Método da Secante 2018

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INSTITUTO FEDERAL DE GOIÁS 
DEPARTAMENTO DE ÁREAS ACADÊMICAS III 
BACHARELADO EM ENGENHARIA CARTOGRÁFICA E DE 
AGRIMENSURA 
 
 
 
 
 
 
ALINE OLIVEIRA FORTES 
CAIO RENATO BARBOSA COELHO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CÁLCULO NÚMERICO: 
MÉTODO DAS SECANTES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Goiânia 
2018 
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ALINE OLIVEIRA FORTES 
CAIO RENATO BARBOSA COELHO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CÁLCULO NÚMERICO: 
 MÉTODO DAS SECANTES 
 
 
 
 
 
 
 
Trabalho apresentado ao Curso Engenharia Cartográfica 
e de Agrimensura do IFG- Instituto Federal de Goiás, 
para a disciplina Cálculo Numerico. 
Prof. Reinier Diaz Millan. 
 
 
 
 
 
 
 
Goiânia 
2018 
 
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MÉTODO DA SECANTE 
 
 O método da secante é muito semelhante ao Método de Newton, é uma 
aproximação do método de Newton, o que o diferencia é a substituição da derivada por 
um quociente de diferença. 
 Do método de Newton temos que: 
𝑋𝑘 + 1 = 𝑋k −
𝑓(𝑋k)
𝑓′(𝑋k)
 
 Para a aproximação da derivada: 
 
𝑓′(𝑋k) ≅
𝑓(𝑋k) − 𝑓(𝑋k − 1)
𝑋k − 𝑋k − 1
 
 Onde as aproximações das raízes são Xk e Xk-1. 
 
 Então na função de interação para o método da secante fica: 
𝑋k + 1 =
𝑋k + 1 𝑓(𝑋k) − 𝑋k 𝑓(𝑋k − 1)
𝑓(𝑋k) − 𝑓(𝑋k − 1)
 
 
Interpretação Geométrica 
 A partir de duas aproximações Xk-1 e Xk, o ponto Xk+1 é obtido como sendo a 
abscissa do ponto de intersecção do eixo oX e da reta secante que passa por (Xk-1, f(Xk-
1)) e (Xk,f(Xk)). A reta secante passando pelas aproximações iniciais X0 e X1 intercepta o 
eixo OX em X2, que é a primeira estimativa para raiz. O valor X2 buscado na função e 
verificado se torna a função nula nesse ponto, conforme Figura 1. Não satisfazendo esta 
condição, é necessário fazer mais iterações, e isso é feito até que se verifique que um 
valor de X torne a função nula. 
 
 
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Gráfico 1. Técnica do método da secante 
 
Obtenção Da Função De Iteração Pela Interpretação Geométrica 
 
 Graficamente temos a função cortada pela reta secante, e fazendo as considerações 
geométricas temos que dois triângulos semelhantes são formados no gráfico 2. 
 
 
Gráfico 2. Interpretação geométrica da função de iteração 
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Pela semelhança de triângulos temos que: 
𝑓(𝑋𝑘 − 1)
𝑓(𝑋𝑘)
= 
𝑋𝑘 − 1 − 𝑋𝑘 + 1 
𝑋𝑘 − 𝑋𝑘 + 1 
 
 
𝑓(𝑋k − 1)𝑋k − 𝑓(𝑋k + 1 )𝑋k + 1 = 𝑓(𝑋k)𝑋𝑘−1 − 𝑓(𝑋k)𝑋k + 1 
 
Assim conseguimos chegar a seguinte função de iteração: 
𝑋𝑘+1 =
𝑋k − 1𝑓(𝑋k) − 𝑋k 𝑓(𝑋k − 1)
𝑓(𝑋k) − 𝑓(𝑋k + 1)
 
 
 De modo que o método da secante é uma aproximação para o método de Newton, 
as condições para convergência do método são praticamente as mesmas, porém 
acrescenta-se que não seja aplicável e que o método pode divergir se f(Xk) ≈ f(Xk-1). A 
ordem de convergência do método da secante não é quadrática como a do método de 
Newton, mas também não é apenas linear. Sendo assim, podemos dizer que o objetivo 
principal do método da secante é fazer iterações para encontrar um valor x tal que f(X) = 
0. 
 
 
 
 
 
 
 
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Algoritmo: 
Seja a equação f(X) = 0. 
 
1) Dados iniciais: 
a) X0 e X1 : aproximações iniciais; 
b) ε1 e ε2: precisões. 
 
2) Se │f(X0) │< ɛ1, faça X̅ = X0. Fim. 
 
3) Se │f(X0) │< ɛ1 ] faça X̅= X1. Fim. 
ou se │X1-X0 │< ɛ2 ] faça X̅ = X1. Fim. 
 
4) k =1 
 
5) X2 = X1 − 
 f(X1)
f(X1)−f(X0)
 (x1 − x0) 
 
6) Se │f(X2) │<ɛ1 ] faça X̅ = X2. Fim. 
ou se │X2 – X1 │<ɛ2 ] faça X̅ = X2. Fim. 
 
7) X0 = X1 
X1 = X2 
 
8) k = k + 1 
Volte ao passo 5. 
 
 
 
 
 
 
 
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 Exemplo: Consideremos f(x) = x² + x – 6. 
 
 Passo 1 
Aproximações iniciais: x0 = 1.5 e x1= 1.7 
Precisão: = 0,01 
Iter = 1 
 
 Passo 2 
Enquanto │Errof│ > ɛ fazer iterações 
Erro= x1 = 1,7 
│Errof│ = X1- X0 = (1,7-1,5) = 0,2 
│Errof│ > ɛ 
 
 Primeira iteração 
𝑋2 =
𝑋0𝑓(𝑋1) − 𝑋1𝑓(𝑋0)
𝑓(𝑋1) − 𝑓(𝑋0)
 
 
𝑋2 = 
1,5 (−1,41) − 1,7 (−2,25)
−1,41 + 2,25
 
 
𝑋2 = 2,03571 
 
 Passo 3 
 Erro= X2 = 2,03571 
│Errof│ = 2,03571 - 1,5 = 0,33571 
│Errof│ > ɛ 
 
 Segunda iteração 
𝑋3 =
𝑋1𝑓(𝑋2) − 𝑋2𝑓(𝑋1)
𝑓(𝑋2) − 𝑓(𝑋1)
 
 
𝑋2 = 
1,7 (0,17983) − 2,03571(−1,41)
0,17983 + 1,41
 
 
𝑋2 = 1,99774 
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 Passo 4 
 Erro= X2 = 1,99774 
│Errof│ = 1,99774 - 2,03571 = -0,03797 
 │Errof│ > ɛ 
 Terceira iteração 
𝑋4 =
𝑋2𝑓(𝑋3) − 𝑋3𝑓(𝑋2)
𝑓(𝑋3) − 𝑓(𝑋2)
 
 
𝑋2 = 
(2,03571)(−0,01131) − (1,99774)(0,17983)
−0,01131 − 0,17983
 
 
𝑋2 = 1,99999 
 Passo 5 
 Erro= X2 = 1,99999 
│Errof│ = 1,99999 – 1,99774= 0,00225 
│Errof│ < ɛ RAIZ ENCONTRADA 
 
 O valor de uma das raízes da função é 2 a convergência para o valor 
1,99999 foi devido à precisão. Aumentando se a precisão o valor convergido seria 
2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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REFEERENCIAS BIBLIOGÁFICAS 
RUGGIERO, M.A.G. e LOPES, V.L.R. Cálculo Numérico, Aspectos Teóricos e 
Computacionais. São Paulo. McGraw-Hill, 1988. 
Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação da Universidade de São Paulo. 
Disponível em: http://conteudo.icmc.usp.br/pessoas/mari/NumPri2012/Secantes.pdf 
Instituto superior técnico, Lisboa. Disponível 
em: https://www.math.tecnico.ulisboa.pt/~calves/courses/eqn/capii213.html