ELEMENTOS FINITOS - AV2

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Centro Universitário Estácio FIB da Bahia
DANIEL SOUZA NASCIMENTO – 201603156836
	
 ELEMENTOS FINITOSTrabalho avaliativo na disciplina de Elementos Finitos ministrada pelo professor Florêncio Filho como avaliação parcial para a obtenção de nota no curso de Engenharia no Centro Universitário Estácio da Bahia.
Salvador
2019
GALERKIN
1.0 INTRODUÇÃO
Atualmente há um interesse crescente em estudar métodos numéricos eficientes para resolver equações diferenciais com entradas aleatórias. Em geral incertezas aparecem nas condições iniciais, condições de contorno ou nos coeficientes do problema e podem ser melhor modeladas quando consideradas como dados estatísticos usando variáveis aleatórias e processos estocásticos. (SÃO CARLOS, 2013) 
O Método de Galerkin é um dos métodos clássicos da Física Matemática e da análise que oferece a base teórica para os Métodos de Elementos Finitos e outros métodos numéricos e teóricos baseados nas idéias de B. G. Galerkin. (VERIDIANA REZENDE, 2005)
Boris Grigorievitch Galerkin, nasceu em 20 de Fevereiro (04 de Março no atual calendário) de 1871 em Polotsk (atualmente localizada na Bielo-Rússia), descendente de uma família pobre, passou por muitas dificuldades durante seus anos de estudos. Ele fez a escola secundária em Minsk, e em 1893 entrou no Instituto Tecnológico de St. Peterburgo, onde estudou matemática e engenharia. Durante este período além dos estudos precisou fazer “atividades extras” para sobreviver: foi professor particular e também trabalhou como desenhista. Galerkin, junto com outros estudantes do Instituto Técnológico, sempre estava envolvido com política. Terminou a graduação em 1899, ano em que se tornou membro do Partido Social Democrático da Rússia. No mesmo ano começou a trabalhar como engenheiro na Fábrica de Locomotivas em Kharkov (atualmente na Ucrânia). Em 1903, foi para St. Peterburgo, e lá tornou-se engenheiro da Fábrica de Aquecimento Mecânica do Norte. Em 1906, Boris Grigoryevitch passou a ser membro do Comitê de St. Peterburgo do Partido Social Democrático (proibido pelo governo), época em que não trabalhou. Em março de 1907, depois de um confronto com a polícia, alguns membros do comitê foram presos, incluindo B. G. Galerkin, que ficou preso durante quase dois anos. Na prisão, Galerkin perdeu o interesse pelas atividades revolucionárias e voltou-se para a ciência e a engenharia. As prisões daquela época davam tal oportinidade. Saiu da prisão no fim de 1908. Em março de 1909, Galerkin começou a ensinar no Instituto Tecnológico de St. Peterburgo, quando teve sua primeira publicação sobre Curvatura Longitudinal, trabalho de 130 páginas, todo escrito na prisão. Este artigo teve grande importância nos seus estudos, e os resultados foram aplicados na construção de pontes e grandes estruturas. Durante todo o verão deste período, Boris Grigorievitch visitou a Europa junto com seus colegas de trabalho, para desenvolver estudos sobre construção civil. Suas visitas às construções européias, bem como da maioria dos engenheiros russos daquela época, terminaram por volta de 1914, quando começou a Primeira Guerra Mundial. Neste período (1909-1914) ele conheceu Alemanha, Suíça, Austria, Bélgica e Suécia. Também nesta época, Galerkin começou a trabalhar em colaboração com I. G. Bubnov no Departamento de Construção Civil, onde ambos estudavam questões da Teoria de Elasticidade e da Rigidez de Construções. Foi Bubnov, quem primeiro sugeriu, em 1913, uma generalização do Método de Ritz adaptada para problemas de construção civil. Talvez por 3 está razão o Método de Galerkin, na Rússia, as vezes é denominado Bubnov-Galerkin. Entretanto, o primeiro trabalho publicado sobre este assunto saiu em 1915 e foi escrito somente por B. G. Galerkin. Neste trabalho foi proposto um método de integração aproximada de Equações Diferenciais Parciais, atualmente conhecido como “Método de Galerkin”. Sem dúvidas, este artigo foi um de seus melhores trabalhos, e já nesta época, o próprio Galerkin apontou as principais diferenças entre seu método e o método de Ritz: no seu método não havia conexão entre aproximações e a forma variacional do problema; o método podia ser aplicado na resolução de problemas de forma bastante arbitrária. Foi ele quem neste artigo praticamente criou o conceito de solução fraca para uma equação diferencial. Além disso, as aproximações de Galerkin nos problemas de equilíbrio de barras e placas, representam claramente o princípio dos trabalhos virtuais, ou seja, as aproximações têm um claro significado físico.
O Método de Galerkin ficou famoso mundialmente, e até hoje ele e suas generalizações são usados tanto na teoria de Equações Diferenciais, como em Análise, Mecânica, Termodinâmica, Hidrodinâmica, e também no desenvolvimento de métodos numéricos, tais como o Método de Elementos Finitos e outros. Só na Internet, encontram-se milhares de referências sobre o Método de Galerkin.
Em 1920, Galerkin foi promovido a diretor do Instituto Tecnologico Mecânico Estrutural de St. Peterburgo. Nesta mesma época, ganhou dois prêmios significativos, um sobre elasticidade no Instituto de Engenharia de Comunicação, e outro em Mecânica Estrutural na Universidade de St. Peterburgo. Em 1921, a Sociedade de Matemática de St. Peterburgo foi reaberta (havia sido fechada em 1917 devido a Revolução Russa) e Galerkin foi um dos destaques desta Sociedade, assim como Vladimir Andreevich Steklov, Sergei Natanovich Bernstein, Aleksandr Aleksandrovich Friedmann e outros. Outro trabalho em que Galerkin ficou conhecido, foi o seu trabalho sobre Placas Elásticas. Sua tese sobre este assunto foi publicada em 1937. De 1940, até a sua morte em 12 de Julho de 1945, Galerkin foi o chefe do Instituto de Mecânica da Academia de Ciências Soviética. (VERIDIANA REZENDE, 2005)
2.0 MÉTODOS
O método de Galerkin é uma técnica utilizada tanto na verificação de existência e unicidade quanto na obtenção de soluções aproximadas para problemas envolvendo equações do método de elementos finitos diferenciais e integrais. Este foi apresentado inicialmente como uma generalização do método de Ritz no trabalho de Galerkin (1915), onde o novo método apresenta um desligamento entre a solução aproximada e a forma variacional do problema, possibilitando a aplicação em um conjunto maior de problemas e a criação de novas formulações variacionais. O método de Galerkin é conhecido também como método de Bubnov-Galerkin, já que I. G. Bubnov desenvolveu uma metodologia similar anos antes da publicação do artigo, porém ainda muitos vinculados ao problema físico em questão. Um dos fatos interessantes sobre o método de Galerkin é que este teve grande participação nas formulações variacionais do método de elementos finitos ao longo da história, ampliando a robustez deste último método. Devido a este fato, o método de Galerkin também é conhecido como método de Galerkin clássico e diversas variações do método são encontradas na literatura, tais como: Galerkin descontínuo, (Johnson, 1987) e Petrov-Galerkin, (Brooks e Hughes, 1982). Apesar de o método de Galerkin ser classificado como um método de resíduos ponderados na área de método numéricos, atualmente este também é utilizado como método para verificação de existência de soluções de EDPs, como pode ser visto no trabalho de Souza (2005). De posse da formulação de um problema via equações diferenciais, o método de Galerkin pode ser dividido nas etapas: 
1. Criação de uma formulação fraca para o problema baseada em um único espaço vetorial V de funções; 
2. Criação do problema discreto associado, em um subespaço de V de dimensão finita m. 
3. Resolução do problema discreto, encontrando uma aproximação da solução do problema inicial. 
Em se tratando de um método para verificação de existência de soluções, o último passo é dividido nos seguintes: 
3.1. Para cada m ∈ N, provar a existência de uma solução um do problema discreto; 
3.2. Provar que existe uma subsequência de (um)∞ m=1 que converge para uma solução fraca do problema. (WESLLEYPEREIRA, 2014 )
3.0 PRINCIPAIS PUBLICAÇÕES
· Modelagem mecânica e investigação numérica de escoamentos de fluidos smd empregando um método multi-campos de galerkin mínimos-quadrados.
A maioria dos líquidos encontrados na natureza são não-Newtonianos e o estudo do seu comportamento tem uma importância significante em diferentes áreas da engenharia. Entre eles, uma larga classe de materiais que exibem pequena ou nenhuma deformação quando sujeitos a um nível de tensões inferiores a uma tensão limite de escoamento – chamado de comportamento viscoplástico. A presente Dissertação tem como objetivo o estudo numérico de escoamentos bi- dimensionais em regime permanente de fluidos viscoplásticos não-lineares em uma cavidade forçada. O modelo mecânico é definido pelas equações de conservação de massa e de balanço de momentum acopladas ao modelo viscoplástico recentemente introduzido por Souza Mendes e Dutra – SMD – e é aproximado por um método de elementos finitos multi-campos estabilizado baseado na metodologia de Galerkin mínimos-quadrados que possui como variáveis primais os campos de tensão-extra, velocidade e pressão. As condições de compatibilidade entre os sub- espaços de elementos finitos para tensão-extra-velocidade e velocidade-pressão são violadas, permitindo assim a utilização de interpolações de igual ordem. O método estabilizado foi implementado no código de elementos finitos para fluidos não-Newtonianos em desenvolvimento no Laboratório de Mecânica dos Fluidos Aplicada e Computacional (LAMAC) da UFRGS. Em diversos trabalhos encontrados na literatura, a superfície de escoamento do material é definida como a região onde o módulo da tensão-extra é igual à tensão limite de escoamento. É mostrado nesta Dissertação que esta metodologia pode conduzir à alguns erros, dado ao grande aumento experimentado pela taxa de cisalhamento em uma pequena faixa de tensões próximas à tensão limite de escoamento. Assim, foi adotada outra metodologia, definindo a superfície de escoamento como a linha onde a taxa de cisalhamento é igual a um valor dado pela relação de parâmetros reológicos do fluido, especificamente a tensão limite de escoamento e a viscosidade Newtoniana para baixas taxas de cisalhamento. Nas simulações numéricas realizadas, o número de salto, J, o coeficiente de power-law, n, e a vazão adimensional, U*, são variados de forma a avaliar de que modo influenciam na dinâmica de escoamentos viscoplásticos. Os resultados obtidos estão de acordo com a literatura e atestam a estabilidade da formulação empregada. (DANIEL DALL'ONDER , 2010)
	
· Método de galerkin livre de elementos aplicado a placas de materiais compostos laminados
O objetivo deste trabalho é desenvolver um programa de análise de placas de materiais compostos laminados usando o Método de Galerkin livre de elementos sem o problema de travamento ao cisalhamento (shear locking), como acontece no Método de Elementos Finitos. Este resultado é obtido através da melhoria das funções de interpolação, não sendo necessários artifícios como a integração numérica seletiva reduzida.
O Método de Galerkin livre de elementos pertence à classe dos métodos sem malha, que se caracteriza pelas funções de forma de suporte compacto, fraca dependência dos pontos de aproximação e pela pouca dependência da malha de integração utilizada.
Foi adotada a teoria de primeira ordem para laminados, o que equivale à teoria de placa de Mindlin, por ser sensível ao problema de travamento em placas de pequena espessura. A condição de contorno essencial foi imposta através do Método da Penalidade Exterior. 
Diversos testes foram realizados para determinar os melhores parâmetros do método, como a escolha da função peso, o domínio de influência e a densidade de partículas.
Por fim, a ausência do fenômeno de travamento ao cisalhamento é confirmada comparando os resultados obtidos pelo método de Galerkin livre de elementos com outros métodos numéricos, com o método de elementos finitos e com soluções analíticas. (TIAGO FRANCO, 2007)
4.0 APLICAÇÕES E DISCUSSÕES
· Aplicação do Método de Galerkin ao Problema de Condução Estocástica de Calor
O objetivo deste trabalho é propôr um procedimento numérico para a solução de problemas estocásticos de condução de calor em regime permanente. Considera-se a condutividade térmica como sendo um processo estocástico de segunda ordem não Gaussiano cuja função de covariância é conhecida. A série de Neumann é aplicada para obter a solução de um sistema linear de equações, cuja matriz de coeficientes apresenta entradas randômicas. O método de simulação de Monte Carlo e a série de Neumann são utilizados para determinar as estimativas de primeira e segunda ordem de problema com entradas randômica. Para a representação da incerteza são utilizadas as séries de Karhunen-Loève ou de polinômios de Caos. A eficiência do método proposto é avaliada com relação ao método de simulação de Monte Carlo através da comparação entre as estatísticas da solução do campo de temperaturas geradas por ambos os métodos. A distribuição de temperatura é obtida através do Método de projeções de Galekin juntamente com as extensões dos polinômios de Wiener-Askey. A fim de validar o procedimento proposto resolve-se um problema linear fiD de condução do calor, onde pode-se observar que os resultados obtidos através da simulação Galerkin-Caos apresentam uma melhor aproximação. (FLAVIO, 2007)
· Proposições e Aplicações Considerando o Método de Galerkin Livre de Elementos
Neste trabalho são apresentadas algumas propostas e aplicações, dentro da área da mecânica computacional, considerando o método de Galerkin livre de elementos. Este método pertence a classe de métodos chamados de livres de malha, mesh-free methods. De modo resumido, estes métodos consideram a construção de funções de forma, de suporte compacto, que dependem fracamente da distribuição dos pontos de aproximação, nós ou partículas, e também são pouco dependentes da malha de integração utilizada.
Mais especificamente, é proposto o método de Galerkin livre de elementos modificado, que considera a construção das funções de forma baseadas na distribuição de diferentes funções peso sobre a malha de integração e apresenta uma contribuição na imposição das condições de contorno essenciais. Estimadores de erro e estratégias de refino da malha de integração são propostos, de forma a encontrar malhas de integração adequadas para problemas lineares, no contexto da mecânica dos sólidos, considerando a hipótese de pequenas deformações. Porém, o fato de possuir a propriedade de imposição das condições de contorno de forma direta, como feito no método dos elementos finitos, possibilita a aplicação deste método de aproximação em diversas áreas da engenharia, matemática ou física, principalmente para problemas não lineares. Dentro desta área de problemas não lineares, é apresentada uma investigação do método proposto sob deformações finitas, considerando um material elastoplástico, de fase elástica dada pelo modelo de Hencky e com fase plástica dada por um modelo do tipo J2, com endurecimento isotrópico não linear. Investigações sob o aparecimento do fenômeno de travamento volumétrico, e de seu controle, também são realizadas considerando problemas axissimétricos e também de estado plano de deformações.
Já o método de Galerkin livre de elementos usual é aplicado em problemas de conformação em molde. Problemas de forjamento a frio, considerando um material denso, e de compactação, dentro do enfoque da Metalurgia do Pó, são investigados. Para a abordagem destes dois proble- mas é considerada também uma formulação de contato, que considera a hipótese de Signorini.
Especial atenção é dada para o problema da simulação do processo de compactação a frio, e em molde, de componentes mecânicos. Este tipo de processo parte de um pó desagregado, que é colocado em uma matriz e é então submetido a altos níveis de deformação. Este tipo de mate- rial experimenta redução de volume e, portanto, aumento da densidade. Tais características doprocesso implicam em uma modelagem do material que leva em consideração uma descrição em deformações finitas e um modelo constitutivo que capture, de forma adequada, as não lineari- dades envolvidas no processo. O modelo constitutivo adotado para a simulação do processo de compactação faz parte dos chamados modelos do tipo Cap. O modelo constitutivo apresentado. neste trabalho é composto por três superfícies de escoamento completamente suaves e leva em consideração o acoplamento de alguns parâmetros com a porosidade relativa. Novamente, são apresentados vários exemplos de modo a averiguar a metodologia proposta.
5.0 APLICAÇÃO COMPUTACIONAL
O uso da formulação de Galerkin com a base de elementos finitos nos leva imediatamente ao seguinte sistema linear: (c2K + c1A + c0M) U = F − N. Apenas mudando o intervalo de integração para (0,L); N é o vetor de mesma dimensão que F representando as condições de contorno de Neumman nos nós (zero nos nós onde não se aplica) e A é a matriz de advecção ou convecção, que tem mesmas dimensões que a matriz rígida K e a matriz massa M, ela é definida como: (A)ij = Z L 0 φiφ 0 jdx. Um ponto importante a ser mencionado é que existem outras maneiras de construir as funções base, além de funções cujas partes em cada elemento sejam polinômios de grau 1, poderia usar polinômios de grau 2 de três em três nós da malha fazendo uso de interpolação polinomial, o que alteraria o cálculo das matrizes de contribuição, e assim por diante. Além disso, o conjunto H1 de funções teste/solução é definido como segue: Z L 0 [(w 0 ) 2 + w 2 ]dx < +∞. Pensando em funções forma de grau 1, a montagem das matrizes se dá da mesma maneira, como a soma de matrizes de contribuição de cada elemento, e o cálculo dessa contribuição é resultante de uma transformação linear sobre um elemento padrão. Outro raciocínio análogo é que as linhas que correspondem as condições Dirichlet podem ser ignoradas. Entretanto a não simetria da matriz A faz com que o sistema final seja não simétrico, o que acarreta em problemas de instabilidade. (ROSSI, 2005)
· Galerkin e Elementos Finitos
Entrada: c2, c1, c0, conjunto de nós N, conjunto de elementos E, conjunto de nós com condições de Dirichlet D, conjunto de nós Neumman NE 
Dados: K, A, M ∈ R|N|x|N| , U, F, NEUM ∈ R|N| 
Saída: U 
1 - início
2 - U(D) = CalcularDirichlet(D) 
3 - NEUM = CalcularNeumann(NE) 
4 - K = A = M = 0|N|x|N| 
5 - F = 0|N| 
6 - para cada e ∈ E faça 
7 - K ← K + CalcularKe(e) 
8 - M ← M + CalcularMe(e) 
9 - A ← A + CalcularAe(e) 
10 - F ← F + CalcularFe(e) 
11 - fim 
12 - U(N − C) ← [c2K(N − D, N − D) + c1A(N − D, N − D) + c0M(N − D, N − D)]−1 ∗ (F(N − D) − NEUM(N − D)) 
13 - fim 
14 - retorna U 
(SANTOS JUNIOR, 2017)
6.0 CONCLUSÃO
Podemos concluir que o método de Galerkin é uma técnica utilizada tanto na verificação de existência e unicidade, quanto na obtenção de soluções aproximadas para problemas envolvendo equações do método de elementos finitos diferenciais e integrais. Para realizar investigações numéricas e com base em alguns problemas de valor de contorno, não só a fim de não avaliar, validar, o proposto método, mas também para determinar valores adequados para o parâmetro de extensão e também para o tamanho do suporte que foi apresentado em uma das aplicações mecionada no trabalho. Também neste relatório foi feita uma análise da distribuição da temperatura em um problema estocástico de condução de calor, usando o método de Galerkin para gera um resultado que leva em consideração o número de variáveis randômicas.
5.0 REFERÊNCIAS
LUME.ufrgs.br/handle/10183/27259
MONOGRAFIAS.ufrn.br/jspui/bitstream/123456789/4328/1/AnaliseComputacional_SantosJunior_2017.pdf
REPOSITORIO.ufsc.br/bitstream/handle/123456789/89676/257313.pdf?sequence=1&isAllowed=y
REPOSITORIO.ufsc.br/bitstream/handle/123456789/89738/245545.pdf?sequence=1
REPOSITORIO.ufsc.br/handle/123456789/102994
SCIELO.br/scielo.php?pid=S2179-84512013000200010&script=sci_arttext&tlng=pt
SITES.uem.br/pma/discente/defesas-dissertacoes/veridiana_rezende.pdf
UFJF.br/engcomputacional/files/2018/08/Monografia_WeslleyPereira.pdf
RAYLEIGH-RITZ
1.0 INTRODUÇÃO
Na literatura mais antiga sobre mecânica quântica, o método é conhecido como método de Ritz, denominado após o físico matemático Walter Ritz, quem o inventou pela primeira vez. Nos textos da mecânica quântica antes da guerra, era habitual seguir o livro altamente influente de Courant e Hilbert, que eram contemporâneos de Ritz e escreva do procedimento Ritz (Ritzsches Verfahren). (R. COURANT AND D. HILBERT, 1968)
Na análise numérica e na literatura de engenharia mecânica, geralmente se prefixa o nome de Lord Rayleigh para o método, e ultimamente isso também se tornou comum na mecânica quântica. Leissa, conhecendo o método de aplicações em engenharia mecânica, recentemente ficou intrigado com o nome e depois de ler o fontes originais, ele descobriu que os métodos dos dois trabalhadores diferem consideravelmente, embora Rayleigh, ele próprio acreditava que os métodos eram muito semelhantes e que seu próprio método era anterior ao de Ritz por várias décadas. No entanto, de acordo com a conclusão convincente de Leissa, Rayleigh estava enganado e o método agora conhecido como método Rayleigh-Ritz é devido exclusivamente ao Ritz. Leissa declara: “Portanto, o presente escritor conclui que o nome de Rayleigh não deve ser anexado ao método Ritz; isto é, o método Rayleigh – Ritz é uma designação imprópria. " (MAGAZINE SIXTH, 1911) 
2.0 MÉTODOS
John William Strutt (Lord Rayleigh) e Walter Ritz foram responsáveis pelo desenvolvimento de um método aproximativo para solucionar equações diferenciais. Esse processo lida com a condição de estacionariedade de um funcional (situação de máximo, mínimo ou de inflexão em um funcional). 
Sendo u(x) uma função qualquer em que se deseje obter sua solução de forma aproximada, tem-se: 
u(xi ) ≈ ũ(xi ) = ψ0 + ∑αj 𝑛 j=1 ψj (xi ) 
Para o caso de uma variável primária, ou no caso mais geral: 
ũ = ψ0 + [… ψj …]{ ⋮ αj ⋮ } = ψ0 + ψα 
Onde: 
u(xi) é a solução exata do problema; 
ũ(xi ) é a solução aproximada do problema; 
ψ0 é uma função que atende às condições não homogêneas; 
ψj são n funções linearmente independentes que atendem às condições homogêneas, também chamadas de funções de base, funções de forma ou ainda funções de aproximação; αj são parâmetros generalizados, também chamados de graus de liberdade ou coeficientes de Ritz; Supondo que J(u) seja um funcional que descreva um modelo matemático então as funções base necessitam ser contínuas e deriváveis para o cálculo das integrais do funcional. Uma vez obtida a solução aproximada ela é substituída no funcional fazendo com que J(u) ≈ J(ũ) = J(αi) de sorte que a condição de estacionariedade do funcional passa a ser a da função, traduzida pelas derivadas nulas da função:
 ∂J(ũ) ∂αi = 0 onde j = 1, 2, 3…n 
O método de Rayleigh-Ritz é utilizado nos casos em que a solução analítica é de difícil obtenção, mas em que é possível propor uma solução. A aplicação crescente de coeficientes de Ritz pode ser aplicada para avaliar a precisão do método e a sua convergência. (GUSTAVO LUZ XAVIER DA COSTA, 2017)
3.0 PRINCIPAIS PUBLICAÇÕES
· ANALISE ESTÁTICA DA ESTABILIDADE - MÉTODO RAYLEIGH RITZ.
Alguns problemas de estabilidade de estruturas não podem ser resolvidos por métodos analíticos ou são resolvidos de forma mais fácil utilizando métodos aproximados. Os métodos analíticos referem-se a métodos pelos quais se obtém uma solução exata das equações diferenciais governantes do sistema. Algumas destas soluções podem ser aproximadas por séries de funções harmônicas ou polinomiais com coeficientes indeterminados. O método de Rayleigh-Ritz utiliza estes tipos de aproximação em conjunto com o funcional do problema, para discretizar o sistema contínuo e obter os coeficientes dos termos das séries de funções. Aqui neste trabalho é usado o método de Rayleigh-Ritz para resolver o problema estático não linear e obter as informações necessárias para a análise dinâmica não linear.(MAXWELL, 2018)
· Método de Rayleigh-Ritz
Nos problemas de aproximação por diferenças finitas, para aproximar a solução
para um problema de valor limite (borda), nós trocamos a operação contínua de diferenciação por operações de discretização de diferenças finitas.
O método Raileigh-Ritz ataca o problema de uma forma diferente. O problema de valor limite é primeiramente reformulado para um problema de escolha. Entre todo o conjunto de funções diferenciáveis que satisfazem as condições de limite, escolhe-se as funções que minimizam uma certa integral. Então, o conjunto de funções viáveis fica reduzido, para resultar em uma solução para o problema de minimização e, consequentemente, numa solução para o problema de valor limite. (ROUTMAN, DE SOUZA, PALOMBO, 2010)
4.0 APLICAÇÕES E DISCUSSÕES
· Implementação do método rayleigh-ritz aplicado a um modelo de deflexão de viga usando o matlab
Neste trabalho apresentamos os fundamentos teóricos para a construção do Método de Rayleig-Ritz, aplicado em um problema de valor de contorno, que modela matematicamente a deflexão de uma viga. O algoritmo foi implementado computacionalmente com o auxilio do software Matlab para diferentes espaçamentos de malha. Os resultados obtidos foram comparados com a solução obtida pela técnica da transformada de Laplace. Finalizamos apresentando um estudo de custo do algoritmo.
Concebido exclusivamente pelo físico-matemático suíço Walter Ritz (1878-1909) (LEISSA, A.W.,2005), o Método de Rayleigh-Ritz (MRR), popularizou-se academicamente com o advento dos computadores, tendo êxito em problemas nas áreas de engenharia mecânica, aerodinâmica, mecânica quântica e etc. O MMR, assim como outros métodos variacionais, busca determinar os pontos críticos de um funcional, cujo domínio é um espaço vetorial, com imagem em um corpo de escalares. Trata-se de um problema de minimização, no qual determina-se aproximadamente os pontos estacionários do funcional envolvido, encontrando a solução. Para analisar a eficiência implementamos o algoritmos usando o software de álgebra linear numérica Matlab de duas maneiras que se diferenciam pelo aproveitamento da estrutura da matriz associada ao problema. (YURI ELIAS RODRIGUES, 2013) 
· Aplicação do Método de Rayleigh-Ritz para Calcular a Deflexão de Vigas Bi-apoiadas
Neste trabalho obteve-se a solução numérica da Equação Diferencial Parcial, que controla a deflexão de uma viga bi-apoiada, via o Método de Rayleigh-Ritz que foi comparado com a solução analítica, para comprovação do método. Com a discretização da viga gerou-se um sistema de equações lineares, cuja solução desse foi obtido por meio do Método de Eliminação de Gauss, com uso de um algoritmo implementado no software Maple, o que mostrou a efetividade do método.
Para obter a solução numérica da EDP, utilizou-se o Método de Rayleigh-Ritz com B-Splines Cúbicas, para comparar com a solução analítica e verificar a efetividade do método. A equação da aplicação foi discretizada no eixo das abcissas, em “n” partes iguais de comprimento h = 1/ (n + 1), com xi = 0, 1i, em que i = 0, · · · , n, n + 1. (LILIANA MADALENA GRAMANI, 2017)
5.0 APLICAÇÃO COMPUTACIONAL
· Implementação do método rayleigh-ritz aplicado a um modelo de deflexão de viga usando o matlab
ALGORITMO
O planejamento de um algoritmo tem como finalidade otimizar o tempo e espaço para obter uma solução confiável e rápido. Para avaliar o MRR, utilizamos das propriedades de pré-alocação dos espaços a serem utilizados ao longo do algoritmo e controlamos o tempo em cada uma das etapas decisivas. Colocamos no algoritmo o controle de detalhamento visual, em que é possível melhorar a qualidade da solução, em termos de quantidade de amostras. O algoritmo criado apresenta o erro absoluto no mesmo gráfico que as soluções. (YURI ELIAS RODRIGUES, 2013)
IMPLEMENTAÇÃO DO ALGORITMO 
Na função MRR a seguir implementada no Matlab, temos que é o vetor de nodos, os parâmetros, e, são as funções, e na equação (1), e são os limites em (1), onde é estabelecido o contorno do problema, e é o número de pontos para detalhamento do gráfico. Este primeiro (MRR) algoritmo não leva em conta a configuração tridiagonal que é explorada no algoritmo MRRtrid.
O módulo responsável por calcular os valores das integrais é o processo mais longo, pois envolve um grande número de operações entre variáveis simbólicas e sua conversão. No algoritmo MRRtrid, usaremos a mesma estrutura do algoritmo anterior, com exceção do módulo responsável pela construção e solução do SEL, que será substituído pelo módulo a seguir, este módulo tende a ser melhor quanto maior for a quantidade de informação. (YURI ELIAS RODRIGUES, 2013) 
6.0 CONCLUSÃO
Podemos concluir que o método de Rayleigh-Ritz tem como principal função solucionar equações diferenciais. Esse processo lida com a condição de estacionariedade de um funcional (situação de máximo, mínimo ou de inflexão em um funcional). Podemos criar métodos diferentes e estudar suas características destas variações, a fim de produzir ferramentas úteis para sua finalidade que é a aplicação. 
O desenvolvimento desse estudo permite avaliar de forma clara e precisa como funciona o MEF no cálculo de estruturas. Dessa forma, a concepção de um algoritmo capaz de calcular esforços e deslocamentos, como mostra a pesquisa feita. 
7.0 REFERÊNCIA
CONFERENCIAS.ulbra.br/index.php/ciem/vi/paper/viewFile/1384/544
EVENTOS.ufpr.br/smne/SMNE2017/paper/viewFile/685/218
MAXWELL.vrac.puc-rio.br/24619/24619_4.PDF
MONOGRAFIAS.ufrn.br/jspui/bitstream/123456789/5214/1/analise-placas-retangulares-Costa-Monografia.pdf
SHELLBUCKLING.com/cv/ritz.pdf
WEBCACHE.googleusercontent.com/search?q=cache:http://www.rc.unesp.br/igce/demac/balthazar/analise/cap8.pdf