥𝑥 = 42
𝑥𝑥 = 2
4𝑥𝑥 = 8 + 12
4𝑥𝑥 = 20
𝑥𝑥 = 204
𝑥𝑥 = 5
5𝑥𝑥 = 28 + 3
5𝑥𝑥 = 31
𝑥𝑥 = 315 = 6,2
Equações de 1º grau - Exemplos
𝟐𝟐+ 𝟑𝟑(𝟐𝟐 − 𝟒𝟒𝒙𝒙) = 𝟑𝟑𝟐𝟐3 2− 4𝑥𝑥 = 32− 26− 12𝑥𝑥 = 30
−12𝑥𝑥 = 30− 6
−12𝑥𝑥 = 24
−𝑥𝑥 = 2412
𝑥𝑥 = −2
𝟐𝟐 − 𝟑𝟑(𝟐𝟐 − 𝟒𝟒𝒙𝒙) = 𝟐𝟐
−3 2− 4𝑥𝑥 = 8− 2
−6 + 12𝑥𝑥 = 6
12𝑥𝑥 = 6 + 6
12𝑥𝑥 = 12
𝑥𝑥 = 1212
𝑥𝑥 = 1
𝟏𝟏𝟑𝟑𝒙𝒙 − 𝟔𝟔𝟐𝟐 = −𝟕𝟕𝒙𝒙+ 𝟏𝟏𝟐𝟐
13𝑥𝑥 + 7𝑥𝑥 = 12 + 68
20𝑥𝑥 = 80
𝑥𝑥 = 8020
𝑥𝑥 = 4
Equações de 1º grau - Exemplos
𝟑𝟑𝒙𝒙 − 𝟏𝟏𝟎𝟎+ 𝟏𝟏𝟑𝟑 = −𝟐𝟐𝒙𝒙+ 𝟐𝟐𝟐𝟐 𝟐𝟐𝟎𝟎𝒙𝒙 − 𝟑𝟑𝟎𝟎 = 𝟒𝟒𝟎𝟎+ 𝟑𝟑𝟎𝟎 − 𝟐𝟐𝟎𝟎
3𝑥𝑥 + 2𝑥𝑥 = 28 + 10 − 135𝑥𝑥 = 25
𝑥𝑥 = 255
𝑥𝑥 = 5
20𝑥𝑥 = 40 + 30− 20 + 30
20𝑥𝑥 = 80
𝑥𝑥 = 8020
𝑥𝑥 = 4
Equações de 1º grau - Exemplos
𝟑𝟑,𝟓𝟓𝒙𝒙+ 𝟔𝟔 = −𝟐𝟐,𝟓𝟓𝒙𝒙+ 𝟏𝟏𝟐𝟐 𝟐𝟐𝟎𝟎𝒙𝒙 − 𝟑𝟑𝟎𝟎 = 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 − 𝟑𝟑𝟎𝟎,𝟐𝟐𝒙𝒙 − 𝟐𝟐𝟎𝟎3,5𝑥𝑥 + 2,5𝑥𝑥 = 12− 66𝑥𝑥 = 6
𝑥𝑥 = 66
𝑥𝑥 = 1
20𝑥𝑥 + 30,2𝑥𝑥 = 100− 20 + 3050,2𝑥𝑥 = 100− 20 + 3050,2𝑥𝑥 = 110
𝑥𝑥 = 11050,2
𝑥𝑥 ≅ 2,191
Equações de 1º grau - Exemplos
𝟕𝟕𝒙𝒙
𝟐𝟐
+ 𝟔𝟔 = −𝟓𝟓𝒙𝒙
𝟐𝟐
+ 𝟏𝟏𝟐𝟐 𝟐𝟐𝟎𝟎𝒙𝒙 − 𝟑𝟑𝟎𝟎 = 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 − 𝟏𝟏𝟓𝟓𝟏𝟏𝒙𝒙
𝟓𝟓
− 𝟐𝟐𝟎𝟎
7𝑥𝑥 + 122 = −5𝑥𝑥 + 2427𝑥𝑥 + 12 = −5𝑥𝑥 + 24
𝑥𝑥 = 1212 𝑥𝑥 = 1
100𝑥𝑥 − 1505 = 500− 151𝑥𝑥 − 1005
100𝑥𝑥 − 150 = 500− 151𝑥𝑥 − 100100𝑥𝑥 + 151𝑥𝑥 = 500− 100 + 1507𝑥𝑥 + 5𝑥𝑥 = 24 − 12
12𝑥𝑥 = 12 251𝑥𝑥 = 550
𝑥𝑥 = 550251 ≅ 2,191
Equações de 1º grau - Exemplos
𝟐𝟐𝒙𝒙+ 𝟑𝟑
𝟐𝟐
= 𝟒𝟒𝒙𝒙+ 𝟕𝟕
𝟓𝟓
𝟐𝟐𝟎𝟎𝒙𝒙
𝟑𝟑
= 𝟑𝟑𝟎𝟎
𝟕𝟕2(4𝑥𝑥 + 7) = 5(2𝑥𝑥 + 3)
−𝑥𝑥 = 12
8𝑥𝑥 + 14 = 10𝑥𝑥 + 158𝑥𝑥 − 10𝑥𝑥 = 15− 14
−2𝑥𝑥 = 1
𝑥𝑥 = −12 = −0,5
7 × 20𝑥𝑥 = 3 × 30
140𝑥𝑥 = 90
𝑥𝑥 = 90140
𝑥𝑥 = 914 ≅ 0,643
𝟏𝟏𝟐𝟐
𝟓𝟓
= 𝟓𝟓𝒙𝒙
𝟑𝟑5 × 5𝑥𝑥 = 3 × 1225𝑥𝑥 = 36
𝑥𝑥 = 3625 = 1,44
Equações de 1º grau - Exercícios
1. Encontre os valores numéricos das incógnitas das equações:
𝟏𝟏𝟐𝟐𝒙𝒙 − 𝟕𝟕𝟑𝟑 = −𝟐𝟐𝒙𝒙+ 𝟏𝟏𝟓𝟓
12𝑥𝑥 + 8𝑥𝑥 = 15 + 7320𝑥𝑥 = 88
𝑥𝑥 = 8820
𝑥𝑥 = 225 = 4,4
𝟏𝟏𝟎𝟎 − 𝟓𝟓(𝟑𝟑 − 𝟐𝟐𝒙𝒙) = 𝟐𝟐𝟎𝟎10− 15 + 40𝑥𝑥 = 20
40𝑥𝑥 = 20− 10 + 15
40𝑥𝑥 = 25
𝑥𝑥 = 2540
𝑥𝑥 = 58 = 0,625
Equações de 1º grau - Exercícios
1. Encontre os valores numéricos das incógnitas das equações:
7𝑥𝑥 + 7212 = −15𝑥𝑥 + 14412
7𝑥𝑥 + 72 = −15𝑥𝑥 + 144
𝑥𝑥 = 7222 = 3611 ≅ 3,273
𝟕𝟕𝒙𝒙
𝟏𝟏𝟐𝟐
+ 𝟔𝟔 = −𝟓𝟓𝒙𝒙
𝟒𝟒
+ 𝟏𝟏𝟐𝟐
7𝑥𝑥 + 15𝑥𝑥 = 144− 7222𝑥𝑥 = 72
𝟕𝟕𝒙𝒙+ 𝟑𝟑
𝟐𝟐
= 𝟒𝟒𝒙𝒙 − 𝟕𝟕
𝟓𝟓2(4𝑥𝑥 − 7) = 5(7𝑥𝑥 + 3)
8𝑥𝑥 − 14 = 35𝑥𝑥 + 15
8𝑥𝑥 − 35𝑥𝑥 = 15 + 14
−27𝑥𝑥 = 29
𝑥𝑥 = −2927 ≅ −1,074
Equações de 1º grau - Exercícios
2. A soma de um número com o seu antecessor é igual a 49. Qual é o
menor desses números?
R: 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐶𝐶 𝐶𝐶𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝐶𝐶 𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑞𝑞𝑞𝑞𝑛𝑛𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝐶𝐶 𝐶𝐶𝐶𝐶𝑛𝑛𝐶𝐶 𝑖𝑖𝐶𝐶𝐶𝐶𝑖𝑖𝑖𝐶𝐶𝑖𝑖𝑞𝑞𝐶𝐶, 𝑞𝑞𝑛𝑛𝑛𝑛𝐶𝐶𝑞𝑞:
∴ 𝑂𝑂 𝑛𝑛𝑛𝑛𝐶𝐶𝐶𝐶𝑛𝑛 𝐶𝐶𝐶𝐶𝑞𝑞 𝐶𝐶𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝐶𝐶𝑞𝑞 é 24.
n𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝐶𝐶: 𝑥𝑥
𝐶𝐶𝐶𝐶𝑞𝑞𝑛𝑛𝐶𝐶𝑛𝑛𝑞𝑞𝑞𝑞𝐶𝐶𝑛𝑛: 𝑥𝑥 − 1 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 − 1 = 492𝑥𝑥 − 1 = 49
2𝑥𝑥 = 49 + 1
2𝑥𝑥 = 50
𝑥𝑥 = 25
n𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝐶𝐶: 25
𝐶𝐶𝐶𝐶𝑞𝑞𝑛𝑛𝐶𝐶𝑛𝑛𝑞𝑞𝑞𝑞𝐶𝐶𝑛𝑛: 25− 1 = 24
Equações de 1º grau - Exercícios
3. No centro de São Paulo existe um estacionamento para carros e
motos. Sabendo que o número total de rodas é 180 e que o
número de carros é igual a 30, determine o número de motos neste
estacionamento.
R: 4 × 30 + 2𝑥𝑥 = 180𝐸𝐸𝑞𝑞𝑞𝑞𝐶𝐶𝐶𝐶𝑖𝑖𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐶𝐶 𝑝𝑝𝑛𝑛𝐶𝐶𝑝𝑝𝐶𝐶𝑛𝑛𝑛𝑛𝐶𝐶 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐶𝐶𝐶𝐶𝑛𝑛𝐶𝐶 𝑖𝑖𝐶𝐶𝐶𝐶𝑖𝑖𝑖𝐶𝐶𝑖𝑖𝑞𝑞𝐶𝐶 𝐶𝐶 𝐶𝐶𝑛 𝐶𝐶𝑛𝑛 𝑛𝑛𝐶𝐶𝑞𝑞𝐶𝐶𝑞𝑞:
∴ 𝐻𝐻𝐻 30𝑛𝑛𝐶𝐶𝑞𝑞𝐶𝐶𝑞𝑞 𝐶𝐶𝑛𝑛𝑞𝑞𝑞𝑞𝑛𝑛 𝑛𝑛𝑞𝑞𝑞𝑞𝐶𝐶𝐶𝐶𝑖𝑖𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝑛𝑛𝑛𝑛𝐶𝐶𝑞𝑞𝐶𝐶120 + 2𝑥𝑥 = 1802𝑥𝑥 = 180− 120
2𝑥𝑥 = 60
𝑥𝑥 = 602 = 30
Equações de 1º grau - Exercícios
4. Numa sala de aula existem 6 meninos a mais do que meninas. Se o
número total de alunos é igual a 36, determine o número de
meninas e de meninos nesta sala.
R:n𝑛 𝐶𝐶𝑛𝑛 𝑛𝑛𝑛𝑛𝐶𝐶𝑖𝑖𝐶𝐶𝐶𝐶𝑞𝑞: 𝑥𝑥𝐸𝐸𝑞𝑞𝑞𝑞𝐶𝐶𝐶𝐶𝑖𝑖𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐶𝐶 𝑝𝑝𝑛𝑛𝐶𝐶𝑝𝑝𝐶𝐶𝑛𝑛𝑛𝑛𝐶𝐶 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐶𝐶𝐶𝐶𝑛𝑛𝐶𝐶 𝑖𝑖𝐶𝐶𝐶𝐶𝑖𝑖𝑖𝐶𝐶𝑖𝑖𝑞𝑞𝐶𝐶 𝐶𝐶 𝐶𝐶𝑛 𝐶𝐶𝑛𝑛 𝑛𝑛𝑛𝑛𝐶𝐶𝑖𝑖𝐶𝐶𝐶𝐶𝑞𝑞:
∴ 𝐻𝐻𝐻 15𝑛𝑛𝑛𝑛𝐶𝐶𝑖𝑖𝐶𝐶𝐶𝐶𝑞𝑞 𝑛𝑛 21𝑛𝑛𝑛𝑛𝐶𝐶𝑖𝑖𝐶𝐶𝐶𝐶𝑞𝑞
𝐶𝐶𝑛𝑛𝑞𝑞𝑞𝑞𝐶𝐶 𝑞𝑞𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐶𝐶𝑛𝑛 𝐶𝐶𝑞𝑞𝐶𝐶𝐶𝐶.
𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 + 6 = 36
2𝑥𝑥 + 6 = 36n𝑛 𝐶𝐶𝑛𝑛 𝑛𝑛𝑛𝑛𝐶𝐶𝑖𝑖𝐶𝐶𝐶𝐶𝑞𝑞: 𝑥𝑥 + 6
2𝑥𝑥 = 36− 6
2𝑥𝑥 = 30
𝑥𝑥 = 15
n𝑛 𝐶𝐶𝑛𝑛 𝑛𝑛𝑛𝑛𝐶𝐶𝑖𝑖𝐶𝐶𝐶𝐶𝑞𝑞: 15n𝑛 𝐶𝐶𝑛𝑛 𝑛𝑛𝑛𝑛𝐶𝐶𝑖𝑖𝐶𝐶𝐶𝐶𝑞𝑞: 21
Equações de 1º grau - Exercícios
5. A média do semestre (MS) de uma universidade é calculada de
acordo com a fórmula abaixo, onde NP1 e NP2 são as notas das
duas provas do semestre. Um aluno tirou 5,3 na NP1. Sabendo que
a média de aprovação é 7,0 , qual é a nota mínima que este aluno
precisa tirar na NP2?
R: 𝐴𝐴𝐶𝐶𝑞𝑞𝑛𝑛𝑞𝑞 𝐶𝐶𝑛𝑛 𝑞𝑞𝑞𝑞𝑝𝑝𝑞𝑞𝑞𝑞𝑖𝑖𝑞𝑞𝑞𝑞𝑖𝑖𝑛𝑛 𝐶𝐶𝑞𝑞 𝑣𝑣𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝑛𝑛𝑛𝑛𝑞𝑞, 𝑝𝑝𝐶𝐶𝐶𝐶𝑛𝑛𝑛𝑛𝐶𝐶𝑞𝑞 𝑖𝑖𝑞𝑞𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝑛𝑛 𝐶𝐶 𝑞𝑞𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝐶𝐶 𝑁𝑁𝑁𝑁2:
∴ 𝐴𝐴 𝐶𝐶𝐶𝐶𝑞𝑞𝐶𝐶 𝑛𝑛𝑚𝐶𝐶𝑖𝑖𝑛𝑛𝐶𝐶 𝑞𝑞𝑞𝑞𝑛𝑛 𝑛𝑛𝑞𝑞𝑞𝑞𝑛𝑛 𝐶𝐶𝐶𝐶𝑞𝑞𝐶𝐶𝐶𝐶
𝑝𝑝𝑛𝑛𝑛𝑛𝐶𝐶𝑖𝑖𝑞𝑞𝐶𝐶 𝑞𝑞𝑖𝑖𝑛𝑛𝐶𝐶𝑛𝑛 𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑁𝑁𝑁𝑁2 é 8,7
𝑁𝑁𝑁𝑁1+ 𝑁𝑁𝑁𝑁2 = 2𝑀𝑀𝑀𝑀
𝑀𝑀𝑀𝑀 = 𝑁𝑁𝑁𝑁1 + 𝑁𝑁𝑁𝑁22
𝑁𝑁𝑁𝑁2 = 2𝑀𝑀𝑀𝑀 − 𝑁𝑁𝑁𝑁1
𝑁𝑁𝑁𝑁2 = 2 × 7,0− 5,3
𝑁𝑁𝑁𝑁2 = 14,0− 5,3
𝑁𝑁𝑁𝑁2 = 8,7
Razão e proporção - Introdução
Razão é uma forma de se realizar a comparação entre duas grandezas 
de unidades compatíveis. A razão entre os números 𝐶𝐶 e 𝑝𝑝 é obtida 
dividindo-se 𝐶𝐶 por 𝑝𝑝 (com 𝑝𝑝 ≠ 0).
Podemos fazer a representação de duas formas:
𝐶𝐶: 𝑝𝑝 ou 𝑎𝑎
𝑏𝑏
As razões acima podem ser lidas como:
• razão de 𝐶𝐶 para 𝑝𝑝
• 𝐶𝐶 está para 𝑝𝑝
• 𝐶𝐶 para 𝑝𝑝32: 16 é um exemplo de razão cujo valor é 2, isto é, a razão de 32 para 
16 é igual a 2.
Razão e proporção - Introdução
A igualdade entre razões chama-se proporção. Os números 𝐶𝐶, 𝑝𝑝, 𝐶𝐶 e 𝐶𝐶, 
todos diferentes de zero, formam nesta ordem, uma proporção se, e 
somente se, a razão 𝐶𝐶: 𝑝𝑝 for igual à razão 𝐶𝐶:𝐶𝐶. 
Indicamos esta proporção por:
𝑎𝑎
𝑏𝑏
= 𝑐𝑐
𝑑𝑑
Chamamos aos termos 𝐶𝐶 e 𝐶𝐶 de extremos e aos termos 𝑝𝑝 e 𝐶𝐶 de meios.
Veja que a razão de 10 para 5 é iguala 2 (10: 5 = 2). A razão de 14 para 7 
também é igual a 2 (14: 7 = 2). Podemos, então, afirmar que estas razões 
são iguais e que a igualdade abaixo representa uma proporção:
10
5
= 14
7
Lê-se a proporção acima da seguinte forma: 
"10 está para 5, assim como 14 está para 7".
Razão e proporção – Regra de três
A resolução de problemas que envolvem grandezas proporcionais 
pode ser realizada através de uma prática denominada regra de três.
Se tivermos duas grandezas diretamente proporcionais, utilizaremos 
a "regra de três simples direta“. Caso elas sejam inversamente 
proporcionais, utilizaremos a "regra de três simples inversa".
Nos problemas onde temos três ou mais grandezas mutuamente 
relacionadas, utilizamos a "regra de três composta". Observe que 
neste caso, um mesmo problema pode envolver tanto grandezas 
diretamente proporcionais, quanto grandezas inversamente 
proporcionais. 
Começaremos pela regra de três simples direta.
Razão e proporção – Regra de três simples direta
Considere o problema: Uma pessoa recebe R$ 1.800,00 por 30 dias
trabalhados. Quantos dias esta pessoa precisará trabalhar para ter
direito a receber R$ 1.200,00?
Este é um caso da utilização de uma "regra de três simples direta". Simples por
envolver apenas duas grandezas proporcionais, e direta porque, quando uma
grandeza aumenta, a outra também aumenta. Se uma diminui, o mesmo ocorre
com a outra.
Chamemos de S a grandeza que representa o salário e de D a grandeza que
representa o número de dias de trabalho e vejamos a representação abaixo:
Este cenário nos
permite montar a
proporção:
S D
1800 30
1200 x
18001200 = 30𝑥𝑥 Lembre-se: o produto dosextremos é igual aoproduto dos meios.
Razão e proporção - Exercícios
1. Se três comprimidos contêm 975 mg de aspirina, quantos
miligramas de aspirina estariam contidos em 12 comprimidos?3(𝐶𝐶𝐶𝐶𝑛𝑛𝑝𝑝𝑛𝑛𝑖𝑖𝑛𝑛𝑖𝑖𝐶𝐶𝐶𝐶𝑞𝑞)12(𝐶𝐶𝐶𝐶𝑛𝑛𝑝𝑝𝑛𝑛𝑖𝑖𝑛𝑛𝑖𝑖𝐶𝐶𝐶𝐶𝑞𝑞) = 975(𝑛𝑛𝑖𝑖)𝑥𝑥(𝑛𝑛𝑖𝑖)3𝑥𝑥 = 12 × 975
𝑥𝑥 = 117003 = 3900𝑛𝑛𝑖𝑖
3𝑥𝑥 = 11700
∴ 𝑇𝑇𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝐶𝐶𝑞𝑞 3900𝑛𝑛𝑖𝑖 𝐶𝐶𝑛𝑛 𝐶𝐶𝑞𝑞𝑝𝑝𝑖𝑖𝑛𝑛𝑖𝑖𝐶𝐶𝐶𝐶
𝑛𝑛𝑛𝑛 12 𝐶𝐶𝐶𝐶𝑛𝑛𝑝𝑝𝑛𝑛𝑖𝑖𝑛𝑛𝑖𝑖𝐶𝐶𝐶𝐶𝑞𝑞.
R:
Razão e proporção - Exercícios
2. Em Piraporinha, 2 a cada 5 moradores têm dívidas. Se
considerarmos um grupo de 50 pessoas desta cidade, qual é a
quantidade esperada de pessoas que possuem dívidas?
R:
∴ 20 𝐶𝐶 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 50𝑛𝑛𝐶𝐶𝑛𝑛𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝑛𝑛𝑛𝑛𝑞𝑞 𝐶𝐶𝑛𝑛
𝑁𝑁𝑖𝑖𝑛𝑛𝐶𝐶𝑝𝑝𝐶𝐶𝑛𝑛𝑖𝑖𝐶𝐶𝑃𝐶𝐶 𝑝𝑝𝐶𝐶𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑛𝑛𝑛𝑛 𝐶𝐶𝑚𝑣𝑣𝑖𝑖𝐶𝐶𝐶𝐶𝑞𝑞.
2(𝑛𝑛𝐶𝐶𝐶𝐶𝑖𝑖𝑣𝑣. )
𝑥𝑥(𝑛𝑛𝐶𝐶𝐶𝐶𝑖𝑖𝑣𝑣. ) = 5(𝑞𝑞𝐶𝐶𝑞𝑞𝐶𝐶𝐶𝐶)50(𝑞𝑞𝐶𝐶𝑞𝑞𝐶𝐶𝐶𝐶)5𝑥𝑥 = 2 × 50
𝑥𝑥 = 1005 = 20
5𝑥𝑥 = 100
Razão e proporção - Exercícios
3. Sabemos que a razão de dias de final de semana em relação ao
total de dias da semana é de 2: 7. Quantos dias de final de semana
espera-se em um ano de 365 dias?
R:
∴ 𝐸𝐸𝑞𝑞𝑝𝑝𝑛𝑛𝑛𝑛𝐶𝐶 − 𝑞𝑞𝑛𝑛
𝐶𝐶𝑝𝑝𝑛𝑛𝐶𝐶𝑥𝑥𝑖𝑖𝑛𝑛𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝑛𝑛𝑛𝑛𝐶𝐶𝑞𝑞𝑛𝑛 104 𝐶𝐶𝑖𝑖𝐶𝐶𝑞𝑞
𝐶𝐶𝑛𝑛 𝑓𝑓𝑖𝑖𝑛𝑛 𝐶𝐶𝑛𝑛 𝑞𝑞𝑛𝑛𝑛𝑛𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑞𝑞𝑛𝑛 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶.
2(𝑓𝑓𝐶𝐶𝑞𝑞)
𝑥𝑥(𝑓𝑓𝐶𝐶𝑞𝑞) = 7(𝑞𝑞𝐶𝐶𝑞𝑞𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐶𝐶𝑖𝑖𝐶𝐶𝑞𝑞)365(𝑞𝑞𝐶𝐶𝑞𝑞𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐶𝐶𝑖𝑖𝐶𝐶𝑞𝑞)7𝑥𝑥 = 2 × 365
𝑥𝑥 = 7307 ≅ 104
7𝑥𝑥 = 730
Razão e proporção - Exercícios
4. Se uma vitamina pediátrica contém 1500 unidades de vitamina A
por mililitro, quantas unidades de vitamina A seriam administradas
a uma criança em duas gotas de solução, medidas com auxílio de
um conta-gotas calibrado para liberar 20 gotas por mililitro?
R:
∴ 𝑀𝑀𝑛𝑛𝑛𝑛𝑖𝑖𝐶𝐶𝑛𝑛 𝐶𝐶𝐶𝐶𝑛𝑛𝑖𝑖𝐶𝐶𝑖𝑖𝑞𝑞𝑞𝑞𝑛𝑛𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝑞𝑞150 𝑞𝑞𝐶𝐶𝑖𝑖𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝑛𝑛𝑞𝑞 𝐶𝐶𝑛𝑛 𝑣𝑣𝑖𝑖𝑞𝑞𝐶𝐶𝑛𝑛𝑖𝑖𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐴𝐴
𝑛𝑛𝑛𝑛 2 𝑖𝑖𝐶𝐶𝑞𝑞𝐶𝐶𝑞𝑞 𝐶𝐶𝑛𝑛 𝑞𝑞𝐶𝐶𝐶𝐶𝑞𝑞𝑠𝑞𝐶𝐶.
20(𝑖𝑖𝐶𝐶𝑞𝑞𝐶𝐶𝑞𝑞)2(𝑖𝑖𝐶𝐶𝑞𝑞𝐶𝐶𝑞𝑞) = 1(𝑛𝑛𝑚𝑚)𝑥𝑥(𝑛𝑛𝑚𝑚)20𝑥𝑥 = 2
𝑥𝑥 = 220 = 0,1𝑛𝑛𝑚𝑚
1500(𝑞𝑞𝐶𝐶𝑖𝑖𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝑛𝑛𝑞𝑞)
𝑥𝑥(𝑞𝑞𝐶𝐶𝑖𝑖𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝑛𝑛𝑞𝑞) = 1(𝑛𝑛𝑚𝑚)0,1(𝑛𝑛𝑚𝑚)
𝑥𝑥 = 1500 × 0,1
𝑥𝑥 = 150 𝑞𝑞𝐶𝐶𝑖𝑖𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝑛𝑛𝑞𝑞
Razão e proporção - Exercícios
5. Numa receita de macarrão caseiro, lê-se: misturar 110 𝑖𝑖 de farinha
de trigo para cada ovo. Quantos ovos devemos adicionar à massa
para 550 𝑖𝑖 de farinha de trigo?
R:
∴ 𝑀𝑀𝑞𝐶𝐶 𝐶𝐶𝑛𝑛𝐶𝐶𝑛𝑛𝑞𝑞𝑞𝑞𝐻𝑛𝑛𝑖𝑖𝐶𝐶 5 𝐶𝐶𝑣𝑣𝐶𝐶𝑞𝑞
𝑝𝑝𝐶𝐶𝑛𝑛𝐶𝐶 550 𝑖𝑖 𝐶𝐶𝑛𝑛 𝑓𝑓𝐶𝐶𝑛𝑛𝑖𝑖𝐶𝐶𝑃𝐶𝐶.
110(𝑖𝑖)550(𝑖𝑖) = 1 (𝐶𝐶𝑣𝑣𝐶𝐶)𝑥𝑥(𝐶𝐶𝑣𝑣𝐶𝐶𝑞𝑞)110𝑥𝑥 = 1 × 550
𝑥𝑥 = 550110 = 5
110𝑥𝑥 = 550
Razão e proporção - Exercícios
6. Em um congresso de TI, 30 dos 1500 participantes eram
palestrantes. Quantos palestrantes um evento de uma empresa
teria, em uma contagem de 100 participantes, sabendo-se que as
proporções foram mantidas?
R:
∴ 𝐸𝐸𝑛𝑛 𝑞𝑞𝑛𝑛 𝑛𝑛𝑣𝑣𝑛𝑛𝐶𝐶𝑞𝑞𝐶𝐶 𝐶𝐶𝑛𝑛 100
𝑝𝑝𝐶𝐶𝑛𝑛𝑞𝑞𝑖𝑖𝐶𝐶𝑖𝑖𝑝𝑝𝐶𝐶𝐶𝐶𝑞𝑞𝑛𝑛𝑞𝑞, 2 𝐶𝐶𝑛𝑛𝐶𝐶𝑛𝑛𝑞𝑞 𝑞𝑞𝑛𝑛𝑛𝑛𝑖𝑖𝐶𝐶𝑛𝑛
𝑝𝑝𝐶𝐶𝐶𝐶𝑛𝑛𝑞𝑞𝑞𝑞𝑛𝑛𝐶𝐶𝐶𝐶𝑞𝑞𝑛𝑛𝑞𝑞.
30(𝑝𝑝𝐶𝐶𝐶𝐶𝑛𝑛𝑞𝑞𝑞𝑞𝑛𝑛𝐶𝐶𝐶𝐶𝑞𝑞𝑛𝑛𝑞𝑞)
𝑥𝑥(𝑝𝑝𝐶𝐶𝐶𝐶𝑛𝑛𝑞𝑞𝑞𝑞𝑛𝑛𝐶𝐶𝐶𝐶𝑞𝑞𝑛𝑛𝑞𝑞) = 1500(𝑞𝑞𝐶𝐶𝑞𝑞𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑝𝑝𝐶𝐶𝑛𝑛𝑞𝑞. )100(𝑞𝑞𝐶𝐶𝑞𝑞𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑝𝑝𝐶𝐶𝑛𝑛𝑞𝑞. )1500𝑥𝑥 = 30 × 100
𝑥𝑥 = 30001500 = 2
1500𝑥𝑥 = 3000
Razão e proporção – Regra de três simples inversa
Considere o problema: Dois pedreiros trabalhando juntos conseguem
construir um certo muro em 6 horas de trabalho. Se ao invés de dois,
fossem três pedreiros, em quantas horas tal muro poderia ser
construído?
Você pode facilmente compreender que, aumentando o número de 
pedreiros, o tempo necessário para a construção do muro será menor, 
pois a mão de obra aumenta, mas a tarefa continua a mesma. 
Este problema trata grandezas inversamente proporcionais, ou seja, 
quando uma grandeza aumenta, a outra diminui e vice-versa.
Razão e proporção – Regra de três simples inversa
Dois pedreiros trabalhando juntos conseguem construir um certo
muro em 6 horas de trabalho. Se ao invés de dois, fossem três
pedreiros, em quantas horas tal muro poderia ser construído?
Resolução:
𝑉𝑉𝐶𝐶𝑛𝑛𝐶𝐶𝑞𝑞 𝐶𝐶𝑃𝐶𝐶𝑛𝑛𝐶𝐶𝑛𝑛 𝐶𝐶𝑛𝑛 𝑁𝑁 𝐶𝐶 𝑖𝑖𝑛𝑛𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝑛𝑛𝑔𝑔𝐶𝐶 𝑞𝑞𝑞𝑞𝑛𝑛 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑝𝑝𝑛𝑛𝑛𝑛𝑞𝑞𝑛𝑛𝐶𝐶𝑞𝑞𝐶𝐶 𝐶𝐶 𝑞𝑞𝑞𝑞𝐶𝐶𝐶𝐶𝑞𝑞𝑖𝑖𝐶𝐶. 𝐶𝐶𝑛𝑛 𝑝𝑝𝑛𝑛𝐶𝐶𝑛𝑛𝑛𝑛𝑖𝑖𝑛𝑛𝐶𝐶𝑞𝑞
𝑛𝑛 𝐶𝐶𝑛𝑛 𝐻𝐻 𝐶𝐶 𝑖𝑖𝑛𝑛𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝑛𝑛𝑔𝑔𝐶𝐶 𝑞𝑞𝑞𝑞𝑛𝑛 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑝𝑝𝑛𝑛𝑛𝑛𝑞𝑞𝑛𝑛𝐶𝐶𝑞𝑞𝐶𝐶 𝐶𝐶 𝐶𝐶𝑛 𝐶𝐶𝑛𝑛 𝑃𝐶𝐶𝑛𝑛𝐶𝐶𝑞𝑞 𝐶𝐶𝑛𝑛 𝑞𝑞𝑛𝑛𝐶𝐶𝑝𝑝𝐶𝐶𝐶𝐶𝑃𝐶𝐶:
P H
2 6
3 x
𝐴𝐴𝑞𝑞 𝑞𝑞𝑛𝑛𝑞𝑞𝐶𝐶𝑞𝑞, 𝑖𝑖𝐶𝐶𝐶𝐶𝑖𝑖𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑞𝑞𝑛𝑛𝐶𝐶𝑞𝑞𝑖𝑖𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐶𝐶𝑛𝑛 𝐶𝐶𝑛𝑛𝑛𝑛𝑞𝑞𝐶𝐶𝑖𝑖𝑛𝑛𝑛𝑛𝐶𝐶𝑞𝑞𝐶𝐶, 𝐶𝐶𝑝𝑝𝐶𝐶𝐶𝐶𝑞𝑞𝐶𝐶𝑛𝑛 𝐶𝐶𝐶𝐶
𝐶𝐶𝑖𝑖𝑛𝑛𝑛𝑛𝑠𝑞𝐶𝐶 𝐶𝐶𝑝𝑝𝐶𝐶𝑞𝑞𝑞𝑞𝐶𝐶,𝑝𝑝𝐶𝐶𝑖𝑖𝑞𝑞 𝐶𝐶𝑞𝑞 𝑖𝑖𝑛𝑛𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝑛𝑛𝑔𝑔𝐶𝐶𝑞𝑞 𝑞𝑞𝑞𝐶𝐶 𝑖𝑖𝐶𝐶𝑣𝑣𝑛𝑛𝑛𝑛𝑞𝑞𝐶𝐶𝑛𝑛𝑛𝑛𝐶𝐶𝑞𝑞𝑛𝑛
𝑝𝑝𝑛𝑛𝐶𝐶𝑝𝑝𝐶𝐶𝑛𝑛𝐶𝐶𝑖𝑖𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝑖𝑖𝑞𝑞.𝑁𝑁𝐶𝐶 𝑛𝑛𝐶𝐶𝐶𝐶𝑞𝑞𝐶𝐶𝑖𝑖𝑛𝑛𝑛𝑛, 𝑖𝑖𝐶𝐶𝑣𝑣𝑛𝑛𝑛𝑛𝑞𝑞𝑛𝑛𝑛𝑛𝐶𝐶𝑞𝑞 𝑞𝑞𝑛𝑛𝐶𝐶 𝐶𝐶𝑛𝑛𝐶𝐶𝐶𝐶s:3(𝑝𝑝𝑛𝑛𝐶𝐶𝑛𝑛𝑛𝑛𝑖𝑖𝑛𝑛𝐶𝐶𝑞𝑞)2(𝑝𝑝𝑛𝑛𝐶𝐶𝑛𝑛𝑛𝑛𝑖𝑖𝑛𝑛𝐶𝐶𝑞𝑞) = 6(𝑃𝐶𝐶𝑛𝑛𝐶𝐶𝑞𝑞)𝑥𝑥(𝑃𝐶𝐶𝑛𝑛𝐶𝐶𝑞𝑞) 3𝑥𝑥 = 12𝑥𝑥 = 4 𝑃𝐶𝐶𝑛𝑛𝐶𝐶𝑞𝑞
Razão e proporção – Regra de três composta
Considere o problema: Uma pessoa consome 4000 litros de água por
mês. Quantos litros de água duas pessoas irão consumir em um ano?
Iremos atribuir uma letra a cada grandeza. Sejam elas:
P: O número de pessoas;
L: A quantidade de litros de água;
T: O período de tempo envolvido (em meses):
P L T
1 4000 1
2 x 12
A ordem de colocação das grandezas é a mesma que a do
enunciado. A grandeza L, que estamos procurando (contém o
termo x), está posicionada no centro. Isto irá dificultar a
resolução do problema, por isto, devemospassá-la para a
extremidade. Vamos escolher a esquerda:
Razão e proporção – Regra de três composta
Uma pessoa consome 4000 litros de água por mês. Quantos litros de
água duas pessoas irão consumir em um ano?
L P T
4000 1 1
x 2 12
Agora, vamos identificar a orientação das setas (determinar se
as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais
entre si). A grandeza de referência é a grandeza L. A posição da
sua seta pode ser arbitrada tanto para cima, quanto para baixo.
Vamos escolher para baixo:
Vamos determinar se L e P são diretamente proporcionais ou não. Sabemos que uma pessoa
consome 4000 litros. Como mais pessoas irão consumir mais litros, então as grandezas são
diretamente proporcionais, logo a seta de P terá a mesma orientação da seta de L, ou seja,
também para baixo.
Falta-nos determinar se L e T são diretamente ou inversamente proporcionais. Sabemos que
em um mês são consumidos 4000 litros. Se aumentarmos o tempo de consumo, também
aumentaremos o consumo em litros, então as grandezas são diretamente proporcionais.
Razão e proporção – Regra de três composta
Uma pessoa consome 4000 litros de água por mês. Quantos litros de
água duas pessoas irão consumir em um ano?
L P T
4000 1 1
x 2 12
Se houvesse alguma seta com orientação oposta à seta de L, os
termos desta grandeza deveriam ser invertidos. Como não é o
caso, basta-nos montarmos a proporção e resolvê-la:4000
𝑥𝑥
= 12 × 112 4000𝑥𝑥 = 124
𝑥𝑥 = 24 × 4000
𝑥𝑥 = 96000
∴ 𝐷𝐷𝑞𝑞𝐶𝐶𝑞𝑞 𝑝𝑝𝑛𝑛𝑞𝑞𝑞𝑞𝐶𝐶𝐶𝐶𝑞𝑞 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝑞𝑞𝐶𝐶𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 96000 𝐶𝐶𝑖𝑖𝑞𝑞𝑛𝑛𝐶𝐶𝑞𝑞
𝐶𝐶𝑛𝑛 𝐻𝑖𝑖𝑞𝑞𝐶𝐶 𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑞𝑞𝑛𝑛 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶.
7. Duas torneiras levaram 4 horas para encher um tanque com 400
metros cúbicos de capacidade. Quantas horas seriam necessárias
para enchê-lo com 6 torneiras, se o tanque tivesse apenas 300
metros cúbicos de capacidade? 4
𝑥𝑥
= 2400600
Razão e proporção - Exercícios
R: 4
𝑥𝑥
= 400300 × 62
𝑥𝑥 = 124𝑥𝑥 = 24
H M3 T
4 400 2
x 300 6
∴ 6 𝑞𝑞𝐶𝐶𝑛𝑛𝐶𝐶𝑛𝑛𝑖𝑖𝑛𝑛𝐶𝐶𝑞𝑞 𝑛𝑛𝐶𝐶𝐶𝐶𝑃𝑛𝑛𝑛𝑛𝑖𝑖𝐶𝐶𝑛𝑛 𝑞𝑞𝑛𝑛 𝑞𝑞𝐶𝐶𝐶𝐶𝑞𝑞𝑞𝑞𝑛𝑛 𝐶𝐶𝑛𝑛300𝑛𝑛3𝑛𝑛𝑛𝑛 1 𝑃𝐶𝐶𝑛𝑛𝐶𝐶.
8. Numa empresa, 8 funcionários preparam 20 relatórios em 5 horas.
Quantos relatórios serão preparadas por 4 funcionários em 16
horas?
20
𝑥𝑥
= 1016
Razão e proporção - Exercícios
R: 20
𝑥𝑥
= 84 × 516
𝑥𝑥 = 3210𝑥𝑥 = 320
R F H
20 8 5
x 4 16
∴ 4 𝑓𝑓𝑞𝑞𝐶𝐶𝐶𝐶𝑖𝑖𝐶𝐶𝐶𝐶𝐻𝑛𝑛𝑖𝑖𝐶𝐶𝑞𝑞 𝑝𝑝𝑛𝑛𝑛𝑛𝑝𝑝𝐶𝐶𝑛𝑛𝐶𝐶𝑛𝑛 32
𝑛𝑛𝑛𝑛𝐶𝐶𝑛𝑛𝑖𝑖𝑞𝑞𝐶𝐶𝑞𝑞 𝑛𝑛𝑛𝑛 16 𝑃𝐶𝐶𝑛𝑛𝐶𝐶𝑞𝑞.
9. Dois pedreiros levam 9 dias para construir um muro com 2 m de
altura. Trabalhando 3 pedreiros e aumentando a altura para 4 m,
qual será o tempo necessário para completar esse muro?
9
𝑥𝑥
= 68
Razão e proporção - Exercícios
R: 9
𝑥𝑥
= 32 × 24
𝑥𝑥 = 126𝑥𝑥 = 72
D P M
9 2 2
x 3 4
∴ 3 𝑝𝑝𝑛𝑛𝐶𝐶𝑛𝑛𝑛𝑛𝑖𝑖𝑛𝑛𝐶𝐶𝑞𝑞 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝑞𝑞𝑞𝑞𝑛𝑛𝐶𝐶𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑞𝑞𝑛𝑛 𝑛𝑛𝑞𝑞𝑛𝑛𝐶𝐶
𝐶𝐶𝑛𝑛 4𝑛𝑛 𝑛𝑛𝑛𝑛 12 𝐶𝐶𝑖𝑖𝐶𝐶𝑞𝑞.
	Matemática Aplicada�GTI
	Sumário
	Equações de 1º grau - Introdução
	Equações de 1º grau - Introdução
	Equações de 1º grau - Exemplos
	Equações de 1º grau - Exemplos
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	Equações de 1º grau - Exercícios
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	Equações de 1º grau - Exercícios
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	Razão e proporção - Introdução
	Razão e proporção - Introdução
	Razão e proporção – Regra de três
	Razão e proporção – Regra de três simples direta
	Razão e proporção - Exercícios
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	Razão e proporção – Regra de três simples inversa
	Razão e proporção – Regra de três simples inversa
	Razão e proporção – Regra de três composta
	Razão e proporção – Regra de três composta
	Razão e proporção – Regra de três composta
	Razão e proporção - Exercícios
	Razão e proporção - Exercícios
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